Изучение прямолинейного движения тела на машине Атвуда

Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу "Общая физика"

ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

НА МАШИНЕ АТВУДА

Преподаватель Студент группы 645-1

___________ /____________. / __________ / ____________ /

___________20__ г. __________ 20__ г.

20__

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное - по риске на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значения времени < t
> и квадрата времени < t
2
> прохождения грузом с перегрузом пути S:

(3.1)

(3.2)

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:

(3.3)

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:

σсл
(t
) = t(a, n
) × S
(t
) ; (3.4)

где t(a, n
) - коэффициент Стьюдента

Стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

(3.5)

где

ti
- времени прохождения пути при i
–ом
измерении ( i
=1. … , n
),

n
– число измерений, < t
> - среднее значение времени прохождения пути.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:

σ(t
2
) = 2 <
t
>
σ(t
) (3.6)

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:

(3.7)

Угловой коэффициент экспериментальной прямой:

b =
(3.8)

Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:

a
= 2b2
(3.9)

Абсолютную случайную погрешность ускорения sсл
(a
) рассчитываем методом наименьших квадратов.

Рассчитываем параметры линеаризованного графика

(y = f(x)
= Ax + B)
и случайные абсолютные погрешности параметров.

Расчет производится по формулам: (3.10)

куда входят следующие величины:

(3.11)

где n
– число экспериментальных точек.

Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: sсл
(β
):

(3.12)

где вспомогательная величина:

(3.13)

Абсолютная случайная погрешность ускорения:

s
(
a
)
= 4 b
s
(
b
)
(3.14)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.

Результаты измерений

Таблица 4.1

S 1 = 36 , см		S 2 = 31 , см		S 3 = 26 , см		S 4 = 21 , см		S 5 = 16 , см
Номер измере­ния	= 6 , см1/2		= 5,568 , см1/2		= 5,099 , см1/2		= 4,583 , см1/2		= 4 , см1/2
t , c	t 2 , c2	t , c	t 2 , c2	t , c	t 2 , c2	t , c	t 2 , c2	t , c	t 2 , c2
1	4,857	23,59	4,534	20,56	4,396	19,32	3,756	14,11	3,348	11,21
2	4,991	24,91	4,793	22,97	4,384	19,22	3,958	15,67	3,350	11,22
3	5,184	26,87	4,734	22,41	4,089	16,72	3,661	13,40	3,185	10,14
4	5,066	25,66	4,485	20,12	4,208	17,71	3,985	15,88	3,246	10,54
5	5,084	25,85	4,520	20,43	4,364	19,04	3,975	15,80	3,260	10,63
< t >, c	5,036		4,614		4,288		3,868		3,278
< t 2 >, c2	25,36		21,30		18,40		14,97		10,75

Средние значения времени < t
> и квадрата времени < t
2
> прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).

Для первой точки измерения
(S
1
= 36 см):

Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:

Δt1
= t1
−< t>1
= 4,857−5,036 = -0,179 с; Δt1
2
= (-0,179)2
= 0,032 с2
;

Δt2
= t2
−< t>1
= 4,991−5,036 = -0,045 с; Δt2
2
= (-0,045)2
= 0,002 с2
;

Δt3
= t3
−< t>1
= 5,184−5,036 = 0,148 с; Δt3
2
= (0,148)2
= 0,022 с2
;

Δt4
= t4
−< t>1
= 5,066−5,036 = 0,030 с; Δt4
2
= (0,030)2
= 0,001 с2
;

Δt5
= t5
−< t>1
= 5,084−5,036 = 0,048 с; Δt5
2
= (0,048)2
= 0,002 с2
;

№ измерения	№ опыта	t, с	Δt, с	Δt2 , с2	<t>, с	S(t), с	σ(t),с	σ(t2 ), с2
1	1	4,857	-0,179	0,032	5,036	0,055	0,118	1,189
	2	4,991	-0,045	0,002
	3	5,184	0,148	0,022
	4	5,066	0,030	0,001
	5	5,084	0,048	0,002
	t1 = 5,036 ± 0,118, с
2	6	4,534	-0,080	0,006	4,614	0,063	0,130	1,200
	7	4,793	0,179	0,032
	8	4,734	0,120	0,014
	9	4,485	-0,129	0,017
	10	4,520	-0,094	0,009
	t2 = 4,614 ± 0,130, с
3	11	4,396	0,108	0,012	4,288	0,063	0,130	1,120
	12	4,384	0,096	0,009
	13	4,089	-0,199	0,040
	14	4,208	-0,080	0,006
	15	4,364	0,076	0,006
	t3 = 4,288 ± 0,130, с
4	16	3,756	-0,112	0,013	3,868	0,071	0,148	1,145
	17	3,958	0,090	0,008
	18	3,661	-0,207	0,043
	19	3,985	0,117	0,014
	20	3,975	0,107	0,012
	t4 = 3,868 ± 0,148, с
5	21	3,348	0,070	0,005	3,278	0,032	0,071	0,466
	22	3,350	0,072	0,005
	23	3,185	-0,093	0,009
	24	3,246	-0,032	0,001
	25	3,260	-0,018	0,0003
	t5 = 3,278 ± 0,071, с

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности a=0,9 и числе измерений n
=5 коэффициент Стьюдента t(a, n
) = 2,1:

σсл
(t
)1
= 2,1*0,055 = 0,116 c ;

Результаты расчетов погрешностей

прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.

Таблица 4.2

Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера :

σсис
(t) = 0,0005 с ;

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :

Так как величина σсис
(t) много меньше величины σсл
(t
)1
(σсис
(t) = 0,0005 с << σсл
(t
)1
= 0,116 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t
)1
≈ σсис
(t
)1
.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t
2
)1
= 2×5,036×0,116 = 1,168 с2
;

Результаты измерений записываем в виде < t > ± σ(t) :

t1
= 5,036±0,116 с.

Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.

Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

σ(S) = 0,05 см ;

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 :

Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.

Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.

n/n	S , см	σ(S), см	, см0,5	σ(). см0,5	<t>, c	(<t>)2 , c2	(<t>)× , c× см0,5
1	36	0,05	6	0,004	5,036	25,36	30,22
2	31	0,05	5,568	0,005	4,614	21,29	25,69
3	26	0,05	5,099	0,005	4,288	18,39	21,87
4	21	0,05	4,583	0,006	3,868	14,96	17,73
5	16	0,05	4	0,006	3,278	10,75	13,11
å	130	25,25	21,08	90,75	108,6
МНК	S 6		S 2		S 1	S 4	S 3

На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S
=
f
1
(
t
)
( рис. 4.1.) и S
=
f
2
(
t
2
)
( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.

Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S
от времени t
.

Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S
от квадрата времени t
2
.

На рис.4.3. представлен линеаризованный график =
f
3
(
t
)
зависимости квадратного корня пройденного пути от времени t
.

Рисунок 4.3. Зависимость от времени t
.

На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

b
граф
= 5 / 8,3 = 1,19 см0,5
/с ;

Величину ускорения определим по формуле 3.9:

a
граф
= 2×(1,19)2
= 2,83 см/с2
;

По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр b
линеаризованного графика =
b
t

и случайную абсолютную погрешность параметра sсл
(b
).

По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S
1
− S
6
для расчета по МНК (число точек n =5):

S
1
= 21,08 c; S4
= 90,75 c2
;

S
2
= 25,25 см1/2
; S
6
= 130 см ;

S
3
= 108,6 c×см1/2
; S
5
= 5×90,75 − (21,08)2
= 9,4 c × см1/2
.

По формуле 3.10 определим параметр b
линеаризованного графика:

b
=
(5×108,6 − 21,08 ×25,25) / 9,4 = 1,14 см1/2
/c.

Угловой коэффициент прямой b
= 1,14 см1/2
/c.

Значение вспомогательной величины S
0
по формуле 3.13:

S
0
= 130/ 3 – (25,252
+ 1,14 2
×9,4 ) / 15 = 0,01 см.

По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:

s
(
b)
= (5×0,012
/9,4) 0,5
=
0,01 см1/2
/c .

Величина ускорения по формуле 3.9 :

a
= 2×1,142
= 2,6 см/с2
.

Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

s
(
a
)
= 4×1,14×0,01 = 0,046 см/с2
.

Получаем:

a
= (2,6 ± 0,046) см/с2
= (2,6 ± 0,046)×10-2
м/с2
.

5. ВЫВОДЫ

В результате проделанной работы мы смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости .
Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.

Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:

при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение S
= at
2
/2 ,

где S
– путь пройденный телом за время движения t,

a
– ускорение движения.

В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:

a
= (2,46 ± 0,23) × 10-2
м/с2
.

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1.Какие силы действуют на груз с перегрузом во время движения?
Сила тяжести и сила натяжения нити.

6.2.Запишите уравнения движения для каждого из грузов.
Уравнения движения грузов имеют вид: (M+m)g –T1
=(M+m)a1
Mg –T2
=Ma2
. А так как нить не растяжима, то а1=;
-а2
; если блок невесом, то Т1
=Т2
. Данные уравнения получены путем составления основного уравнения динамики для первого и второго грузов. 6.3.Причина, по которым теоретические выводы не совпадают с результатами измерений.
Погрешности измерений физических величин (случайные и погрешности прибора) приводят к несовпадению теоретических результатов и результатов эксперимента

6.4.Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени.
Систематическая погрешность приводит к тому, что прямая не будет проходить из начала координат. Величина отклонения от начала координат – систематическая погрешность. 6.5. Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов.
Блок и нить невесомы, нить нерастяжима, сила трения отсутствует.