Федеральное Агентство по образованию
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра физики
ОТЧЕТ
Лабораторная работа по курсу "Общая физика"
ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ
НА МАШИНЕ АТВУДА
Преподаватель Студент группы 220201
___________ /____________. / Стороженко Сергей Валерьевич
___________2011 г. 2011 г.
2011
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.
2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА
Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.
На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное - по риске на корпусе среднего кронштейна.
Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.
Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.
3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Средние значения времени < t
> и квадрата времени < t
2
> прохождения грузом с перегрузом пути S:
(3.1)
(3.2)
Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:
(3.3)
Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:
σсл
(t
) = t(a, n
) × S
(t
) ; (3.4)
где t(a, n
) - коэффициент Стьюдента
стандартная абсолютная погрешность измерения времени:
(3.5)
где
ti
- времени прохождения пути при i
–ом
измерении ( i
=1. … , n
),
n
– число измерений, < t
> - среднее значение времени прохождения пути.
Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:
σ(t
2
) = 2 <
t
>
σ(t
) (3.6)
Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:
(3.7)
Угловой коэффициент экспериментальной прямой:
b =
(3.8)
Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:
a
= 2b2
(3.9)
Абсолютную случайную погрешность ускорения sсл
(a
) рассчитываем методом наименьших квадратов.
Рассчитываем параметры линеаризованного графика
(y = f(x)
= Ax + B)
и случайные абсолютные погрешности параметров.
Расчет производится по формулам: (3.10)
куда входят следующие величины:
(3.11)
где n
– число экспериментальных точек.
Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: sсл
(β
):
(3.12)
где вспомогательная величина:
(3.13)
Абсолютная случайная погрешность ускорения:
s
(
a
)
= 4 b
s
(
b
)
(3.14)
4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.
Макет № 82
Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.
Результаты прямых и косвенных измерений Таблица 4.1
| S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
||||||
| Номер измерения |
=3,16 см1/2
|
= 4,47 см1/2
|
= 5,48 см1/2
|
= 5,92 см1/2
|
=6,48 см1/2
|
|||||
| t
|
t
|
t
|
t
|
t
|
t
|
t
|
t
|
t
|
t
|
|
| 1 |
1,558 |
2,427 |
2,425 |
5,881 |
3,186 |
10,150 |
3,297 |
10,870 |
3,627 |
13,155 |
| 2 |
1,423 |
2,025 |
2,178 |
4,744 |
2,964 |
8,785 |
3,017 |
9,102 |
3,538 |
12,517 |
| 3 |
1,446 |
2,091 |
1,856 |
3,445 |
2,585 |
6,682 |
3,015 |
9,090 |
3,145 |
9,891 |
| 4 |
1,341 |
1,798 |
1,554 |
2,415 |
2,662 |
7,086 |
2,783 |
7,745 |
2,775 |
7,701 |
| 5 |
1,376 |
1,893 |
1,396 |
1,949 |
2,505 |
6,275 |
2,694 |
7,257 |
2,530 |
6,401 |
| < t
|
1,43 |
1,88 |
2,78 |
2,96 |
3,12 |
|||||
| < t
|
2,05 |
3,69 |
7,79 |
8,81 |
11,33 |
|||||
Средние значения времени < t
> и квадрата времени < t
2
> прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).
Для первой точки измерения
(S
1
= 10 см):
Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:
Δt1
= t1
−< t>1
= 1,558−1,43 = 0,13 с; Δt1
2
= ( 0,13)2
= 0,0169 с2
;
Δt2
= t2
−< t>1
= 1,423−1,43 = -0,007 с; Δt1
2
= (-0,007)2
= 0,000049 с2
;
Δt3
= t3
−< t>1
= 1,446−1,43 = 0,016 с; Δt1
2
= (0,016)2
= 0,000256 с2
;
Δt4
= t4
−< t>1
= 1,341−1,43 = -0,089 с; Δt1
2
= (-0,089)2
= 0,00792 с2
;
Δt5
= t5
−< t>1
= 1,376−1,43 = -0,054 с; Δt1
2
= (-0,0584)2
= 0,002916 с2
;
0,0169 +0,000049+0,000256+0,00792+0,002916
S(t)1
= 5x(5-1) = 0,001 с;
Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности a=0,9 и числе измерений n
=5 коэффициент Стьюдента t(a, n
) = 2,1:
σсл
(t
)1
= 2,1×0,001 = 0,0021 c ;
Результаты расчетов погрешностей
прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.
Таблица 4.2
| № измерения |
№ опыта |
t, с |
Δt, с |
Δt2
|
<t>, с |
S(t), с |
σ(t),с |
σ(t2
|
| 1
|
1 |
1,558 |
0,13 |
0,0169 |
1,43 |
0,001 |
0,0021 |
0,006 |
| 2 |
1,423 |
-0,007 |
0,000049 |
|||||
| 3 |
1,446 |
0,016 |
0,000256 |
|||||
| 4 |
1,341 |
-0,089 |
0,00792 |
|||||
| 5 |
1,376 |
-0,054 |
0,002916 |
|||||
| t1
|
||||||||
| 2
|
6 |
2,425 |
0,545 |
0,297025 |
1,88 |
0,036 |
0,076 |
0,286 |
| 7 |
2,178 |
0,298 |
0,088804 |
|||||
| 8 |
1,856 |
-0,024 |
0,000576 |
|||||
| 9 |
1,554 |
-0,326 |
0,106276 |
|||||
| 10 |
1,396 |
-0,484 |
0,234256 |
|||||
| t2
|
||||||||
| 3
|
11 |
3,186 |
0,406
td>
|
0,164836 |
2,78 |
0,012 |
0,0252 |
0,14 |
| 12 |
2,964 |
0,184 |
0,033856 |
|||||
| 13 |
2,585 |
-0,195 |
0,038025 |
|||||
| 14 |
2,662 |
-0,118 |
0,013924 |
|||||
| 15 |
2,505 |
-0,275 |
0,075625 |
|||||
| t3
|
||||||||
| 4
|
16 |
3,297 |
0,337 |
0,113569 |
2,96 |
0,011 |
0,0231 |
0,14 |
| 17 |
3,017 |
0,057 |
0,003249 |
|||||
| 18 |
3,015 |
0,055 |
0,003025 |
|||||
| 19 |
2,783 |
-0,177 |
0,031329 |
|||||
| 20 |
2,694 |
-0,266 |
0,070756 |
|||||
| t4
|
||||||||
| 5
|
21 |
3,627 |
0,507 |
0,257049 |
3,12 |
0,045 |
0,0945 |
0,56 |
| 22 |
3,538 |
0,418 |
0,174724 |
|||||
| 23 |
3,145 |
0,025 |
0,000625 |
|||||
| 24 |
2,775 |
-0,345 |
0,119025 |
|||||
| 25 |
2,530 |
-0,59 |
0,3481 |
|||||
| t5
|
||||||||
Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера :
σсис
(t) = 0,0005 с ;
Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :
σ(t)1 = 0,0005²+0,0021² = 0,0021 с;
Так как величина σсис
(t) много меньше величины σсл
(t
)1
(σсис
(t) = 0,0005 с << σсл
(t
)1
= 0,0021 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t
)1
≈ σсис
(t
)1
.
Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :
σ(t
2
)1
= 2×1,43×0,0021 = 0,006 с2
;
Результаты измерений записываем в виде < t > ± σ(t) :
t1
= 1,43±0,0021 с.
Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.
Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:
σ(S) = 0,05 см ;
Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 :
Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.
Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.
Таблица 4.3.
| n/n |
S , см |
σ(S), см |
, см0,5
|
σ(). см0,5
|
<t>, c |
(<t>)2
|
(<t>)× , c× см0,5
|
| 1 |
10 |
0,5 |
3,16 |
0,01 |
1,43 |
2,05 |
4,519 |
| 2 |
20 |
0,5 |
4,47 |
0,01 |
1,88 |
3,69 |
8,404 |
| 3 |
30 |
0,5 |
5,48 |
0,01 |
2,78 |
7,79 |
15,234 |
| 4 |
35 |
0,5 |
5,92 |
0,01 |
2,96 |
8,81 |
17,523 |
| 5 |
42 |
0,5 |
6,48 |
0,01 |
3,12 |
11,31 |
20,218 |
| å |
137 |
25,51 |
12,17 |
33,65 |
65,90 |
||
| МНК |
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S
=
f
1
(
t
)
( рис. 4.1.) и S
=
f
2
(
t
2
)
( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.
Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S
от времени t
.
Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S
от квадрата времени t
2
.
На рис.4.3. представлен линеаризованный график =
f
3
(
t
)
зависимости квадратного корня пройденного пути от времени t
.
Рисунок 4.3. Зависимость от времени t
.
На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.
Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:
b
граф
= 4 / 2,3 = 1,73 см0,5
/с ;
Величину ускорения определим по формуле 3.9:
a
граф
= 2×1,732
=5,98 см/с2
;
По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр b
линеаризованного графика =
b
t
и случайную абсолютную погрешность параметра sсл
(b
).
По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S
1
− S
6
для расчета по МНК (число точек n =5):
S
1
= 12,17 c; S4
= 33,65 c2
;
S
2
= 25,51см1/2
; S
6
= 137 см ;
S
3
= 65,90 c×см1/2
; S
5
= 5×33,65 − 12,17 2
= 20,14 c × см1/2
.
По формуле 3.10 определим параметр b
линеаризованного графика:
b
=
(5×65,90 − 12,17 ×25,51) / 20,14 = 0,94 см1/2
/c.
Угловой коэффициент прямой b
= 0,94 см1/2
/c.
Значение вспомогательной величины S
0
по формуле 3.13:
S
0
= 137/ 3 – (25,512
+ 0,94 2
×20,14 ) / 15 = 1,03 см.
По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:
s
(
b)
= (5×1,032
/20,14) 0,5
=
0,513 см1/2
/c .
Величина ускорения по формуле 3.9 :
a
= 2×0,942
= 1,76 см/с2
.
Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :
s
(
a
)
= 4×0,94×0,513 = 1,93 см/с2
.
Получаем:
a
= (1,76 ± 1,93) см/с2
= (1,76 ± 1,93)×10-2
м/с2
.
5. ВЫВОДЫ
В результате проделанной работы мы смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости .
Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.
Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:
при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение S
= at
2
/2 ,
где S
– путь пройденный телом за время движения t,
a
– ускорение движения.
В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:
a
= (1,76 ± 1,93) × 10-2
м/с2
.
| |
6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие силы действуют на груз с перегрузком во время движения?
На груз с перегрузом во время движения действует сила тяжести F
тяж2
и противоположно направленная сила натяжения нити T2
.
Сила тяжести F
тяж2
= (
M
+
m
)
g
,
где M
– масса груза, m
– масса перегрузка, g
– ускорение свободного падения.
2. Запишите уравнение движения для каждого из грузов.
Уравнение движения грузов имеют вид:
(
M
+
m
)
g
–
T
1
= (
M
+
m
)
a
1
- груз с перегрузом (справа)
Mg
– T
2
= Ma
2
-
груз
(
слева
)
В силу не растяжимости нити a
2
= -
a
1
;
при невесомом блоке T
1
=
T
2
имеем следующие уравнения движения:
(M + m)g
– T
= (M + m)a
Mg
– T
= - Ma
3. Укажите возможные причины, обуславливающие несовпадение теоретических выводов с результатами измерений.
- физические допущения, принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте; погрешности измерения величин;
- точность вычислений.
4. Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени?
Систематическая погрешность измерения времени σсис
(t) приводит к тому, что прямая на линеаризованном графике не проходит через начало координат. Величина отрезка, отсекаемого прямой при пересечении с осью t
( от точки пересечения до начала координат), есть величина систематической погрешности измерения времени σсис
(t).
5. Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов в машине Атвуда.
Идеализация движения грузов на машине Атвуда:
- нить и блок невесомы, нить не растяжима, сила трения на оси блока мала, можно пренебречь.