Нижегородский государственный
архитектурно-строительный университет.
Кафедра сопротивления материалов и теории упругости.
Расчетно-проектировочная работа
Плоская задача теории упругости
Выполнил: Студент гр. 163 А.В.Троханов
Проверила: Т.П. Виноградова
Н.Новгород 2002 г.
Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см.
Схема закрепления пластины.
Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой
Ф (х,у)=а1
х3
у+а2
х3
+а3
х2
у+а4
х2
+а5
ху+а6
у2
+а7
ху2
+а8
у3
+а9
ху3
Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.
Найти общие выражения для напряжений sх
, sу
, tху
(объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.
Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.
Расчет.
Дано
: а3
=1/3, а4
= 1
Е=0,69*106
кг/см2
n=0,33
Решение
:
1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.
Ф(х,у)=
Поскольку производные
-бигармоническое уравнение удовлетворяется.
2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю.
sх
=
sу
=
tху
=
3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.
4.Проверяем равновесие пластины
Уравненения равновесия:
Sх=0 -Т5
+Т6
=0 > 0=0
Sy=0 Т4
+Т3
+Т2
-Т1
-N2
+N1
=0 > 0=0
SM=0 M (T4
T3
)=-M(T2
T1
) > 0=0
удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.
5.Для точки А с координатами (5,-5) найти в
В этой точке напряжения в основных площадках. sх
=0, sу
=-1,33, tху
=3,33,
Найдем главное напряжение по формуле:
=-0,665±3,396 кгс/см2
smax
=sI
=2,731 МПа
smin
=sII
= -4,061 МПа
Находим направление главных осей.
aI
=39,36o
aII
=-50,64o
6.Определяем компоненты деформации
7.Находим компоненты перемещений
Интегрируем полученные выражения
j(у), y(х) –некоторые функции интегрирования
или
После интегрирования получим
где с1
и с2
– постоянные интегрирования
С учетом получения выражений для j(у) и y(х) компоненты перемещений имеет вид
Постоянные с1
, с2
, и с определяем из условий закрепления пластины:
1) v =0 или
2) v =0 или
3) u =0 или
Окончательные выражения для функций перемещений u и v
Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| координаты | Х(см) | -10 | 0 | 10 | 10 | 10 | 0 | -10 | -10 | 0 |
| У(см) | 10 | 10 | 10 | 0 | -10 | -10 | -10 | 0 | 0 | |
| V*10-4
|
3,8 | 0,77 | 0,58 | -0,19 | 0 | 0,19 | 3,2 | 3,1 | 0 | |
| U*10-4
|
-3,1 | -3,5 | -3,9 | -1,9 | 0 | -0,23 | -0,45 | -1,8 | -1,9 | |
Масштаб
- длин: в 1см – 2см
- перемещений: в 1см - 1*10-4
см