Расчёт волновой функции в квантовой яме сложной формы

Ł Łæ æ Æ Ł — ææŁØæŒ Ø ŁŁ

Œ -ˇ Æ ªæŒŁØ ª æ æ ßØ ºŁ ı Ł æŒŁØ Ł æŁ

— æ … -ª Ł æŒ Æ

˛ º Œ ŁŒ Ł Œ ß ŁÆ ß¿

: ˚ ŁŒ ˚ æ Ł ˚ æ Ł Ł

ˆ : 3093/2 Œ º : — Ł Ł Ł æŒŁØ

ˇ º :

˚ Ł ŁØ ¨ª Ł

Œ -ˇ Æ ª

2010

˛ªº º Ł

1 ı Ł æŒ 1

2 ºŁ 1

3 — æ 4

4 ¸Ł 12

1 ı Ł æŒ

• ˝ Ø Ł ªŁŁ Ł º ß Œ ŁŁ ª Ł ª æ Ł ßı æ æ ŁØ º Œ Ł º Ø æº ø ª Ł :

,
Ł

,
Ł

,
Ł

˙ æ .

• ˇ æ Ł ª ŁŒŁ º ßı Œ ŁØ Łı æ æ ŁØ. ´ß ŁæºŁ æ Ł Æ Ł º Œ Œ Ł æ Œ ß º Œ ßı æ æ -

ŁØ.

—Łæ. 1: ˇ Ł º º

2 ºŁ

˚ Œ Ł æ	Ł æº	æ ŁØ ¸ ª	Ø	ı ŁŒŁ [2],	Ł	ŁŒ º Æ Ø	ı Ł-
æŒ Ø æŁæ ß		ı Œ Ł		Œ Ł Ø ˆ Łº		. º ª	Ø
Œ ŁŁ Œ	Ø	ŁŁ æº Ł		H ˆ (ˆ Łº	Ł	) [3]. ˇ Ł	æ -
æ Ł Ł Ł	æŒ Ø æŁæ	ß Œ	Ø	ı ŁŒ Łæß		º	Œ Ł
Ψ (r,t ) [3], Œ [4]:	æ		º	æ º ß		Ł	… Ł ª -

(1)

ˆ Łº Ł ß æ æ Ø ŒŁ Ł æŒ Ø Ł Ł º Ø

ªŁØ º Œ Ł º º [3]:

H
ˆ = T
ˆ + U
ˆ

— ºŁ ß , æ º łŁæ :

(2)

ˇ æŒ º Œ	º	æ		Ł	(2)	ŁæŁ	º Œ	t ,		º Œ
r , Æ Ł º	ß		æ	Ø Ł	Ø	Œ æ		º	Ł :

´ æ	º Ø		Æ æ	ºŁ	ı	Œ	Łæ ŁŒŁ æŁæ	ß	æ	Ł -
ßı æ æ	Ł ı,		Œ Ł	æŒŁØ Ł	æ	æ	º ºŁł	ł	Ł	-
ª Œ ŁŁ.	Ł Ł	Ø æŁæ	ß, æ	ø ª	æ		º Ł ºŁ	ß	º	Ø

… ª , Ł º º (

(3)

ŒŁ	Æ	,	ł	Ł æ	º æ Œ Ł	æ	Ø	Ł ŁŒ [1]	æ Ææ	-
ß	Ł (			æº	:			¸Ł Łºº ).

(4)

´ Œ Ø ı ŁŒ º Œ Ł Ł Ł Ł æŒŁı æ Æ ŁØ -

Œº ß º Ł º ß æº Ł [4]:

• æº Ł Ł ŒŁ

(5)

˝ æ æ ß Ł ª Ł Ł ºŁ Ł Œ ŁŁ ϕ
(t
):

ˇ æ Ł ª Ł Ł ßÆ ŒŁ Æ , Æß Œ Ł

Ψ
(x,t
) Æߺ Ł .

(6)

•	æº Ł	ª º æ Ł
	1. ´ º	Œ Ł		Ł Ł	Æ æŒ	ßı	ŁØ,	ŒŁı,
	Ł ª	º (6) æ	æı	øŁ æ .

2. ´ º Œ Ł º Æß Ø Œ Ł Ø Œ Ł Ł				-
Ł, Œ Œ Œ º æ æ Ł Æ Ł æ Ł ß º º æ .				-
3. ´ º Æ Ø Ł º Œ Ł Ł … æ ß Ł				ß
º ß Æß ß ß Ł Œ Ł Ł æ æ ßı Œ Ł				.
´ æ º Ø Ł º º (Œ ) ºŁ Ł æŒŁ æß æ Œ Ł Ø U (x ), Ł ø Ø æŁ Ł æŁ º ß −x x :				Ł-
		U (−x ) = U (x )
ˇ Ł ºŁ ŁŁ Ł æŁŁ æ Ææ		ß Œ ŁŁ ˆ Łº ºŁÆ		-
Ł æŒŁ Ł	º…	… æ , ºŁÆ ª Æß Æ	ß	> Œ-
ŁŁ, Ł øŁ —	º… …	æ [3].
1. — ł Ł	Ł æ Ł æ Œ	ł Ł Ł ¸Ł	Łºº .
2. — ł Ł	º æ æ Ææ	ß Œ ŁŁ f (x ) Ł æ Ææ	ß Ł	E
( ªŁŁ)	ˆ Łº	H ˆ.
3. ˛	ß ª Ł ß æº	Ł Ł ¸Ł Łºº	º æ Ł
ß	Ł º .
4. Ææ	ß Œ ŁŁ f (x )	ƺ º… Ø … æ	ŁºŁ Ł
æ Ł	æ æ Ł .
5. — ł		º Ł Ł º , æ ł	Ł æ ł -
æ æ	æ ø æŁ	ŁŁ.
6. ˝ Œ ŁŁ f (x ) Œº ß		æ æº Ł ª º æ Ł Ł	ß æ Ł º -
Æ æ Ł æ æ Ł .

3 — æ …

• ˇ ºŁ Ł Ł Œ ŁŁ f
(x
) Œ ı æŁ ª º æ Ł:

— ł Ł Ł y
= ekx
: k
2
ekx
− æ2
2ekx
= 0 ⇒ k
2
− æ2
= 0 ⇒ k
= ±æ

y
= C
1e
æx
+ C
2e
−æx

¨ æº Ł ª º æ Ł y
: C
1
→ 0 ⇒ y
= C
2
e
−æx

.Œ. U
(x
) → ∞ ⇒ æ → ∞ ⇒ y
→ 0

(7)

• — ææ Ł ł Ł Ł Ł :

(8)

• — ææ Ł ł Ł Ł Ł :

y
00
− α
2
y
= 0 (9)

— ł Ł Ł y
= ekx
: k
2
ekx
− α
2
2ekx
= 0 ⇒ k
2
− α
2
= 0 ⇒ k
= ±α

y
= C
1e
αx
+ C
2e
−αx

• Ł (4) º æ Œ :

ˇ º Ł Ł (9), Æø ł Ł : y
1
= A
sh(κx
) + B
ch(κx
)

¯æºŁ f
(x
) … : (0) = 0;æºŁ f
(x
) … : y
1
(0) = 0

f
(x
) … :

y
1
0
= Aκ
ch(κx
) + Bκ
sh(κx
) y
1
0
(0) = Aκ
= 0

.Œ. κ
6= 0 → A
= 0

y
1
= B
ch(κx
) (10)

f
(x
) … :

(11)

• Ł (4) º æ Œ :

ˇ º Ł Ł (8), Æø ł Ł : y
2
= D
sin(γx
+ ϕD
) ¨ Œ ßı æº ŁØ:

(12)

•

ŒŁ

Æ

, Ψ (x )

Ł

Ł :

,
Ł



y
1
+
= B
ch(κx
),
Ł



,
Ł

,
Ł

,
Ł

,
Ł

• ¨ æº ŁØ ª º æ Ł f
(x
) ß Œ æº øŁ æ ł Ł :

+ f
(x
) … :

˜º Ææ ł Ł ª æ ª Ł … ß :

(13)

− f
(x
) … :

˜º Ææ ł Ł ª æ ª Ł … ß :

(14)

• ˜º ł Ł (13) Ł (14) ææ Ł ø… Ł :

(15)

• ˇ

æ

Ł

(15)

(13)Ł (14):

( … ß ł Ł )

( … ß ł Ł )

		—Łæ. 2: — ł	Ł	æ	ßı			ŁØ
• — ł	ª	Ł æŒŁ æ			Ł ,	ı	Ł	æ Ææ	ß	Ł :

(16)

• ´ … Ł Œ Ł

ŁØ f
(z
):

Ł ºŁ Ł æ Ææ ßı Œ-

,
Ł

y
1
+ = B
ch(p(2π
)2 − η
2z
),
Ł

,
Ł

,
Ł


y
1
−
= A
sh(p
2
− η
2
z
),
Ł

(2π
)



,
Ł

• ¨ æº Ł Ł ŒŁ ºŁ Œ æ ß A
, B
Ł D
, º Ææ æŁæ æ n
= 0:

¨æ º Ł ß æ Ł, º æŁæ º … ßı ł ŁØ:

¨ º … ßı ł ŁØ:

Łæº ł Ł

1. … ł Ł : η
3
= 5.
261

2. ˝ … ł Ł : η
4
= 5.
308

3. ªŁŁ ª Ł ª æ Ł ßı æ æ ŁØ º Œ Łº Ø :

4. ´ º 3 :

ß

Œ ŁŁ:

,
Ł



y
1
+
= 0.
270ch(3.
435z
),
Ł

,
Ł

4 :

,
Ł

,
Ł ,
Ł

5. ´

æ

ı

Ł

æ Ł ß

æ Œ

ı

ß:

3 :

4 :

6. ˆ ŁŒŁ º ßı Œ ŁØ:

—Łæ. 3: 3 æ Ł æ æ Ł

—Łæ. 4: 4 æ Ł æ æ Ł

4 ¸Ł

[1] ´. . ´º Ł Ł .	Ł	Ł æŒ Ø Ł ŁŒŁ.	.: ˝ Œ , 1988.
[2] ¸ ¸.˜., ¸Ł łŁ Œ , 1988.	¯. .	Ł æŒ Ł ŁŒ : ı	ŁŒ : 10 . .: ˝ -
[3] ¸ ¸.˜., ¸Ł łŁ	¯. .	Ł æŒ Ł ŁŒ : ˚	ı ŁŒ ( º -
Ł ŁØæŒ Ł ):	10 .	.: ˝ Œ , 1989.
[4] ˇ. . . ˜Ł Œ. ˇ Ł	Ł ß Œ	Ø ı ŁŒŁ. .: ˝	Œ , 1979.