РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК.
КАФЕДРА ФИЛОСОФИИ РАН.
РЕФЕРАТ ПО ФИЛОСОФИИ
Сложность и случайность в работах И.Пригожина
Крутских А. О.
ГНЦ РФ ФЭИ
руководитель семинара
проф. Канке В. А.
Обнинск - 2000.
Содержание
Введение............................................................................................................................................................................. 3
Неравновесные состояния............................................................................................................................... 3
Пороговые явления.................................................................................................................................................. 7
Самоорганизация в физике на примере тепловой конвекции................................................................. 7
Самоорганизация в химии на примере реакции Белоусова-Жаботинского..................................... 9
Самоорганизация в геологии................................................................................................................................ 10
Пороговые явления в клеточной динамике на примере роста опухолей......................................... 11
Самоорганизация в человеческих сообществах......................................................................................... 11
Философское значение синергетики................................................................................................... 15
Заключение................................................................................................................................................................... 16
Приложение A............................................................................................................................................................... 19
В фосфоресцирующем тумане маячили два макродемона максвелла. Демоны играли в самую стохастическую из игр - в орлянку. Один выигрывал, а другой, соответственно, проигрывал, и это их беспокоило, потому что нарушалось статистическое равновесие.
Аркадий и Борис Стругацкие.
Понедельник начинается в субботу.
Введение
Сложившиеся равновесие в науке нарушил своми работами лауреат Нобелевской премии 1977 г. по химии Илья Романович Пригожин. В его исследованиях было введено понятие синергетики – теории диссипативных структур в контексте учения о времени [1]. В рамках синергетики изучаются явления образования упорядоченных пространственно-временных структур, или пространственно-временной самоорганизации, протекающие в системах различной природы: физических, химических, биологических, экологических, социальных [2‑8], системных [9], и даже механизмов технического развития [10].
Неравновесные состояния
Пригожин подробно рассматривает состояние нестабильности системы. Чтобы проиллюстрировать это на материале физики, можно рассмотреть обычный маятник, оба конца которого связаны жестким стержнем, причем один конец неподвижно закреплен, а другой может совершать колебания с произвольной амплитудой. Если вывести такой маятник из состояния покоя, несильно качнув его груз, то в конце концов маятник остановится в первоначальном (самом нижнем) положении. Это — хорошо изученное устойчивое явление. Если же расположить маятник так, чтобы груз оказался в точке, противоположной самому нижнему положению, то рано или поздно он упадет либо вправо, либо влево, причем достаточно будет очень малой вибрации, чтобы направить его падение в ту, а не в другую сторону. Так вот, верхнее (неустойчивое) положение маятника практически никогда не находилось в фокусе внимания исследователей, и это несмотря на то, что со времени первых работ по механике движение маятника изучалось с особой тщательностью. Можно сказать, что понятие нестабильности было, в некоем смысле, идеологически запрещено. А дело заключается в том, что феномен нестабильности естественным образом приводит к весьма нетривиальным, серьезным проблемам, первая из которых — проблема предсказания.
Если взять устойчивый маятник и раскачать его, то дальнейший ход событий можно предсказать однозначно: груз вернется к состоянию с минимумом колебаний, т.е. к состоянию покоя. Если же груз находится в верхней точке, то в принципе невозможно предсказать, упадет он вправо или влево. Направление падения здесь существенным образом зависит от флюктуации. Так что в одном случае ситуация в принципе предсказуема, а в другом — нет, и именно в этом пункте в полный рост встает проблема детерминизма. При малых колебаниях маятник — детерминистический объект, и мы в точности знаем, что должно произойти. Напротив, проблемы, связанные с маятником, если можно так выразиться, перевернутым с ног на голову, содержат представления о недетерминистическом объекте.
Возникает необходимость пересмотра самого понятия закона природы. нельзя более соглашаться с законами, утверждающими эквивалентность между прошлым и будущим. Каким образом можно выйти за границы, установленные великолепными образцами человеческой мысли, запечатленными в классической, квантовой и релятивистской физике? Именно в таком выходе за рамки привычного и состояло главное событие – обновление классической динамики, последовавшее в XX веке. Динамические системы не могут ограничиваться периодическими или ограниченными режимами, которые мы встречаем, изучая колебания маятника или движения планет.
Наоборот, большинство динамических систем неустойчиво. Траектории расходятся экспоненциально и по истечении определенного времени неизбежно теряются. Пригожин попытался пойти еще дальше и сформулировать законы природы, учитывающие возникающий в неустойчивых динамических системах хаос. Но такие законы применимы только к ансамблям траекторий, к статистическим ситуациям, а не к отдельным траекториям (или индивидуальным волновым функциям).
При таком понимании законов природы они не говорят нам, что произойдет, а лишь уведомляют нас о том, что может произойти. Вселенная, в момент ее зарождения, ни что иное, как малое дитя, которое может стать музыкантом, адвокатом или сапожником, но чем-то одним, а не всеми сразу? Таким образом, необратимость в основе своей зиждется на неустойчивости.
Пригожин утверждает, что увеличение энтропии отнюдь не сводится к увеличению беспорядка, ибо порядок и беспорядок возникают и существуют одновременно. Например, если в две соединенные емкости поместить два газа, допустим, водород и азот, а затем подогреть одну емкость и охладить другую, то в результате, из-за разницы температур, в одной емкости будет больше водорода, а в другой азота. В данном случае мы имеем дело с диссипативным процессом, который, с одной стороны, творит беспорядок и одновременно, с другой, потоком тепла создает порядок: водород в одной емкости, азот — в другой. Порядок и беспорядок, таким образом, оказываются тесно связанными — один включает в себя другой. И эту констатацию можно оценить как главное изменение, которое происходит в нашем восприятии мира сегодня. Последние исследования показывают, что на каждый миллиард тепловых фотонов, пребывающих в беспорядке, приходится по крайней мере одна элементарная частица, способная стимулировать в данном множестве фотонов переход к упорядоченной структуре. Так, порядок и беспорядок сосуществуют как два аспекта одного целого. Восприятие природы становится дуалистическим, и стержневым моментом в таком восприятии становится представление о неравновесности. Причем неравновесности, ведущей не только к порядку и беспорядку, но открывающей также возможность для возникновения уникальных событий, ибо спектр возможных способов существования объектов в этом случае значительно расширяется (в сравнении с образом равновесного мира). В ситуации далекой от равновесия дифференциальные уравнения, моделирующие тот или иной природный процесс, становятся нелинейными, а нелинейное уравнение обычно имеет более, чем один тип решений. Поэтому в любой момент времени может возникнуть новый тип решения, не сводимый к предыдущему, а в точках смены типов решений — в точках бифуркации — может происходить смена пространственно-временной организации объекта.
Набор полученных решений называется аттрактором. В случае множества типов решений (странный аттрактор) система движется от одной точки к другой детерминированным образом, но траектория движения в конце концов настолько запутывается, что предсказать движение системы в целом невозможно — это смесь стабильности и нестабильности. И, что особенно удивительно, окружающая нас среда, климат, экология и, между прочим, наша нервная система могут быть поняты только в свете описанных представлений, учитывающих как стабильность, так и нестабильность. Это обстоятельство вызывает повышенный интерес многих физиков, химиков, метеорологов, специалистов в области экологии. Указанные объекты детерминированы странными аттракторами и, следовательно, своеобразной смесью стабильности и нестабильности, что крайне затрудняет предсказание их будущего поведения.
Пороговые явления
Самоорганизация в физике на примере тепловой конвекции
Представим себе слой жидкости (например, воды) между двумя горизонтальными параллельными плоскостями, латеральные размеры которых значительно превосходят толщину слоя. Предоставленная самой себе, жидкость быстро устремится к однородному состоянию, в котором, выражаясь языком статистики, все ее части будут тождественны между собой. Соответственно, чтобы знать состояние всех таких частей, достаточно знать состояние одной из них независимо от их формы и размера. Чтобы изменить характеристики системы начнем нагревать жидкого слоя снизу. Все дальше отклоняя систему от равновесия путем увеличения температуры, мы увидим, что внезапно, при некотором значении температуры, объем вещества приходит в движение. Более того, это движение далеко не случайное: жидкость структурируется в виде небольших ячеек, называемых ячейками Бенара. Это - режим тепловой конвекции.
Вследствие теплового расширения жидкость расслаивается, причем часть жидкости, находящаяся ближе к нижней плоскости, характеризуется пониженной плотностью по сравнению с верхними слоями. Это приводит к градиенту плотности, направленному противоположно силе тяжести. Легко понять, что такая конфигурация потенциально неустойчива. Рассмотрим, например, малый объем жидкости вблизи нижней плоскости. Вообразим теперь, что этот элемент объема немного смещается вверх вследствие возмущения. Находясь теперь в более холодной и, следовательно, в более плотной области, этот элемент будет испытывать направленную вверх архимедову силу, которая будет стремиться усилить восходящее движение С другой стороны, если находящаяся вначале у верхней плоскости малая капля смещается вниз, то она проникнет в область пониженной плотности, и архимедова сила будет ускорять нисходящее движение. Поэтому в принципе ясно, что в жидкости могут возникать восходящие и нисходящие потоки, как это и наблюдается в эксперименте.
По-видимому, наиболее примечательной чертой, которую следует отметить в таком внезапном переходе от простого поведения к сложному, являются упорядоченность и согласованность системы. Когда температура была ниже критического значения, однородность жидкости в горизонтальном направлении делала независимыми друг от друга различные ее части. Так, любые два одинаковых объема можно было бы поменять местами без каких-либо последствий. Напротив, выше порогового значения все происходит так, как если бы каждый элемент объема следил за поведением своих соседей и учитывал его с тем, чтобы играть нужную роль в общем процессе. Такая картина предполагает наличие корреляций, т. е. статистически воспроизводимых соотношений между удаленными частями системы. Характерные размеры ячеек Бенара в обычных лабораторных условиях находятся в миллиметровом диапазоне (10‑1
см), в то время как характерный пространственный масштаб межмолекулярных сил приходится на ангстремный диапазон (10‑8
см). Иначе говоря, отдельная ячейка Бенара содержит что-то около ~1021
молекул. Тот факт, что такое огромное число частиц может демонстрировать когерентное поведение, несмотря на случайное тепловое движение каждой из частиц, является одним из основных свойств, характеризующих возникновение сложного поведения.
Однако этим не исчерпывается все то удивительное, что связано с ячейками Бенара. С одной стороны, такой эксперимент характеризуется идеальной воспроизводимостью, поскольку при одних и тех же условиях превышение некоторого критического значения всегда приводит к возникновению конвекционной картины. С другой же стороны, как видно из рис. 1, вещество структурируется в ячейки с попеременно право- и левовращательным движением. Однажды установившись, направление вращения в дальнейшем сохраняется. Как только температура превышает критическую появляется ячеистая структура течения. Таким образом, это явление подвержено строгому детерминизму. Напротив, направление вращения в ячейках непредсказуемо и неуправляемо. Лишь случай в виде тех или иных возмущений, доминирующих в момент проведения эксперимента, решает, каким будет вращение в данной ячейке — право- или левовращательным. Таким образом, можно прийти к удивительному сотрудничеству между случайностью и определенностью, наводящему на мысли об аналогичном дуализме, известном в биологии со времен Дарвина (мутация—естественный отбор). В области физики такой дуализм до сих пор наблюдался лишь при квантовомеханическом описании микроскопических явлений.
Самоорганизация в химии на примере реакции Белоусова-Жаботинского
Собственно реагенты, участвующие в реакции Белоусова-Жаботинского (сокращенно БЖ), не представляют собой ничего особенного. Типичный препарат состоит из сульфата церия Ce2
(SO4
)3
, малоновой кислоты CH2
(COOH)2
и бромата калия KВгОз
, растворенного в серной кислоте. Реакция управляется изменением скоростей, с которыми химические вещества поступают в систему (или выбывают из нее), меняя тем самым время пребывания этих веществ в реакционном объеме. Очень большие времена пребывания реагентов приводят по существу к реализации замкнутой системы, и в таких условиях можно ожидать, что поведение системы будет подобно равновесному, характеризуемому детальным равновесием. Уменьшая время пребывания, мы не допускаем полного выравнивания скоростей прямой и обратной реакций. При этом можно ожидать, что поведение системы будет неравновесным. Именно это и показывает эксперимент. В случае очень больших времен пребывания в системе достигается однородное стационарное состояние — концентрации остаются постоянными во времени. Это типичное состояние, весьма привычное химикам, наделено всеми качественными свойствами химического равновесия. Оно является аналогом режима теплопроводности, реализуемого в системе Бенара при небольшой разности температур между пластинами.
Если теперь уменьшить время пребывания, мы встретимся с совершенно иным типом поведения. В какой-то момент времени вся система внезапно окрашивается в голубой цвет (если в качестве красящего вещества используется ферроин), что указывает на избыток ионов Fe3+
(или Се4+
). Спустя несколько минут (или в зависимости от условий—долю минуты) голубой цвет сменяется красным, указывая на избыток ионов Fe2+
(или Се3+
). Этот процесс так и продолжаетс
Самоорганизация в геологии
Во многочисленных геологических отложениях для целого ряда пространственных масштабов наблюдается занятная регулярность структур, возникших путем минерализации: метаморфные слои (мм—м), граниты (см), агаты (мм—см) и т. д. Согласно традиционным взглядам, эти структуры объясняются «последовательными» явлениями, обусловленными сменами времен года или климата. Однако выясняется, что более удовлетворительной является интерпретация, основанная на представлениях о нарушении симметрии за счет переходов, вызванных неравновесностью системы. Если такая точка зрения в дальнейшем подтвердится, то это очень сильно повлияет на интерпретацию происхождения многочисленных геологических отложений.
Пороговые явления в клеточной динамике на примере роста опухолей.
В этом случае исходно малая популяция «зачинщиков беспорядка», например определенные клетки некоторой ткани, по тем или иным причинам, выясняемым молекулярной биологией, потеряла свои физиологические функции и стала злокачественной. В дальнейшем они норовят захватить весь организм за счет быстрой пролиферации, однако организм старается оказать им противодействие, посылая на «поле боя» специализированные клетки-убийцы Дальнейшая судьба организма решится именно в результате возникающей конкуренции между злокачественными клетками и клетками-убийцами—то ли «зачинщики беспорядка» будут отброшены, то ли, наоборот, они победят Анализ этой конкуренции позволяет прийти к важному выводу: отбрасывание «зачинщиков» или их победу можно рассматривать как пороговое явление.
Самоорганизация в человеческих сообществах
Ежедневный опыт учит нас, что приспособляемость и пластичность поведения — два основных свойства нелинейных динамических систем, способных совершать переходы вдали от равновесия, относятся к числу наиболее заметных особенностей человеческих сообществ. Поэтому естественно ожидать, что наиболее адекватными для социальных систем будут динамические модели, учитывающие эволюцию и изменчивость.
При построении динамической модели сообщества людей прежде всего следует четко уяснить, что помимо определенной внутренней структуры нужно учитывать довольно жестко заданное внешнее окружение, с которым рассматриваемая система обменивается веществом, энергией и информацией. Вообразим, например, некий город, в который непрерывно поступает сырье и сельскохозяйственная продукция и из которого вывозятся произведенные товары. Одновременно средства связи и массовой информации держат различные группы в курсе текущих событий и современных тенденций.
Эволюция таких систем определяется поведением действующих лиц во взаимодействии с условиями, накладываемыми внешней средой. Именно в этом состоит уникальная специфика гуманитарных систем. В отличие от молекул — основных «актеров» в физико-химических системах и даже в отличие от муравьев или членов других животных сообществ человек всегда строит свои собственные проекты, имеет свои собственные желания. Некоторые из них основаны на предвидении разумного возможного будущего, я также на догадках относительно желаний других действующих лиц. По этой причине различие между желательным и действительным поведением выступает как внешнее условие нового типа, определяющее контуры динамики наряду с внешней средой. Основной вопрос, который здесь можно поставить, таков: способна ли при таких условиях эволюция в целом привести к своего рода глобальному оптимуму, или же, напротив, каждая гуманитарная система представляет собой уникальную реализацию некоторого сложного стохастического процесса, для которого никоим образом невозможно установить правила заранее? Иными словами, достаточен ли опыт прошлого для предсказания будущего, или же высокая степень непредсказуемости будущего составляет саму суть человеческих поступков, будь то на уровне изучения индивидуума или на уровне коллективного сотворения истории? Рассмотреные в
[3] представления свидетельствуют о том, что ответ на этот вопрос должен скорее склониться ко второй альтернативе.
Пригожин рассмотривает развитие городского центра, в котором определенные территории специализируются на конкретной экономической деятельности и где соседние районы различаются не только по жизненным условиям, но и по доступности рабочих мест и различных видов услуг. Выделяются две основные группы населения, состоящие из трудящихся типа так называемых синих и белых воротничков. Что касается рабочих мест, то они могут относиться к производству товаров для местного потребления или на экспорт, к так называемым третичным функциям (основные и специальные виды обслуживания населения), а также к области финансовой деятельности. Основными переменными, определяющими состояние системы, являются количества представителей k-й группы в точке i, обозначаемые X (k=1,2), а также соответствующие рабочие места jРазличные варианты выбора, предлагаемые каждому человеку, находятся в точках i, которые можно считать центрами некоторой решетки, представляющей имеющееся п нашем распоряжении пространство. Механизмы взаимодействия различных переменных суммированы на рис. 2. Подробно вывод нелинейных функций рассматривается в [3].
Дополнительно можно описать необходимость развития промышленности в центрах пересечения торговых путей и по возможности недалеко от мест с уже развитой промышленностью.
Данная модель рассматривает эволюцию как автономный процесс, течение которого в каждый момент времени определено механизмами взаимодействия между различными действующими лицами. Внешние ограничения учитываются с помощью различных параметров, а начальное условие можно рассматривать как выражение влияния случайности или систематического внешнего вмешательства вроде «планирования». В качестве альтернативного сценария, более близкого к реальности, можно позволить системе эволюционировать в течение некоторого времени, затем грубо изменить ее состояние путем внедрения нового вида деятельности или какой-либо иной инновации, затем снова позволить системе следовать ее собственной, автономной динамике до момента введения новой инновации и т. д. Ввиду сильной нелинейности уравнений можно ожидать, что возникнет несколько ветвей решений со сложным набором бифуркационных явлений. Различие в начальных условиях приведет к тому, что система может оказаться в областях притяжения различных режимов, что равносильно включению различных типов эволюции, различных вариантов истории. Тот факт, что из многих возможных регистрируется некоторый конкретный исторический вариант, совсем не обязательно является отражением усилий некоторого «составителя глобального плана», пытающегося оптимизировать какую-то всеобщую функцию — это может быть простым следствием устойчивости и жизненности данного конкректного типа поведения.
Из этой модели вытекает также и следующий, очень интересный результат. Если в какой-то момент времени в систему вводится новый вид деятельности, то в дальнейшем он будет расширятся и стабилизироваться. Если место выбрано удачно, то вдальнейшем это может сделать безуспешными аналогичные попытки, совершенные поблизости. Однако, если тот же вид деятельности попытаться внедрить в какое-то другое время, то успех наблюдается отнюдь не всегда – инновация может полностью регрессировать и тем самым оказаться сугубо убыточной. Этот результат иллюстрирует опасности краткосрочного узкого планирования, основанного на непосредственной экстраполяции прошлого опыта. Подобные статические, неперспективные методы грозят обществу застоем и через какое-то время катастрофой. Основным источником, позволяющим обществу существовать дллительное время, обновляться и находить самобытные пути развития, являются его адаптационные возможности.
Философское значение синергетики.
Синергетика предполагает качественно иную картину мира по сравнению с теми, которые лежали в основе как классического, так и неклассического естествознания (первая половина XX века). Образ мира предстает как совокупность нелинейных процессов. Состояние неравновесности систем ведет к порядку и беспорядку, тесно сочетающихся друг с другом. Неравновесные системы обеспечивают возможность возникновения уникальных событий, возникает история универсума. Время становится неотъемлемой константой эволюции, ибо в нелинейных системах в любой момент времени может возникнуть новый тип решения, не сводимый к предыдущему.
И.Пригожин делает неожиданный и парадоксальный вывод о том, что в результате развития идей синергетики происходит сближение универсума как внешнего мира и универсума как внутреннего мира человека. В мире, основанном "на нестабильности и созидательности", человечество вновь оказывается в самом центре законов мирозданья. Как во внутреннем, так и во внешнем мире человек должен выбирать, а, следовательно, нести нравственную ответственность за поступок. Время никогда не предстает в готовом, совершенном виде, оно конструируется в каждый данный момент, и человечество может принять участие в этом конструировании [4].
Важное философское значение имеют следующие методологические выводы синергетики:
— невозможно традиционными детерминистскими методами описывать эволюцию сложноорганизованных систем;
— развитие этих систем выявляет возможность альтернативных путей, что предполагает свободу выбора и ответственность человечества;
— невозможен абсолютный контроль над какой-либо сферой реальности, в том числе и над развитием общества, провозглашенных традиционной наукой;
— в критических точках (точках бифуркации) неустойчивости социальных систем деятельность каждого человека или группы лиц может иметь решающее значение в макросоциальных изменениях;
— возрастает ответственность человечества за судьбы универсума, ибо оно в состоянии целенаправленно избегать бифуркационных состояний, особенно в социальной и экологической областях, существенно влиять на коэволюцию природы и общества
Заключение
"Не нами выбран мир, который нам приходится изучать; мы родились в этом мире и нам следует воспринимать его таким, каким он существует, приспосабливая к нему, насколько возможно, наши априорные представления. Да, мир нестабилен. Но это не означает, что он не поддается научному изучению. Признание нестабильности — не капитуляция, напротив — приглашение к новым экспериментальным и теоретическим исследованиям, принимающим в расчет специфический характер этого мира. Следует лишь распроститься с представлением, будто этот мир — наш безропотный слуга. Мы должны с уважением относиться к нему. Мы должны признать, что не можем полностью контролировать окружающий нас мир нестабильных феноменов, как не можем полностью контролировать социальные процессы (хотя экстраполяция классической физики на общество долгое время заставляла нас поверить в это)". В.И.Пригожин [4]
"Наука - это диалог между человеком и природой, - диалог, а не монолог, как показали концептуальные трансформации, происшедшие за несколько последних десятилетий. Наука стала частью поисков трансцендентального, общих многим видам культурной деятельности: искусству, музыке, литературе…
Наше время - время ожиданий, беспокойства, время бифуркации. Далекий от мысли предвещать "конец" науки, я верю, что наше время станет свидетелем рождения нового видения, новой науки, краеугольные камни которой будут включать в себя и стрелу времени, науки, которая сделает нас и нашу творческую деятельность выражением фундаментальной тенденции во Вселенной. Я хочу, чтобы вы разделили со мной это чувство." В.И.Пригожин [5]
Литература
1. В.И.Аршинов, В.Э.Войцехович, СИНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ЗНАНИЕ: между сетью и принципами, www.iph.ras.ru:8100/~mifs/rus/vz_ar.htm
2. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М., 1979.
3. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М., 1990.
4. И.Пригожин, Философия нестабильности, Вопросы философии, 6, 46-57 (1991), http://www.accessnet.ru/vivovoco/VV/PAPERS/NATURE/NONSTAB.HTM
5. И.Пригожин, Наука, Разум и Страсть, Знание-Сила, 9, 21 (1997), http://www.accessnet.ru/vivovoco/VV/PAPERS/NATURE/VV_SC31W.HTM
6. И.Пригожин, Постижение Реальности, Природа, 6, 3 (1998), http://www.accessnet.ru/vivovoco/VV/PAPERS/NATURE/PRIG.HTM
7. С.П.Капица, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий, "Синергетика и прогнозы будущего", http://www.iph.ras.ru:8101/~mifs/kkm/Vved.htm
8. В. И. Коротков, Развитие Концепции Ноосферы На Основе Парадигмы Синергетики, http://www.nic.nw.ru/noo/Korotkov/Korotkov.html
9. Д.Л.Дружинин, В.Г.Ванярхо, Синергетика и Методология Системных Исследований, http://sr.isa.ac.ru/sr-88/druschin.html
10. О.И. Архангельский, Парадигма формирования технического развития, http://www.bief.ru/publish/source/991/991-7.htm
Приложение А.
Случайна ли зависимость температуры воздуха от времени?
С помощью предложенной Пригожиным методики [3] была оценена информативность недельной температурной зависимости (с 6.04 по 13.04.2000 г) в г.Обнинске. Данные взяты с http://typhoon-tower.obninsk.org.
"Одномерная" зависимость температуры от времени носит в себе следы всех других переменных, участвующих в описании динамики системы. Если найти подходящий набор переменных, образующих фазовое пространство, с помощью методов теории динамических систем можно получить размерность аттрактора, представленного временной последовательностью. Полученные результаты сравниваются со случайным сигнал-шумом.
Табл. 1. Зависимость температуры воздуха от времени
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| T,°C | 5.2 | 9.1 | 4.9 | 3.1 | 5.8 | 12.7 | 8.9 | 7.4 | 8.6 | 9.0 | 7.4 | 5.8 | 8.8 | 9.0 |
| t | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
| T,°C | 6.5 | 4.4 | 8.0 | 11.4 | 7.5 | 5.9 | 11.4 | 14.6 | 8.6 | 1.8 | 13.1 | 15.0 | 7.5 | 3.9 |
Получившаяся размерность аттрактора »3.5. Тот факт, что размерность аттрактора выражается нецелым числом, служит ключом к пониманию внутренней изменчивости и непредсказуемости климатической системы, поскольку обе эти особенности относятся к основным свойствам хаотической динамики.
Необходимо отметить, что несмотря на сложность температурной зависимости, наблюдается четкое различие между временной зависимостью температуры и белым шумом.