Содержание
Введение
Зенон о бесконечной величине
Аристотель о потенциальной и актуальной бесконечности
Николай Кузанский о бесконечном
Больцано "Парадоксы бесконечного"
Георг Кантор о бесконечном множестве чисел
Заключение
Список литературы
Введение
Понятие бесконечности является одним из наиболее важных и в то же время "таинственных" в науке. Еще в древности многие философы и математики задумывались над противоречивостью этого понятия. Как пишет Ф. Энгельс, "противоречием является уже то, что бесконечность должна слагаться из одних только конечных величин, а между тем это именно так. Ограниченность материального мира приводит к не меньшим противоречиям, чем его безграничность, и всякая попытка устранить эти противоречия ведет к новым худшим противоречиям. Именно тому,что бесконечность есть противоречие, она представляет собой бесконечный, без конца развертывающийся во времени и пространстве процесс. Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности.
В математике противоречия, связанные с идеей бесконечного числа, обострились после создания в конце XIXв. теории бесконечных множеств и последовавшего вскоре парадоксов этой теории. В то время как многие ученые, не обращая внимания на такие парадоксы, широко используют в своих работах теорию множеств, другие подвергают теоретико-множественные методы в математике жестокой критике. Споры, связанные с теорией множеств, стали еще ожесточеннее после того, как группа французских математиков, пишущих под псевдонимом Николя Бурбаки, попыталась построить все здание математической науки, опираясь лишь на понятие множества. Эта попытка, восторженно встреченная рядом математиков и оказавшая значительное влияние на развитие науки XXв., подвергалась осуждению со стороны других ученых за излишнюю формализацию, попытку оторвать математическую науку от питающих ее животворных практических приложений.
Введение актуальной бесконечности как базисного научного понятия в математику, как почти всякое значительное нововведение в науке, создало столько же новых проблем, сколько и позволило решить старых. Точнее говоря, создало, конечно же, больше. Однако с самого начала удалось провести аккуратное различение понятий в области, где столь долгое время было много путаницы.
Именно благодаря данной проблеме философия и математика сблизились, так как общей целью этих наук является достижение истинного знания по бесконечной величине. Не случайно же понятие бесконечного исследовалось в работах Больцано и Кантора, которые были как философами, так и математиками. Поэтому данная тема всегда актуальна.
Определившись с темой работы, передо мной возникла цель - исследовать свойства бесконечной величины и сопоставить понятия потенциальной и актуальной бесконечности. Для реализации поставленной цели были решены следующие задачи: рассмотреть апории Зенона, для доказательства которых он активно применял свойство бесконечной величины; объяснить трактовку бесконечной величины у Кузанского, показать выявленные им свойства бесконечной величины и сопоставить актуальную и потенциальную бесконечность Кузанского; узнать о первом разделении актуальной и потенциальной бесконечности, введенное Аристотелем; а также исследовать свойства бесконечной величины в теориях бесконечных множеств философов - математиков Больцано и Кантора.
Для подготовки работы я активно использовала работы самих философов, а также литературу, содержащую основные положения работ философов и их оценку.
Зенон о бесконечной величине
Зенон получил наибольшую известность за создание опорий, в переводе означающих противоречия. Благодаря им почти каждый последующий философ упоминал его имя в своих сочинениях, пытаясь эти опорий опровергнуть или привести доводы в их пользу.
Первая опория: "Величина частей сущего оказывается зараз и бесконечно малой и бесконечно великой. А именно, имея вне себя бесконечное множество всех прочих частей, она составляет бесконечно малую частицу всего; но, с другой стороны, слагаясь сама из бесконечного множества частиц, она представляет величину бесконечно великую" [3, c.8]
Какие же следствия вытекают отсюда? Во-первых, вещей бесконечное множество (так как сущее делимо до бесконечности), и, во-вторых, каждая вещь занимает бесконечное пространство (вследствие бесконечности своих частей). Каждая вещь (как и любая часть ее) оказывается бесконечно великой по протяжению, сущее же, как совокупность всех вещей, будет бесконечным множеством бесконечно больших пространственных величин.
С другой стороны, каждая частица бесконечно мала, так как она отделена от всякой другой частицы бесконечным множеством частиц. Если отделить ее от всех других частиц, то она сама вовсе не будет иметь частей и величины. Дейссен "исправляет" первую антиномию Зенона следующим образом: "Тело, состоящее из множества частиц, было бы 1) бесконечно малым и 2) бесконечно большим. Оно было бы бесконечно малым, так как его можно делить до бесконечности: оказывается, что тело состоит из суммы бесконечно малых частиц; сумма же бесконечно малых частиц может дать лишь бесконечно малое. Тело было бы бесконечно большим, так как при беспрерывном делении мы получим, наконец, бесконечно много частиц; если из последних мы станем слагать тело, то, сколько бы их мы ни взяли, всегда будет оставаться еще бесконечное множество их, таким образом, вследствие того, что число их неисчерпаемо, мы можем увеличивать тело до бесконечной величины." [3, c.10].
Переходим ко второй антиномии. "Если допустить существование многих вещей, то окажется, что:
1) вещей конечное число (тезис) и 2) вещей бесконечное число (антитезис). Ход аргументации сводится к следующему. Тезис: Если существует множество вещей, то их столько, сколько есть, не больше и не меньше. Следовательно, они существуют в определенном (ограниченном) количестве. Антитезис: Если вещей много, то их должно быть бесконечное число. В самом деле, допустим существование только двух вещей. Между двумя вещами необходимо должна лежать какая-либо третья вещь, их разделяющая, между последней и первыми опять новые вещи, и так далее до бесконечности. В противном случае, две смежные вещи слились бы в единство, образовывали бы одну вещь (а не две). Таким образом, двух не существует без трех, трех без пяти, пяти без девяти и так далее до бесконечности (так как число разделяющих вещей оказывается равным бесконечному ряду 1, 2,4,8,16 и т.д.)" [3, c.12]. В первой и второй антиномии Зенон рассматривает понятия единицы, конечного количества и количественной бесконечности. Диалектика числа у Зенона дает следующие результаты: единица = нулю, нуль = бесконечному числу, конечное количество (два) = бесконечному числу, часть = целому. Таким образом, понятие числа противоречиво, его применение незакономерно с точки зрения разума, число должно быть отнесено к области мнения и иллюзии.
Против пространства Зенон дает и специальное доказательство: "Все существующее находится где-нибудь, то есть в пространстве. А если так, то и само пространство, чтобы существовать, тоже должно находиться где-нибудь, т.е. в другом пространстве. Это второе пространство в свою очередь должно находиться в третьем пространстве, третье в четвертом и так далее. Таким образом, получим пространство пространства и т.д. до бесконечности. Следовательно, приходится или признать бесконечное число пространств, заключенных одно в другом, или же совсем отрицать существование пространства" [3, c.14].
Как аргумент против пространства, так и аргумент против истинности чувственного восприятия заключают в себе опровержение множественности вещей. Аргумент против реальности чувственного восприятия известен под названием "пшенного зерна". В беседе с Протагором Зенон указывает: "между тем, как ни одно целое зерно, ни одна десятитысячная часть зерна при падении не издают звука, медимн пшена, падая, производит шум. Так кажется нам согласно свидетельству внешних чувств; однако разум требует, чтобы мы приняли что-либо одно: или и одно зерно и одна десятитысячная часть зерна при падении тоже издают звук, или и медимн пшена не производит шума. Ведь, в противном случае, мы получим, что сумма нулей равна не нулю, а некоторой положительной величине" [3, c.17].
Наибольшей известностью пользовались всегда Зеноновы доказательства против движения, которых до нас дошло пять:
1) доказательство общего характера,
2)"дихотомия",
3)"Ахиллес",
4)"стрела" и 5)"стадий".
Первое доказательство против движения весьма кратко: "Движущийся предмет не движется ни в том месте, где он находится, ни в том, где его нет"
[3, c.21]. На вопрос, где происходит движение, должно ответить: нигде, так как тело не может двигаться там, где его нет; с другой стороны, занимая всегда пространство, равное своему объему, оно не может двигаться в этом месте, но покоится в нем.
Сущность доказательства, известного под названием "дихотомии", сводится к признанию невозможности движения на том основании, что движущийся предмет, прежде чем достигнуть какого-либо места, должен предварительно пройти половину пути, половину половины и так далее до бесконечного числа раз. Невозможно пройти бесконечное в конечное время.
Доказательства этой апории (как и ряд других его аргументов) покоится на невозможности представить себе законченной бесконечность. Пусть время и пространство одинаково бесконечно делимы: переход от одного пункта к другому делается через это вдвойне неосуществимым. Мы получаем бесконечное количество пространственных точек, с одной стороны, моментов времени, с другой. Но мысль не может представить себе законченность бесконечного: непонятно, как может быть осуществлено бесконечное число актов движения, как может быть последовательно быть занятым бесконечное число положений в пространстве, и как может, наконец, придти к концу бесконечное число моментов времени. Поэтому рассматриваемое нами доказательство Зенона скорее лишь упрощает условия реализации движения, выдвигая лишь один момент - бесконечную делимость пространства.
Третья опория имеет вид: "Быстроногий Ахиллес не может догнать черепахи, так как каждый раз, когда он достигает занимаемого ею места, черепаха успевает несколько подвинуться вперед. Таким образом, чтобы настичь черепаху, Ахиллесу необходимо занять бесконечное множество мест, которые занимала черепаха" [3, c.22]. В отличие от "дихотомии" "Ахиллес" предполагает одинаково бесконечно делимыми как пространство, так и время: он поднимает ту же проблему, но в более усложненном виде. Действительно, главная трудность аргумента "Ахиллес" заключается в непонятности, как возможно преодоление того бесконечно малого пространства, которое всегда будет отделять Ахиллеса и черепаху, и, как справедливо указывает Шнейдер, решение вопроса требует нарушения параллелизма бесконечно делимых пространства и времени: Ахиллес настигнет черепаху, если в бесконечно малый промежуток времени он пройдет не бесконечно малое расстояние. Но это противоречит нашему убеждению, что движение требует времени. Итак, остается выбор между безвременным движением и движением бесконечным.
бесконечная величина зенон аристотель
Четвертое доказательство против движения - "стрела" утверждает: "Летящая стрела покоится" [3, c.25]. В основе этого доказательства лежала предпосылка, что время есть сумма моментов, а пространство - сумма точек. Это доказательство могло иметь двоякую форму, смотря по тому, указывалось ли на то, что стрела постоянно находится в одном месте, или в одном моменте времени. Первая форма: "в каждом пункте пути летящая стрела занимает одно определенное место, равное своему объему. Двигаться же невозможно, если занимать равное себе место (ибо для движения предмет нуждается в пространстве, большем себя). Если же в каждом пункте пути тело находится в покое, то движение тела слагается исключительно из состояний покоя. Итак, ряд состояний покоя вместе образуют движение (сумма нескольких, так сказать, нулей движения дает некоторую положительную величину)". Вторая форма: "летящая стрела покоится, так как она всегда находится в одном каком-нибудь (настоящем каждый раз) моменте времени. Момент времени неделим, и потому в течение его стрела не может изменить своего положения: в противном случае, момент времени оказался бы разделенным соответственно двум положениям стрелы в этот момент. А так как время состоит только из отдельных моментов, то движущийся предмет всегда находится в покое" [3, c.28-29].
Пятое возражение против движения - "стадий": "С противоположных сторон движутся по параллельным линиям с равною скоростью равные массы и проходят мимо неподвижной третьей массы такой же длины. Оказывается, что одна и та же точка, движущаяся с одной и той же скоростью, пробегает одно и то же расстояние не в одинаковое время, но и в половинное время и в двойное, смотря по тому, с какого пункта мы будем наблюдать это движение. Таким образом, получаем нелепое следствие: половина равна целому" [3, c.33]. Аргумент Зенона вскрывает относительность движения. Иначе представляется положение вещей, если смотреть на движение каждого тела в отдельности, и иначе, если наблюдать их движения вместе относительно друг друга.
Зенон использовал в апориях свойство бесконечной величины к постоянному увеличению. Он показал, что это свойство потенциальной бесконечности опровергает значимые понятия физики (пространство, время, скорость, движение), математики (число) а самое главное противоречат принятому человечеством восприятию окружающего мира. Поэтому аргументы Зенона еще больше создали загадок, тайн и противоречий вокруг свойств бесконечности.
Аристотель о потенциальной и актуальной бесконечности
В учении о бесконечном Аристотелю принадлежит заслуга различения потенциальной и актуальной бесконечности, что он мог сделать, поскольку ввел в философию понятия возможности (потенциальности) вообще и действительности (актуальности) вообще. Представление о бесконечном было уже присуще людям во времена Аристотеля. Ему оставалось лишь найти причины этого представления и подвергнуть его мощному воздействию своего аналитического ума.
Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность.
Аристотель отрицает актуальную бесконечность, под которой он понимает бесконечное чувственно воспринимаемое тело и вeличину. Он признает лишь потенциальную бесконечность. Величина может быть лишь потенциально бесконечной, превосходя все своей малостью, будучи непрерывно делимой (в отличие от числа, которое, имея предел в направлении к наименьшему, не имеет предела, будучи мыслимым, в направлении к наибольшему, величина имеет предел в отношении к наибольшему, но не имеет предела в отношении к наименьшему). Но и число не может быть актуально бесконечным.
Аристотель понимает бесконечность как процесс - не может быть бесконечного числа, но всегда может быть число, большее данного. Не может быть и наименьшей величины, но всегда может быть величина, меньшая данной. Эти весьма плодотворные мысли Аристотеля могли бы стать основой дифференциального исчисления, но так и не стали. Высшая математика также отрицает бесконечно малое и бесконечно большое как законченное, застывшее, она понимает бесконечно малое как то, что может быть меньше любой постоянной величины, а бесконечно большое как то, что может быть больше любой постоянной величины. Подводя этому итог, Аристотель говорит: "То, вне чего всегда есть что-нибудь, то и есть бесконечное". Все это не укладывается в ту статическую картину мира, о которой мы говорили выше в связи с математикой. Поэтому Аристотель относится к бесконечности со страхом, он говорит, что бесконечное непознаваемо и неопределенно.
Начнем с понятия бесконечности как результата сложения конечных величин. Вводя это понятие, Аристотель сразу же отбрасывает бесконечность пространства. Но время - бесконечно. С указанным различием связаны понятия актуальной и потенциальной бесконечности. Аристотель отвергает возможность чувственно воспринимаемогобесконечного по размерам тела (актуально бесконечного тела), но допускает существование потенциальной бесконечности. Ее нельзя понимать в том смысле, в каком, например, статуя потенциально содержится в меди. Такой взгляд означал бы, что потенциальная бесконечность в конце концов превращается в актуальную. Потенциально бесконечное все время остается конечным и все время меняется, причем этот процесс изменения может продолжаться как угодно долго.
"Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным".
Актуальная бесконечность - это бесконечные размеры тела в тот момент, когда оно фигурирует как чувственно воспринимаемый объект. Иными словами, это бесконечное пространственное расстояние между пространственными точками, связанными в единый объект в некоторый момент времени. Это - чисто пространственное, одновременное многообразие. Таким одновременным многообразием бесконечных размеров реальное тело, по мнению Аристотеля, не может быть. Реальным эквивалентом бесконечности может быть бесконечное движение, процесс, происходящий в бесконечном времени и состоящий в бесконечном возрастании некоторой величины, все время остающейся конечной. Таким образом, реальным эквивалентом обладает понятие потенциальной бесконечности, протекающей во времени. Нет бесконечного "теперь", но есть бесконечная последовательность конечных "теперь".
Актуальная бесконечность - это некоторая обладающая реальным физическим бытием величина, достигшая бесконечного значения в данный момент. Если выражение "данный момент" понимать буквально, то под актуально бесконечным объектом следует подразумевать мир, существующий в течение мгновения, иначе говоря, пространственное многообразие. Аристотель, говоря об актуальной бесконечности, имеет обычно в виду бесконечное пространство, вернее, бесконечную протяженность реального чувственно постигаемого тела.
"А что бесконечное существует, уверенность в этом проистекает у исследователей прежде всего из пяти [оснований]: [1] из времени (ибо оно бесконечно); [2] из разделения величин (ведь и математики пользуются бесконечным); [3] далее, что только в том случае не прекратится возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда берется возникающее; [4] далее, из того, что ограниченное всегда граничит с чем-нибудь, так что необходимо, чтобы не было никакого предела, раз одно всегда необходимо граничит с другим [5]. Но больше всего и главнее всего - что составляет общую трудность для всех - на том основании, что мышление [никогда] не останавливается [на чем-нибудь] и число кажется бесконечным, и математические величины, и то, что находится за небом. Рассмотрение бесконечного имеет свои трудности, так как и отрицание его существования, и признание приводят ко многим невозможным [следствиям].
Далее, каким образом существует бесконечное: как сущность или как свойство, само по себе присущее некой природе? Или ни так, ни этак, но все же
бесконечное существует - или как бесконечное [по величине], или как бесчисленное множество. Для физика же важнее 2<ма
всего рассмотреть [вопрос], существует ли бесконечная чувственно-воспринимаемая величина.
И вот, прежде всего надо определить, в скольких значениях говорится о бесконечном. В одном значении - это то, что не может быть пройдено вследствие невозможности по природе сделать это, подобно тому как нельзя видеть голоса; в другом же [значении] - то, прохождение чего не может быть завершено - потому ли, что это едва ли выполнимо, или потому, что, будучи по природе проходимым, оно не имеет конца прохождения или предела. Затем все бесконечное [может быть таковым] или в допущении прибавления, или в отношении деления, или в обоих [отношениях].
Далее, как возможно бесконечному быть чем-то, что существует само по себе, если не существуют сама по себе число и величина, которым бесконечное присуще как некое состояние? Ведь ему меньше необходимости существовать самому по себе, чем числу или величине. Следовательно, оно не имеет частей и неделимо. Однако невозможно бесконечному существовать в действительности, ведь в этом случае ему необходимо быть неким количеством. Бесконечное, следовательно, существует как свойство.
А что много невозможного получается, если вообще отрицать существование бесконечного, - [это тоже] очевидно. Тогда и для времени будет какое-то начало и конец, и величины не [смогут быть] делимы на величины, и численный ряд не будет бесконечным. Когда при таком положении дела начинает казаться, что ни одно [из решений] неприемлемо, возникает нужда в третейском судье, и [в конце концов] становится очевидным, что в каком-то смысле [бесконечное] существует, а в другом же нет.
В самом деле, о бытии можно говорить либо в возможности, либо в действительности, а бесконечное получается либо прибавлением, либо отнятием. Что величина не может быть бесконечной актуально, об этом уже сказано, но она может быть [беспредельно] делимой (так как нетрудно опровергнуть [учение] о неделимых линиях); остается, таким образом, бесконечное в возможности.
Бесконечное путем прибавления в некотором смысле есть то же самое, что и [бесконечное] путем деления, а именно: путем прибавления с конечной величиной происходит обратное: в какой мере она при делении очевидным образом идет к бесконечности, в такой же при прибавлении она будет казаться идущей к определенной [величине]. Если, взявши от конечной величины определенную часть, прибавлять [к ней дальнейшие части, находящиеся друг к другу] в одинаковом отношении, но [только] не прибавлять повторно ту же самую часть целого, то [исходную] конечную величину нельзя будет пройти [до конца]; если же настолько увеличить отношение, чтобы прибавлять все время одну и ту же величину, то пройти можно, так как всякую конечную величину [всегда] можно исчерпать любой определенной величиной. Иным образом бесконечного нет; оно существует лишь так - в возможности и при уменьшении. И бесконечное путем прибавления, которое мы назвали в некотором смысле тождественным бесконечному путем деления, существует в возможности таким же образом, так как вне его всегда можно что-нибудь взять. Однако оно не превзойдет любой определенной величины, как превосходит бесконечное путем деления всякую определенную величину, меньше которой оно всегда [в конце концов] будет. Таким образом, превзойти всякую величину путем прибавления нельзя даже в возможности, если только не существует бесконечного в действительности в смысле свойства [какого-то тела].
Надо признать основательным, что бесконечное путем прибавления не представляется таким, чтобы оно превосходило всякую величину, а бесконечное при делении именно таково. Ибо поскольку нечто может существовать в возможности, постольку оно допустимо и в действительности. Таким образом, так как ни одна чувственно-воспринимаемая величина не бесконечна, нет возможности превзойти любую определенную величину.
Вообще же очевидно, что невозможно говорить о существовании бесконечного тела и одновременно об определенном месте для тел, если всякое чувственно-воспринимаемое тело имеет или тяжесть, или легкость, и если оно тяжелое, то по природе перемещается к центру, если же легкое - вверх: необходимо ведь, чтобы [то же было] и с бесконечным, но ему всему невозможно испытывать какое-либо из этих двух [перемещений], а его половинкам и то и другое, ибо как его разделишь? Далее, всякое чувственно-воспринимаемое тело находится в [каком-нибудь] месте, виды же и различия места - вверху и внизу, спереди и сзади, справа и слева определены и в самом целом. В бесконечном же [теле] такие различия невозможны. А вообще, если невозможно существование бесконечного места, а всякое тело находится в каком-то месте, то невозможно и существование какого-либо бесконечного тела. Следовательно, если никакое количество не может быть бесконечным, так как количество есть нечто определенное, например [длиной] в два локтя или три локтя (ведь это означает количество), то таким же образом [бесконечным не будет] то, что [находится] в месте, потому что оно "где-нибудь", а это значит вверху, или внизу, или в каком-либо ином из шести направлений, а каждое из них есть некоторый предел. Итак, что не может быть актуально бесконечного тела, ясно из сказанного.
Наше рассуждение, отрицающее актуальность бесконечного в отношении увеличения, как не проходимого до конца, не отнимает у математиков их исследования; ведь они теперь не нуждаются в таком бесконечном и не пользуются им: [математикам] надо только, чтобы ограниченная линия была такой величины, как им желательно, а в том же отношении, в каком делится самая большая величина, можно разделить какую угодно другую. Таким образом, для доказательств бесконечное не принесет им никакой пользы, а бытие будет найдено в [реально] существующих величинах".
Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальное бесконечное он сопоставлял с актуально бесконечным телом и не признавал. Но признавал потенциальную. Потенциально бесконечное все время остается конечным и все время меняется, причем этот процесс изменения может продолжаться как угодно долго. "Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным". Разделение актуальной и потенциальной бесконечности есть главная заслуга Аристотеля в этой области, которое поддерживалось всеми последующими философами.
Николай Кузанский о бесконечном
Одним из характерных представителей ренессансной философии был Николай Кузанский (1401-1464). Как и большинство философов его времени, он ориентировался на традицию неоплатонизма. Однако при этом он переосмыслил учение неоплатоников, начиная с центрального для них понятия единого. Он заявляет, что "единому ничто не противоположно", а отсюда делает характерный вывод: "единое есть все" - формула, звучащая пантеистически. Вот тут и появляется новый, возрожденческий подход к проблемам онтологии. Из утверждения, что единое не имеет противоположности, Кузанский делает вывод, что единое тождественно беспредельному, бесконечному.
В представлении Н. Кузанского Бог не является некоей персонифицированной личностью. Он есть Абсолют, Единое, которое находится вне всяких противопоставлений. Философ ищет понятие, которое могло бы описать единство противоположностей; так как понятия, для которых можно всегда найти им противоположные, конечны. Поэтому искомое понятие (для описания Бога) должно быть неконечным: "приступающий к Тебе должен возвыситься над всяким пределом и концом, над всем конечным" [7, c.45]. Бога он уподобляет пределу, в котором сходятся бесконечно большое и бесконечно малое.
Бесконечное - это то, больше чего ничего не может быть, Кузанский поэтому называет его "максимумом"; единое же - это "минимум". Николай Кузанский, таким образом, открыл принцип совпадения противоположностей - максимума и минимума. Актуальная бесконечность и есть совмещение противоположностей - единого и беспредельного.
"Когда исследование проводится в рамках вещей конечных, мы их можем сопоставить с чем-то знакомым для нас, и суждение о познаваемом вынести нетрудно. Но не так обстоят дела, когда исследование касается бесконечного. Бесконечность выходит за пределы всякой соразмерности, сходства и различия, ее нам не с чем сравнить, и поэтому она остается для нас неизвестной. Наш конечный разум, двигаясь путем уподоблений, не может постичь истину вещей. Ведь истина не бывает ни больше, ни меньше и не может быть измерена ничем, кроме как самой истиной.
Только благодаря непрерывному усилию познать Бога мы приходим к пониманию, что он непознаваем. Истина неуловима и непостижима в своей чистоте, но, несмотря на это, чем больше ученость в "незнании истины", тем ближе мы к ней подходим. Разум движется к истине, и этот процесс бесконечен, подобно тому, как вписанный в круг многоугольник при бесконечном увеличении числа сторон приближается к кругу, но кругом не становится. Так и разум никогда не сможет постичь истину до конца, хотя бесконечно будет приближаться к ней" [7, c.55-57].
"В математике все конечно, иначе там даже воображением представить было бы ничего нельзя. Если мы хотим воспользоваться конечным как примером для восхождения к максимуму просто, то надо, во-первых, рассмотреть конечные математические фигуры вместе с претерпеваемыми ими изменениями; потом перенести эти основания соответственно на такие же фигуры, доведенные до бесконечности; в-третьих, возвести эти основания бесконечных фигур еще выше, до простой бесконечности, абсолютно отрешенной уже от всякой фигуры. Только тогда наше незнание непостижимо осознает, как нам, блуждающим среди загадок, надлежит правильнее и истиннее думать о наивысшем.
Итак, я утверждаю, что если бы существовала бесконечная линия, она была бы прямой, она была бы треугольником, она была бы кругом, и она была бы шаром; равным образом, если бы существовал бесконечный шар, он был бы кругом, треугольником и линией; и то же самое надо говорить о бесконечном треугольнике и бесконечном круге.
Во-первых, что бесконечная линия будет прямой, очевидно: диаметр круга есть прямая линия, а окружность - кривая линия, большая диаметра; если эта кривая тем меньше в своей кривизне, чем большего круга окружностью она является, то окружность максимального круга, больше которого не может быть, минимально крива, а стало быть, максимально пряма. Минимум совпадает таким образом с максимумом. Даже на глаз видно, что максимальная линия с необходимостью максимально пряма и минимально крива. Так мы видим, что максимальная и бесконечная линия по необходимости совершенно прямая и кривизна ей не противоположна; мало того, кривизна в этой максимальной линии есть прямизна. Это первое, что требовалось доказать.
Во-вторых, как сказано, бесконечная линия есть максимальный треугольник, круг и шар. В самом деле, уже доказано, что максимальным и бесконечным может быть только одно. Ясно также, раз всякие две стороны любого треугольника в сумме не могут быть меньше третьей, что если у треугольника одна из сторон бесконечна, две другие будут не меньше. Потом, поскольку любая часть бесконечности бесконечна, у треугольника с одной бесконечной стороной другие тоже обязательно будут бесконечными. Но нескольких бесконечностей не бывает, и за пределами воображения ты трансцендентно понимаешь, что бесконечный треугольник не может состоять из нескольких линий, хоть этот максимальный, не составной и простейший треугольник есть истиннейший треугольник, обязательно имеющий три линии, и, значит, единственная бесконечная линия с необходимостью оказывается в нем тремя, а три - одной, простейшей. То же в отношении углов: в нем будет только один бесконечный угол, и этот угол - три угла, а три угла - один. Не будет этот максимальный треугольник и состоять из сторон и углов, но бесконечная линия и угол в нем - одно и то же, так что линия есть и угол, раз весь треугольник - линия.
Понять это тебе поможет еще восхождение от количественного треугольника к неколичественному. Всякий количественный треугольник, как известно, имеет три угла, равные двум прямым, и чем больше один угол, тем меньше другие. Хотя каждый угол треугольника может увеличиваться только до двух прямых исключительно, а не максимально, в соответствии с нашим первым принципом, однако допустим, что он увеличивается максимально до двух прямых включительно, оставаясь при этом треугольником. Toгда окажется, что у треугольника один угол, который есть три, и три образуют один. Точно так же ты сможешь убедиться, что треугольник есть линия.
Любые две стороны количественного тpeyгольника в сумме настолько длиннее третьей, насколько образуемый ими угол меньше двух прямых; например, поскольку угол ВАС
много меньше двух прямых, линии ВА
и АС
в сумме много длиннее ВС.
Значит, чем больше этот угол, например угол ВDС,
тем меньше линии BD
и DC
превышают линию ВС
и тем меньше поверхность. Если допустить, что этот угол приравняется двум прямым, весь треугольник разрешится в простую линию. Таким допущением, у количественных треугольников невозможным, пользуйся для восхождения к не-количественным, у которых, как видишь, невозможное для количественных становится совершенно необходимым. Отсюда тоже ясно, что бесконечная линия есть максимальный треугольник, как и требовалось доказать.
Теперь покажем яснее, что треугольник есть круг. Допустим, что треугольник АВС
образован вращением линии АВ
вокруг неподвижного А
до совпадения В с, С.
Нет никакого сомнения, что если бы линия АВ
была бесконечной и В
описало полный круг, вернувшись к началу, то получился бы максимальный круг, частью которого является ВС.
Но поскольку ВС
есть часть бесконечной дуги, ВС
есть прямая линия; а так как всякая часть бесконечности бесконечна, то ВС
не меньше всей дуги бесконечной окружности. Таким образом ВС
будет не только частью, но и совершенно всей окружностью, и, значит, треугольник АВС
с необходимостью есть максимальный круг. Причем окружность ВС
как прямая линия не длиннее бесконечной АВ
, раз больше бесконечности ничего не может быть; не будут ВС
и АВ
и двумя [отдельными] линиями, потому что не может быть двух бесконечностей. Стало быть, бесконечная линия, являясь треугольником, есть также круг, что и надо было установить.
Наконец, что бесконечная линия есть шар, обнаруживается так. Линия АВ
есть окружность максимального круга и, больше того, сама круг, как уже доказано. Согласно вышеизложенному, она проведена в треугольнике от В
до С.
Но ВС -
бесконечная линия, как тоже только что доказано; поэтому АВ
возвращается в С,
совершая полный оборот вокруг себя самой. Когда это происходит, из обращения круга вокруг себя с необходимостью возникает шар.
Итак, если выше доказано, что АВС
есть круг, треугольник и линия, то теперь мы доказали, что АВС
есть также шар. Это мы и ставили целью разыскания.
Поскольку, таким образом, в возможности конечной линии заключены все эти фигуры, а бесконечная линия есть действительным образом все то, возможность чего представляет конечная, то, следовательно, бесконечная линия есть и треугольник, и круг, и шар, что и следовало доказать.
Если рассмотреть два угла - один тупой, другой острый, то по мере увеличения одного из них другой будет уменьшаться.
Когда один будет максимальным, другой - минимальным, они оба сольются с прямой. Каким назвать такой угол?"Он есть абсолютно острый и абсолютно тупой и в то же время и не острый, и не тупой". Таким образом, этот угол соединяет в себе максимум с минимумом, он является причиной всех углов.
И вот, перенесем наше умозрение - а мы его вывели из того, что бесконечная кривизна есть бесконечная прямизна, - на простейшую и бесконечную сущность максимума. Она есть простейшая сущность всех сущностей; все сущности настоящих, прошлых и будущих вещей всегда и вечно пребывают актуально в этой сущности, так что все сущности - это как бы сама же всеобщая сущность; сущность всех вещей есть любая другая сущность таким образом, что она есть одновременно и все они, и ни одна в отдельности; и как бесконечная линия есть точнейшая мера всех линий, так максимальная сущность есть точнейшая мера всех сущностей. Ведь максимум, которому не противоположен минимум, с необходимостью есть точнейшая мера всего - не больше любой вещи, поскольку минимум, и не меньше ее, поскольку максимум, - а все измеримое оказывается между максимумом и минимумом, так что бесконечная сущность есть вернейшая и точнейшая мера всего.
И чтобы увидеть это еще яснее, подумай, что если бы одна бесконечная линия состояла из бесконечного числа отрезков в пядь, а другая - из бесконечного числа отрезков в две пяди, они все-таки с необходимостью были бы равны, поскольку бесконечность не может быть больше бесконечности. Соответственно как одна пядь в бесконечной линии не меньше, чем две пяди, так бесконечная линия не становится по прибавлении двух пядей больше, чем по прибавлении одной. Мало того: поскольку любая часть бесконечности - тоже бесконечность, одна пядь бесконечной линии так же превращается во всю бесконечную линию, как две пяди. Точно так же, раз всякая сущность в максимальной сущности есть сама эта максимальная сущность, максимум есть не что иное, как точнейшая мера всех сущностей. Причем не найти другой точной меры всякой сущности, кроме этой; ведь все прочие недостаточны и могут быть точнее, как ясно показано выше.
Конечная линия делима, а бесконечная неделима, потому что у бесконечности, где максимум совпадает с минимумом, нет частей. Но поскольку в величинах, как показано выше, нельзя прийти к минимуму, меньше которого ничего не может быть, конечная линия не делима на нелинии, таким образом, что основание конечной линии - бесконечная линия! Так и максимум просто - основание всех вещей. Как бесконечная линия, основание конечной линии, неделима и, следовательно, неизменна и постоянна, так и основание всех вещей, бог благословенный, вечно и неизменно.
Мы обнаруживаем у бесконечного шара три сходящиеся в центре максимальные линии длины, ширины и глубины. Но центр максимального шара равен диаметру и окружности, и, значит, центр у него равен этим трем линиям; вернее, центр и есть все эти линии, то есть длина, ширина и глубина. Таким же образом простейший и бесконечный максимум будет всякой длиной, шириной и глубиной, которые в нем суть единая и простейшая максимальная неделимость. Как центр он предшествует всякой ширине, длине и глубине, и он же их конец и середина, поскольку в бесконечном шаре центр, ширина и окружность тождественны. Как бесконечный шар всецело действителен62
и совершенно прост, так максимум совершенным и простейшим образом актуален, и как шар есть действительность линии, треугольника и круга, так максимум - актуальность всего: всякое действительное существование от него получает всю свою актуальность и всякое существование существует действительным образом ровно настолько, насколько пребывает в его бесконечном акте. Поэтому максимум есть форма форм и форма бытия, или максимальное актуальное бытие.
Николай Кузанский различает два вида бесконечного: негативно бесконечное и привативно бесконечное. "Только абсолютный максимум негативно бесконечен, только он есть то, чем может быть во всей потенции. Наоборот, Вселенная, охватывая все, что не есть Бог, не может быть негативно бесконечной, хотя она не имеет предела и тем самым привативно бесконечна". Негативная бесконечность Бога - это бесконечность актуальная, то, что Николай Кузанский чаще всего называет абсолютным максимумом. Привативная же бесконечность скорее соответствует тому, что мы сегодня называем потенциальной бесконечностью. И в самом деле, Вселенная привативно бесконечна, так как, по словам Николая Кузанского, она "не имеет предела". Такого рода потенциально бесконечное - это то, что всегда может быть актуально больше, но это как раз признак конечности, ибо актуальная бесконечность не может становиться больше или меньше от прибавления к ней или отнятия от нее какой бы то ни было величины.
Конечная величина не может стать бесконечной путем постепенного возрастания. Вот такого рода конечностью, могущей возрастать без предела, но никогда не могущей превратиться в актуальную бесконечность, есть потенциальная бесконечность. Она может возрастать без предела, потому что не имеет предела создавшее ее бесконечное всемогущество Бога.
Николай Кузанский разработал теорию о бесконечном и доказал ее математически. Он выявил, что свойство бесконечного числа к беспредельному увеличению превращает геометрические фигуры в бесконечную линию. То есть в бесконечности многообразие геометрических фигур есть единое. Бесконечное - это то, больше чего ничего не может быть, Кузанский поэтому называет его "максимумом"; единое же - это "минимум". Актуальная бесконечность и есть совмещение противоположностей - единого и беспредельного. Конечная линия делима, а бесконечная неделима, потому что у бесконечности, где максимум совпадает с минимумом, нет частей.
Николай Кузанский возвращает нас к Зенону с его парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в парадоксах орудие разрушения ложного знания, а Кузанский - средство созидания знания истинного. Правда, само это знание имеет особый характер - оно есть "умудренное неведение".
Больцано "Парадоксы бесконечного"
В1851 году была посмертно опубликована книга чешского математика и философа Б. Больцано "Парадоксы бесконечного", в которой он сделал первую попытку исследовать свойства актуальной бесконечности.
Б. Больцано признавал существование бесконечной величины, изучал ее и пришел к выводу: "Само название показывает, что бесконечное противопоставляется всему конечному. То обстоятельство, что мы выводим название бесконечного из названия конечного указывает, что мы представляем себе понятие бесконечного происходящим из понятия конечного вследствие присоединения к нему новой составной части (такой частью является понятие о простом отрицании). Оба эти понятия относятся к многообразиям, к количествам (т.е. к многообразиям единиц), а потому и к величинам, этого нельзя отрицать уже по той причине, что именно в математике, т.е. в науке о величинах, мы и говорим чаще всего о бесконечном, рассматривая конечные и бесконечные множества и делая предметом нашего исследования и даже вычисления, наряду с конечными, не только бесконечно большие, но даже и бесконечно малые величины. Я буду называть бесконечным количеством количество большее, чем каждое конечное, т.е. количество такого рода, что каждое конечное многообразие представляет только часть его. Величина, которая больше, чем любое число тех которые приняты за единицу, называется бесконечно большой. А величина столь малая, что каждое кратное ее оказывается меньше единицы, называется бесконечно малой. Кроме этих двух родов бесконечного и кроме выводимых из них родов бесконечно больших и бесконечно малых величин высшего порядка, которые вытекают все из того же понятия, не существует для него ничего бесконечного.
Это, столь известное математикам, понятие о бесконечном не удовлетворяет однако некоторых философов, особенно философов новейшего времени, как Гегеля и его последователей. Они называют его пр
Я не допускаю только того, чтобы философу известен был какой либо предмет, которому он был бы вправе приписать свою бесконечность, как качество, не обнаружив раньше в этом предмете, в каком-либо отношении, бесконечной величины или бесконечного количества. Если я могу доказать, что даже говоря о Боге, которого мы рассматриваем как всесовершенно единое, можно указать такие точки зрения, с которых мы видим в нем бесконечное количество, и что эти-то точки зрения и позволяют приписывать ему бесконечность, то вряд ли нужно доказывать дальше, что подобные соображения лежат также в основе всех остальных случаев, где правильно употребляется понятие о бесконечности. Я же говорю: мы называем Бога бесконечным, потому что мы должны признать, что он владеет силами более, чем одного рода, имеющими бесконечную величину.
Математик позволяет себе прибавлять к каждой величине, также и к бесконечно большой, еще другие величины, и не только конечные, но даже и бесконечные; он даже повторяет бесконечную величину бесконечное число раз и т.д. Если некоторые и спорят еще о том, законно ли это, то какой математик - если только он не отрицает все бесконечное - откажется признать, что длина прямой, ограниченной с одной стороны, но простирающейся в бесконечность с другой, бесконечна, и может быть, несмотря на это, увеличена прибавлениями с первой стороны.
"Если каждое число", можно сказать, "по самому понятию о числе, есть лишь простое конечное множество, то каким образом может быть бесконечным множество всех чисел?
Когда мы рассматриваем ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
то мы замечаем, что множество чисел, которое содержит этот ряд, начиная с первого (единицы), до какого-нибудь другого, например, до числа 6, выражается всегда этим последним числом. Поэтому множество всех чисел должно быть именно так велико, как последнее из них и, следовательно, само должно быть числом, а не бесконечностью. Обманчивость этого вывода исчезает тотчас же, как только мы вспомним, что во множестве всех чисел в натуральном ряду нет последнего числа, что таким образом понятие о последнем (высшем) числе - понятие беспредметное, потому что содержит противоречие. Ибо, по закону образования этого ряда, данном в его определении, каждый член ряда имеет последующий. Одним этим замечанием разрешается уже этот парадокс.
Мы говорим о бесконечно больших и бесконечно малых величинах, если под бесконечно большой величиной подразумевается лишь такая величина, которая при раз положенной в основание единице является целым, по отношению к которому каждое конечное множество этих единиц составляет только часть; а под бесконечно малой величиной подразумевается такая, по отношению к которой сама единица является целым, частью которого будет каждое конечное множество этих величин. Множество всех чисел является неоспоримым примером бесконечно большой величины. Я говорю: величины, а не бесконечно большого числа, потому что, как мы уже заметили в предыдущем параграфе, никак нельзя назвать числом это бесконечно большое множество. Если же величину, бесконечно большую по сравнению с другой величиной, взятой за единицу, мы примем за единицу и станем ею измерять ту величину, которую мы прежде принимали за единицу, то эта последняя представится нам бесконечно малой.
И что не следует считать равными между собой все бесконечные многообразия в отношении их множественности? Напротив, некоторые из них больше, другие меньше, т.е. одно бесконечное многообразие может заключать в себе другое, как часть (или, наоборот, может само составлять часть другого). Для кого, например, не будет ясно, что длина прямой, простирающейся безгранично в направлении aR, бесконечна, но что прямая bR, из точки b идущая в том же направлении, больше, чем aR на отрезке ba? и, наконец, что прямая, идущая неограниченно в обоих направлениях aR и aS, должна быть названа большей на величину, которая сама бесконечна, и т.д.
Два бесконечных многообразия могут быть в таком отношении одно к другому, что, с одной стороны, возможно соединить каждую вещь одного многообразия с некоторой вещью другого в пару таким образом, что не останется в обоих многообразиях ни одной вещи, не соединенной в пару, и ни одна вещь не будет входить в две или несколько пар. С другой стороны, возможно при этом, что одно из этих многообразий заключает в себе другое просто как часть, так что множества, которые они представляют, если рассматривать составляющие их вещи как равные, т.е. как единицы, имеют между собой самые разнообразные отношения.
Я обращаюсь теперь к утверждению, что существует бесконечное не только среди вещей, не имеющих действительности, но также и в самой области действительного. Есть существо бесконечное не в одном только отношении, в своем ведении, в своей воле, в своем внешнем воздействии, т.е. могуществе. Это такое существо, которое бесконечно много знает (совокупность всех истин), бесконечно многого желает (сумму всего в себе возможного добра), и все, чего только хочет, силою внешнего воздействия осуществляет в действительности. Из этого последнего свойства Бога вытекает дальнейшее следствие, что, кроме него, существует существа созданные, которые мы назовем, в противоположность ему, существами конечными, в которых, однако, можно усмотреть нечто бесконечное. В самом деле, уже самое многообразие этих существ должно быть бесконечным; точно так же многообразие состояний, испытываемых каждым из этих существ в отдельности, хотя бы в самое короткое время, должно быть бесконечно (потому что каждый промежуток времени содержит в себе бесконечно много мгновений) и т.д. Итак, и в области действительного мы встречаем везде бесконечное.
Уже само понятие исчисления бесконечности, я признаю это, кажется заключающим в себе противоречие. Действительно, исчислить - значит попытаться определить с помощью чисел. Но как же возможно пытаться определить с помощью чисел бесконечное, то бесконечное, которое, по нашему собственному определению, должно представлять из себя нечто, состоящее из бесконечно многих частей, т.е. такое многообразие, которое больше всякого числа, и которое, поэтому, не может быть определено никаким числом? Это сомнение исчезнет однако, как только мы сообразим, что правильное исчисление бесконечного имеет целью не вычисление того, что в бесконечности неопределимо никаким числом (а именно, не вычисление бесконечного множества самого в себе): целью этого исчисления является определение отношения между одним бесконечным и другим, что выполнимо. Кто признает существование бесконечных множеств, а следовательно, и бесконечных величин вообще, тот не станет оспаривать существование бесконечных величин, очень различных по размерам. Эти немногие примеры показали уже в достаточной степени, что существует исчисление бесконечно большого; точно также существует и исчисление бесконечно малого.
Итак, если мы не желаем впадать в заблуждение в наших вычислениях бесконечного, то мы не должны никогда позволять себе считать, что две бесконечно большие величины, происшедшие от сложения членов двух бесконечных рядов, равны или что одна больше или меньше другой на том только основании, что каждый член одного ряда соответственно равен, больше или меньше некоторого члена другого ряда. Столь же мало мы имеем право считать одну сумму большей только потому, что она заключает все члены другой суммы и, кроме того, еще много, даже бесконечно много, других (положительных) членов, которых нет в другой сумме. Несмотря на все это, первая сумма может быть меньше, даже в бесконечное число раз меньше, чем вторая. Пример этого представит нам очень известная сумма квадратов всех натуральных чисел.
Каждое бесконечное многообразие, не только многообразие точек, образующих линию, может быть разложено на части, которые сами заключают бесконечные многообразия, даже на бесконечное число таких частей. Действительно, если означает бесконечное многообразие, то /2, /4, /8. также будут бесконечными многообразиями. Это заключается в понятии бесконечного.
При рассмотрении поверхностей, которые при постоянной длине можно уменьшить сколь угодно, уменьшая ширину, а также в случае тел, которые, при той же длине и ширине, могут быть сколь угодно уменьшены путем уменьшения их высоты, наблюдается конечное значение их площадей.
Хочется обратить внимание читателя на то, что множество точек, которое заключает в себе хотя бы самая короткая прямая az
, должно быть рассматриваемо, как множество, которое в безконечно большое число раз больше бесконечного же множества, получаемого из первого следующим образом: начиная с одного из концов, с точки a, берем в надлежащем расстоянии вторую точку b
, за нею, в меньшем расстоянии, третью точку c
, и так продолжаем без конца, уменьшая эти расстояния по такому закону, чтобы бесконечное их множество в сумме было равно или меньше расстояния az.
Прямой, простирающейся бесконечно в обе стороны, мы должны приписать бесконечную длину и множество точек, которое будет в бесконечное число раз больше, чем множество точек прямой, принятой за единицу и равной E
.
Мы должны признать также, что все такие прямые имеют равную длину и равное множество точек, так как определяющие их части, с помощью которых могут быть определены для двух таких прямых две точки, через которые они проходят (если мы возьмем одинаковое расстояние между этими точками), будут не только подобны друг другу, но и (геометрически) равны.
Прямая, простирающаяся неограниченно в обе стороны, совсем не имеет середины, то есть не имеет такой точки, которая могла бы быть определена только с помощью выражаемого в понятиях отношения ее к этой линии. Плоской поверхности, которую заключают между собою две параллельные прямые, неограниченные с обеих сторон (т.е. совокупности всех тех точек, которые содержат перпендикуляры, опущенные из каждой точки одной из этих параллельных прямых на другую), мы должны приписать бесконечно большую площадь и множество точек, которое в бесконечное число раз больше множества точек в квадрате, равном E
2
и принятом за единицу площадей. Всем подобным полосам, ограниченным параллельными прямыми, если они имеют одинаковую ширину (длина перпендикуляра), мы должны приписать равную величину и равное множество точек.
Пространство, которое заключают между собою две параллельные безграничные плоскости (т.е. совокупность всех тех точек, которые находятся на всех перпендикулярах, опущенных из каждой точки одной плоскости на другую), этот (если его так можно назвать) безграничный телесный слой, мы должны считать, во всяком случае, бесконечно большим, какова бы ни была его ширина (т.е. длина такого перпендикуляра)" [2, c.15-149].
Таким образом философ и математик Больцано впервые разработал теорию бесконечных величин, дал бесконечной величине определение, указал на возможность ее исчисления, применил бесконечную величину в геометрии, разработал ее свойства и привел доказательства своих взглядов. Больцано называл бесконечую величину бесконечным множеством, так как он не мог представить ее в виде числа, ведь по его словам число само по себе есть конечное. Больцано различал актуальную и потенциальную бесконечность. Под актуальной бесконечностью он понимал "количество большее, чем каждое конечное, т.е. количество такого рода, что каждое конечное многообразие представляет только часть его". Он исследовал свойства актуальной бесконечности. Потенциальная бесконечность определяется из следующего высказывания Больцано " я присоединяюсь к тем, кто находится в в отрицательном отношении к этому понятию о величине, которая только бесконечно возрастает, но никогда не достигает бесконечности." Он попытался ответить на многие вопросы, связанные с таинственным бесконечным. В его книге были предвосхищены многие понятия теории бесконечных множеств, однако они не получили еще той точности и ясности, которая была придана им через два десятилетия в работах Г. Кантора.
Георг Кантор о бесконечном множестве чисел
Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор сказал: "Бесконечное множество есть многое, мыслимое нами как единое".
Георг Кантор обнаружил, что свойства конечных и бесконечных множеств совершенно непохожи друг на друга: многие операции, невозможные для конечных множеств, без труда выполняются для бесконечных. "Попробуйте, например, поместить в гостиницу, каждый номер которой занят одним постояльцем, еще жильцов, да так, чтобы в каждом номере снова жил лишь один человек. Не получается? Так это только потому, что число номеров в гостинице конечно! А если бы в ней было бесконечно много номеров?. Но такие гостиницы могут встретиться разве что в рассказах межзвездного скитальца Йоца Тихого.
Первый вопрос, который мы сейчас разберем, это вопрос о сравнении друг с другом бесконечных множеств. Для конечных множеств задача сравнения решается просто. Чтобы узнать, одинаково ли число элементов в двух множествах, достаточно пересчитать их. Если получатся одинаковые числа, то, значит, в обоих множествах поровну элементов. Но для бесконечных множеств такой способ не годится, ибо, начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы рискуем посвятить этому делу всю свою жизнь и все же не закончить начатого предприятия.
Но и для конечных множеств метод пересчета не всегда удобен. Представьте, что мы на танцплощадке. Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Для этого попросим оркестр сыграть какой-нибудь танец, который все умеют танцевать. Тогда юноши пригласят девушек на танец и наша задача будет решена. Ведь если окажется, что все юноши и все девушки танцуют, то есть если вся молодежь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на площадке ровно столько же юношей, сколько и девушек.
Мы познакомились с тем, как узнать, что два конечных множества имеют поровну элементов, не прибегая к пересчету этих множеств. Этот способ можно применить и для бесконечных множеств. Только здесь уж не удастся прибегнуть к помощи "оркестра", а придётся самим располагать элементы двух сравниваемых множеств в "танцующие пары".
Итак, пусть у нас даны два множества А и В,
Говорят, что между ними установлено взаимно однозначное соответствие,
если элементы этих множеств объединены в пары (а,
b)
так, что:
1) элемент а
принадлежит множеству А,
а элемент b -
множеству В;
2) каждый элемент обоих множеств попал в одну и только одну пару.
Например, если множество А
состоит из юношей на танцплощадке, а множество В -
из девушек на той же площадке, то пары {а,
b)
образуются из танцующих друг с другом юноши и девушки. Читатель сам легко придумает разнообразные примеры таких соответствий между множествами равной численности" [5, c.48-53]. Важнейшим поворотным пунктом в теории множества был момент, когда Кантор решил применить идею взаимно однозначного соответствия для сравнения бесконечных множеств. Иными словами, по Кантору, два бесконечных множества А
и В
имеют поровну элементов, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие.
"Зададим себе новый вопрос: Равна ли часть целому? Основной догмой, которую пришлось отбросить, было положение, установленное на самой заре развития математики: часть меньше целого.
Это положение безусловно верно для конечных множеств, но для бесконечных множеств оно уже теряет силу. Вспомните, как расселил директор необыкновенной гостиницы космозоологов по четным номерам. При этом расселении жилец из № п
переезжал в № 2п.
А мы договорились считать, что бесконечные множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, содержат поровну элементов. Значит, бесконечное множество натуральных чисел содержит столько же элементов, сколько и его часть - бесконечное множество четных чисел.
Вообще между множеством всех натуральных чисел и любой его бесконечной частью всегда можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого достаточно перенумеровать по порядку числа из этой части.
Мы уже выяснили, что значат слова "два бесконечных множества имеют поровну элементов". А теперь выясним, что значит "одно бесконечное множество имеет больше элементов, чем второе". Для конечных множеств это тоже можно выяснить, не прибегая к счету. В этих случаях мы поступали так: устанавливали взаимно однозначное соответствие между одним множеством и частью другого множества. Если это удавалось, то отсюда следовало, что второе множество содержит больше элементов, чем первое. Пользуясь этим методом, легко установить, например, что рыб в океане меньше, чем атомов на земном шаре (хотя оба эти множества и конечны, их вряд ли возможно пересчитать). Для этого достаточно каждой рыбе поставить в соответствие один атом, входящий в состав ее тела. Тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех рыб и частью множества всех атомов на земном шаре.
К сожалению, для бесконечных множеств так просто поступить нельзя. Ведь мы уже видели, что бесконечное множество может иметь столько же элементов, сколько и его часть. Поэтому только из того, что бесконечное множество А
имеет столько же элементов, сколько часть бесконечного множества В,
еще нельзя заключить, что оно имеет меньше элементов, чем все множество В.
Мы скажем, что если А
можно поставить во взаимно однозначное соответствие с частью бесконечного множества В,
то бесконечное множество В
имеет не меньше элементов, чем
бесконечное множество А.
Можно доказать, что это отношение обладает всеми свойствами неравенств:
1) каждое бесконечное множество имеет не меньше элементов, чем оно само;
2) если в одном бесконечном множестве не меньше элементов, чем во втором, а во втором - не меньше элементов, чем в третьем, то первое бесконечное множество имеет не меньше элементов, чем третье;
3) если каждое из двух бесконечных множеств имеет не меньше элементов, чем другое, то оба имеют поровну элементов.
Первое свойство вытекает из того, что, ставя в соответствие каждому элементу бесконечного множества А
сам этот элемент, получаем взаимно однозначное отображение А
на себя. Прозрачен и смысл второго свойства: если А
можно взаимно однозначно отобразить на часть бесконечного множества В, а В -
на часть бесконечного множества С,
то существует взаимно однозначное отображение А
на часть С.
А вот третье свойство при всей простоте его формулировки означает довольно сложное утверждение: если можно взаимно однозначно отобразить бесконечное множество А
на часть бесконечного множества В,
а бесконечное множество В
на часть бесконечного множества А,
то существует и взаимно однозначное отображение всего бесконечного множества А
на В.
Выясним теперь, в каких же случаях говорят, что мощность бесконечного множества А
меньше мощности бесконечного множества В.
Может случиться, что бесконечное множество В
имеет не меньше элементов, чем бесконечное множество А,
но эти бесконечные множества не эквивалентны. Иными словами, может случиться, что есть взаимно однозначное соответствие между бесконечным множеством А
и частью бесконечного множества В,
но не существует взаимно однозначного соответствия между А
и всем бесконечным множеством В.
Вот в этом случае мы и будем говорить, что А
имеет меньше элементов, чем В.
Мы уже говорили, что любая бесконечная часть множества натуральных чисел счетна. Это означает, что не может существовать бесконечное множество, мощность которого была бы меньше мощности счетного множества. Докажем теперь, что в каждом бесконечном множестве есть счетное подмножество. Отсюда будет следовать, что мощность счетного множества не больше мощности любого бесконечного множества, то есть что эта мощность - самая маленькая из бесконечных.
Чтобы выбрать счетное подмножество из бесконечного множества А,
поступим так. Выберем один элемент х1
- это можно сделать, так как множество А
бесконечно и, во всяком случае, не пусто. Ясно, что после удаления элемента X1
множество А
не исчерпывается, и мы сможем выбрать из него второй элемент хг
.
После этого выберем третий элемент х3
и т.д. В результате мы извлечем из множества А
счетное подмножество занумерованных элементов. Немного усовершенствовав это доказательство, можно добиться, чтобы после удаления счетного подмножества осталось бесконечное множество. Для этого надо после извлечения подмножества X
вернуть обратно все элементы с четными номерами. В результате получится, что мы извлекли счетное подмножество, а оставшееся множество еще содержит бесконечное множество элементов и, быть может, еще много других элементов.
Нетрудно доказать следующие теоремы:
Мощность бесконечного множества, не изменяется от прибавления к нему счетного множества.
Мощность несчетного множества не меняется от удаления из него счетного множества.
Эти теоремы еще раз подтверждают, что счетные множества - самые малые из бесконечных множеств.
Все построенные до сих пор множества оказались счетными. Это наводит на мысль: а не являются ли вообще все бесконечные множества счетными? Если бы это оказалось так, то жизнь математиков была бы легкой: все бесконечные множества имели бы поровну элементов и не понадобился бы никакой анализ бесконечности. Но выяснилось, что дело обстоит куда сложнее: несчетные множества существуют и притом могут иметь самые разные мощности. Одно несчетное множество всем хорошо знакомо - это множество всех точек на прямой линии. Но прежде чем говорить об этом множестве, мы расскажем о другом, тесно связанном с ним множестве Л
вариантов заполнения необыкновенной гостиницы" [5, c.53-63].
Заметим, что доказать несчетность какого-то множества вообще нелегко. Ведь доказать, что какое-то множество счетно, это значит просто придумать правило, по которому нумеруются его элементы. А доказать несчетность какого-то множества, это значит доказать, что такого правила нет и быть не может. Иными словами, какое бы правило мы ни придумали, всегда найдется незанумерованный элемент множества". Чтобы доказывать несчетность множеств, Кантор придумал очень остроумный способ, получивший название диагонального процесса.
Метод доказательства Кантора становится ясен из рассказа Иона Тихого "Несостоявшаяся перепись".
"До тех пор пока читатель не познакомился с удивительными свойствами бесконечных множеств, ответ на вопрос: "Где больше точек, на отрезке длиной в 1 мм или на отрезке длиной в 1 м?" - вряд ли вызвал бы у него хоть тень сомнения. Ясно, что на отрезке в 1 м куда больше точек, он ведь в 1000 раз длиннее. Но теперь, вероятно, читатель поостережется делать столь безапелляционные заявления - уж слишком не похожи свойства бесконечных множеств на то, чему учит обыденная жизнь. И действительно, на очень коротком и очень длинном отрезках точек поровну! Иными словами, всегда можно установить взаимно однозначное соответствие между точками этих отрезков.
Трудно примириться с мыслью, что дорога длиной в миллион световых лет имеет столько же точек, сколько и радиус атомного ядра! Но еще неожиданнее оказалось то, что даже на всей бесконечной прямой не больше точек, чем на отрезке, то есть что между множеством точек на прямой и множеством точек на отрезке можно установить взаимно однозначное соответствие." [5, c.65-66].
С тем, что на бесконечной прямой столько же точек, сколько и на отрезке, математики, скрепя сердце, примирились. Но следующий результат Кантора оказался еще более неожиданным. В поисках множества, имеющего больше элементов, чем отрезок, он обратился к множеству точек квадрата. Сомнения в результате не было: ведь отрезок целиком размещается на одной стороне квадрата, а множество всех отрезков, на которые можно разложить квадрат, само имеет ту же мощность, что и множество точек отрезка.
Георг Кантор пришел к выводу, что бесконечное множество точек квадрата имеет не большую мощность, чем бесконечное множество точек отрезка. Но его мощность и не меньше, а потому эти мощности совпадают. Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколь и отрезок. Вообще любая геометрическая фигура, содержащая хоть одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок. Такие бесконечные множества называют множествами мощности континуума (
от латинского continuum - непрерывный).
"Пока что самой большой мощностью, которую мы знаем, является мощность бесконечного множества точек на прямой, то есть мощность континуума. Ни множество точек квадрата, ни множество точек куба не имеют большей мощности. Не является ли мощность континуума самой большой? Оказывается, что нет. Более того, вообще нет множества самой большой мощности. Для любого бесконечного множества А
есть бесконечное множество, мощность которого больше мощности А.
Этим множеством является, например, бесконечное множество В
всех функций, заданных на бесконечном множестве А
и принимающих значения 0 и 1.
Итак, для любого множества А
можно построить множество В
большей мощности. Поэтому бесконечного множества самой большой мощности не существует. Отправляясь от самой малой из бесконечных мощностей - мощности бесконечного множества натуральных чисел, мы получим сначала мощность континуума, потом мощность бесконечного множества всех функций, заданных на множестве действительных чисел, и будем без конца подниматься вверх по этой головокружительной лестнице все увеличивающихся бесконечных мощностей" [5, c.71-72].
Кантор, вслед за Больцано, настойчиво объяснял различие актуальной и потенциальной бесконечностей. Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ.". Математическое потенциально бесконечное Кантор называет "несобственно-бесконечным". Оно выступает в математике в форме дифференциалов первого или высших порядков, или в виде сумм бесконечных рядов, или в виде других предельных процессов. По разъяснению Кантора, "потенциально бесконечное" есть простое вспомогательное понятие нашего мышления. Это - "понятие отношения, которое, согласно своему определению, заключает в себе идею изменчивости и о котором, таким образом, никогда нельзя сказать в собственном смысле слова. Оно "не означает само по себе никакой идеи". Кантор тут же оговаривается, что и в этом своем смысле - как понятие отношения - потенциально бесконечное "благодаря открытому Лейбницем и Ньютоном дифференциальному и интегральному исчислениям обнаружило свое огромное значение как средство познания." (5, с.84).
Кантор признавал в полной мере плодотворность для науки этого давно утвердившегося в ней понятия потенциальной бесконечности. Он возражал против презрительного именования потенциальной (несобственной) бесконечности "дурной бесконечностью" и находил, что бесконечно малые величины, применявшиеся дотоле в математике лишь в виде "несобственно-бесконечного", принесли весьма большую пользу, так как они "доступны всем тем различиям, видоизменениям и отношениям, которыми пользуются в исчислении бесконечно малых и в теории функций и с помощью которых там собирают богатую жатву аналитических истин" (5, с.80). Но как бы ни была велика ценность для науки "потенциальной бесконечности", эта бесконечность оставалась в сущности только некоторой переменной - то растущей сверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, всегда конечной величиной.
Это был вывод о том, что в данном и в подобных ему случаях вполне правомерно "мыслить. бесконечное, как расположенное в некоторой вполне определенной точке". Такое бесконечное, выступающее в отличие от потенциально бесконечного в подобной вполне определенной форме, Кантор стал называть "собственно-бесконечным" или "актуально бесконечным".
Под актуально бесконечным в отличие от потенциально бесконечного Кантор понимает "некоторое замкнутое в себе постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин, количество." (5, с.85).
Актуально бесконечным Кантор называет "такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида"
. Пример актуально бесконечного - совокупность всех точек, лежащих на данной окружности. Это множество есть, по выражению Кантора, "некоторая вещь для себя и образует - отвлекаясь от натурального ряда относящихся сюда чисел - некоторое неизменное во всех частях и определенное количество., которое, очевидно, приходится назвать большим, чем всякое конечное количество".
В свою очередь внутри сферы актуально бесконечного Кантор различил две его формы. Это - "трансфинитное" актуально бесконечное и абсолютное. По мысли Кантора, эти формы актуально бесконечного резко отличаются друг от друга. Трансфинитное следует мыслить "бесконечным, но в то же время доступным еще увеличению". Напротив, абсолютное "следует мыслить недоступным увеличению и поэтому математически неопределимым" (16, 86). Согласно Кантору, предмет математики - только трансфинитное бесконечное. В качестве идеального предела конечного можно мыслить не абсолютное, а лишь трансфинитное, "и притом как минимум всего трансфинитного (соответствующий наименьшему сверхконечному числу.)" (16, 87). Число это Кантор обозначил посредством греческой буквы "омега".
Кантор сделал наблюдение, что бесконечные реальные целые числа не относятся к "потенциальной бесконечности", к "несобственно-бесконечному". Обнаружилось, что им присущ тот же характер определенности, с каким мы имеем дело при рассмотрении бесконечно удаленной точки (в теории аналитических функций), и что, следовательно, они также относятся к видам "собственно-бесконечного", или к "актуальной бесконечности". Но в то время как бесконечно удаленная точка комплексной числовой плоскости противостоит, одинокая, всем расположенным на конечных расстояниях точкам, при рассмотрении бесконечных целых чисел мы получаем "не просто одно-единственное бесконечное целое число, но бесконечный ряд подобных чисел, которые резко отличны друг от друга и находятся в закономерных числовых отношениях друг к другу и к конечным целым числам".
Новое понятие актуальной бесконечности было введено в математику Георгом Кантором. Канторовская бесконечность - актуальная бесконечность, не являющаяся исчисленным неисчислимым множеством. Исходная идея Кантора - это задание множества по содержанию. Множество может быть задано перечислением всех входящих в него элементов. Бесконечное множество не может быть задано таким способом. Но множество можно задать иначе, указав некоторые признаки, которыми должны обладать все элементы множества. Подобным образом, по содержанию, может быть задано и бесконечное множество.
Георг Кантор разделил потенциальную и актуальную бесконечности. Актуально бесконечным Кантор называет "такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида". Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ.". Математическое потенциально бесконечное Кантор называет "несобственно-бесконечным".
Кантор вводит также арифметику бесконечности. Он определил операции сложения и умножения для бесконечных мощностей. Для бесконечных мощностей он установил и операцию возведения в степень с бесконечным показателем. Далеко не все законы обычной арифметики переносятся в область арифметики натуральных чисел. Кантор говорил, что законы арифметики бесконечности коренным образом отличаются от зависимостей, царящих в области конечного, а также свойства конечных и бесконечных множеств различны. Георгу Кантору принадлежит появление трансфинитных чисел, он ввел понятие мощность бесконечного множества, разделил счетные и несчетные бесконечные множества, ввел для бесконечных множеств взаимнооднозначное соответствие, что позволило оперировать этими понятиями. Георг Кантор - величайший математик, проливший свет в тайны бесконечного, он сделал наибольшее число открытий в этой области и поэтому велика его роль как в математике, так и в философии.
Заключение
Понятие бесконечной величины таинственное и загадочное с одной стороны, манящее и привлекающее своей неизученностью с другой. Философы издавна задумывались о существовании бесконечности, рассматривали ее с различных сторон, но мало кто исследовал бесконечную величину и ее свойства.
Одними из первых, кто употребил бесконечную величину в своих работах, были основатели атомизма Левкипп и Демокрит. Они ввели неделимую частицу вещества - атом и полагали, что число атомов бесконечно. Атомы бесконечно разнообразны по форме и, двигаясь в бесконечном пространстве, сталкивались между собой и, соединяясь образовывали сложные тела. Но Левкипп и Демокрит употребили бесконечную величину для построения своей философской картины мира и не исследовали ее свойства.
Зенон уже использовал свойство бесконечной величины к беспредельному увеличению, то есть применял свойство потенциальной бесконечности при доказательстве своих знаменитых опорий против движения, времени, скорости, пространства и точки.
Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальное бесконечное он сопоставлял с актуально бесконечным телом и не признавал. Но признавал потенциальную. Потенциально бесконечное все время остается конечным и все время меняется, причем этот процесс изменения может продолжаться как угодно долго. "Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным". Разделение актуальной и потенциальной бесконечности есть главная заслуга Аристотеля в этой области.
Николай Кузанский использовал бесконечную величину для построения своей философской картины мира, выявил новые свойства бесконечной величины и сопоставил актуальную и потенциальную бесконечность. Он считал, что единое есть все, единому ничего не противоположно, следовательно единое тождественно бесконечному. Единое есть минимум, а бесконечное - максимум, поэтому налицо совпадение противоположностей. Николай Кузанский различает два вида бесконечного: негативно бесконечное и привативно бесконечное. "Только абсолютный максимум негативно бесконечен, только он есть то, чем может быть во всей потенции". Негативная бесконечность Бога - это бесконечность актуальная, то, что Николай Кузанский чаще всего называет абсолютным максимумом. Привативная же бесконечность скорее соответствует тому, что мы сегодня называем потенциальной бесконечностью. Вот такого рода конечностью, могущей возрастать без предела, но никогда не могущей превратиться в актуальную бесконечность, есть потенциальная бесконечность. Бесконечное - это то, больше чего ничего не может быть, Кузанский поэтому называет его "максимумом"; единое же - это "минимум". Актуальная бесконечность и есть совмещение противоположностей - единого и беспредельного. Н. Кузанский выявил, что свойство бесконечного числа к беспредельному увеличению превращает геометрические фигуры в бесконечную линию. То есть в бесконечности многообразие геометрических фигур есть единое. Также конечная линия делима, а бесконечная неделима, потому что у бесконечности, где максимум совпадает с минимумом, нет частей.
В1851 году была посмертно опубликована книга чешского математика и философа Б. Больцано "Парадоксы бесконечного", в которой он сделал первую попытку исследовать свойства актуальной бесконечности. Он впервые разработал теорию бесконечных величин, дал бесконечной величине определение, разработал ее свойства, указал на возможность ее исчисления, применил бесконечную величину в геометрии, привел доказательства своих взглядов. Больцано называл бесконечную величину бесконечным множеством, так как он не мог представить ее в виде числа, ведь по его словам число само по себе есть конечное. Больцано различал актуальную и потенциальную бесконечность. Под актуальной бесконечностью он понимал "количество большее, чем каждое конечное, т.е. количество такого рода, что каждое конечное многообразие представляет только часть его". Он исследовал свойства актуальной бесконечности. Потенциальная бесконечность определяется из следующего высказывания Больцано " я присоединяюсь к тем, кто находится в отрицательном отношении к этому понятию о величине, которая только бесконечно возрастает, но никогда не достигает бесконечности." Он попытался ответить на многие вопросы, связанные с таинственным бесконечным. В его книге были предвосхищены многие понятия теории бесконечных множеств, однако они не получили еще той точности и ясности, которая была придана им через два десятилетия в работах Г. Кантора.
Б. Больцано был гением, пролившем свет в неизвестную бесконечную величину, на ее свойства, но он не был принят современниками и его работы не воспринимались всерьез и не были изучены и использованы.
Исходная идея Кантора - это задание множества по содержанию. Множество может быть задано перечислением всех входящих в него элементов. Бесконечное множество не может быть задано таким способом. Но множество можно задать иначе, указав некоторые признаки, которыми должны обладать все элементы множества. Подобным образом, по содержанию, может быть задано и бесконечное множество.
Георг Кантор разделил потенциальную и актуальную бесконечности. Актуально бесконечным Кантор называет "такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида". Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ.". Математическое потенциально бесконечное Кантор называет "несобственно-бесконечным".
Кантор вводит также арифметику бесконечности. Он определил операции сложения и умножения для бесконечных мощностей. Для бесконечных мощностей он установил и операцию возведения в степень с бесконечным показателем. Далеко не все законы обычной арифметики переносятся в область арифметики натуральных чисел. Кантор говорил, что законы арифметики бесконечности коренным образом отличаются от зависимостей, царящих в области конечного, а также свойства конечных и бесконечных множеств различны. Георгу Кантору принадлежит появление трансфинитных чисел, он ввел понятие мощность бесконечного множества, разделил счетные и несчетные бесконечные множества, ввел для бесконечных множеств взаимнооднозначное соответствие, что позволило оперировать этими понятиями. Георг Кантор - величайший математик, проливший свет в тайны бесконечного, он сделал наибольшее число открытий в этой области и поэтому велика его роль как в математике, так и в философии.
Потенциальная бесконечность абстрагируется от фактической неосуществимости неограниченного построения математических объектов, напр. натуральных чисел, и постулирует, что их ряд можно продолжать бесконечно. Неявно это понятие Б. употреблялось уже в антич. математике, но особое значение оно приобрело в период кризиса анализа бесконечно малых и в явном виде вошло в теорию пределов, где бесконечно малая стала рассматриваться как величина потенциальная, стремящаяся к нулю как своему пределу. Однако в последней четверти 19 в. было установлено, что теория пределов и последующая арифметизация анализа опираются на понятие актуальной бесконечности, которая была положена Г. Кантором в основание созданной им теории множеств. Поэтому место становящейся, потенциальной бесконечности в математике занимает бесконечность завершенная, актуальная. Однако такое уподобление бесконечного множества конечному впоследствии привело к парадоксам и вызвало новый кризис оснований математики. Выход из нее интуиционисты и конструктивисты видят в возвращении к идее потенциальной бесконечности, но большинство математиков пытаются сохранить канторовскую теорию множеств, исключая образование слишком обширных множеств путем специальных постулатов аксиоматической системы. Трудности, возникающие при рассмотрении математической бесконечности, по-видимому, связаны с противопоставлением бесконечного и конечного, которые выражают в идеализированной форме разные, но взаимосвязанные аспекты реальной бесконечности. Потенциальная бесконечность в абстрактном виде отображает становление и возникновение, актуальная бесконечность - его результат, бытие.
Вот какое путешествие по извилистым путям прошла человеческая мысль, пытаясь овладеть противоречивейшим понятием бесконечности, "приручить" его и использовать для познания действительности.
Список литературы
1. Асмус В.А. Античная философия. М: 1996. с.35-38, 47-48.
2. Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Перевод Бурцева Б.И. Одесса, 2003, с.15-149.
3. Black Fire Pandemonium. Библиотекаhttp://khazarzar. skeptik.net/Апории Зенона. с.8-29.
4. Введение в философию. Учебное пособие для вузов под редакцией Фролова И.Т. М.: Республика 2004. с.24, 35-36, 89.
5. Виленкин Н.Я. В поисках бесконечности. АН СССР. М.: Наука 1983. с.48-75.
6. Гаранов П. С.500 шагов к мудрости. Кн.1. М.: 1996. с.35-40.
7. Кузанский Н. Об ученом незнании. Сочинения в 2 томах. М.: 1980. с.40-106.
8. Маковецкий А.О. Древнегреческий атомизм. Баку, 1946. с.8-31.
9. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1989. с.57-64.
10. Тажуризина З.А. Философия Николая Кузанского. М.: Изд-во МГУ, 1993. с.25-29, 34-37, 48-50.