Основные имитационные модели инвестиций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Филиал в г. Самаре

Кафедра гуманитарных и

социально-экономических дисциплин

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Вариант-21

по дисциплине: Финансово – коммерческие расчёты

на тему: Основные имитационные модели инвестиций

Выполнила:
студентка 4-го курса гр.261

Фомина Е.Н.

Проверил: Рабинович М.Г.

Самара – 2009

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………..	3
1. Понятие имитационной модели и имитационного моделирования……………………………………………………….	4
2. Особенности и возможности имитационного подхода…………	5
3. Система массового обслуживания……………………………...	6
4. Вопросы формирования случайных потоков событий…………	14
5. Моделирующие алгоритмы………………………………………	19
6. Моделирование одноканальной СМО…………………………...	20
7. Моделирование многоканальной СМО………………………….	22
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………	24
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………...	25

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время российская экономика испытывает существенный дефицит инвестиций. Именно увеличение инвестиционной активности может стать стимулирующим фактором, позволяющим обеспечить стабильный экономический рост. Помимо макроэкономических факторов, определяющих инвестиционный климат в стране, при принятии решений о реализации отдельного инвестиционного проекта наибольшее значение имеет эффективность инвестиций, то есть степень соответствия результатов поставленным целям.

Важнейшим условием стабилизации экономики России и вывода ее на новые рубежи развития является нормализация инвестиционной программы. В этой связи особую актуальность приобретает теоретическое обоснование сущности инвестиционной программы и выявление его специфики. Поскольку инвестиции играют ключевую роль в общем росте экономики, то от правильной расстановки акцентов на соотношение инвестиций, инвестиционной деятельности, инвестиционного программы во многом зависит построение модели реальных экономических отношений в инвестиционной сфере и, следовательно, обеспечение эффективности экономического роста.

Актуальность темы в новых условиях экономической реформы определяется, прежде всего, продолжающимся становлением рыночной экономики, что в свою очередь требует перестройки не только форм и методов хозяйствования, но и мышления всех категорий руководителей, маркетологов, экономистов, участвующих в процессе финансово – хозяйственной деятельности.

Объектом исследования выступают инвестиционные проекты, которые разрабатываются на предынвестиционной стадии. Предметом исследования является изучение влияния методов управления рисками на изменение рискованности и эффективности инвестиционных проектов.

Целью работы является разработка основных имитационных моделей инвестиций.

В соответствии с этой целью в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Дать понятие имитационной модели и имитационного моделирования

2. Изучить имитационное моделирование систем массового обслуживания

3. Изучить формирование случайных потоков событий

4. Ознакомиться со способами моделирующих алгоритмов

5. Изучить моделирование системы массового обслуживания

1. Понятие имитационной модели и имитационного
моделирования

Слово имитация (от лат. imitatio
—
подражание) означает под­ражание, воспроизведение явлений, событий, действий, объек­тов и т.п. определенным образом. В известном смысле имитация является синонимом термина «модель» (от лат. modulus
— мера, образец), которая определяется как любой образ — материальный или нематериальный (изображение, описание, схема, воспроизве­дение, материальное воплощение, представитель и т.п.) — изучаемого объекта.

По сути имеющихся определений словосочетание «имитацион­ная модель» не является корректным, однако в середине XX в. оно было введено в практику физического и математического моде­лирования.

Имитационные модели строят тогда, когда объект моделиро­вания настолько сложен, что описать его поведение, например, математическими уравнениями невозможно или очень трудно. В некоторых случаях такой объект моделирования называют «черным ящиком», т.е. объектом с неизвестной внутренней структурой и, следовательно, с неизвестным механизмом пове­дения как при воздействии на него извне, так и при внутренних изменениях. В этих случаях имитационная модель позволяет ото­бражать входные воздействия, сходные по параметрам с реаль­ными или желаемыми воздействиями, и, измеряя соответству­ющую реакцию модели объекта, изучать структуру объекта и его поведение.

Весьма распространены также ситуации, когда с точки зрения математической теории нарушается необходимая строгость опи­сания объекта в целом, так как части последнего могут быть опи­саны только различными математическими схемами (методами) с различными не стыкующимися критериями или направления­ми оптимизации. В этом случае имитационные модели позволя­ют использовать многокритериальные подходы и условия допус­тимого компромисса, что способствует в определенной степени разрешению проблем состыковки различных математических ме­тодов без нарушения строгости математического описания объек­та в целом.

2. Особенности и возможности
имитационного подхода

Сопряжение различных математических методов в рамках имитационной модели упрощается также в связи с тем, что стыковка частей имитационной модели осуществляется не в терминах того или иного математического аппарата, а на языке цифр. Даже если моде­лирование частей объекта ведется на языках различных математичес­ких методов в имитационных моделях соединения частей объекта, оценка целей, критериев их достижения, результатов моделирования осуществляется через матрицы, потоки и иные общематематические понятия, задаваемые или получаемые исключительно в виде число­вых, а не аналитических значений. Это, конечно, не означает полной количественной сопоставимости результатов, так как масшта­бы каждого числового значения могут быть различны, но упрощает процедуры сведения их к сопоставимости.

Построение имитационных моделей не намного сложнее, чем применение стандартных математических схем. Конечно, решить типовую задачу линейного программирования, например на на­хождение оптимального плана производства каких-либо изделий на предприятии, максимизирующего прибыль, с применением типового пакета программ на компьютере проще, чем построить имитационную модель этого предприятия с тем же критерием оптимальности. Однако информационность имитационной моде­ли несравненно выше. Она позволяет найти такие характеристи­ки, которые при решении задачи линейного программирования просто отсутствуют.

Таким образом, в большинстве случаев — когда речь не идет о решении простых рутинных проблем, но в постановке задачи стоит вопрос об исследовании сложной, противоречивой дина­мической системы — весьма целесообразно выбрать имитацион­ную модель.

При имитационном моделировании применяются самые раз­нообразные математические схемы: конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, агрегативные систе­мы, системы, описываемые дифференциальными уравнениями и марковскими процессами, методы общей теории систем, а также специально сконструированные эвристические подходы.

Применительно к экономическим объектам и процессам наи­более часто используются, на наш взгляд, математические схемы систем массового обслуживания, агрегативных систем, а также эв­ристические подходы. Кроме того, отдельные элементы метода статистических испытаний или метода Монте-Карло, которые лежат в основе имитационного моделирования, достаточно часто применяются при расчете различных параметров для других ти­пов моделей — эконометрических, моделей кривых роста b т.п. Поэтому и в данной главе будут рассмотрены имитационные мо­дели систем массового обслуживания и агрегативные имитацион­ные модели, а также способы вычисления параметров методом статистических испытаний.

3. Системы массового обслуживания

Рассмотрим основ­ные понятия теории массового обслуживания, занимающейся по­строением моделей реальных систем обслуживания, производ­ства, банковской деятельности и т.п. Эти математические схемы характеризуются тем, что в некоторые моменты времени (случай­ные или детерминированные) возникают заявки на обслужива­ние и имеются специальные устройства (приборы, инструмен­ты) для обслуживания этих заявок, работающие по определен­ному закону.

Основными понятиями теории массового обслуживания явля­ются: входной поток заявок, обслуживающая система, выходной поток заявок.

Входной поток
заявок (требований на обслуживание) характе­ризуется определенной организацией и рядом параметров (рис. 1): интенсивностью поступления заявок, т.е. числом зая­вок, в среднем поступивших в единицу времени, и законом рас­пределения вероятностей моментов прихода заявок в систему.

Моменты появления заявок

Синхронизирующие моменты

Рис.1. Входной поток заявок

Обслуживающая система
(ОС) представляет собой совокуп­ность устройств (канал, прибор), которые обеспечивают обслужи­вание заявки, пришедшей в систему. Обслуживающая система характеризуется пропускной способностью (скоростью обслужи­вания), т.е. числом обслуженных заявок в единицу времени, и
законом распределения времени обслуживания заявок. Примера­ми таких систем могут служить коммутатор телефонной станции, станок, на котором обрабатываются детали, машины химчистки одежды, оператор сберегательного банка, дежурная справочного бюро и пр.

Поток обслуживающих заявок, выходящих из обслуживающей системы, называется выходным потоком заявок.
Параметром вы­ходного потока является интенсивность.

Всякая система массового обслуживания имеет определенную дисциплину очереди, т.е. порядок обслуживания пришедших за­явок. Дело в том, что бывают случаи, когда система обслужива­ния не в состоянии немедленно обслужить все заявки. В резуль­тате образуется очередь из заявок, пришедших на обслуживание. То, в каком порядке заявки из очереди будут поступать в обслу­живающую систему, определяется дисциплиной очереди. Напри­мер, первой заявка поступила и первой обслуживалась; последней заявка поступила и первой обслуживалась; случайный порядок обслуживания заявок; обслуживание определенных заявок в пер­вую очередь (заявки с приоритетом) и т.п.

Рассмотрим более детально характеристики входного потока заявок (ВПЗ) и простейшие системы массового обслуживания (СМО).

Потоком однородных событий
называют временную последова­тельность появления заявок на обслуживание при условии, что все заявки являются равноправными. Существуют также потоки не­однородных
событий, когда та или иная заявка обладает каким-то приоритетом.

Если поток однородный, то каждое событие характеризуется только моментом времени его наступления tj. Существуют два спо­соба задания однородных событий. Первый заключается в перечис­лении всех известных моментов tj, второй — в указании зависимо­сти, позволяющей рассчитать t
j
по предыдущим значениям.

Однако на практике более интересны случайные потоки од­нородных событий, задаваемые законом распределения, кото­рый и характеризует последовательность t1, t2,…tm или после­довательность интервалов между случайными событиями ξ1, ξ2…ξm. Совокупность случайных величин {ξ} считается заданной, если при к≥
1 определена совместная функция распределения вида

F
(
z
1,z2,…
zk
) = Р(
ξ
1<
z
,
ξ
2<
z
2,…,
ξk
<
zk
)

или для непрерывной случайной величины соответствующая плот­ность распределения вероятностей f(z1,z2,…zk)

Часто применяется случайный поток событий с ограниченным последействием
(когда случайные величины ξj являются незави­симыми).

Существуют также стационарные потоки,
для которых вероят­ностный режим потока во времени остается неизменным. Это означает, что число заявок, поступивших в СМО в единицу вре­мени, постоянно.

Потоком с отсутствием последействия
называется такой поток, у которого число заявок, поступивших в данный момент време­ни, не зависит от числа заявок, обслуженных в предыдущий мо­мент времени. Поток с отсутствием последействия является част­ным случаем потока с ограниченным последействием. Для пото­ка без последействия вероятность Pk(t0,t) наступления k
событий за интервал (t0,t+t) не зависит от возникновения событий до момента t0.

Для потоков с ограниченным последействием совместная фун­кция плотности f(z1,z2,…zk) может быть представлена в виде

f(z1,z2,…zk)= f1(z1),f2(z2),…fk(zk)

Стационарный поток с ограниченным последействием имеет следующее соотношение:

F2(z)=f3(z)=…=fk(z)=f(z)

Это означает, что при j > 1 интервалы ξj имеют одинаковое распределение. Математическое ожидание случайной величины ξj при j> 1

μ=,

где μ
имеет смысл средней длины интервала между последователь­ными заявками.

Для стационарных потоков с ограниченным последействием можно ввести понятие интенсивности потока λ
в виде λ=1/μ

Эта величина характеризует среднее количество событий в еди­ницу времени для данного потока.

Примером стационарного потока с ограниченным последей­ствием является поток с равномерным распределением интервалов времени между заявками.
Функция плотности f
(
z
)
такого потока имеет вид

F
(
z
) =1/
b
, ≤
z
≤
b
.

Такой поток часто используется в практических задачах, воз­никающих в экономических приложениях.

Ординарным потоком
называется такой поток, в котором невоз­можно появление двух и более событий одновременно. В практи­ке часто приходится сталкиваться с групповыми заявками, т.е. несколькими событиями, проявляющимися одновременно. Такие потоки не являются одинарными.

В теории СМО весьма большое значение имеет так называе­мый простейший поток однородных событий,
называющийся пото­ком Пуассона (пуассоновский поток). Этот поток должен быть стационарным, однородным и без последействия.

Для потока Пуассона вероятность Рк
(
t
)
наступления собы­тия за интервал времени длиной / записывается следующим об­разом:

Pk(t)
=
,

где е
— основание натурального логарифма; λ
t
—
среднее число заявок, поступивших на обслуживание за интервал t
;
k
—
коли­чество заявок за интервал времени t.

Функция плотности вероятности этого потока

F
(
z
) = λ
e
-
λz
, λ = 1/
t
,

где λ
— интенсивность или плотность потока.

Для расчетов параметров СМО на основе потока Пуассона не­обходимо проверить, соответствует ли поток закону распределения Пуассона. Признаком потока Пуассона является равенство математического ожидания дисперсии , т.е.

Пусть х —
число заявок, поступивших за единицу времени, т

—
число единиц времени с соответствующим поступлением заявок, п
— общее число единиц времени.

Пример.
Проверить, является ли поток требований в систему распределенным по закону Пуассона.

х	т	тх	тх2
0	10	0	0
1	31	31	31
2	40	80	160
3	20	60	180
4	10	40	160
5	4	20	100
6	6	36	216
Итого:	121	267	847

Теперь рассчитаем

Дисперсия потока

В связи с тем, что, поток можно считать пуассоновским.

Простейший поток и поток с равномерным распределением интервалов времени между последовательными событиями наи­более часто применяются в теории и практике СМО.

Часто используется также ординарный стационарный по­ток с отсутствием последействия, который называется пото­ком Эрланга. Потоком Эрланга порядка т

называют поток, для которого

Где λ=/m

Поток событий называется регулярным,
если длина интервала между событиями является постоянной величиной. Примерами такого потока могут служить ежедневные сводки о каких-либо со­бытиях (отчеты о дневной выручке в магазине, ежедневная сумма сделок на бирже или прихода средств в банк и т.п.), регламен­тированный поток деталей, сходящих с конвейера, поток поездов в метро и др.

Если известна длина интервала регулярного потока а,
то дан­ный поток полностью определен во времени и не является слу­чайным. Регулярный поток также является ординарным и стаци­онарным. Однако регулярный поток является потоком с последей­ствием. Интенсивность регулярного потока будет

Потоки событий различного вида могут разряжаться
и объеди­няться.
К сожалению, эти термины могут применяться толь­ко к потокам определенного вида. Например, если интервалы в потоке Эрланга n-го порядка уменьшить в n+1 раз, то интенсив­ность полученного потока станет равной интенсивности исходного пуассоновского потока, с ростом n
такой поток становится сколь угодно близким к регулярному с той же интенсивностью. Такие нормированные потоки Эрланга дают различные типы потоков с последействием, начиная от потоков без последействия (n= 0) и кончая регулярными (n = ∞).

Если происходит объединение нескольких независимых орди­нарных потоков с сопоставимыми интенсивностями, то с ростом числа слагаемых потоков объединенный поток приближается к простейшему с возможной нестационарностью. Если слагаемые потоки стационарны, то в пределе получается пуассоновский по­ток. Интенсивность объединенного потока равна сумме интенсивностей каждого из них.

Поток, получаемый в результате случайного разряжения или объединения пуассоновских потоков, также является пуассоновским.

Как будет показано ниже, используя потоки Эрланга и Пуас­сона, можно рассчитать аналитически установившиеся значения различных параметров СМО. Однако применение этих потоков в практике имитационного моделирования в чистом виде, без спе­циальной корректировки, учитывающей изменения типа потока, его интенсивности и т.п., крайне ограничено.

Таким образом, вышеприведенные математические описания потоков однородных событий позволяют осуществить формали­зацию процессов функционирования СМО.

Пусть t ож
— время ожидания обслуживания, тогда в первом случае поступившая заявка может иметь три варианта поведения, а именно: покинуть систему
(
t
0Ж
= 0), встать в очередь
на обслу­живание до того момента, пока не освободится свободный канал (tож
= ∞), и, наконец, встать в очередь с ограничением времени ожи­дания
обслуживания (tож
≠∞).

Исходя из этого СМО подразделяются на системы с отказами (
t
ож

= 0), системы с ожиданием (
t
ож

=∞
) и си
c
темы с ограниченным ожиданием
(0<t
ож
< ∞). Величина tож
является одним из показа­телей качества СМО.

Рассмотрим теперь время обслуживания заявки
(время занято­сти линии) tобс
как параметр обслуживающей системы.

Время обслуживания требований является случайной величи­ной и может изменяться в большом диапазоне. Случайная вели­чина tобС
характеризуется законом распределения, который может определяться на основе статистических испытаний. На практике часто исходят из гипотезы о показательном законе распределения времени обслуживания.

При таком распределении времени обслуживания функция распределения времени обслуживания имеет вид

где θ= —
интенсивность обслуживания одного требова­ния одним обслуживающим устройством; t0
бс — среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим уст­ройством.

При показательном законе распределения времени обслуживания и при наличии n обслуживающих линий одинаковой мощно

сти

Важным параметром СМО является коэффициент загрузки

Величина показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за время обслуживания одного требования одним устройством. В этом случае количество обслуживающих ус­тройств п
должно быть не меньше коэффициента загрузки:

В противном случае очередь будет бесконечно расти.

Ниже приведены расчетные формулы для определения важней­ших характеристик качества функционирования СМО при пока­зательном законе распределения времени обслуживания заявок.

1. Вероятность того, что все обслуживающие системы свободны,

2.
Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты,

3. Среднее число устройств, свободных от обслуживания,

4. Коэффициент простоя обслуживающих устройств

5. Среднее число устройств, занятых обслуживанием,

6. Коэффициент загрузки системы

7. Средняя длина очереди

8. Среднее время ожидания требований в очереди

или

Сущность имитационного моделирования СМО заключается в том, что необходимо построить алгоритмы, вырабатывающие слу­чайные реализации заданных событий или потоков.
Это означает, что нужно проимитировать все входные потоки, задать случайные значения времен обслуживания заявок для каждого канала, а также дисциплину очереди.

4. Вопросы формирования случайных потоков событий

Выше были показаны способы применения простейших случай­ных потоков событий. Как правило, такие потоки должны обла­дать свойствами стационарности, отсутствия последействия и од­нородности. Если выполнить все эти условия, то имитационное моделирование СМО в отличие от аналитического решения смо­жет дать дополнительно только значения качественных парамет­ров в переходном процессе, т.е. в начальный период функциони­рования СМО. Установившиеся значения с точностью до инстру­ментальной ошибки должны быть одинаковы.

Вместе с тем можно утверждать, что применение простейших потоков случайных событий
при аналитическом или имитацион­ном моделировании на основе СМО сложных экономических объектов не является эффективным
и, как правило, создает оши­бочное представление о качестве функционирования объекта.

В
качестве примера рассмотрим сравнительно простой случай моделирования на основе СМО швейной фабрики. Пусть швейная фабрика имеет 30 машин для шитья одежды. Машины работают две смены — 18 ч. В среднем одна машина шьёт 10 заказов за час, 180 заказов за 2 смены в день. Все 30 машин за 2 смены шьют 5400 заказов. В среднем за день на фабрику поступает от 5000 до 7000 заказов. Требуется опреде­лить оптимальное количество работающих машин, длины очере­дей клиентов и среднее время нахождения в очереди.

Используя введенные выше зависимости, можно вычислить значения среднего числа машин швейной фабрики, свободных от рабо­ты No
,
среднюю длину очереди клиентов L
и среднее время ожи­дания клиентов в очереди tож
. Естественно, что для = 5000 за­казов/день и = 7000 заказов/день характеристики качества об­служивания будут совершенно различными. Учитывая, что среднее число заявок обслуживаемых в единицу времени , где —
среднее время обслуживания одного заказа одной швейной фабрики, причем θ=1/80 сут., вычислим коэффициент интенсивности нагрузки . Величина характеризует среднее число машин, которое необходимо иметь, чтобы обслужить за сутки (сутки приняты за единицу времени) все поступившие заказы. Таким образом, необходимо иметь все­го 27,7 машины для случая , а для .λ2

= 7000 необходимое количество машин составит более 38 (а2

= 38,8). Чтобы очередь заказчиков не росла безгранично, необходимо выполнить условие a/n<
1, где п —
число машин швейной фабрики. Поскольку в нашем примере на фабрике имеется 30 швейных машин, то .

Следовательно, для входного по­тока с =7000 заказов/день очередь будет безгранично расти.

Рассмотрев итоги приведенных расчетов, мы пришли к следу­ющим выводам.

1. Мы не можем сказать, сколько швейных машин нужно установить, чтобы обслуживать потоки с =5000, .λ2

= 7000, так как а
меняется от 27,7 до 38,8.

2. В связи с тем, что потоки заявок в системе рассчитаны для средних суток, расчеты величин очереди L
и среднего времени ожидания обслуживания tож
, как и другие качественные парамет­ры, будут рассчитаны неверно, так как интенсивность потока в различные часы суток различна и может меняться до 3—5 раз. Ко­нечно, можно рассчитать эти параметры за каждый час отдельно, но и это будет неверно, так как СМО будет находиться в постоян­ном переходном процессе. В этом случае входной поток будет не стационарным и с последействием, поскольку математическое ожи­дание числа заказов в единицу времени будет меняться в 3—5 раз, а число заказов, поступившее, например, в 20 ч, зависит от того, сколько их было фактически за каждый предыдущий час.

3. Цикл работы швейной фабрики равен одному году, так как услуги шитья обладают существенной сезонностью. Имеет место весенний и осенний пики потока заказов, а на лето и зиму приходится снижение интенсивности заказов. Весной одежду ме­няют с зимней на летнюю, а осенью наоборот. Расчет по средней интенсивности потока заказов ничего хорошего не дает, так как в пик будет перегрузка, а в спад — недогрузка. Разница между ними составляет опять же 3—5 раз.

4. Кроме того, имеет место цикличность работы и в зависимо­сти от дня недели и в течение каждого дня.

На основании этих частных выводов приходим к следующему общему выводу.
Ни один параметр нашей швейной систе­мы не будет найден достоверно как при аналитичес­ких расчетах, так и при имитационных, если будут использованы входные потоки Пуассона, обладающие стационарностью, однородностью и отсутствием последействия. Поэтому использование входных потоков такого вида или даже модифицированных в ре­альных расчетах в чистом виде неприемлемо.

Это означает, что если используется какой-то входной поток, закон распределения которого можно записать в аналитической форме, то он должен быть, по крайней мере, преобразован в по­ток, учитывающий все необходимые факторы, воздействующие на данную СМО. После этого он становится не однородным, не ста­ционарным с последействием и даже не ординарным.

Если взять поток Пуассона, то вероятность поступления за время t
ровно k
заявок

Блоки 2—4 модели должны воздействовать на параметры k
и λ таким образом, чтобы значение скорректированного потока зависело от месяца ,
дня недели у2

и времени суток у3
:

Вид конкретной зависимости может быть задан как аналити­чески, так и таблично или при помощи логических фраз. Только после такого преобразования входного потока можно приступать к имитационному моделированию, например, той же фабрики химчистки.

Выбор размерности входного потока заявок
имеет принципиаль­ное значение при его моделировании. Например, выбранная для нашей швейной фабрики размерность, характеризующая его интенсивность, имеет значение числа заказов в сутки.
Такая раз­мерность не позволяет учитывать изменения интенсивности потока в течение суток, поэтому не является верной. Правильная для нашего случая размерность входного потока заявок на обслужива­ние всегда должна учитывать тот интервал времени, за который могут произойти какие-либо изменения входного потока
и, в част­ности, его интенсивности. Для нашего случая размерность должна быть число заказов в час.

Существует также еще один способ получения реальных вход­ных потоков — это использование реальных статистических дан­ных о количестве заявок, поступивших в систему за определен­ный временной период. Вполне естественным является требова­ние, чтобы длина временного периода не была меньше необходимого цикла моделирования.

Вместе с тем при таком способе формирования входного по­тока событий возникают проблемы, связанные с воздействием объекта моделирования на входной поток. Если взять наш при­мер с швейной фабрикой, то последняя обладает конечной мощ­ностью и в период перегрузки каналов очередь заявок на обслу­живание обрезается искусственно — прекращается прием заказов на данной фабрике. Такие факты нужно как-то учитывать, напри­мер путем добавления потерянных заявок в пиковый период, на­кладывать какие-то ограничения на модель данной СМО, напри­мер уменьшение длины очереди.

Для других объектов таких ограничений может и не быть, по­этому, прежде чем использовать фактическую статистику, необ­ходимо ее проанализировать на предмет возможного влияния объекта моделирования на входной поток.

Входные потоки можно получать также и опросным путем, например в форме изучения спроса на товары и услуги.

Исследование статистических данных для оценки возможнос­ти их применения при формировании входных потоков сводится к проведению анализа соответствующего динамического ряда на предмет наличия тренда, сезонности и случайной составляющей.
Обычно их отфильтровывают, измеряют и лишь затем формиру­ют необходимый входной поток. Таким же образом поступают при формировании входных потоков из простейшего потока. Получен­ные составляющие ряда применяются при формировании модели входного потока.

Несколько слов о цикле моделирования. Для нашего примера моделируемый цикл не может быть меньше одного года, а имитаци­онные реализации должны учитывать данные за каждый час функ­ционирования фабрики. Только при этих условиях можно получить достоверные качественные показатели. Эти показатели не будут оди­наковыми в пределах моделируемого цикла. Они будут соответство­вать реальным значениям в каждом однотипном интервале времени. Учитывая среднюю длину очереди, среднее время ожидания обслу­живания, а также количество фактически загруженных каналов, можно спроектировать, например, такую швейную фабрику, у ко­торой эти параметры соответствуют желаемым целевым показате­лем. Для различных экономических объектов выбор цикла моделирования может быть другим, но он должен учитывать все или почти все факторы, изменяющие входной поток.

Естественно, что для других экономических объектов модель формирования потока (
t
)
будет совершенно иной, так как эко­номические факторы могут быть другими. Однако использование потоков без коррекции, как правило, не дает нужных результатов.

Аналогичное заключение можно сделать для показателей интенсивности обслуживания и количества обслуживающих каналов.
Эти показатели также подвергаются воздействию различных экономи­ческих факторов, которые следует учитывать. Например, количе­ство каналов обслуживания не может быть постоянной величиной, поскольку в реальной жизни они выходят из строя, подвергаются профилактике, дублированию и другим изменениям. Меняется также их производительность.

5. Моделирующие алгоритмы

Создание моделирующего алго­ритма осуществляется на этапе, когда решены все принципиальные вопросы по выбору математического аппарата, описывающего объект, и построению структуры модели в полном объеме. Постро­ение моделирующего алгоритма является способом представления построенной модели, который воспринимает компьютер.

С одной стороны, это чисто техническая задача, не имеющая отношения к построенной модели, а с другой — важная задача, так как моделирующий алгоритм может оказаться неудобным, громоздким или даже влияющим на процесс моделирования.

В настоящее время существуют три способа задания моде­лирующих алгоритмов: операторный, задаваемый языком про­граммирования
и пакетом прикладных программ.
Для имитаци­онного моделирования обычно применяются специальные язы­ки моделирования или универсальные имитационные модели. Применение языков моделирования и универсальных имита­ционных моделей является наиболее удобным, однако для луч­шего понимания процедур построения моделирующих алгорит­мов целесообразно в учебных целях рассмотреть методику по­строения операторных схем.

Операторы бывают двух видов: арифметические
и логические.
Арифметические выполняют вычисления в широком смысле это­го слова и обычно передают управление какому-то одному опе­ратору. Например, запись означает «оператор с арифметичес­ким номером 10 передает управление другому оператору с индек­сом 26».

Логические операторы при передаче им управления проверя­ют какие-то заданные условия и затем передают управление тому оператору, для которого эти условия выполняются. Например, логический оператор Р20
означает, что логический опера­тор в случае выполнения заданного условия передает управ­ление оператору 22, а в случае невыполнения условий — опера­тору 10.

В случае если управление передается данному оператору, то номер оператора, от которого передается управление, записыва­ется слева вверху от символа оператора. Например, запись 38.2
A8
означает, что управление от операторов 38 и 2 передается опера­тору А18.
Передача управления данному оператору от предыдущего изображается лишь тогда, когда управление передается от несколь­ких операторов.

Для всех типов операторов, если они следуют друг за другом, обозначение передачи управления опускается.

Окончание вычислений обозначается служебным оператором с индексом Я.

6. Моделирование одноканальной СМО

Рассмотрим процесс моделирования СМО на примере одноканальной системы, т.е. СМО с одним обслуживающим каналом.

Обозначим через г длительность обслуживания заявки в сис­теме. Пусть имеет закон распределения f() и является стацио­нарной случайной величиной. Заявки обслуживаются в порядке поступления по очереди, в которой заявки могут находиться не бо­лее времени, ож
. Величина ож
имеет закон распределения .
Предположим, что ож
является независимой величиной для раз­личных заявок.

Пусть требуется определить в результате моделирования долю обслуженных заявок, долю заявок, получивших отказ, среднее вре­мя ожидания в очереди
и т.п.

Будем рассматривать процесс функционирования в интервале времени [О, Т],
а заявки вне этого интервала в данной СМО не рассматриваются, даже если заявка начала обслуживаться в интер­вале [0,T], а окончание обслуживания выходит за пределы этого интервала. Такие заявки считаются необслуженными. Заявка по­лучает отказ в обслуживании, если время начала обслуживания tH
< Т,
а время его окончания tCB
> Т.

Введем следующие операторы:

Ф1
— формирование случайных значений моментов ^поступ­ления заявок в систему;

Рг —
проверка условия попадания заявки, появившейся в мо­мент времени в интервале [О, Т
]

Рз
—проверка условия — момент освобожде­ния канала от обслуживания предыдущей заявки;

Ф2
— формирование случайных значений длительности ожи­дания в очереди в соответствии с законом распределения ;

А5
— вычисления верхней границы интервала ожидания заявки в очереди;

Р6 —
проверка условия

F
7
— формирование момента начала обслуживания (j—1)-й за­явки:

F
8
— формирование момента начала обслуживания j-й заявки:

Ф9 —
формирование времени занятости канала в соответ­ствии с распределением f();

А10— вычисление момента окончания обслуживания j-й заявки (момент освобождения канала);

Р11
— проверка условия ;

К12—
счетчик количества m
обслуженных заявок;

A
13
—вычисление длительности ожидания обслужива­ния j
-ой
заявки;

К14
—счетчик числа заявок т,
получивших отказ;

K15 —счетчик числа реализаций N при моделировании;

P16 — проверка условия N
<
N
*,
где N
*
— заданное число ре­ализаций;

F
17
— переход к очередной реализации;

A18 — обработка результатов моделирования;

Я19— окончание вычислений и выдача результатов.

Операторная схема моделирующего алгоритма записывается следующимобразом:

Зададим начальные условия в виде t0
=0, =0, m= 0, ,
N= 0.

Задаются также границы интервала Т,
законы распределения потока заявок, а также f

7. Моделирование многоканальной СМО

Моделирующий алгоритм для многоканальной СМО мало отличается от рассмот­ренного выше алгоритма для одноканальной СМО.

Предположим, что в отношении входного потока заявок и ка­налов обслуживающей системы выполняются те же требования, что и для одноканальной СМО. Отличие заключается лишь в том, что вместо одного канала имеется п
идентичных параллельных каналов.

Заявка, поступившая в СМО, обслуживается на том канале, ко­торый первым был определен как свободный (правило определения свободного канала может быть и другим). Если все каналы заняты, то заявка становится в очередь и ждет, но не более установленного времени . Если время ожидания больше чем, то она покида­ет СМО. Для составления моделирующего алгоритма такой СМО заменим операторы Рз,
алгоритма моделирования одноканальной СМО на, у которых величина заменена на вели­чину mintCB
,
под которой будем понимать наименьшее время обслу­живания любого из п
каналов многоканальной СМО.

Введем также дополнительно оператор A
2
0,
который вычисля­ет минимальное значение tCB
,
т.е. mintCB
.

Операторы А1о
и Р11

заменяем на операторы , кото­рые вместо tjCB
содержат tjkсв
, где k
— индекс номера канала.

Моделирующий алгоритм для многоканальной СМО запишется следующим образом:

Рассмотренные простейшие одноканальная и многоканальная СМО могут быть использованы как элементы более сложной ими­тационной модели, например модели банка, объединения пред­приятий или целой отрасли. В этом случае эти элементы форма­лизуются на языке систем и используются как составные части более сложной системы. Принципы функционирования составных частей (подсистем) соответствуют тем, которые приняты для той математической схемы, которой определяется процесс функцио­нирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При выполнении контрольной работы поставленная передо мной цель была достигнута, задачи решены.

1. Дать понятие имитационной модели и имитационного моделирования

Слово имитация (от лат. imitatio
—
подражание) означает под­ражание, воспроизведение явлений, событий, действий, объек­тов и т.п. определенным образом. В известном смысле имитация является синонимом термина «модель» (от лат. modulus
— мера, образец), которая определяется как любой образ — материальный или нематериальный (изображение, описание, схема, воспроизве­дение, материальное воплощение, представитель и т.п.) — изуча­емого объекта.

Имитационные модели строят тогда, когда объект моделиро­вания настолько сложен, что описать его поведение, например, математическими уравнениями невозможно или очень трудно. В некоторых случаях такой объект моделирования называют «черным ящиком», т.е. объектом с неизвестной внутренней структурой и, следовательно, с неизвестным механизмом пове­дения как при воздействии на него извне, так и при внутренних изменениях.

2. Изучить имитационное моделирование систем массового обслуживания

Основными понятиями теории массового обслуживания явля­ются: входной поток заявок, обслуживающая система, выходной поток заявок.

Входной поток
заявок характе­ризуется определенной организацией и рядом параметров: интенсивностью поступления заявок, т.е. числом зая­вок, в среднем поступивших в единицу времени, и законом рас­пределения вероятностей моментов прихода заявок в систему.

Обслуживающая система
(ОС) представляет собой совокуп­ность устройств, которые обеспечивают обслужи­вание заявки, пришедшей в систему. Обслуживающая система характеризуется пропускной способностью, т.е. числом обслуженных заявок в единицу времени, и
законом распределения времени обслуживания заявок.

Поток обслуживающих заявок, выходящих из обслуживающей системы, называется выходным потоком заявок.
Параметром вы­ходного потока является интенсивность.

3. Изучить формирование случайных потоков событий

Применение простейших потоков случайных событий
при аналитическом или имитацион­ном моделировании на основе СМО сложных экономических объектов не является эффективным
и, как правило, создает оши­бочное представление о качестве функционирования объекта.

Выбор размерности входного потока заявок
имеет принципиаль­ное значение при его моделировании. Например, выбранная для нашей фабрики химчистки размерность, характеризующая его интенсивность, имеет значение числа заказов в сутки.

Существует также еще один способ получения реальных вход­ных потоков — это использование реальных статистических дан­ных о количестве заявок, поступивших в систему за определен­ный временной период. Вполне естественным является требова­ние, чтобы длина временного периода не была меньше необходимого цикла моделирования.

4. Ознакомиться со способами моделирующих алгоритмов

В настоящее время существуют три способа задания моде­лирующих алгоритмов: операторный, задаваемый языком про­граммирования
и пакетом прикладных программ.
Для имитаци­онного моделирования обычно применяются специальные язы­ки моделирования или универсальные имитационные модели. Применение языков моделирования и универсальных имита­ционных моделей является наиболее удобным, однако для луч­шего понимания процедур построения моделирующих алгорит­мов целесообразно в учебных целях рассмотреть методику по­строения операторных схем.

Операторная схема моделирующего алгоритма представляет собой последовательность операторов, описывающих достаточно крупную группу операций. Используя эти операторы, легко ори­ентироваться в общей идее построения алгоритма.

5. Изучить моделирование системы массового обслуживания

Моделирование одноканальной СМО. Операторная схема моделирующего алгоритма записываетсяследующимобразом:

Моделирующий алгоритм для многоканальной СМО мало отличается от рассмот­ренного выше алгоритма для одноканальной СМО.

Моделирующий алгоритм для многоканальной СМО запишется следующим образом: