Измерение случайных процессов

Реферат на тему : Измерение случайных процессов.

Содержание

1. Общие сведения об измерениях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 3.

2. Измерения математического ожидания и дисперсии случайного процесса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 9.

3. Измерение функций распределения вероятности. . . . стр 11.

4. Измерения корреляционной функции. . . . . . . . . . . . . . стр 13.

5. Анализ спектра мощности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 14.

6. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 16.

7. Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 17.

ИЗМЕРЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Измерения вероятностных характеристик случайных процес­сов (статистические измерения) составляют один из наиболее быстро развивающихся разделов измерительной техники. В на­стоящее время область распространения статистических методов исследования и обработки сигналов измерительной информации практически безгранична. Связь, навигация, управление, диагно­стика (техническая, медицинская), исследование среды и многие другие области немыслимы без знания и использования свойств сигналов и помех, описываемых их вероятностными характери­стиками.

Потребность в изучении свойств случайных процессов приве­ла к развитию соответствующих методов и средств (преимуще­ственно электрических). Появление анализаторов функций рас­пределения вероятностей, коррелометров, измерителей математи­ческого ожидания, дисперсиометров и других видов измерителей вероятностных характеристик открыло новые возможности в об­ласти создания современной информационной и управляющей техники.

Рассмотрим необходимые исходные определения и общие сведения о статистических измерениях.

В теории статистических измерений используют следующие понятия и их аналоги, заимствованные из теории случайных функций (аналоги из математической статистики): реализация случайного процесса (выборочная функция), мгновенное значе­ние (выборочное значение), совокупность мгновенных значений (выборка), вероятностная характеристика (предел выборочного среднего).

Введем следующие обозначения: Х (
t
) —
случайный процесс;

i
-порядковый номер реализации случайного процесса Х
(t
);

x
i
(t
j
)
—мгновенное значение процесса Х (t),
соответствующее значению (i
-й реализации в j
-й момент времени. Случайным назы­вают процесс Х (t),
мгновенные значения которого x
i
(
t
j
)
суть случайные величины.

На рис.1 представлена в качестве примера совокупность реализации случайного процесса, воспроизводящих зависимости некоторого параметра Х
от времени t.

В теории случайных процессов их полное описание произво­дится с помощью систем вероятностных характеристик: многомерных функций распределения вероятности, моментных функ­ций, характеристических функций и т. п. В теории статистиче­ских измерений исследуемый случайный процесс представляется своими реализациями, причем полное представление осуществля­ется с помощью так называемого ансамбля, т. е. бесконечной совокупностью реализаций. Ансамбль — математическая аб­стракция, модель рассматриваемого процесса, но конкретные реализации, используемые в измерительном эксперименте, пред­ставляют собой физические объекты или явления и входят в ан­самбль как его неотъемлемая часть.

Если случайный процесс представлен ансамблем реализации x
i
(
t
),
i
=1, 2, ..., со, то вероятностная характеристика в может быть определена усреднением по совокупности, т.е.

N

q [X (t
)]=lim 1/N S g[x
i
(t
)], (1)

N® ¥ i
=1

где g
[X
i
(t
)]— некоторое преобразование, лежащее в основе оп­ределения вероятностной характеристики q. Так, например, при определении дисперсии g [X
i
(
t
)
]=
x
i
(
t
).
При этом полагаем, что процесс характеризуется нулевым математическим ожиданием.

Вместо усреднения по совокупности может быть использовано усреднение по времени с использованием k-
й реализации x
k
(
t
)
и тогда

T

q [X(t
)]= lim 1/T ò g[x
i
(t
)]dt.
(2)

T ® ¥ 0

Например, при определении математического ожидания

T

M [X (t
)]= lim 1/T ò x
k
(t
) dt.
(3)

T® ¥ 0

В общем случае результаты усреднения по совокупности (1)
и по времени (2)
неодинаковы. Предел выборочного среднего по совокупности (1)
представляет собой вероятност­ную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от текущего времени. Предел выборочного среднего по времени (2)
представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от номера реализации.

Наличие и отсутствие зависимости вероятностных характери­стик от времени или от номера реализации определяет такие фундаментальные свойства процесса, как стационарность и эрго­дичность. Стационарным,
называется процесс, вероятностные ха­рактеристики которого не зависят от времени; соответственно эргодическим
называется процесс, вероятностные характеристи­ки которого не зависят от номера реализации.

Следовательно, стационарный неэргодический
случайный процесс — это такой процесс, у которого эквивалентны времен­ные сечения (вероятностные характеристики не зависят от теку­щего времени), но не эквивалентны реализации (вероятностные характеристики зависят от номера реализации). Нестационар­ный эргодический
процесс — это процесс, у которого эквивалент­ны реализации (вероятностные характеристики не зависят от номера реализации), но не эквивалентны временные сечения (вероятностные характеристики зависят от текущего времени). Классифицируя случайные процессы на основе этих призна­ков (стационарность и эргодичность), получаем следующие четы­ре класса процессов: стационарные эргодические, стационарные неэргодические, нестационарные эргодические, нестационарные неэргодические.

Учет и использование описанных свойств случайных процес­сов играет большую роль при планировании эксперимента по определению их вероятностных характеристик.

Поскольку измерение представляет собой процедуру нахож­дения величины опытным путем с помощью специальных техни­ческих средств, реализующих алгоритм, включающий в себя операцию сравнения с известной величиной, в статических изме­рениях должна применяться мера, воспроизводящая известную величину.

Типовые алгоритмы измерений вероятностных характеристик случайных процессов, различающиеся способом применения ме­ры в процессе измерений, представляются в следующем виде:

q* [X (t
)]= KSd
g [X (t
)]; (4)

q* [X (t
)]= Sd
Kg [X (t
)]; (5)

q* [X (t
)]= Sd
gK [X (t
)]; (6)

где Sd
—
оператор усреднения; К—
оператор сравнения;

q* [X (t)]—результат измерения характеристики q [X (t
)].

Данные алгоритмы различаются порядком выполнения опе­раций. Операция сравнения с образцовой мерой (К
) может быть заключительной [см. (4)], выполняться после реализации оператора g,
но до усреднения [см. (5)] и, наконец, быть началь­ной [см. (6)]. Соответствующие обобщенные структурные схе­мы средств измерений значений вероятностных характеристик представлены на рис. 2
.

На этих рисунках для обозначения блоков, реализующих операторы, входящие в выражения (4) — (6), используют­ся те же обозначения. Так, g —
устройство, выполняющее пре­образование, лежащее в основе определения вероятностной ха­рактеристики q; Sd
—
устройство усреднения (сумматор или ин­тегратор); К—
компаратор (сравнивающее устройство), а М—
мера, с помощью которой формируется известная величина (q., g., x
.
)

Представленное на рис. 2
, а

средство измерений реализует следующую процедуру: на вход поступает совокупность реализа­ций {x
i
(
t
)
} (при использовании усреднения по времени — одна реализация x
i
, (
t
)
-, на выходе узла g имеем совокупность преоб­разованных реализации {g[x
i
(t
)]}; после усреднения получаем величину Sd
{g[x
i
(t
)]}, которая поступает на компаратор, осуще­ствляющий сравнение с известной величиной qо, в результате чего получаем значение измеряемой вероятностной характеристики q*[X
(
t
)].

Отличие процедуры, реализуемой средством измерений, пред­ставленным на рис. 2, б,
заключается в том, что после формиро­вания совокупности {g [x
i
(t
)]} она поступает не на усреднитель, а на компаратор, который выполняет сравнение с известной вели­чиной go
;
на выходе компаратора формируется числовой массив {g* [x
i
(
t
i
)
]} и усреднение выполняется в числовой форме. На выхо­де усреднителя Sd
имеем результат измерения q* [X
(t
)].

Средство измерений (рис. 2, в
) основано на формировании массива числовых эквивалентов мгновенных значений реализа­ции случайного процесса Х (
t
),
после чего преобразование g и ус­реднение выполняются в числовой форме. Это устройство эквива­лентно последовательному соединению аналого-цифрового пре­образователя (АЦП) и вычислительного устройства (процессо­ра). На выходе АЦП формируется массив мгновенных значений, а процессор по определенной программе обеспечивает реализа­цию операторов g и Sd
,

Погрешность результата измерения вероятностной характе­ристики случайного процесса

Dq* [X
(t
)]= q*[X
(t
)]-
q [ X
(t
)]. (7)

Для статистических измерений характерно обязательное на­личие составляющей методической погрешности, обусловленной конечностью объема выборочных данных о мгновенных значени­ях реализации случайного процесса, ибо при проведении физиче­ского эксперимента принципиально не может быть использован бесконечный ансамбль реализации или бесконечный временной интервал. Соотношение (7)
определяет результирующую по­грешность, включающую в себя как методическую, так и инстру­ментальную составляющие. В дальнейшем будут приводиться соотношения только для определения специфической для стати­стических измерений методической погрешности, обусловленной конечностью числа реализации и временного интервала.

2. ИЗМЕРЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ИДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Математическое ожидание и дисперсия случайного процес­са — основные числовые вероятностные характеристики, измере­ние которых играет большую роль в практике научных исследова­ний, управления технологическими процессами и испытаний.

При измерении математического ожидания результатом из­мерения является среднее по времени или по совокупности мгно­венных значений реализации исследуемого случайного процесса. Усреднение по времени применяется на практике существенно чаще, чем усреднение по совокупности, поскольку работать с од­ной реализацией удобнее и проще, чем с совокупностью. На рис. 3
приведена структурная схема устройства, реали­зующего алгоритм

t

M* [X (t)]= 1/T ò xk (t) dt.

t-T

На рисунке Д—
преобразователь измеряемой величин

ы в электрический сигнал (датчик); НП —
нормирующий преобра­зователь, превращающий входной сигнал в стандартный по виду и диапазону значений; И —
интегратор; УС — устройство сопря­жения, обеспечивающее согласование выхода интегратора со входами цифрового вольтметра и регистрирующего прибора;

ЦИП —
цифровой прибор (например, цифровой вольтметр);

РП—
регистрирующий прибор (самопишущий прибор).

Для оценки среднего квадратичeского значения погрешности, обусловленной конечностью объема выборочных данных,

можно пользоваться следующими соотношениями:

1/2

s =[2D
[X(t
)] t k
/T]

M°

при усреднении по времени T и

1/2

s =[D
[X(t
)]/N]

M°

при усреднении по совокупности N.
Здесь D
[X
(t)]—дисперсия процесса X
(
t
),
а t k
— интервал корреляции. Дисперсия случайного процесса характеризует математиче­ское ожидание квадрата отклонений мгновенных значений реали­зации случайного процесса от математического ожидания. Таким образом,

T 2

D[X(t
)]= lim 1/T ò [x
k
(t
)-[X(t
)]] dt

T®¥ 0

или

N 2

D[X(t)]= lim 1/N S [xi(t)-[X(t)]] dt

N®¥ i=1

Возможны различные варианты построения устройств для измерения дисперсии случайного процесса — дисперсиометров. На рис. 4
приведена структурная схема средства измерений дисперсии случайного процесса, т. е. работающего согласно вы­ражению

t t 2

D* [X(t
)]=1/T ò [x
k
(t
)- 1/T1 ò x
k
(t
)dt
] dt

t-T t-T1

На рисунке НП —
нормирующий преобразователь; И1
и И2 —
интеграторы; ВУ—
вычитающее устройство; КУ—
квадратирующее устройство; УС —
устройство сопряжения; ЦИП —
цифро­вой прибор; РП —
регистрирующий прибор.

Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборочных данных о мгновенных значениях Х (t)
может быть определена с помощью соотношений

2 1/2

s =[2D
[X (t
)] t k
/T]

M°

, где D
[X
2
(t
)]— дисперсия Х (t);
T—время усред­нения.

При усреднении по совокупности N
реализаций

2 1/2

s =[D
[X (t
)] /N]

D°

3. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Одномерная интегральная функция распределения вероятно­сти F
(X)
равна вероятности того, что мгновенное значение про­извольной реализации в произвольный момент времени меньше установленного уровня, т. е. X
i
(
t
i
)
£ X
.
Функция F
(X)
определя­ется как предел выборочного среднего:

F (X)= lim Sd
[j [x
(t
) ,X]],

d
®¥

1 при x
(t
) £ X

Где j[x
(t
) ,X]=

0 при x
(t
) > X

Поскольку интегральные F (X)
и дифференциальные w
(X)
функции распределения вероятности связаны между собой со­отношениями

X

w
(X) =(dF
(X))/dX
; F
(X)= ò w
(X) dX

-¥

справедливо выражение

w
(X) = lim ((F(X+ DX)-F (X))/ DX)= lim ((Sd
[Dj[x
(t
) ,X]])/ DX)

DX®0 DX®0

1 при X < x
(t
) £ X+ DX

где Dj [x
(t
) ,X]=

0 при x
(t
) £ X, x
(t
) > X+ DX

В качестве примера рассмотрим средство измерений для определения интегральной функции распределения вероятности уровня электрического сигнала. Схема средства измерений, реа­лизующего алгоритм

t

F
* (
X
)=
1/T ò j [x
k
(t
) ,X]dt
,

t-T

показана на рис. 5
, где ПУ —
пороговое устройство, формиру­ющее сигнал X
k
(
t
}—X; ФУ—
формирующее устройство; И—
интегратор, на выходе которого получается сигнал F* (X) при установленных значениях Х
и Т; УС —
устройство сопряжения;

ЦИП —
цифровой прибор; РП —
регистрирующий прибор.

Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборки определяется для F {X)
с помощью соотношения

2 1/2

s =[2(F - F ) t k
/T]

F°

при усреднении по времени и с помощью соотношения

2 1/2

s =[2(F - F )/N]

F°

при усреднении по совокупно­сти. Для (X)
соответствующие соотношения имеют вид:

2 1/2

s =[2(w
-
w
DX) t k
/T]

w
°

2 1/2

и s =[(w - w
DX)/N]

w
°

В приведенных соотношениях F и w
— истинные значения измеряемых функ­ций при данном X.

4. ИЗМЕРЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

Для случайного процесса с нулевым математическим ожида­нием корреляционная функция равна:

Rx
(s, t) = lim Sd
[x
i
(t
) x
i
-s
(t
- t)],

d ®¥

где t и s — соответственно сдвиг во времени и в пространстве реализации перемножаемых мгновенных значений.

В практических задачах большую роль играют стационарные случайные процессы, т. е. процессы с постоянными вероятностны­ми характеристиками, не зависящими от текущего времени. Сре­ди случайных процессов можно выделить эргодические процессы, для которых

t

Rx
(t) = lim 1/T ò x
(t
) x
(t
-t)dt
,

T ®¥ 0

Большое значение корреляционного анализа в различных областях науки и техники привело к созданию множества измери­тельных приборов для измерений корреляционных функций — коррелометров.

Типовая структура коррелометра, в котором используется усреднение по времени, представлена на рис. 6
. При этом реализуется следующий алгоритм:

t

R*x
(t) = 1/T ò x
k
(t
) x
k
(t
-t)dt
,

t
-
T

Как видно, после нормирующего преобразователя НП
сигнал поступает в устройство временной задержки УЗ и на перемножа­ющее устройство ПУ,
осуществляющее перемножение мгновен­ных значений, сдвинутых по времени на интервал т. Далее с по­мощью интегратора И
выполняется усреднение, после которого результирующий сигнал через УС подается на цифровой прибор ЦИП
или регистрирующий прибор РП.

Средние квадратические погрешности, обусловленные ко­нечностью объема выборочных данных о мгновенных значениях реализации процесса Х (
t
),
оцениваются с помощью соотноше­ний:

1/2

s ={2D[x
k
(t) x
k
(t-t)] t k
/T}

R°

при усреднении по времени Т
и

1/2

s ={D[x
k
(t) x
k
(t-t)]/N}

R°

при усреднении по совокупности.

5. АНАЛИЗ СПЕКТРА МОЩНОСТИ

Спектр мощности характеризует ее частотное распределение, и он может быть определен в соответствии со следующими форму­лами:

2

Sx
(w
) = lim 1/T | x
iT
(w
) |

T ®¥

Где

t -jwt’

XiT (w) = ò xi (t’) e dt’

t-T

На рис. 7
изображена схема анализатора спектра мощно­сти случайного процесса Х (t).

С выхода нормирующего преобразователя НП
i
-я реализация случайного процесса x
i
(
t
)
поступает на блок Ф, выполняющий преобразование Фурье, после чего узлом Кв
производится возве­дение в квадрат и нормирование с учетом интервала усреднения Т.
С помощью устройства сопряжения УС
сформированный сиг­нал поступает на ЦИП
и регистратор РП.

В настоящее время отечественной промышленностью серийно выпускаются анализаторы случайных процессов. К ним относят­ся многофункциональный статистический преобразователь Ф790, корреллометр Ф7016, комплекс измерителей характеристик случайных сигналов Х6-4/а, многофункциональные измерители ве­роятностных характеристик Ф36 и Ф37, анализаторы спектра Ф4326, Ф4327, Ф7058 и др. С помощью этих приборов и устройств можно измерять математические ожидания и дисперсии, а также значения функций распределения вероятности, корреляционных и спектральных функций с последующим восстановлением вида самих функций. Перечисленные анализаторы рассчитаны в ос­новном на унифицированный входной сигнал и позволяют изме­рить от 256 до 4096 ординат анализируемой функции. Погреш­ность измерения не превышает ±5 %.

Кроме того, для определения вероятностных характеристик случайных сигналов могут использоваться электроизмеритель­ные приборы, предназначенные для измерения среднего и дей­ствующего значений сигнала. Для определения среднего значе­ния применяют магнитоэлектрические приборы и цифровые ин­тегрирующие приборы. Для определения среднего квадратического отклонения используют приборы, показания которых определяются действующим значением сигнала (термоэлектри­ческие, электростатические и др.).

Корреляционные устройства получили применение в различ­ных областях науки и техники для измерения различных величин. В качестве примера можно указать корреляционное устройство для измерения скорости прокатки. Эти устройства измеряют кор­реляционную функцию, зависящую от т, которая, в свою очередь, зависит от скорости прокатки.

Список литературы :

1.Метрология и электроизмерительные приборы. Душин М .Е.М.: Энергоатомиздат,1986.

2.Метрология, стандартизация и измерения в технике связи. Под ред. Б.П. Хромого

М.: Радио и связь, 1986.

3.Основы метрологии и стандартизации. Голубева В. П. М .: Вектор, 1996.