Основы финансовых вычислений

Научные редакторы: д.
э.
н.
Радыгин
А.Д.
, д.
э.н.,
проф. Хабарова Л.
П.
, д.ф.-м.
н. Шапиро Л.Б.

* * *

1. Два способа расчета процентных выплат (простой процент, сложный процент)

Давая деньги в долг, кредитор упускает возможность использовать их до момента возврата. Заемщик должен выплатить компенсацию за ожидание кредитора. Компенсация обычно выражается в форме процента.

Процентом называют доход в денежной форме, выплачиваемый кредитору за пользование его деньгами. Процент начисляется на основную сумму вклада (займа) по определенной процентной ставке с определенной периодичностью, например ежегодно.

Простой процент

Пример 1.

Рассмотрим вложение 1000 рублей на счет в банке сроком 3 года при ставке 10% годовых.

Если по прошествии каждого года владелец снимает выплачиваемый доход по вкладу 10%, результаты инвестирования будут таковы:

Основная сумма вклада	Доход за год при ставке 10% годовых	На конец года на счете	Снято со счета по прошест­вии года	Остаток на счете
1 год 1000	1000 * 0.1 = 100	1100	100	1000
2 год 1000	1000 * 0.1 = 100	1100	100	1000
3 год 1000	1000 * 0.1 = 100	1100	100	1000

За 3 года инвестор получил 100 рублей по окончании первого года, 100 рублей по окончании второго года и 100 рублей по окончании третьего года, что совпало с окончанием срока вклада. В результате инвестирования в течение 3 лет получено 300 рублей сверх основной суммы вклада 1000 рублей. Всего 1300 рублей.

Таким образом, простой процент начисляется исходя из ставки процента и исходной суммы вне зависимости от накопленного дохода. Такая схема соответствует случаю, когда доход от вклада периодически выплачивается заемщиком и тут же изымается кредитором.

Сложный процент

Пример 2.

Рассмотрим вложение 1000 рублей на банковский депозит сроком 3 года при ставке 10% годовых при условии, что владелец НЕ снимает в конце каждого года полученные в качестве дохода 10%, а оставляет их на счете с целью реинвестирования по той же процентной ставке (10%).

Основная сумма вклада	Доход за год при ставке 10% годовых	На конец года на счете	Снято со счета по прошест­вии года	Остаток на счете
1 год 1000	1000 * 0.1 = 100	1100	0	1000 + 1000 * 0.1 = 1000 * (1+0.1) = 1100
2 год 1100	1100 * 0.1 = 110	1210	0	1100 + 1100 * 0.1 = 1100 * (1+0.1) = 1210
3 год 1210	1210 * 0.1 = 121	1331	0	1210 + 1210 * 0.1 = 1210 * (1+0.1) = 1331

По окончании трех лет инвестор получит кроме основной суммы вклада в 1000 рублей еще 331 рубль. Всего 1331 рубль.

Таким образом, если сравнивать условия без инвестирования процента (простой процент) и с учетом инвестирования процента (сложный процент), то результаты инвестирования по второй схеме превосходят результаты инвестирования по первой схеме на 31 рубль. Это произошло по причине реинвестирования процента.

Сложный процент начисляется исходя из ставки процента и суммы, накопленной на счете к началу очередного периода с учетом накопленного дохода. Такая схема соответствует случаю, когда доход от вклада периодически выплачивается заемщиком, но не изымается кредитором, а остается у заемщика, увеличивая сумму займа.

Естественно, эта схема подвергает кредитора большему риску, соответственно он получает и большее вознаграждение.

Вопросы для самопроверки

Что такое процент?

Какая схема начисления соответствует случаю, когда доход от вклада периодически выплачивается заемщиком и тут же изымается кредитором?

2. Изменение стоимости денег во времени

При размещении свободных средств в разные ценные бумаги инвестор стремится получить максимальную выгоду. Исходя из предположения абсолютной надежности всех способов инвестирования для того, чтобы оптимальным образом выбрать способ инвестирования, необходимо сравнить полученные доходы. Однако доходы могут поступать в разное время, таким образом, разные способы инвестирования приводят к разным графикам получения денег.

Приведение денежных поступлений к одному и тому же моменту времени

Естественным способом сравнивать денежные поступления в разные сроки является приведение их к одному и тому же моменту времени.

Как правило, в качестве такого момента выбирают или момент начала инвестиций, или некоторый фиксированный момент в будущем.

ДИСКОНТИРОВАНИЕ И НАРАЩЕНИЕ

Соответственно приведение денежных потоков к начальному моменту называется дисконтированием, а к моменту в будущем — наращением.

БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ

В Примере 2 общая сумма денежных средств на счете по окончании третьего года (1331) называется будущей стоимостью 1000 рублей,

инвестированных на 3 года;

по ставке 10%, начисляемых ежегодно;

при условии реинвестирования процента.

ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ

Изначальная стоимость инвестиции 1000 рублей называется текущей стоимостью 1331 рубля,

которые будут выплачены (или получены) через 3 года;

исходя из ставки 10%
, начисляемых ежегодно;

при условии реинвестирования.

Расчет, как мы помним, производился следующим образом:

1000 * (1 + 0.10) * (1 +
0.10) * (1 + 0.10) = 1000 x (1.10)
3

При начислении сложного процента мы находим будущую стоимость путем умножения текущей стоимости на (1 +
ставка процента в периоде начисления в долях единицы) столько раз, сколько начислялся процент.

Теперь мы можем вывести формулу для расчета будущей стоимости денег, инвестированных на определенный срок под определенный процент с условием реинвестирования процента.

Формула имеет следующий вид:

FV = PV х (1+ r)n, (3)

где

FV — будущая стоимость,

PV — текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент

инвестирования = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),

r
— ставка процента в периоде начисления в долях единицы,

n — число периодов начисления.

КОЭФФИЦИЕНТ НАРАЩЕНИЯ

Выражение (1 + r)n называется коэффициентом наращения.

Расчет будущей стоимости при использовании формулы сложного процента называется наращением.

Расчет будущей стоимости в Примере 1, как мы помним, производился следующим образом:

1000 + 1000 * 0.1 +1000 * 0.1 + 1000 * 0.1 = 1000 * (1 + 0.1 * 3)

При начислении простого процента мы находим будущую стоимость путем умножения текущей стоимости на (1 + ставка процента в периоде начисления в долях единицы, умноженная на количество периодов начисления).

FV = PV х (1+
n * r), (4)

где

FV — будущая стоимость,

PV — текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестирования = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),

r — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,

n — число периодов начисления.

В случае одного периода (n = 1) формулы (3) и (4) совпадают, т. к. в случае одного временного интервала реинвестирования не происходит и условия заимствования фактически совпадают.

FV = PV * (1 +
r)

Дисконтирование — это расчет, обратный наращению. При дисконтировании мы узнаем, сколько сейчас (в момент расчета) стоит известная в будущем стоимость денег. Этот пересчет к настоящему моменту позволит сравнивать разные суммы в разные времена.

Таким образом, при дисконтировании мы находим текущую стоимость путем деления известной будущей стоимости на (1 +
ставка процента) столько раз, на сколько раз начисляется процент.

PV =	FV	, (5)
	(1 + r)n

где

FV — будущая стоимость,

PV — текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестирования =
основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),

r — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,

n — число периодов начисления.

КОЭФФИЦИЕНТ ДИСКОНТИРОВАНИЯ

Выражение 1 / (1 + r)n называется коэффициентом дисконтирования. Очевидно, он равен величине, обратной величине коэффициента наращения.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Как называется расчет, результатом которого является приведение денежных потоков к начальному моменту времени?

Как называется коэффициент, обратный коэффициенту дисконтирования?

3. Расчет годовых ставок процента

Очевидно, что при одинаковых условиях (одинаковый срок, простой или сложный процент) выгоднее та инвестиция, у которой выше процентная ставка. Однако зачастую сроки инвестиций и периоды выплат по ним не совпадают. В этом случае для того, чтобы сравнивать инвестиции, необходимо рассчитывать их процентные ставки, приведенные к одному и тому же временному периоду. Как правило, в качестве такого периода выбирается год.

Пример 3.

Сравнить, какой из банковских вкладов выгоднее:

а) вложение 1000 рублей в банк на месяц под 3% в месяц;

б) вложение 500 рублей в банк на 6 месяцев под 12% за полгода.

Можно вычислить, каков доход в процентном выражении за месяц во втором случае, и сравнить с уже данным показателем в первом случае. Однако традиционно в качестве такого периода берется один год.

При этом говорят, что ставка составляет Х процентов годовых.

Вычисление ставки в годовом исчислении можно производить по формуле простого или сложного процента.

Пример 4.

По банковскому вкладу ежеквартально начисляют 2% от первоначальной суммы вклада. Найти годовую ставку процента.

Процентную ставку в периоде начисления умножают на число периодов в году:

Годовая ставка процента = r * n =2% * 4 квартала = 8% годовых

Пример 5.

Вклад в банке дает 1% за 14 дней. Найти годовую ставку процента.

Годовая ставка процента =	1% * 365 дней	= 26% годовых
	14 дней

ГОДОВАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА, РАСЧИТАННАЯ ПО ФОРМУЛЕ ПРОСТОГО ПРОЦЕНТА

В общем случае годовая процентная ставка без учета реинвестирования вычисляется из формулы (4) простого процента:

FV = PV * (1 + n * r),

Отсюда годовая ставка процента:

r =	(FV / PV) - 1	(6)
	n

ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА

Если мы используем формулу сложного процента, то на единицу вложений годовая процентная ставка (r годовая) составит (1 + процентная ставка в периоде начисления в долях единицы ( r )), возведенная в степень, равную числу периодов начисления ( n ) минус единица:

r годовая = (1 + r)n - 1.

Пример 6.

По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первоначальной суммы вклада. Найти ставку процента (в годовых) с учетом реинвестирования полученного дохода.

r годовая = (1 + 0.02)4 - 1 = 1.082432 - 1 = 0.0824.

Сравнивая результат примеров 1 и 3, можно сделать вывод, что при прочих равных условиях инвестирования годовая процентная ставка с учетом реинвестиро

вания выше.

В общем случае годовая процентная ставка с учетом реинвестирования вычисляется из формулы (3) сложного процента: FV = PV * (1 + r)n, откуда годовая процентная ставка

r = (корень степени n из (FV / PV)) – 1 (7)

ПРИВЕДЕНИЕ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК К ОДНОМУ ВРЕМЕННОМУ ПЕРИОДУ

С учетом необходимости приведения процентных ставок к одному временному периоду их общие формулы расчета видоизменяются в зависимости от того, в каких единицах (днях, месяцах, кварталах) выражен период инвестирования.

Например, если период инвестирования выражен в днях, то число периодов n = 365 / X, где X — число дней. По формуле (6) процентная ставка равна:

r = ((FV / PV) – 1) / n = (((FV / PV) – 1) / 365) * X

По формуле (7) процентная ставка равна:

R = (корень степени (365 / X) из (FV / PV)) – 1

Будучи рассчитана на основе одного временного периода (т.е. n =
1), формула приобретает совсем простой вид: r = (FV / PV) – 1

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием сложного процента?

Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием простого процента?

4. Понятие о дисконтировании денежных потоков

Под денежными потоками (для целей настоящей главы) мы понимаем доходы (выплаты), получаемые в разное время инвестором от инвестиций в денежной форме.

Техника дисконтирования, выражающаяся в приведении будущей стоимости инвестиций к их текущей стоимости, позволяет сравнивать различные виды инвестиций, сделанные в разное время на разных условиях.

Для того чтобы привести будущую стоимость инвестиции к ее текущей стоимости, необходимо умножить на коэффициент дисконтирования (дисконтировать) все денежные доходы, связанные с инвестицией, и суммировать полученные величины.

Коэффициент дисконтирования (1 + r)-n определяется с учетом доходности по альтернативному вложению.

Пример 7.

Необходимо принять решение о том, имеет ли смысл покупать облигацию номиналом 10 000 руб. по цене 9 500 руб. с выплатой ежегодного купонного 8-процентного дохода и сроком погашения через 3 года, если ставка процента в банке по вкладу сроком на 3 года составляет 10%
годовых.

	Будущая стоимость выплат	Дисконтирование по ставке доходности альтернативного вложения (10%)	Настоящая стоимость денежных выплат
Год 1	Купонный доход 800 руб.	800 / 1.10	727 руб.
Год 2	Купонный доход 800 руб.	800 / 1.102	661 руб.
Год З	Купонный доход 800 руб.	800 / 1.103	601 руб.
Год З	Погашение облигаций по номиналу 10 000 руб.	10 000 / 1.103	7 513 руб.
Итого те кущая стоимость 9 502 руб.

Из вычислений, приведенных выше, видно, что при данных условиях приобретение облигации выгоднее, чем вложение денег в банк, так как ее текущая стоимость выше, чем рыночная цена облигации (9 500 руб.)

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Что такое денежные потоки?

Для чего используется дисконтирование денежных потоков?

5. Внутренняя ставка доходности

Иногда требуется решить обратную задачу: при какой процентной ставке по данному вложению текущая стоимость вложения будет равна ее рыночной стоимости? Для ответа на этот вопрос нужно решить уравнение относительно r. Такое значение r называется внутренней (ибо не зависит от внешних условий) ставкой доходности. Считается, что инвестиция тем выгоднее, чем выше ее внутренняя ставка доходности.

Пример 8.

Облигация сроком 1 год погашается по номиналу, выплачивается ежегодный купонный доход 8% номинала. Рыночная цена облигации — 98.18 номинала. Найти внутреннюю ставку доходности.

Пусть номинал — 100, тогда:

PV = (С / (1 + r)) + (FV / (1 + r)),

С =
100 * 0,08 = 8,

FV = 100,

PV = 98.18,

a r предстоит найти. Подставляя полученные значения в формулу, получаем:

98.18 = (8 / (1 + r)) + (100 / (1 + r)) = 108 / (1 + r)

Отсюда: 1 + r = 108 / 98.18 = 1.10

и наконец, внутренняя ставка доходности равна:

r - 0,1 =
10%.

Пример 9.

Найти внутреннюю ставку доходности для вложения 9 500 руб. на банковский вклад сроком на 3 года с выплатой 10% годовых без реинвестирования процентного дохода.

PV = (С1 / (1 + r)) + (C2 / (1 + r)2) + (C3 / (1 + r)3) + (FV / (1 + r)3),

где

PV = FV = 9500

C1 = C2 = C3 = 950

Получаем уравнение:

9500 = 950 * [ (1 / (1 + r)) + (1 / (1 + r)2) + (1 / (1 + r)3) ] + 9500 / (1 + r)3

Решая его относительно r, получим: r ~ 0,1 или 10%

Если мы найдем внутреннюю ставку доходности для облигации по условиям Примера 7, то, решив уравнение

9500 = (800 / (1 + r)) + (800 / (1 + r)2) + (800 / (1 + r)3) ] + 10000 / (1 + r)3

относительно r получим r = 0.10011. Мы можем убедиться, что внутренняя норма прибыли для вложений в облигацию чуть выше, значит, они выгоднее, что соответствует выводам, сделанным ранее.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Что такое внутренняя ставка доходности?

Если внутренняя ставка доходности облигации составляет 12%, а процент по банковскому вкладу — 10%, какая из двух указанных инвестиций, на ваш взгляд, выгоднее?

6. Аннуитеты

Аннуитет (иначе — рента) — регулярные ежегодно поступающие платежи.

Дисконтирование аннуитета используется для оценки сегодняшней текущей стоимости инвестиции, доход на которую будет одинаковым в течение долгого времени и должен выплачиваться с определенной (годовой) периодичностью.

Пример 10.

Год	Платежи
1	30 000 руб.
2	30 000 руб.
3	30 000 руб.

В этом случае у нас имеется аннуитет 30 000 руб. в год в течение трех лет.

Применяя к таким выплатам обычную технику дисконтирования, потоков платежей при процентной ставке, равной 10%, получаем (предполагается, что выплаты происходят в конце каждого года):

Год	Платежи	Коэффициент дисконтирования	Настоящая стоимость
1	30 000 руб.	1 / (1 + 0.1) = 0.9091	27 273 руб.
2	30 000 руб.	1 / (1 + 0.1)2 = 0.8264	24 792 руб.
3	30 000 руб.	1 / (1 + 0.1)3 = 0.7513	22 539 руб.
Текущая стоимость 74 604 руб.

Текущая стоимость потока платежей 74 604 руб.

Из вычислений видно, что мы каждый раз умножали коэффициент дисконтирования на одну и ту же величину — 30000.

Получим: 30000 * [ (1 / (1 + r)) + (1 / (1 + r)2) + (1 / (1 + r)3)] =

= 30000 * (0.9091 + 0.8264 + 0.7531) = 30000 * 2.4868

То есть:

Год	Платежи	Коэффициент дисконтирования	Текущая стоимость
1 – 3	30000 в год	2.4868	74.604

где величина 2,4868 является коэффициентом дисконтирования аннуитета Ar.

Для экономии времени коэффициент дисконтирования аннуитета Ar может быть вычислен по формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем 1 / (1 + r):

Ar =	1	*	1 – (1 + r)-n	=	1 – (1 + r)-n	,
	1 + r		1 – (1 + r)-1		r

где

r — процентная ставка за период (см. условия примера),

n — число периодов.

Используя эту формулу, можно рассчитать 3-летний коэффициент аннуитета при процентной ставке 10%:

Ar =	1 – 1.1 3	=	1 – 0.7513	=	0.2487	= 2.487
	0.1		0.1		0.1

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Что такое рента (аннуитет)?

Для чего используется дисконтирование аннуитета?

Каким образом при вычислении коэффициента дисконтирования аннуитета можно использовать формулу суммы геометрической прогрессии?

7. Расчет текущей стоимости для потоков платежей, начинающихся в момент времени, на который рассчитывается текущая стоимость инвестиции

В обычных случаях мы полагали, что первая выплата отстоит от времени, на которое рассчитывается текущая стоимость, на 1 временной период, например, произойдет через год или месяц. Возможны, однако, ситуации, когда первый платеж приходит в тот момент, на который рассчитывается текущая стоимость инвестиций.

Пример 11.

Облигация, приобретенная за 1000 рублей, приносит купонный доход 8% ежегодно, первая купонная выплата производится в момент сразу после приобретения. Срок до погашения 3 года. Найти текущую стоимость на момент приобретения облигации.

Год	Платежи	Коэффициент дисконтирования	Текущая стоимость
0	80 руб.	1	80 руб.
1	80 руб.	1 / 1.08	74.07 руб.
2	1080 руб.	1 / 1.082	925.93 руб.
Общая текущая стоимость 1080 руб.

Общая формула для расчета текущей стоимости денежных потоков при условии получения первого платежа в момент, на который рассчитывается настоящая стоимость, принимает вид:

PV =	C1	+	C2	+	C3	…	Cn	+	FV	+ C0 ,
	1 + r		(1 + r)2		(1 + r)3		(1 + r)n		(1 + r)n

где C0 - первый платеж, не дисконтированный, поскольку он получен в момент времени, на который рассчитывается текущая стоимость. Его будущая стоимость равна текущей стоимости.

Математическое объяснение таково: для платежей, приходящих во время 0:

1 / (1 + r)0 = 1 / 1 = 1

т. е. коэффициент дисконтирования равен 1.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Что выражает процентная ставка, используемая при расчете текущей стоимости аннуитета?

Чему равен коэффициент дисконтирования для платежа, полученного в момент расчета текущей стоимости аннуитета?