Графическое решение задачи линейного программирования в экономике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

Контрольная работа

по дисциплине:

"Экономическая информатика"

Выполнила студентка:

гр. ПВ 09-1з

Проверил:

Краматорск, 2010

Задание № 1. Графическое решение задачи линейного программирования

Решить графически и с помощью
Excel формализованную задачу линейного программирования.

3x1-x2³9,2x1+x2£50,x1+4x2³19;

f=x1+5x2. (max).

Графическое решение задачи линейного программирования

Экономический вывод:

Для получения максимальной прибыли в размере 35 ед. план выпуска продукции должен быть таким: изделие 1 - 9 единиц, выпуск изделия 2 - 16 единицы, выпуск изделия 3 - 19 единиц. При этом, затраты ресурсов составят:

Избыточным является ресурс "2", недостаточным - "1" и "3".

Пункты отправления	Запасы	Пункты назначения
		B1	B2	B3	B4
A1	180	2	3	4	3
A2	60	5	3	1	2
A3	80	2	1	4	2
Потребности		120	40	60	80
Потребитель 1	Потреитель 2	Потребитель 3	Потребитель 4
Поставщик 1	46	32	46	37	160
Поставщик 2	31	6	4	18	60
Поставщик 1	43	2	11	25	80
120	40	60	80
Грузооборот				875,8	т. - км

Переменные
x1	x2
Значения		11,8	26,4
Нижн граница		0	0
Верх граница
F	1	5	=СУММПРОИЗВ (C$3: D$3; C6: D6)	max
Коэффициенты целевой функции				Значение		Фактические ресурсы	Неиспользованные ресурсы
Коэффициенты
Система ограничений		-3	1	=СУММПРОИЗВ (C$3: D$3; C9: D9)	<=	-9	=G9-E9
		2	1	=СУММПРОИЗВ (C$3: D$3; C10: D10)	<=	50	=G10-E10
		1	-4	=СУММПРОИЗВ (C$3: D$3; C11: D11)	<=	-19	=G11-E11

Задание №2. Транспортная задача

На две базы А1 и А2 поступил однородный груз в количестве а1 т на базу А1 и а2 т на базу А2. Полученный груз требуется перевезти в три пункта: b1 т в пункт B1, b2 т в пункт B2, b3 т в пункт B3. Расстояния между пунктами отправления и пунктами назначения указаны в матрице R. Составить план перевозок с минимальными расходами. Решить задачу при заданных запасах и потребностях.

Стоимость одного тонно-километра принять за единицу.

Вариант	А1	А2	B1	B2	B3	R
6	200	230	190	100	140	12 5 16 14 10 8

Пусть xij
- количество груза, перевезенного из пункта Аi
в пункт Вj
. Проверим соответствие запасов и потребностей: 200+230=430 = 190+100+140=430. Задача замкнутая. Целевая функция F равна стоимости всех перевозок:

F = 12x11
+5x12
+16x13
+14x21
+10x22
+8x23
(min).

Система ограничений определяется следующими условиями:

а) количество вывозимых грузов равно запасам:

x11
+ x12
+ x13
= 200;

x21
+ x22
+ x23
= 230.

б) количество ввозимых грузов равно потребностям:

x11
+ x21
= 190;

x12
+ x22
= 100;

x13
+ x23
= 140

в) количество вывозимых грузов неотрицательно:

x11
³0; x12
³0; x13
³0

x21
³0; x22
³0; x23
³0

Получили формализованную задачу:

F = 12x11
+5x12
+16x13
+14x21
+10x22
+8x23
(min).

x11
+ x12
+ x13
= 200;

x21
+ x22
+ x23
= 230.

x11
+ x21
= 190;

x12
+ x22
= 100;

x13
+ x23
= 140

x11
³0

x12
³0

x13
³0

x21
³0

x22
³0

x23
³0

Экономический вывод:

Для получения грузооборота с минимальными расходами в размере 4048 т. км. Поставщик 1 должен предоставить потребителю 1 - 100 т груза, а потребителю 2 - 100 т груза. Поставщик 2 должен предоставить потребителю 1 - 90 т груза, а потребителю 3 - 140 т груза.

Таблица.

Пункты отправления	Запасы	Пункты назначения
		B1		B2	B3
A1	200	12		5	16
A2	230	14		10	8
Потребности		190		100	140
Потре-битель 1	Потре-битель 2		Потре-битель 3
Поставщик 1	100	100		0	200
Поставщик 2	90	0		140	230
190	100		140
Грузооборот			4080	т. - км
Пункты отправления	Запасы		Пункты назначения
			B1			B2		B3
A1	200		12			5		16
A2	230		14			10		8
Потребности			190			100		140
Потребитель 1		Потребитель 2			Потребитель 3
Поставщик 1	0		100			100		=СУММ (B9: D9)
Поставщик 2	190		0			40		=СУММ (B10: D10)
=СУММ (B9: B10)		=СУММ (C9: C10)			=СУММ (D9: D10)
Грузооборот					=СУММПРОИЗВ (B9: D10; C3: E4)		т. - км

Задание № 3. Межотраслевая балансовая модель

Имеется трехотраслевая балансовая модель с матрицей коэффициентов затрат.

где aij -
затраты i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли (в товарном или в денежном выражении).

Фонды накопления отраслей заданы числами d1, d2, d3.

Производственные мощности отраслей ограничивают возможности ее валового выпуска числами r1, r2, r3.

Определить оптимальный валовой выпуск всех отраслей, максимизирующий стоимость суммарного конечного продукта, если на конечный продукт накладывается некоторое ограничение.

Цена единицы конечного продукта 1, 2 и 3 отраслей соответственно равна: c1, c2, c3.

товарных единиц

k1: k2: k3 = 2: 1: 2;

R= (240, 420, 230), C= (2, 4,3).

Формализация задачи.

Пусть xi
- валовой выпуск i-й отрасли, i=1,2,3. Так как на собственное производство, а также на производство продукции 2-й отрасли первая отрасль произведенную продукцию не расходует, суммарный конечный продукт равен произведенной продукции K1
=x1
.

Вся произведенная продукция будет продана и выручка составит c1
x1
.

Чтобы определить прибыль 1-й отрасли, из полученной ею выручки нужно вычесть суммы, затраченные на производство продукции 1-й, 2-й и 3-й отраслей:

К1
=x1
- (a11
x1
+a12
x2
+a13
x3
).

Аналогично для 2-й отрасли

K2
=x2
, К2=x2
- (a21
x1
+a22
x2
+a23
x3
).

Подставляя числовые значения, получим выражения для прибыли 1-й 2-й и 3-й отраслей:

К1
=x1
- (0,21x1
+0,07x2
+0,12x3
).

К2
=x2
- (0,06x1
+0,03x2
+0,15x3
).

К3
=x3
- (0,2x1
+0,14x2
+0,03x3
).

Целевая функция - это цена всей проданной продукции: с1
К1
+с2
К2
+с3
К3
.

Следовательно, целевая функция задачи такая:

F=с1
К1
+с2
К2
+с3
К3
(max).

Подставляя в последнюю формулу значения с1
, c2,
c3
выражения K1
, K2
, K3
получаем выражение для целевой функции

F = 2 (x1
- (0,21x1
+0,07x2
+0,12x3
)) +4 (x2
- (0,06x1
+0,03x2
+0,15x3
)) +3 (x3
- (0,2x1
+0,14x2
+0,03x3
)) (max).

Приведя подобные члены, получим: F=0.74x1
+3.32x2
+2.07x3
(max).

Ограничения задачи:

1) По производственным мощностям: x1
£240, x2
£420, x3
£230

2) По комплектности: K2
: K3
= 1: 2. Это условие равносильно условию т.е. условию или .

4) Выпуск продукции: x1
³0, x2
³0, x3
³0

Формализованная задача имеет вид:

F=0.74x1
+3.32x2
+2.07x3
(max).

x1
£240,x2
£420,x3
£230,.

x1
³0

x2
³0

x3
³0

Матрица затрат	0,21	0,07	0,12
	0,06	0,03	0,15
	0,2	0,14	0,03
240	0	0
0	0	230
0	420	0
240	420	230
Целевая функция		144	max
R	300	200	350

Матрица затрат	0,21	0,07	0,12
	0,06	0,03	0,15
	0,2	0,14	0,03
240	0	0
0	0	230
0	420	0
=СУММ (A7: A9)	=СУММ (B7: B9)	=СУММ (C7: C9)
Целевая функция		=СУММПРОИЗВ (B2: D4; A7: C9)	max
R	300	200	350

Задание № 4. Задачи разных типов

Формализовать задачу линейного программирования и решить с помощью Excel. Сделать экономический вывод.

Задание 1.

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество единиц корма, расходуемых на одно животное, запасы кормов и цена 1 шкурки указаны в таблице.

Вид корма	Кол-во ед. на 1 животное		Общее кол-во корма
	лисица	песец
I	2	3	180
II	4	1	240
III	6	7	426
Цена	16	12

Определить, сколько лисиц и песцов необходимо выращивать, чтобы получить максимальную цену от продажи их шкурок.

Обозначим лисиц через x1
, песцов через - x2
.

Определим прибыль от выращивания животных. Прибыль от выращивания лисицы составляет по условию 16 ден. ед. План выращивания лисиц - x1
ед. Прибыль от выращивания песцов составляет по условию 12 ден. ед. План выращивания песцов - x2
ед. Суммарная прибыль от выращивания всех животных составит (16x1
+12x2
) ден. ед. Тогда целевая функция имеет вид: F=16x1
+12x2
, - суммарная прибыль должна быть наибольшей.

Составим систему ограничений.

1. Ограничение на использование сырья.

Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 2 ед. корма 1, необходимо 2х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 3 ед. корма 1, необходимо 3х2 корма для песцов. Количество корма 1 для животных не должно превышать 180 единиц. Ограничение на использование корма 1: 2x1
+3x2
£180

Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 4 ед. корма 2, необходимо 4х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 1 ед. корма 2, необходимо 1х2 корма для песцов. Количество

корма 2 для животных не должно превышать 240 единиц. Ограничение на использование корма 2: 4x1
+1x2
£240

Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 6 ед. корма 3, необходимо 6х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 7 ед. корма 3, необходимо 7х2 корма для песцов. Количество корма 3 для животных не должно превышать 426 единиц. Ограничение на использование корма 3: 6x1
+7x2
£426

Получили математическую модель задачи:

F=16x1 +12x2 ®max

2x1 +3x2 £180 4x1 +1x2 £240 6x1 +7x2 £426

x1 ³0, x2 ³0

Решив задачу одним из способов, рассмотренных в приложении, получим значения переменных: x1
=57; x2
=12; Fmax
=1056.

Решение задачи линейного программирования включает в себя не только формализацию и математическое решение, но и экономический анализ полученных результатов.

Экономический вывод:

Для получения максимальной прибыли в размере 1056 ден. ед. план развода животных должен быть таким: лисиц - 57 единиц, песец - 12 единиц. При этом, затраты ресурсов составят:

"Корм 1" - 150 единицы при запасе 180 ед. (остаток 30 единиц);

"Корм 2" - 240 кг единицы при запасе 240 ед.;

"Корм 3" - 426 единиц при запасе 426 ед. .

Избыточным является ресурс "Корм 1", недостаточным - "Корм 2" и "Корм3".

Вид корма	Кол-во ед. на 1 животное		Общее кол-во корма
	лисица	песец
I	2	3	180
II	4	1	240
III	6	7	426
Цена	16	12
Оптимальное кол-во	57	12
Реальные затраты	114	36	150	I
	228	12	240	II
	342	84	426	III
Целевая функция		1056	max

Вид корма	Кол-во ед. на 1 животное		Общее кол-во корма
	лисица	песец
I	2	3	180
II	4	1	240
III	6	7	426
Цена	16	12
Оптимальное кол-во	57,0000003181818	11,9999997272727
Реальные затраты	=СУММПРОИЗВ (B12; B7)	=СУММПРОИЗВ (C12; C7)	180	I
	=СУММПРОИЗВ (B12; B8)	=СУММПРОИЗВ (C12; C8)	=СУММ (B14: C14)	II
	=СУММПРОИЗВ (B12; B9)	=СУММПРОИЗВ (C12; C9)	=СУММ (B15: C15)	III
Целевая функция		=СУММПРОИЗВ (B12: C12; B10: C10)	max

Задание 2.

Для кормления подопытного животного ему необходимо давать ежедневно не менее 15 ед. химического вещества А1 (витамина или некоторой соли) и 15 ед. химического вещества А2. Не имея возможности давать вещество А1 или А2 в чистом виде, можно приобретать вещество В1 по 1 д. е. или В2 по 3 д. е. за 1 кг, причем каждый кг В1 содержит 1 ед. А1 и 3 ед. А2, а кг В2 - 6 ед. А1 и 2 ед. А2.

Запасы веществ на складе: В1 - 7 кг, В2 - 9 кг.

Определить оптимальную закупку веществ В1 и В2 для ежедневного рациона.

Формализация задачи:

Пусть x1
- количество В1, а x2
- количество В2, которое необходимо использовать в рационе. Тогда целевая функция - стоимость продуктов равна:

F = 1x1
+3x2
- min.

Составим систему ограничений.

1. Ограничение на содержание в рационе кормовых единиц - не менее 15 вещества А1 и не менее 15 вещества А2. В одной единице В1 содержится по 1 кормовой единице вещества А1 и 3 кормовые единицы вещества А2. В одной единице В2 содержится по 6 кормовых единиц вещества А1 и 2 кормовые единицы вещества А2.

2. Ограничение на содержание в рационе вещества А1 - не менее 15 единиц. Значит, 1x1
+6x2
≥ 15.

3. Аналогично рассуждая, составим ограничения на содержание вещества А2 - не менее 15 единиц. Значит, 3x1
+2x2
≥ 15.

4. Ограничение запасы вещества В1 и В2 x1
≤7;
x2
≤9;

Так как x1
и x2
- количество продукта, то x1
и x2
неотрицательны.

Получили математическую модель задачи о смесях:

F = 1x1
+3x2
- min.

1x1
+6x2
≥ 15.

3x1
+2x2
≥ 15.

x1
≤7

x2
≤9

x1
³0

x2
³0

Решение: x1
=4; x2
=2; Fmin
=10.

Экономический вывод:

В суточном рационе должно содержаться 4 единицы вещества В1 и 2 единицы вещества В2. Стоимость такого рациона составит 10 ден. ед.

Питательность рациона составит:

Вещество А1 - 16 единиц, А2 - 16 единиц.

Хим вещество	Вещество заменитель		общее необходимое кол-во /cутки.
				B1	B2
	A1	1		6	15
A2	3	2	15
цена	1	3
запасы	7	9
Оптимальная закупка	B1	B2
	4	2
Реальные замена	4	12	16
	12	4	16
Сумма	4	6
Целевая функция		10

Хим вещество	Вещество заменитель		общее нелбходимое кол-во / cутки.
				B1	B2
	A1	1		6	15
A2	3	2	15
цена	1	3
запасы	7	9
Оптимальная закупка	B1	B2
	4	2
Реальные замена	=B9*B4	=C9*C4	=СУММ (B10: C10)
	=B9*B5	=C9*C5	=СУММ (B11: C11)
Сумма	=B9*B6	=C9*C6
Целевая функция		=СУММПРОИЗВ (B9: C9; B6: C6)

Задание 3.

На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 180, 60 и 80 единиц.

Этот груз необходимо перевезти в 4 магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 60, 40 и 80 единиц груза.

Тарифы перевозок единицы груза из каждого склада во все магазины задаются матрицей

2 3 4 3

С = 5 3 1 2

2 1 4 2

Составить план перевозок, стоимость которых является минимальной.

Пункты Отправления	Запасы	Пункты назначения
		B1		B2		B3		B4
A1	180	x11	2	X12	3	x1 3	4	x1 4	3
A2	60	X21	5	x22	3	X23	1	x24	2
A3	80	X31	2	X32	1	x33	4	x34	2
Потребности		120		60		40		80

Пусть число пунктов отправления и число пунктов назначения равно 4 (n=4, m=4). Запасы, потребности и стоимость перевозок указаны в таблице:

Пусть xij
- количество груза, перевезенного из пункта Аi
в пункт Вj
. Проверим соответствие запасов и потребностей:

180+60+80=320 > 120+60+40+80=300.

Задача открытая.

Целевая функция F равна стоимости всех перевозок:

F = 2x11
+3x12
+4x13
+ 3x14
+5x21
+3x22
+1x23
+2x24
+2x31
+1x32
+4x33
+2x34
(min).

Система ограничений определяется следующими условиями:

а) количество вывозимых грузов не больше запасов:

x11
+x12
+x13
+x14
£ 180;

x21
+x22
+x23
+x24
£ 60;

x31
+x32
+x33
+x34
£ 80.

б) количество ввозимых грузов равно потребностям:

x11
+x21
+x31
= 120;

x12
+x22
+x32
= 60;

x13
+x23
+x33
= 40;

x14
+x24
+x34
= 80;

в) количество вывозимых грузов неотрицательно:

x11
³0; x12
³0; x13
³0; x14
³0

x21
³0; x22
³0; x23
³0; x24
³0

x31
³0; x32
³0; x33
³0; x34
³0

Получили формализованную задачу:

F = 2x11
+3x12
+4x13
+ 3x14
+5x21
+3x22
+1x23
+2x24
+2x31
+1x32
+4x33
+2x34
(min).

x11
+x12
+x13
+x14
£ 180;

x21
+x22
+x23
+x24
£ 60;

x31
+x32
+x33
+x34
£ 80.

x11
+x21
+x31
= 120;

x12
+x22
+x32
= 60;

x13
+x23
+x33
= 40;

x14
+x24
+x34
= 80;

x11
³0; x12
³0; x13
³0; x14
³0; x21
³0; x22
³0; x23
³0; x24
³0; x31
³0; x32
³0;

x33
³0; x34
³0.

Пункты отправления	Запасы	Пункты назначения
		B1	B2	B3	B4
A1	180	2	3	4	3
A2	60	5	3	1	2
A3	80	2	1	4	2
Потребности		120	40	60	80
Потре-битель 1	Потре-битель 2	Потре-битель 3	Потре-битель 4
Поставщик 1	46	32	46	37	160
Поставщик 2	31	6	4	18	60
Поставщик 1	43	2	11	25	80
120	40	60	80
Грузооборот				875,8	т. - км

Пункты отправления	Запасы	Пункты назначения
		B1	B2	B3	B4
A1	180	2	3	4	3
A2	60	5	3	1	2
A3	80	2	1	4	2
Потребности		120	40	60	80
Потребитель 1	Потребитель 2	Потребитель 3	Потребитель 4
Поставщик 1	39,4444451388889	38,3333334166667	45,5555562777778	36,6666671666667	=СУММ (B11: E11)
Поставщик 2	37,7777775555556	0	3,88888869444445	18,33333375	=СУММ (B12: E12)
Поставщик 1	42,7777783055556	1,66666658333333	10,5555550277778	25,0000000833333	=СУММ (B13: E13)
=СУММ (B11: B13)	=СУММ (C11: C13)	=СУММ (D11: D13)	=СУММ (E11: E13)
Грузооборот				=СУММПРОИЗВ (B11: E13; C3: F5)	т. - км