Сгруппируйте 30 совхозов по факторному признаку, образовав 5 – 6 групп с равными интервалами. Сделайте выводы относительно наличия (или отсутствия) связи между группировочным (факторным) и результативным признаком.
Решение
Группировка является основой научной сводки и обработки статистических данных. Группировочный (факторный) признак в нашем примере – среднегодовая стоимость основных фондов сельскохозяйственного назначения, млн. руб., результативный признак – выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб.
Исходные данные представлены в табл. 1.
Таблица 1 - Основные показатели работы совхозов
| № п/п |
Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. |
Выручка от реализации всей продук-ции совхоза, млн. руб. |
№ п/п |
Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. |
Выручка от реализации всей продук-ции совхоза, млн. руб. |
| 1 |
7,1 |
24,6 |
16 |
6,6 |
16,3 |
| 2 |
5,8 |
14,1 |
17 |
6,9 |
22,0 |
| 3 |
4,2 |
12,2 |
18 |
6,5 |
26,7 |
| 4 |
7,0 |
13,5 |
19 |
6,8 |
20,9 |
| 5 |
6,6 |
14,2 |
20 |
7,2 |
23,6 |
| 6 |
11,0 |
30,9 |
21 |
10,5 |
40,5 |
| 7 |
6,9 |
21,8 |
22 |
10,6 |
33,6 |
| 8 |
6,7 |
16,3 |
23 |
6,8 |
23,5 |
| 9 |
4,6 |
17,0 |
24 |
6,8 |
25,7 |
| 10 |
6,9 |
24,8 |
25 |
6,5 |
22,5 |
| 11 |
6,1 |
20,2 |
26 |
7,0 |
20,5 |
| 12 |
6,6 |
12,5 |
27 |
4,7 |
12,5 |
| 13 |
6,9 |
17,5 |
28 |
7,9 |
32,3 |
| 14 |
7,2 |
24,6 |
29 |
4,2 |
13,9 |
| 15 |
5,8 |
16,2 |
30 |
3,3 |
6,6 |
Количество групп принимаем = 5 групп.
Необходимо определить интервалы группировки и их величины.
Величина интервала определяется по формуле:
i
= , (1)
где хmax
– максимальное значение группировочного признака;
xmin
– минимальное значение группировочного признака;
n – число намечаемых групп.
Величина интервала составит:
i
= млн. руб.
После расчета шага интервала распределим все предприятия в рабочей таблице (табл. 2). После построим аналитическую таблицу (табл. 3).
Таблица 2 - Рабочая таблица
| Номер группы |
Группы совхозов по среднегодовой стоимости основных фондов |
Порядковые номера совхозов |
Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. |
Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. |
| 1 |
3,3 – 4,84 |
3,9,27,29,30 |
21,0 |
62,2 |
| 2 |
4,84 – 6,38 |
2,11,15 |
17,7 |
50,5 |
| 3 |
6,38 – 7,92 |
1,4,5,7,8,10, 12,13,14,16, 17,18,19,20, 23,24,25,26, 28 |
130,9 |
403,8 |
| 4 |
7,92 – 9,46 |
─ |
─ |
─ |
| 5 |
9,46 – 11,0 |
6,21,22 |
32,1 |
105,0 |
Таблица 3 - Аналитическая таблица
| Номер группы |
Группы совхозов по среднегодовой стоимости основных фондов |
Число совхозов |
Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. |
Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. |
||
| Всего |
На 1 совхоз |
Всего |
На 1 совхоз |
|||
| 1 |
3,3 – 4,84 |
5 |
21,0 |
4,2 |
62,2 |
12,4 |
| 2 |
4,84 – 6,38 |
3 |
17,7 |
5,9 |
50,5 |
16,8 |
| 3 |
6,38 – 7,92 |
19 |
130,9 |
6,9 |
403,8 |
21,2 |
| 4 |
7,92 – 9,46 |
0 |
─ |
─ |
─ |
─ |
| 5 |
9,46 – 11,0 |
3 |
32,1 |
10,7 |
105,0 |
35,0 |
| ИТОГО: |
─ |
30 |
201,7 |
─ |
621,5 |
─ |
Изучив данные 30-ти совхозов о среднегодовой стоимости основных фондов и величине выручки от реализации всей продукции совхоза, можно сказать, что между этими показателями существует зависимость и она прямая, так как с ростом среднегодовой стоимости основных фондов растет величина выручки от реализации всей продукции совхоза.
Задание 2
Используя, данные задачи 1, рассчитайте:
1. По факторному признаку – размах вариации и коэффициент вариации;
2. По результативному признаку – коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Решение
Размах вариации (или размах колебаний) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:
R = хmax
– xmin
(2)
R = 11,0 – 3,3 = 7,7 млн. руб.
Относительным показателем уровня вариации признака является коэффициент вариации. Он представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака и выражается обычно в процентах:
(3)
где δ – среднее квадратическое отклонение;
– средняя величина.
Если коэффициент вариации больше 33%, то совокупность неоднородна и ее средняя нетипична.
Для расчета показателей вариации составим вспомогательную таблицу (табл. 4).
Таблица 4 - Вспомогательная таблица
| Группы предприятий по стоимости среднегодовой стоимости основных фондов |
Число совхозов f
|
Расчетные показатели |
|||
| Середина интервала , млн. р. |
, млн.р. |
х-
|
(х-)2
|
||
| 3,3 – 4,84 |
5 |
4,07 |
20,35 |
-2,72 |
36,99 |
| 4,84 – 6,38 |
3 |
5,61 |
16,83 |
-1,18 |
4,18 |
| 6,38 – 7,92 |
19 |
7,15 |
135,85 |
0,36 |
2,46 |
| 7,92 – 9,46 |
0 |
8,69 |
0 |
1,9 |
0 |
| 9,46 – 11,0 |
3 |
10,23 |
30,69 |
3,44 |
35,50 |
| ИТОГО:
|
30
|
− |
203,72
|
− |
79,13
|
Среднюю величину среднегодовой стоимости основных фондов определим по формуле средней арифметической взвешенной:
, (4)
где х – варианта или значение признака;
f – частота повторения индивидуального значения признака (его вес).
Средняя величина составит:
млн. руб.
Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем колеблется величина признака у
единиц исследуемой совокупности и определяется в зависимости от характера исходных данных.
Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:
(5)
Среднее квадратическое отклонение составит:
млн. руб.
Коэффициент вариации составит:
Таким образом, коэффициент вариации меньше 33%. Следовательно, рассмотренная совокупность однородна.
Коэффициент детерминации и корреляционное отношение рассчитываются на основании проведенной группировки в задаче 1 по результативному признаку (величине выручки от реализации всей продукции совхоза).
Коэффициент детерминации определяется по следующей формуле:
, (6)
где - межгрупповая дисперсия;
- общая дисперсия.
Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки:
, (7)
Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.
(8)
где ─ среднее значение результативного признака в группе;
fi
─ объем группы (число совхозов в группе);
─ среднее значение результативного признака для всей совокупности.
Оценить тесноту связи можно по величине эмпирического корреляционного отношения, используя формулу
(9)
Эмпирическое корреляционное отношение изменяется , – при отсутствии связи, – при функциональной зависимости.
Средняя величина выручки от реализации всей продукции совхоза составит:
млн. руб.
Составим вспомогательную таблицу 5.
Таблица 5 - Вспомогательная таблица
| № группы |
Число совхозов f
|
Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. |
Среднее значение выручки от реализации всей продукции совхоза |
()2
|
− |
(−)2
|
| 1 |
5 |
62,2 |
12,4 |
399,9 |
-8,32 |
346,1 |
| 2 |
3 |
50,5 |
16,8 |
64,5 |
-3,92 |
46,1 |
| 3 |
19 |
403,8 |
21,2 |
470,1 |
0,48 |
4,4 |
| 4 |
0 |
─ |
─ |
─ |
─ |
─ |
| 5 |
3 |
105,0 |
35,0 |
660,7 |
14,28 |
611,7 |
| ИТОГО: |
30
|
621,5
|
─ |
1595,2
|
─ |
1008,3
|
Межгрупповая дисперсия составит:
Общая дисперсия составит:
Коэффициент детерминации составит:
или 10,53%
Коэффициент детерминации показывает, что выручка от реализации продукции совхозов на 10,53% зависит от среднегодовой стоимости основных фондов и на 89,47% от других факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение составит:
Корреляционное отношение показывает, что связь между среднегодовой стоимостью основных фондов и величиной выручки от реализации продукции совхозов не тесная.
Задание 3
С вероятностью 0,997 определите предельную ошибку выборки и интервал, в котором находится генеральная средняя факторного признака. При этом выборочная совокупность (30 совхозов) составляет 2% от объема генеральной, и была получена механическим способом отбора.
Решение
Предельная ошибка выборки определяется по формуле:
, (10)
где t – коэффициент доверия, t=3 при (Р) 0,997.
σ2
– дисперсия факторного признака;
n – объем выборочной совокупности;
N – объем генеральной совокупности;
– удельный вес объема выборочной совокупности в генеральной.
Так как выборочная совокупность составляет 2% от объема генеральной, то объем генеральной совокупности будет равен 1500 совхозов.
Дисперсия среднегодовой стоимости основных фондов составляет 2,64 млн. руб. (см. задачу 2).
Тогда предельная ошибка выборки составит:
Для определения интервальной оценки генеральной средней используется формула:
, (11)
где – среднее значение факторного признака в генеральной совокупности;
– среднее значение факторного признака выборочной совокупности (средняя по 30 совхозам).
Средняя среднегодовая стоимость основных фондов по 30 совхозам составляет 6,79 млн. руб. (см. задачу 2).
6,79 – 0,44≤≤6,79+0,44
6,35≤≤7,23
Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднегодовая стоимость основных фондов в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 6,35 до 7,23 млн. рублей.
Задание 4
Проведите корреляционно–регрессионный анализ по исходным данным задачи 1 (используете линейную модель).
Решение
При линейной связи регрессионная модель описывается функцией вида:
, (12)
где а0
и а1
– параметры уравнения регрессии, которые рассчитываются из системы нормальных уравнений.
Найдем параметры а0
и а1
, решив систему уравнений:
Составим вспомогательную таблицу (табл. 6).
Таблица 6 - Вспомогательная таблица
| x |
y |
x2
|
xy |
y2
|
|
| 7,1 |
24,6 |
50,41 |
174,66 |
605,16 |
15,05 |
| 5,8 |
14,1 |
33,64 |
81,78 |
198,81 |
43,82 |
| 4,2 |
12,2 |
17,64 |
51,24 |
148,84 |
73,79 |
| 7,0 |
13,5 |
49,0 |
94,5 |
182,25 |
52,13 |
| 6,6 |
14,2 |
43,56 |
93,72 |
201,64 |
43,43 |
| 11,0 |
30,9 |
121,0 |
339,9 |
954,81 |
103,63 |
| 6,9 |
21,8 |
47,61 |
150,42 |
475,24 |
1,17 |
| 6,7 |
16,3 |
44,89 |
109,21 |
265,69 |
19,54 |
| 4,6 |
17,0 |
21,16 |
78,2 |
289,0 |
13,84 |
| 6,9 |
24,8 |
47,61 |
171,12 |
615,04 |
16,65 |
| 6,1 |
20,2 |
37,21 |
123,22 |
408,04 |
0,27 |
| 6,6 |
12,5 |
43,56 |
82,5 |
156,25 |
67,57 |
| 6,9 |
17,5 |
47,61 |
120,75 |
306,25 |
10,37 |
| 7,2 |
24,6 |
51,84 |
177,12 |
605,16 |
15,05 |
| 5,8 |
16,2 |
33,64 |
93,96 |
262,44 |
20,43 |
| 6,6 |
16,3 |
43,56 |
107,58 |
265,69 |
19,54 |
| 6,9 |
22,0 |
47,61 |
151,8 |
484,0 |
1,64 |
| 6,5 |
26,7 |
42,25 |
173,55 |
712,89 |
35,76 |
| 6,8 |
20,9 |
46,24 |
142,12 |
436,81 |
0,03 |
| 7,2 |
23,6 |
51,84 |
169,92 |
556,96 |
8,29 |
| 10,5 |
40,5 |
110,25 |
425,25 |
1640,25 |
391,25 |
| 10,6 |
33,6 |
112,36 |
356,16 |
1128,96 |
165,89 |
| 6,8 |
23,5 |
46,24 |
159,8 |
552,25 |
7,73 |
| 6,8 |
25,7 |
46,24 |
174,76 |
660,49 |
4,98 |
| 6,5 |
22,5 |
42,25 |
146,25 |
506,25 |
3,17 |
| 7,0 |
20,5 |
49,0 |
143,5 |
420,25 |
0,05 |
| 4,7 |
12,5 |
22,09 |
58,75 |
156,25 |
67,57 |
| 7,9 |
32,3 |
62,41 |
255,17 |
1043,29 |
134,10 |
| 4,2 |
13,9 |
17,64 |
58,38 |
193,21 |
46,51 |
| 3,3 |
6,6 |
10,89 |
21,78 |
43,56 |
199,37 |
| Σ=201,7
|
621,5
|
1441,25
|
4487,07
|
14475,73
|
1582,62
|
Уравнение регрессии принимает следующий вид:
Коэффициент регрессии (а1
) имеет положительное значение, значит, между признаками существует прямая корреляционная зависимость. Уравнение показывает, что при снижении среднегодовой стоимости основных фондов величина выручки от реализации продукции в среднем изменяется на 3,62 млн. руб.
Линейный коэффициент корреляции является показателем степени тесноты связи и определяется по формуле:
, (13)
где σх
– среднеквадратическое отклонение по факторному признаку;
σу
– среднеквадратическое отклонение по результативному признаку.
(14)
Значение коэффициента корреляции изменяется от – 1до 1.
При | r | >0,8 считают, что связь между признаками достаточно тесная.
Среднеквадратическое отклонение по результативному признаку составит:
Линейный коэффициент корреляции составит:
Коэффициент линейной корреляции далек от единицы, значит, связь между признаками не достаточно тесная. Положительный знак указывает на прямую зависимость.
Задание 5
Рассчитайте производительность труда одного рабочего в среднем по заводу.
| Номер цеха |
Произведено продукции, тыс. руб. |
Производительность труда одного рабочего, тыс. руб. |
| 1 |
57,0 |
1,9 |
| 2 |
46,0 |
2,0 |
| 3 |
65,0 |
2,5 |
| 4 |
70,0 |
2,8 |
Решение
Средняя величина – обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.
Так как в исходной информации задачи статистический вес (частота повторения признака) не задан в явной форме, а входит сомножителем в один из заданных показателей, то для расчета производительности труда одного рабочего в среднем по заводу будем использовать формулу средней гармонической взвешенной:
(15)
Таким образом, производительность труда одного рабочего в среднем по заводу составит:
тыс. руб.
Задание 6
Задание состоит из двух задач. Для его выполнения изучите тему «Индексы».
Задача 1.
По данным своего варианта рассчитайте:
− индекс товарооборота;
− индекс цен;
− индекс физического объема реализации товара;
− экономию (или перерасход) денежных средств населения в результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным.
| Вид товара |
Базисный период |
Отчетный период |
||
| Цена за 1 кг, руб. |
Реализовано, ц |
Цена за 1 кг, руб. |
Товарооборот, тыс. руб. |
|
| А |
2,55 |
500 |
2,60 |
117,0 |
| Б |
2,20 |
200 |
2,50 |
50,0 |
| В |
3,50 |
1300 |
2,00 |
410,0 |
Решение
1) Индекс товарооборота определяется по формуле:
(16)
Товарооборот в отчетном периоде снизился на 7,9% по сравнению с базисным периодом.
2) Индекс цен определяется по формуле:
(17)
В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на три товара в среднем снизились на 34,15 %.
3) Индекс физического объема реализации товаров определяется по формуле:
(18)
Количество проданного товара было в отчетном периоде больше, чем в базисном периоде на 40,09 % .
4) экономия (или перерасход) денежных средств населения в результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным составит:
∑(р1
– р0
)*q1
= (0,260-0,255)*450,0+(0,250-0,220)*200,0+(0,200-0,350)*2050,0 = -299,25 руб.
В результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным наблюдался перерасход денежных средств населения в размере 299,25 рублей.
Задача 2.
По данным своего варианта рассчитайте индексы цен переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов. Объясните, почему различаются индексы переменного и постоянного состава.
| Государственная торговля |
Рынок |
||||||
| Цена за 1 кг, руб. |
Реализовано, т |
Цена за 1 кг, руб. |
Реализовано, т |
||||
| август |
сентябрь |
август |
сентябрь |
август |
сентябрь |
август |
сентябрь |
| 1,80 |
1,85 |
200 |
220 |
2,50 |
3,00 |
30 |
70 |
Решение
Индекс цен переменного состава определяется по формуле:
(19)
(↑ 12,49%)
Индекс цен постоянного состава определяется по формуле:
(20)
(↑ 8,05%)
Индекс цен структурных сдвигов определяется по формуле:
(21)
(↑ 4,12%)
Индекс переменного состава – это отношение двух взвешенных средних с меняющимися (переменными) весами, показывающее изменение индексируемой величины. Переменные весы – это количество реализованной продукции базисного и отчетного периода. А индекс постоянного состава – это отношение взвешенных средних с одними и теми же весами. Постоянные весы – это количество реализованной продукции отчетного периода.
Задание 7
По приведенным рядам динамики рассчитайте:
− абсолютные приросты (цепные);
− цепные темпы роста и прироста;
− средний абсолютный прирост;
− средний темп роста и прироста;
− абсолютное значение одного процента прироста.
Рассчитанные показатели предоставьте в таблице.
Таблица 7 - Динамика производства нефти в России
| Год |
Добыча нефти, млн. т |
| 1985 |
490,8 |
| 1986 |
519,7 |
| 1987 |
545,8 |
| 1988 |
571,5 |
| 1989 |
585,6 |
| 1990 |
603,2 |
| 1991 |
608,8 |
| 1992 |
612,6 |
| 1993 |
616,3 |
| 1994 |
612,7 |
| 1995 |
595,0 |
| 1996 |
615,0 |
| 1997 |
624,0 |
| 1998 |
624,0 |
| 1999 |
607,0 |
Решение
1) Абсолютный прирост цепной определяется по формуле:
∆ц
=Yi
– Yi
-1
, (22)
где ∆ц
− абсолютный прирост цепной;
Yi
− уровень сравниваемого периода;
Yi
-1
− уровень непосредственно предшествующего периода.
∆i
1986
= 519,7 – 490,8 = 28,9 млн. т
∆i
1987
= 545,8 – 519,7 = 26,1 млн. т
∆i
1988
= 571,5 – 545,8 = 25,7 млн. т
Абсолютные приросты цепные за остальные годы рассчитаны в таблице 8.
Цепной темп роста (Тр
) определяется по формуле:
Трц
=*100 (23)
Цепные темпы роста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.
Цепной темп прироста (Тпр
) определяется по формуле:
Тпр
= Тр
– 100%
(24)
Тпр
1986
= 105,89 – 100 = 5,89%
Тпр
1987
= 105,89 – 100 = 5,89%
Тпр
1988
= 105,89 – 100 = 5,89%
Цепные темпы прироста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.
Средний уровень ряда динамики определяется по формуле:
, (25)
где n – число уровней ряда динамики.
Средний абсолютный прирост определяется по формуле:
, (26)
где Уn
– последний уровень ряда динамики;
У1
– первый уровень ряда динамики;
∆ц
– цепные абсолютные приросты.
Средний темп роста определяется по формуле:
(27)
где Крц
1
, Крц
2
, Крц
n-1
– цепные коэффициенты роста.
или 101,53%
Средний темп прироста определяется по формуле:
(28)
Абсолютное значение одного процента прироста определяется по формуле:
, (29)
А
1986
= 0,01*490,8 = 4,91
А
1987
= 0,01*519,7 = 5,20
А
1988
= 0,01*545,8 = 5,46
Абсолютные значения одного процента прироста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.
Таблица 8 - Показатели динамики
| Годы |
Добыча нефти, млн. т |
Абсолютный прирост, млн. т |
Темп роста, % |
Темп прироста, % |
Абсолютное значение прироста, % млн. т |
| 1985 |
490,8 |
─ |
─ |
─ |
─ |
| 1986 |
519,7 |
28,9 |
105,89 |
5,89 |
4,91 |
| 1987 |
545,8 |
26,1 |
105,02 |
5,02 |
5,20 |
| 1988 |
571,5 |
25,7 |
104,71 |
4,71 |
5,46 |
| 1989 |
585,6 |
14,1 |
102,47 |
2,47 |
5,71 |
| 1990 |
603,2 |
17,6 |
103,01 |
3,01 |
5,86 |
| 1991 |
608,8 |
5,6 |
100,93 |
0,93 |
6,03 |
| 1992 |
612,6 |
3,8 |
100,62 |
0,62 |
6,09 |
| 1993 |
616,3 |
3,7 |
100,60 |
0,60 |
6,13 |
| 1994 |
612,7 |
-3,6 |
99,41 |
-0,59 |
6,16 |
| 1995 |
595,0 |
-17,7 |
97,11 |
-2,89 |
6,13 |
| 1996 |
615,0 |
20,0 |
103,36 |
3,36 |
5,95 |
| 1997 |
624,0 |
9,0 |
101,46 |
1,46 |
6,15 |
| 1998 |
624,0 |
0,0 |
100,00 |
0,0 |
6,24 |
| 1999 |
607,0 |
-17,0 |
97,28 |
-2,72 |
6,24 |
| В среднем |
588,8 |
8,3 |
101,53 |
1,53 |
─ |
Список литературы
1. Гусаров В.М. Теория статистики. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 448 с.
2. Едронова Н.Н. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 648 с.
3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 368 с.
4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. – М.: ИНФРА-М. 2000. – 414 с.
5. Теория статистики / Под редакцией Громыко Г.Л. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 576 с.