Дисперсійний аналіз
та побудова статистичних графіків
Дисперсійний аналіз
Характеристики варіації
В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки щільно групуються навколо центра розподілу, в інших — значно відхиляються. Чим менші відхилення, тим однорідніша сукупність, а отже, тим більш надійні й типові характеристики центра розподілу, передусім середня величина. Вимірювання ступеня коливання ознаки, її варіації — невід'ємна складова аналізу закономірностей розподілу. Міри варіації широко використовуються у практичній діяльності: для оцінювання диференціації домашніх господарств за рівнем доходу, фінансового ризику інвестування, ритмічності роботи підприємств, сталості врожайності сільськогосподарських культур тощо.
На основі характеристик варіації оцінюється інтенсивність структурних зрушень, щільність взаємозв'язків соціально-економічних явищ, точність результатів вибіркового обстеження.
Для вимірювання та оцінювання варіації використовуються абсолютні та відносні характеристики. До абсолютних належать: варіаційний розмах, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, дисперсії; відносні характеристики подаються низкою коефіцієнтів варіації, локалізації, концентрації.
Узагальнюючою характеристикою варіації є середнє відхилення:
а) лінійне
,
б) квадратичне, або стандартне
;
в) дисперсія (середній квадрат відхилень)
.
Види та взаємозв'язок дисперсій
Дисперсія посідає особливе місце у статистичному аналізі соціально-економічних явищ. На відміну від інших характеристик варіації завдяки своїм математичним властивостям вона є невіддільним і важливим елементом інших статистичних методів, зокрема дисперсійного аналізу.
Для ознак метричної шкали дисперсія — це середній квадра відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої:
.
Як і будь-яка середня, дисперсія має певні математичні властивості. Сформулюємо найважливіші з них.
1. Якщо всі значення варіант xj зменшити на сталу величину А, то дисперсія не зміниться:
.
2. Якщо всі значення варіант xj змінити в А раз, то дисперсія зміниться в А2 раз:
.
3. Якщо частоти замінити частками, дисперсія не зміниться. Нескладними алгебраїчними перетвореннями можна довести,
що дисперсія — це різниця квадратів . Якщо
,
то, замінивши і поділивши всі складові на п, дістанемо:
,
де – квадрат середньої величини; – середній квадрат значень ознаки.
Дисперсія альтернативної ознаки обчислюється як добуток часток: , де d1 — частка елементів сукупності, яким властива ознака, d0 — частка решти елементів . Застосуємо основну формулу дисперсії до цих характеристик структури:
.
Якщо, скажімо, у збиральному цеху частка висококваліфікованих робітників становить d1= 0,2, то дисперсія частки
σ2=0,2 (1-0,2)=0,16.
Дисперсія альтернативної ознаки широко використовується при проектуванні вибіркових обстежень, обробці даних соціологічних опитувань, статистичному контролі якості продукції тощо. За відсутності первинних даних про розподіл сукупності припускають, що d1=d0=0,5 і використовують максимальне значення
дисперсії σ2 =0,5·0,5=0,25.
Якщо сукупність розбито на групи за певною ознакою х, то для будь-якої іншої ознаки у можна обчислити дисперсію як у цілому по сукупності, так і в кожній групі. Центром розподілу сукупності в цілому є загальна середня , центром розподілу в j-й групі — групова середня . Відхилення індивідуальних значень ознаки у від загальної середньої можна подати як дві складові: . Узагальнюючими характеристиками цих відхилень є дисперсії: загальна, групова та міжгрупова.
Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки у навколо загальної середньої:
.
Групова дисперсія характеризує варіацію відносно групової середньої:
.
Оскільки в групи об'єднуються певною мірою схожі елементи сукупності, то варіація в групах, як правило, менша, ніж у цілому по сукупності. Якщо причинні комплекси, що формують варіацію в різних групах, неоднакові, то й групові дисперсії різняться між собою.
Узагальнюючою мірою внутрішньогрупової варіації є середня з групових дисперсій:
.
Різними є й групові середні . Мірою варіації їх навколо загальної середньої є міжгрупова дисперсія
.
Отже, загальна дисперсія складається з двох частин. Перша характеризує внутрішньогрупову, друга — міжгрупову варіацію.
Взаємозв'язок дисперсій називається правилом розкладання (декомпозиції) варіації:
.
40 Види статистичних графіків і способи їх побудови
Статистичні графіки і правила їх побудови
Внаслідок опрацювання даних різних видів спостережень дістають багато цифрового матеріалу, який розмішують у таблицях. Застосування табличного методу суттєво полегшує орієнтування в зібраному та згрупованому матеріалі. Проте здебільшого статистичні дослідження не обмежуються лише таблицями.
Таблична форма викладу кількісного матеріалу не завжди дає змогу достатньо наочно і чітко відобразити загальну картину стану чи розвитку якого-небудь явища, розкрити закономірності зв'язку статистичних показників або їхнього розподілу. А тому для розв'язання цих та інших завдань поряд із статистичними таблицями широко застосовують графічний спосіб зображення статистичних величин.
Статистичний графік — це спосіб наочного зображення й узагальнення статистичних даних про соціально-економічні явища процеси за допомогою геометричних образів, малюнків або схематичних географічних карт.
Графіки застосовують здебільшого для характеристики (порівняння) розвитку показників у часі й просторі, вивчення структури та структурних зрушень, контролю за виконанням планових завдань, характеристики розміщення і поширення явищ у просторі, а також для аналізу зв'язків і залежностей між різними показниками або між значеннями варіаційної ознаки і частотами чи частками. Для побудови статистичного графіка потрібно знати, з якою метою складається графік, вивчити вихідний матеріал та оволодіти методикою графічних зображень.
Основні елементи графіка: поле графіка, графічні образи, масштабні орієнтири та експлікація графіка. Кожний елемент має своє призначення і виконує відповідну роль у побудові й інтерпретації
Поле графіка — це простір, на якому розташовуються геометричні та інші знаки, тобто графічне зображення. Цей простір має певний розмір і обмежується або аркушем чистого паперу, або географічною чи контурною картою.
Розмір поля залежить від призначення графіка. В статистичних дослідженнях найчастіше застосовують графіки у вигляді прямокутників з нерівними сторонами по вертикалі і горизонталі, а також і графіки у вигляді квадратів. Співвідношення нерівних сторін полів графіка звичайно беруть від 1 : 1,33 до 1 : 1,50, якщо вертикальну сторону прийняти за 1.
Просторові орієнтири задають у вигляді прямокутної системи координат, тобто координатної сітки. В картограмах засобами просторової орієнтації є географічні карти.
Графічний образ — це сукупність різноманітних геометричних та графічних знаків, за допомогою яких відображують статистичні величини. У статистичних графіках використовують такі геометричні знаки, як крапки, відрізки прямих ліній, квадрати, прямокутники, кола, півкола, сектори, а також негеометричні знаки-символи у вигляді силуетів або малюнків. Це і є основою графіка, його мовою.
Масштабні орієнтири статистичних графіків — це масштаб, масштабні шкали і масштабні знаки, які використовуються для визначення розмірів геометричних та інших графічних знаків.
Масштаб — умовна міра переведення числового значення статистичного явища в графічне і навпаки. Тобто це довжина відрізка шкали, прийнята за числову одиницю. Наприклад, 1 см на графіку відповідає 1000 одиницям виробленої продукції, або 1 см2 дорівнює 100 км2 на досліджуваній території.
При побудові графіка масштаб має бути таким, аби ясно і чітко проявлялися відмінності зображення статистичних величин і можна було їх легко порівнювати між собою. Найпоширенішою для статистичних графіків є система прямокутних координат. Найкраще співвідношення масштабу по осі абсцис і ординат становить 1,41 : 1, відоме під назвою «золотого перетину». На осі ординат графіка має бути нульова точка. У випадках, коли мінімальне значення ознаки набагато вище нуля, доцільно робити розрив вертикальної шкали.
Масштабна шкала — це лінія, поділена на відрізки точками відповідно до прийнятого масштабу. Носієм шкали звичайно є пряма або крива лінії. Залежно від цього масштабні шкали поділяють на: прямолінійні і кругові.
Довжину відрізків між сусідніми поділками шкали називають графічним інтервалом, а різницю між числовими значеннями цих поділок — числовим інтервалом. Обидва інтервали можуть бути рівними і нерівними.
Шкалу, в якій рівним
Якщо рівним графічним інтервалам відповідають нерівні числові інтервали, шкалу називають нерівномірною, або функціональною. Для побудови статистичних графіків з функціональною шкалою найчастіше застосовують логарифмічну функцію
Масштабні знаки — це еталони, які зображають на графіку статистичні величини у вигляді квадратів, кругів, силуетів тощо. Ними користуються для визначення розмірів і співвідношення статистичних величин, зображених на графіку, тобто для порівняння графічних знаків зі знаком-еталоном.
Експлікація графіка — це пояснення, що розкривають його зміст і основні елементи: заголовок (назва) графіка, одиниці виміру, умовні позначення.
Назва графіка має зрозуміло, чітко і стисло розкривати його основний зміст і відповідати на три запитання — «що?», «коли?», «де?».
На кожній масштабній шкалі графіка вказують відповідні, статистичні величини та одиниці їх вимірювання.
Пояснювальні написи до окремих елементів графічного образу можуть лежати в полі графіка або виноситись як умовні позначення за його межі.
Класифікація статистичних графіків дає можливість визначити їхні загальні риси, аналітичні можливості та метод побудови. Графіки класифікуються за функціонально-цільовим призначенням, видами, формами і тинами основних елементів:
• за загальним призначенням:
аналітичні, ілюстративні та інформаційні;
• за функціонально-цільовим призначенням:
графіки групувань і рядів розподілу, динаміки, взаємозв'язку і порівняння;
• за формою графічних образів:
крапкові, лінійні, площинні, просторові і фігурні;
• за типом системи координат:
графіки у прямокутній і полярній системі координат;
• за масштабними шкалами:
графіки з рівномірними, функціональними і мішаними шкалами.
Класифікація графіків за виглядом їх поля дає змогу виділити дві великі групи графіків: діаграми і статистичні карти.
З огляду на розв'язувані завдання розрізняють статистичні графіки:
1) порівняння статистичних величин;
2) структури і структурних зрушень;
3) зображення динаміки статистичних показників;
4) контролю виконання плану;
5) розташування і поширення в просторі;
6) варіаційних рядів;
7) взаємозв'язку і взаємозалежності.
Графіки, які застосовують для зображення статистичних даних, надзвичайно різноманітні.
Здебільшого для графічного порівняння величин статистичного показника, які характеризують його зміну в просторі, застосовують діаграми.
Діаграми – це види графіків, в яких цифровим (кількісним) даним відповідають різні геометричні фігури і лінії. Діаграми бувають стовпчикові, стрічкові, секторні, лінійні та інші.
Стовпчикові діаграми – найбільш простий, наочний і поширений вид графіків в одному вимірі. На осі абсцис на однаковій відстані один від одного відкладають рівні відрізки – основи стовпчиків.
Якщо стовпчики-прямокутники, які зображують числа, розташувати не по вертикалі, а по горизонталі, тоді це – стрічкова діаграма.
Стовпчикові і стрічкові діаграми взаємозамінні, оскільки в обох випадках використовують один вимір – висоту стовпчика або довжину стрічки.
Для порівняння кількох абсолютних значень використовують також квадратні діаграми. Для того щоб визначити сторони квадрата, потрібно добути корінь квадратний із абсолютного значення, що характеризує явище.
Збільшити наочність зображення статистичних явищ можна, замінивши абстрактні геометричні фігури малюнками. Такий вид діаграм називають фігурними діаграмами.
Фігурні діаграми будують двома способами:
· малюють фігури, розмір яких пропорційний розміру зображуваного явища;
· встановлюють певний масштаб для фігур.
Для статистичного дослідження складу сукупності використовують структурні діаграми – діаграми співвідношення питомої ваги, які характеризують відношення окремих частин сукупності у загальному їх обсязі. Такі діаграми поділяють на стовпчикові, стрічкові і секторні.
Зміну статистичних явищ у часі ілюструють динамічні графіки. Лінійні графіки характеризують зміни явищ у часі, виявляють залежності між двома показниками тощо. У лінійному графіку динаміки шкала на осі ординат має починатися з нуля, інакше діаграма неправильно відображатиме характер розвитку явища.
Різновидом лінійних діаграм є радіальні діаграми, які відображають процеси і явища, періодично повторювані в часі (переважно сезонні коливання).
43 За даними про ціни та обсяг реалізації цукру в трьох магазинах міста визначити середню 1кг цукру за I квартал, II квартал, і за півріччя. Результати відобразити графічно, зробити висновки.
| Магазин |
I квартал |
II квартал |
||
| Ціна за 1кг, грн |
Реалізовано тонн |
Ціна за 1кг, грн |
Реалізовано тонн |
|
| 1 |
2,90 |
60,3 |
2,95 |
51,7 |
| 2 |
2,75 |
45,5 |
3,20 |
40,0 |
| 3 |
3,10 |
50,0 |
3,00 |
42,5 |
Розв’язання:
Будуємо таблицю для визначення отриманих грошей кожним магазином.
| Магазин |
І квартал |
І квартал |
І квартал |
ІІ квартал |
||
| Р1, грн |
q1, тонн |
P2,грн |
q2,тонн |
P1q1, грн |
P2q2, грн |
|
| 1 |
2,90 |
60,3 |
2,95 |
51,7 |
174,87 |
152,51 |
| 2 |
2,75 |
45,5 |
3,20 |
40,0 |
125,12 |
128,00 |
| 3 |
3,10 |
50,0 |
3,00 |
42,5 |
155,00 |
127,50 |
| Σ |
155,8 |
134,2 |
454,99 |
408,01 |
||
Визначаємо середню зважену ціну за 1 кг цукру за І квартал:
грн за 1 кг,
Визначаємо середню зважену ціну за 1 кг цукру за І квартал:
грн за 1кг.
Визначаємо середню зважену ціну за1 кг цукру за півріччя:
грн за 1 кг.
Відповідь:
середня зважена ціна за 1 кг цукру за І квартал становить – 2,92грн,
середня зважена ціна за 1 кг цукру за ІІ квартал становить – 3,04грн,
середня зважена ціна за 1 кг цукру за півріччя становить – 2,97грн,
59 У звітному періоді було продано шкіряного взуття на 50 тис. грн., гумового – на 20 тис. грн. і комбінованого – на 10 тис. грн. Визначити загальний індекс цін на взуття, якщо відомо, що ціни зросли на шкіряне взуття на 15%, на гумове – на 10%, на комбіноване – на 8%.
Розв’язання:
Формула визначення загального індексу виглядає так:
,
де q – обсяг виробництва,
p – ціна на товар,
p1q1 – товарооборот взуття після зростання цін,
p0q0 – товарооборот взуття у звітному (базисному) періоді.
Підставляємо значення у формулу:
Отже, загальний індекс цін на взуття становить 13%.
Відповідь: загальний індекс цін на взуття становить 13%.
Список використаної літератури
1. Уманець Т. В., Пігарєв Ю. Б.
Статистика: Навч. посіб. – 2-ге вид., випр. – К.: Вікар, 2003. – 623 с. – (Вища освіта XXI століття).
2. Герасименко С. С., Головач А. В., Єріна А. М. та ін.
Статистика: Підручник. За наук. ред.. д-ра екон. наук. С. С. Герасименка. – 2-ге вид., перероб. і доп. – К.: КНЕУ, 2000. – 467 с.
3. Теорія статистики: Навчальний посібник / Вашків П. Г., Пастер П. І., Сторожук В. П., Ткач Є. І. – К.: Либідь, 2001. – 320 с.