Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Всероссийский Заочный Финансово-Экономический институт
Филиал г. Тула
Контрольная работа
по дисциплине "Эконометрика"
Вариант 8
Выполнила:
Проверил:
Тула
2008
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.).
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью -критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
· гиперболической;
· степенной;
· показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Вариант 8
|
|
17 |
22 |
10 |
7 |
12 |
21 |
14 |
7 |
20 |
3 |
|
|
26 |
27 |
22 |
19 |
21 |
26 |
20 |
15 |
30 |
13 |
Решение:
1. Уравнение линейной регрессии имеет следующий вид:
Таблица 1
| №наблюдения
|
X
|
Y
|
X2
|
X·Y
|
| 1
|
17 |
26 |
289 |
442 |
| 2
|
22 |
27 |
484 |
594 |
| 3
|
10 |
22 |
100 |
220 |
| 4
|
7 |
19 |
49 |
133 |
| 5
|
12 |
21 |
144 |
252 |
| 6
|
21 |
26 |
441 |
546 |
| 7
|
14 |
20 |
196 |
280 |
| 8
|
7 |
15 |
49 |
105 |
| 9
|
20 |
30 |
400 |
600 |
| 10
|
3 |
13 |
9 |
39 |
| Сумма
|
133
|
219
|
2161
|
3211
|
| Ср. значение
|
13,3
|
21,9
|
216,1
|
321,1
|
Найдем b:
Тогда
Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷx
=11,779+0,761x.
Коэффициент регрессии показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. рублей объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 761 тыс. рублей.
2. Вычислим остатки при помощи. Получим:
Таблица 2
| ВЫВОД ОСТАТКА
|
|||
| Наблюдение
|
|
Остатки
|
|
| 1
|
24,72 |
1,284 |
1,649 |
| 2
|
28,52 |
-1,521 |
2,313 |
| 3
|
19,39 |
2,611 |
6,817 |
| 4
|
17,11 |
1,894 |
3,587 |
| 5
|
20,91 |
0,089 |
0,008 |
| 6
|
27,76 |
-1,76 |
3,098 |
| 7
|
22,43 |
-2,433 |
5,919 |
| 8
|
17,11 |
-2,106 |
4,435 |
| 9
|
27 |
3,001 |
9,006 |
| 10
|
14,06 |
-1,062 |
1,128 |
| Сумма
|
219 |
-0,003 |
37,961 |
Найдем остаточную сумму квадратов:
Дисперсия остатков равна:
.
График остатков имеет следующий вид:
График 1
3. Проверим выполнение предпосылок МНК.
· Случайный характер остатков.
Случайный характер остатков εi
проверяется по графику. Как видно из графика 1 в расположении точек εi
нет направленности (на графике получена горизонтальная полоса). Следовательно, εi
– случайные величины и применение МНК оправдано.
· Средняя величина остатков или математическое ожидание равно нулю.
Так как расположение остатков на графике не имеет направленности (расположены на графике в виде горизонтальной полосы), то они независимы от значений фактора xi
. Следовательно, модель адекватна.
· Проверка гомоскедастичности остатков.
Выборка у нас малого объема, поэтому для оценки гомоскедастичность остатков используем метод Голдфельда - Квандта.
1) Упорядочим n = 10 наблюдений в порядке возрастания х.
2) Разделим на две группы - с большим и меньшим x, и для каждой группы определим уравнения регрессии.
Таблица 3
|
|
х
|
y
|
x·y
|
x2
|
ŷ
|
εi
|
ε2
|
| 1 |
3 |
13 |
39 |
9 |
13,181 |
-0,181 |
0,033 |
| 2 |
7 |
19 |
133 |
49 |
17,197 |
1,803 |
3,251 |
| 3 |
7 |
15 |
105 |
49 |
17,197 |
-2,197 |
4,827 |
| 4 |
10 |
22 |
220 |
100 |
20,209 |
1,791 |
3,208 |
| 5 |
12 |
21 |
252 |
144 |
22,217 |
-1,217 |
1,481 |
| Сумма
|
39 |
90 |
749 |
351 |
12,799 |
||
| Ср.знач
|
7,8 |
18 |
149,8 |
70,2 |
|||
|
|
х
|
y
|
x·y
|
x2
|
ŷ
|
εi
|
ε2
|
| 1 |
14 |
20 |
280 |
196 |
21,672 |
-1,672 |
2,796 |
| 2 |
17 |
26 |
442 |
289 |
24,252 |
1,748 |
3,056 |
| 3 |
20 |
30 |
600 |
400 |
26,832 |
3,168 |
10,036 |
| 4 |
21 |
26 |
546 |
441 |
27,692 |
-1,692 |
2,863 |
| 5 |
22 |
27 |
594 |
484 |
28,552 |
-1,552 |
2,409 |
| Сумма
|
94 |
129 |
2462 |
1810 |
21,159 |
||
| Ср.знач
|
18,8 |
25,8 |
492,4 |
362 |
3) Рассчитаем остаточные суммы квадратов для каждой регрессии.
,
.
4) Вычислим F- распределения.
Fнабл
=S2ŷ
/S1ŷ
=1,653.
5) Произведем сравнение Fнабл
и Fтабл
.
1,653<5,32 (при k1
=1 и k2
=n–2=10–2=8), следовательно, гетероскедастичность места не имеет, т.е. дисперсия остатков гомоскедастична.
· Отсутствие автокорреляции.
Отсутствие автокорреляции проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:
Таблица 4
|
|
ε
|
ε
|
ε
|
(ε
|
| 1
|
1,284 |
|||
| 2
|
-1,521 |
1,284 |
-2,805 |
7,868 |
| 3
|
2,611 |
-1,521 |
4,132 |
17,073 |
| 4
|
1,894 |
2,611 |
-0,717 |
0,5141 |
| 5
|
0,089 |
1,894 |
-1,805 |
3,258 |
| 6
|
-1,760 |
0,089 |
-1,849 |
3,4188 |
| 7
|
-2,433 |
-1,760 |
-0,673 |
0,4529 |
| 8
|
-2,106 |
-2,433 |
0,327 |
0,1069 |
| 9
|
3,001 |
-2,106 |
5,107 |
26,081 |
| 10
|
-1,062 |
3,001 |
-4,063 |
16,508 |
| Сумма
|
75,282 |
; d=75,282/37,961=1,983.
Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие положительной автокорреляции.
· Остатки подчиняются нормальному закону распределения.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
; ,
; ,
где
Тогда , ; и
tтабл
=2,3060 (при 10-2=8 степенях свободы); tа
и tb
> tтабл
, что говорит о значимости параметров модели.
5. Коэффициент детерминации находится по формуле:
.
Данные возьмем из таблицы 5:
Таблица 5
| №
|
x
|
y
|
|
|
|
|
|
|
| 1
|
17 |
26 |
3,7 |
4,1 |
13,69 |
16,81 |
1,284 |
4,938 |
| 2
|
22 |
27 |
8,7 |
5,1 |
75,69 |
26,01 |
-1,521 |
5,633 |
| 3
|
10 |
22 |
-3,3 |
0,1 |
10,89 |
0,01 |
2,611 |
11,868 |
| 4
|
7 |
19 |
-6,3 |
-2,9 |
39,69 |
8,41 |
1,894 |
9,968 |
| 5
|
12 |
21 |
-1,3 |
-0,9 |
1,69 |
0,81 |
0,089 |
0,424 |
| 6
|
21 |
26 |
7,7 |
4,1 |
59,29 |
16,81 |
-1,760 |
6,769 |
| 7
|
14 |
20 |
0,7 |
-1,9 |
0,49 |
3,61 |
-2,433 |
12,165 |
| 8
|
7 |
15 |
-6,3 |
-6,9 |
39,69 |
47,61 |
-2,106 |
14,040 |
| 9
|
20 |
30 |
6,7 |
8,1 |
44,89 |
65,61 |
3,001 |
10,003 |
| 10
|
3 |
13 |
-10,3 |
-8,9 |
106,09 |
79,21 |
-1,062 |
8,169 |
| Сумма
|
133
|
219
|
392,1
|
264,9
|
|
83,979
|
||
| Ср. знач.
|
13,3
|
21,9
|
|
|
|
|
|
|
Для проверки значимости модели используем F-критерий Фишера:
.
Fтабл
=5,32 (k1
=1, k2
=8 степенями свободы) ;
F>Fтабл
, что говорит о значимости уравнения регрессии.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:
;
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,4%.
Поскольку найденная средняя относительная ошибка аппроксимации находится в интервале от 5 до 10, то можно утверждать, что модель имеет хорошее качество.
6. Ширина доверительного интервала находится по формулам:
где tα
=1,86 при m=n-2=8 и α=0,1
Т.о.
Верхн. граница: 25,173+4,34=29,513
Нижн. граница: 25,173-4,34=20,833
Таблица 6
| Нижняя граница |
Прогноз |
Верхняя граница |
| 20,83 |
25,17 |
29,51 |
7.
Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены на графике 2.
График 2
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
· Гиперболической
Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a + b/x.
Произведем линеаризацию модели путем замены
Х = 1/х.
Тогда уравнение примет вид:
ŷ = a + bХ- линейное уравнение регрессии.
Данные, необходимые для нахождения параметров приведены в таблице 6
Таблица 7
| №
|
y
|
x
|
X
|
X2
|
Xy
|
ŷ
|
εi
|
ε
|
|
| 1 |
26 |
17 |
0,0588 |
0,0035 |
1,5294 |
24,41 |
1,59 |
2,52 |
6,11 |
| 2 |
27 |
22 |
0,0455 |
0,0021 |
1,2273 |
25,10 |
1,90 |
3,61 |
7,04 |
| 3 |
22 |
10 |
0,1000 |
0,0100 |
2,2000 |
22,29 |
-0,29 |
0,09 |
1,33 |
| 4 |
19 |
7 |
0,1429 |
0,0204 |
2,7143 |
20,09 |
-1,09 |
1,18 |
5,72 |
| 5 |
21 |
12 |
0,0833 |
0,0069 |
1,7500 |
23,15 |
-2,15 |
4,63 |
10,24 |
| 6 |
26 |
21 |
0,0476 |
0,0023 |
1,2381 |
24,99 |
1,01 |
1,02 |
3,89 |
| 7 |
20 |
14 |
0,0714 |
0,0051 |
1,4286 |
23,76 |
-3,76 |
14,16 |
18,82 |
| 8 |
15 |
7 |
0,1429 |
0,0204 |
2,1429 |
20,09 |
-5,09 |
25,88 |
33,91 |
| 9 |
30 |
20 |
0,0500 |
0,0025 |
1,5000 |
24,87 |
5,13 |
26,35 |
17,11 |
| 10 |
13 |
3 |
0,3333 |
0,1111 |
4,3333 |
10,28 |
2,72 |
7,38 |
20,90 |
| Сумма
|
219
|
133
|
1,0757
|
0,1843
|
20,0638
|
|
|
86,82
|
125,07
|
| Ср.знач.
|
21,9
|
13,3
|
0,1076
|
0,0184
|
2,0064
|
|
|
|
|
Значение параметров а и b линейной модели определим по формулам:
Уравнение регрессии будет иметь вид ŷ = 27,44 – 51,47 X.
Перейдем к исходным переменным, получим уравнение гиперболической модели:
.
График 3
Степенная
Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a · xb
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lg a + b lg x
Обозначим Y = lg ŷ;
A = lg a;
X = lg x
Тогда уравнение примет вид: Y = A + b
X - линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 8:
Таблица 8
| №
|
y
|
x
|
Y
|
X
|
YX
|
X2
|
ŷ
|
εi
|
ε
|
|
| 26 |
17 |
1,4150 |
1,2304 |
1,7411 |
1,5140 |
24,545 |
1,45 |
2,12 |
5,60 |
|
| 27 |
22 |
1,4314 |
1,3424 |
1,9215 |
1,8021 |
27,142 |
-0,14 |
0,02 |
0,52 |
|
| 22 |
10 |
1,3424 |
1,0000 |
1,3424 |
1,0000 |
19,957 |
2,04 |
4,17 |
9,29 |
|
| 19 |
7 |
1,2788 |
0,8451 |
1,0807 |
0,7142 |
17,365 |
1,63 |
2,67 |
8,60 |
|
| 21 |
12 |
1,3222 |
1,0792 |
1,4269 |
1,1646 |
21,427 |
-0,43 |
0,18 |
2,04 |
|
| 26 |
21 |
1,4150 |
1,3222 |
1,8709 |
1,7483 |
26,654 |
-0,65 |
0,43 |
2,51 |
|
| 20 |
14 |
1,3010 |
1,1461 |
1,4911 |
1,3136 |
22,755 |
-2,76 |
7,59 |
13,78 |
|
| 15 |
7 |
1,1761 |
0,8451 |
0,9939 |
0,7142 |
17,365 |
-2,37 |
5,59 |
15,77 |
|
| 30 |
20 |
1,4771 |
1,3010 |
1,9218 |
1,6927 |
26,151 |
3,85 |
14,81 |
12,83 |
|
| 13 |
3 |
1,1139 |
0,4771 |
0,5315 |
0,2276 |
12,479 |
0,52 |
0,27 |
4,01 |
|
| Сумма
|
219
|
133
|
13,2729
|
10,5887
|
14,3218
|
11,8913
|
|
|
37,86
|
74,94
|
| Ср.знач.
|
21,9
|
13,3
|
1,3273
|
1,0589
|
1,4322
|
1,1891
|
|
|
|
|
Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:
Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:
Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,91 + 0,39X
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
ŷ=100,91 ·
x0,39
ŷ =8,13 · x0,39
.
График 4
· Показательная
Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a · bx
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lg a + x lg b
Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; B = lg b
Тогда уравнение примет вид: Y = A + Bx
- линейное уравнение регрессии.
Данные, необходимы для нахождения параметров, приведены в таблице 9.
Таблица
9
| №наблюдения |
y
|
x
|
Y
|
Yx
|
x2
|
ŷ
|
εi
|
ε
|
|
| 1 |
26 |
17 |
1,4150 |
24,0545 |
289 |
24,564 |
1,436 |
2,06 |
5,52 |
| 2 |
27 |
22 |
1,4314 |
31,4900 |
484 |
29,600 |
-2,600 |
6,76 |
9,63 |
| 3 |
22 |
10 |
1,3424 |
13,4242 |
100 |
18,920 |
3,080 |
9,49 |
14,00 |
| 4 |
19 |
7 |
1,2788 |
8,9513 |
49 |
16,917 |
2,083 |
4,34 |
10,96 |
| 5 |
21 |
12 |
1,3222 |
15,8666 |
144 |
20,385 |
0,615 |
0,38 |
2,93 |
| 6 |
26 |
21 |
1,4150 |
29,7144 |
441 |
28,516 |
-2,516 |
6,33 |
9,68 |
| 7 |
20 |
14 |
1,3010 |
18,2144 |
196 |
21,964 |
-1,964 |
3,86 |
9,82 |
| 8 |
15 |
7 |
1,1761 |
8,2326 |
49 |
16,917 |
-1,917 |
3,68 |
12,78 |
| 9 |
30 |
20 |
1,4771 |
29,5424 |
400 |
27,472 |
2,528 |
6,39 |
8,43 |
| 10 |
13 |
3 |
1,1139 |
3,3418 |
9 |
14,573 |
-1,573 |
2,47 |
12,10 |
| Сумма
|
219
|
133
|
13,2729
|
182,8324
|
2161
|
|
|
45,75
|
95,84
|
| Ср.знач.
|
21,9
|
13,3
|
1,3273
|
18,2832
|
216,1
|
|
|
|
|
Значение параметров А и B линейной модели определим по формулам:
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 1,115 + 0,016x.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
ŷ =101,115
·(100,016
)x
;
ŷ =13,03·1,038x
.
График 5
9. Для указанных моделей найти: R2
– коэффициент детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации А.
для всех моделей = 264,9 (см. таблицу 5).
· Степенная модель (см. таблицу 8):
;
;
· Показательная модель (см.таблицу 9):
;
;
· Гиперболическая модель (см. таблицу 7):
.
Таблица 10
| Параметры Модели |
Коэффициент детерминации R2
|
Средняя относительная ошибка аппроксимации А |
| 1. Степенная |
0,857 |
7,5 |
| 2. Показательная |
0,827 |
9,6 |
| 3. Гиперболическая |
0,672 |
12,5 |
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов. Чем ближе R2
к 1, тем выше качество модели.
Чем выше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.
При сравнении гиперболической, степенной и показательной моделей по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R2
и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель, следовательно, ее можно считать лучшей.
Задача 2
Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.
Таблица 1
| № варианта |
№ уравнения |
Задача 2а |
Задача 2б |
||||||||||||
| переменные |
переменные |
||||||||||||||
| y1
|
y2
|
y3
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
y1
|
y2
|
y3
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
||
| 8 |
1 |
-1 |
b12
|
b13
|
0 |
a12
|
a13
|
0 |
-1 |
0 |
b13
|
a11
|
0 |
a13
|
a14
|
| 2 |
0 |
-1 |
b23
|
a21
|
a22
|
0 |
a24
|
b21
|
-1 |
b23
|
0 |
a22
|
0 |
a24
|
|
| 3 |
0 |
b32
|
-1 |
a31
|
a32
|
a33
|
0 |
b31
|
0 |
-1 |
a31
|
0 |
a33
|
a34
|
|
Решение
2а) , тогда система уравнений будет иметь вид:
Модель имеет 3 эндогенные (y1
, y2
, y3
) и 4 экзогенные (x1
, x2
, x3
, x4
) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.
1 уравнение:
y
1
=
b
12
y
2
+
b
13
y
3
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
;
Необходимое условие:
D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1,
y2,
y3
; H=3
Отсутствующие экзогенные переменные: х1,
х4
; D=2
2+1=3 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие:
В уравнении отсутствуют х1,
х4
. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:
Таблица 2
| Уравнение |
переменные |
|
| х1
|
х4
|
|
| 2
|
a21
|
a24
|
| 3
|
a3
|
0 |
Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.
1-ое уравнение идентифицируемо.
2 уравнение:
y
2
=
b
23
y
3
+
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
24
x
4
;
Необходимое условие:
D + 1 = H
Эндогенные переменные: y2,
y3
; H=2
Отсутствующие экзогенные переменные: х3
; D=1
1+1=2 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие:
В уравнении отсутствуют y1,
х3
. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:
Таблица 3
| Уравнение |
переменные |
|
| y1
|
х
|
|
| 1
|
-1 |
a13
|
| 3
|
0 |
a3
|
Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.
2-ое уравнение идентифицируемо.
3 уравнение:
y
3
=
b
32
y
2
+
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
;
Необходимое условие:
D + 1 = H
Эндогенные переменные: y2,
y3
; H=2
Отсутствующие экзогенные переменные: х4
; D=1
1+1=2 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие:
В уравнении отсутствуют y1,
х4
. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:
Таблица 4
| Уравнение |
переменные |
|
| х1
|
х4
|
|
| 1
|
-1 |
0 |
| 2
|
0 |
a24
|
Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.
3-е уравнение идентифицируемо.
В целом вся система уравнений является идентифицируемой.
Решение
2б) ,
Тогда система уравнений будет иметь вид:
Модель имеет 3 эндогенные (y1
, y2
, y3
) и 4 экзогенные (x1
, x2
, x3
, x4
) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.
1 уравнение:
y
1
=
b
13
y
3
+
a
11
x
1
+
a
13
x
3
+
a
14
x
4
;
Необходимое условие:
D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1,
y3
; H=2
Отсутствующие экзогенные переменные: х2
; D=1
1+1=2 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие:
В уравнении отсутствуют y2
, х2
. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:
Таблица
5
| Уравнение |
переменные |
|
| y2
|
х
|
|
| 2
|
-1 |
a2
|
| 3
|
0 |
0 |
Найдем определитель: , следовательно, условие достаточности НЕ выполнено.
1-ое уравнение НЕидентифицируемо.
2 уравнение:
y
2
=
b
11
y
1
+
b
23
y
3
+
a
22
x
2
+
a
24
x
4
;
Необходимое условие:
D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1
, y2,
y3
; H=3
Отсутствующие экзогенные переменные: x1
, х3
; D=2
2+1=3 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие:
В уравнении отсутствуют x1,
х3
. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:
Таблица 6
| Уравнение |
переменные |
|
| x1
|
х
|
|
| 1
|
a11
|
a13
|
| 3
|
a31
|
a3
|
Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.
2-ое уравнение идентифицируемо.
3
уравнение
:
y3
= b31
y2
+a31
x1
+a33
x3
+a34
x4
;
Необходимое условие:
D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1,
y3
; H=2
Отсутствующие экзогенные переменные: х2
; D=1
1+1=2 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие:
В уравнении отсутствуют y1,
х4
. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:
Таблица 7
| Уравнение |
переменные |
|
| y2
|
х
|
|
| 1
|
0 |
0 |
| 2
|
-1 |
a2
|
Найдем определитель: , следовательно, условие достаточности НЕ выполнено
3-е уравнение НЕидентифицируемо.
В целом вся система уравнений является НЕидентифицируемой, так как первое и третье уравнение – НЕидентифицируемы.
2в) По данным, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида: y1
=a01
+b12
y2
+a11
x1
+ε1
;
y2
=a02
+b21
y1
+a22
x2
+ε2
Таблица
8
| Вариант |
n |
y1
|
y2
|
x1
|
x2
|
| 8 |
1 |
51.3 |
39.4 |
3 |
10 |
| 2 |
112.4 |
77.9 |
10 |
13 |
|
| 3 |
67.5 |
45.2 |
5 |
3 |
|
| 4 |
51.4 |
37.7 |
3 |
7 |
|
| 5 |
99.3 |
66.1 |
9 |
6 |
|
| 6 |
57.1 |
39.6 |
4 |
1 |
Решение
1) Структурную форму модели (СФМ) преобразуем в приведенную форму модели (ПФМ):
Для этого из второго уравнения выражаем y2
и подставляем его в первое, а из первого выражаем y1
и подставляем его во второе уравнение. Получим:
y1
=δ11
x1
+ δ12
x2
+u1;
y2
=δ21
x1
+ δ22
x2
+u2
,
где u1
и u1
–случайные ошибки ПФМ.
Здесь
2) В каждом уравнение ПФМ с помощью МНК определим δ – коэффициент.
Для первого уравнения:
.
Для решения системы уравнений требуются вспомогательные расчеты, которые представлены в таблице 9, 10.
Таблица 9
| n |
y1
|
y2
|
x1
|
x2
|
| 1 |
51,3 |
39,4 |
3 |
10 |
| 2 |
112,4 |
77,9 |
10 |
13 |
| 3 |
67,5 |
45,2 |
5 |
3 |
| 4 |
51,4 |
37,7 |
3 |
7 |
| 5 |
99,3 |
66,1 |
9 |
6 |
| 6 |
57,1 |
39,6 |
4 |
1 |
| Сумма |
439 |
305,9 |
34 |
40 |
| Сред. знач. |
73,17 |
50,98 |
5,67 |
6,67 |
Для упрощения расчетов удобнее работать с отклонениями от средних уровней:
∆у = у - уср
; ∆х = х - хср
Таблица
10
| n |
∆y1
|
∆y2
|
∆x1
|
∆x2
|
∆y1
|
∆x1
|
∆x1
|
∆y1
|
∆y2
|
∆y2
|
∆x2
|
| 1 |
-21,9 |
-11,6 |
-2,7 |
3,3 |
58,31 |
7,11 |
-8,89 |
-72,89 |
30,89 |
-38,61 |
11,11 |
| 2 |
39,2 |
26,9 |
4,3 |
6,3 |
170,0 |
18,78 |
27,44 |
248,48 |
116,64 |
170,47 |
40,11 |
| 3 |
-5,7 |
-5,8 |
-0,7 |
-3,7 |
3,78 |
0,44 |
2,44 |
20,78 |
3,86 |
21,21 |
13,44 |
| 4 |
-21,8 |
-13,3 |
-2,7 |
0,3 |
58,04 |
7,11 |
-0,89 |
-7,26 |
35,42 |
-4,43 |
0,11 |
| 5 |
26,1 |
15,1 |
3,3 |
-0,7 |
87,11 |
11,11 |
-2,22 |
-17,42 |
50,39 |
-10,08 |
0,44 |
| 6 |
-16,1 |
-11,4 |
-1,7 |
-5,7 |
26,78 |
2,78 |
9,44 |
91,04 |
18,97 |
64,51 |
32,11 |
| ∑ |
-0,2 |
-0,1 |
-0,2 |
-0,2 |
404,03 |
47,33 |
27,33 |
262,73 |
256,17 |
203,07 |
97,33 |
С учетом приведенных данных получим:
404,03 = 47,33δ11
+ 27,33δ12
262,73 = 27,33δ11
+ 97,33δ12
δ12
= 0,36;
С учетом этого первое уравнение ПФМ примет вид:
y
1
= 8,33х1
+ 0,36х2
+
u
1
Для второго уравнения определим δ – коэффициент с помощью МНК:
Для дальнейших расчетов данные берем из таблицы 9, 10. Получим:
256,17=47,33δ21
+27,33δ22
203,07=27,33δ21
+97,33δ22
δ22
= 0,68;
Второе уравнение ПФМ примет вид:
у2
= 5,02х1
+ 0,68х2
+
u
2
3) Выполним переход от ПФМ к СПФМ. Для этого из последнего уравнения найдем х2
:
Найденное х2
подставим в первое уравнение.
,
тогда b
12
=0,53;
a
11
=5,67
Из первого уравнения ПФМ найдем х1
Подставим во второе уравнение ПФМ
,
тогда b
21
=0,6;
a
22
=0,46
4) Свободные члены СФМ найдем из уравнения:
а01
= у1ср
- b12
у2ср
- а11
х1ср
= 73,17 – 0,53 50,98 - 5,67 5,67 = 14,00;
а02
= у2ср
- b21
у1ср
- а22
х2ср
= 50,98 - 0,6 73,17 - 0,46 6,67 = 4,00.
5) Записываем СФМ в окончательном виде:
y1
=a01
+ b12
y2
+ a11
x1
+ ε1
;
y2
=a02
+ b21
y1
+ a22
x2
+ ε2
.
y1
=14 + 0,53y2
+ 5,67x1
+ ε1
;
y2
= 4 + 0,6y1
+ 0,46x2
+ ε2.