РОСАТОМ
СЕВЕРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
Кафедра Э и АФУ
ЛИНЕЙНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
200600.В075.01.000 ПЗ
Преподаватель:
_________В.Я. Дурновцев
«___»____________2008 г.
Студент:
__________И.А. Акелькин
«___»____________2008 г.
Северск – 2008
С
ОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1 ПОСТРОЕНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА
1.1 Статическая модель объекта первого порядка
1.2 Статистическая модель объекта второго порядка
1.3 Расчёт коэффициентов передачи объекта
2 ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА
2.1 Динамическая модель объекта 1-го порядка без запаздывания
2.2 Динамическая модель объекта 1-го порядка с запаздыванием
2.3 Динамическая модель объекта 2-го порядка без запаздывания
2.4 Динамическая модель объекта 2-го порядка с запаздыванием
3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА
3.1 Приведение к нормальной системе дифференциальных уравнений
3.2 Решение нормальной системы уравнений методом Рунге-Кутта, с постоянным шагом.
4 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТА
4.1 Частотные характеристики
4.1.1 Расчёт частотных характеристик вручную
4.1.2 Расчёт частотных характеристик в системе MathCAD.
4.2 Расчет расширенных частотных характеристик объекта.
4.2.1 Расчет расширенных частотных характеристик объекта в системе MathCAD13
5 ВЫБОР И РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ
5.1 П - регулятор
5.1.1 Расчёт П - регулятора вручную
5.1.2 Расчёт П - регулятора в системе MathCAD
5.2 И – регулятор.
5.2.1 Расчёт И – регулятора вручную.
5.2.2 Расчёт И – регулятора в системе MathCAD
5.3 ПИ – регулятор
5.3.1 Расчёт ПИ – регулятора вручную
5.3.2 Расчёт ПИ – регулятора в системе MathCAD
6 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
6.1 Разомкнутые системы
6.2 Замкнутые системы
7 ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
7.1 Постановка задачи
7.2 Методы исследования САУ на устойчивость
7.3 Проверка устойчивости САУ по критерию Рауса
7.3.1 Замкнутая система с П – регулятором
7.3.2 Замкнутая система с И – регулятором
7.3.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором
7.4 Проверка устойчивости систем по частотному критерию Найквиста
7.4.1 Разомкнутая система с П – регулятором
7.4.2 Разомкнутая система с И – регулятором
7.4.3 Разомкнутая система с ПИ-регулятором
7.5 Проверка устойчивости САУ по корням характеристического уравнения
7.5.1 Замкнутая система с П – регулятором по возмущению
7.5.2 Замкнутая система с И – регулятором по возмущению
7.5.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором по возмущению
7.6 Проверка устойчивости САУ по критерию устойчивости Гурвица
7.6.1 Замкнутая система с П – регулятором по управлению
7.6.2 Замкнутая система с И – регулятором по управлению
7.6.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором по управлению
7.7 Проверка устойчивости САУ по частотному критерию Михайлова
7.7.1 Замкнутая система с П – регулятором по возмущению
7.7.2 Замкнутая система с И – регулятором по возмущению
7.7.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором по возмущению
8 ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
8.1 Постановка задачи. Методы решения
8.2 Построение переходных процессов в замкнутых системах по возмущению
8.2.1 Система с П – регулятором
8.2.2 Система с И – регулятором
8.2.3 Система с ПИ – регулятором
8.3 Построение переходных процессов в замкнутых системах по управлению
8.3.1 Система с П – регулятором
8.3.2 Система с И – регулятором
8.3.3 Система с ПИ – регулятором
9 ОЦЕНКА КАЧКСТВА РАБОТЫ САУ
9.1 Постановка задачи. Критерии качества переходных процессов
9.2 Оценка качества замкнутых САУ по возмущению
9.2.1 Система с П – регулятором
9.2.2 Система с И – регулятором
9.2.3 Система с ПИ – регулятором
9.3 Оценка качества замкнутых САУ по управлению
9.3.1 Система с П – регулятором
9.3.2 Система с И – регулятором
9.3.3 Система с ПИ – регулятором
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Автоматизация производственных процессов является одним из главнейших факторов повышения производительности общественно
полезного труда и улучшения качества выпускаемой продукции. На этапе проектирования технологического процесса, установки, объекта должен быть выполнен синтез автоматической системы регулирования (АСР) по параметрам будущего объекта. При сооружении объекта необходимо смонтировать элементы АСР и установить настроечные параметры. На работающем объекте, параметры которого очень часто отличаются от проектных или существенно изменяются в процессе длительной эксплуатации, необходимо исследовать объект, построить его математическую модель в виде статической и динамической характеристик, произвести расчет параметров настройки выбранных регуляторов (а часто и выбрать тип регулятора), установить эти параметры и оценить качество функционирования системы "объект - регулятор".
Даже из перечисления работ видно, что трудоемкость проектирования и исследования любых АСР значительна. Трудоемкость вычислений настолько велика, что часто за отведенное время невозможно уложиться с полным расчетом одной АСР, не говоря уже о вариантном переборе различных АСР, о приобретении навыков в системе расчетов и о получении интуитивного понимания различных АСР. Поэтому решение поставленной задачи: за один фрагмент учебных занятий (лабораторные, практические занятия, курсовое проектирование) выполнить вариантный расчет АСР для заданного объекта (дифференциальными уравнениями, передаточной функцией или экспериментальными данными) - может быть найдено только на пути активного взаимодействия в системе "Пользователь - ЭВМ". Такая программа работ может быть дополнена экспериментальным исследованием реального объекта (или его модели, стенда) и настройкой рассчитанных параметров регулятора с проверкой работоспособности всей системы по заданным критериям качества.
1 ПОСТРОЕНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА
Статический объект - такой объект, у которого выходная величина является функцией от входной y=f(x) и не изменяется с течением времени.
Для того, чтобы знать поведение статического объекта, строят математическую модель, описывающую в аналитической форме зависимость выходного сигнала от сигнала на входе объекта.
Постановка задачи:
Для получения статической характеристики объекта регулирования необходимо выполнить следующие действия:
- задаться рядом значений входной величины x;
- для каждого xi
, поданного на вход объекта выдержать время, необходимое для завершения переходного процесса;
- зарегистрировать значение выходного сигнала yi
.
Для построения статической модели, статического объекта, мы имеем значения входных и соответствующих им выходных величин в таблице 1.
Таблица 1 – Исходные данные
| I |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
| Y |
3 |
4,1 |
5 |
6 |
7 |
7,5 |
7,8 |
8,2 |
9 |
1.1 Статическая модель объекта первого порядка
Объект первого порядка (линейная модель) описывается уравнением вида y=ax+b. Для нахождения коэффициентов a и b, удовлетворяющих всем состояниям объекта регулирования составим систему линейных алгебраических уравнений.
Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом Крамара.
X∙А=Y
XТ
X∙А=XТ
Y
где - матрица с неизвестными величинами
Составим соответствующие матрицы входных и выходных сигналов:
- произведение :
- произведение :
Вычислили значения коэффициентов: а=0,668; b=3,655
Окончательно получим уравнение: y = 0,668x + 3,655
Для качественной оценки полученного полинома вычислим аналитически значения функции и сравним их с экспериментальными данными. Результаты сведем в таблице 2.
Таблица 2 – Результаты расчёта
| X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
| Yзад
|
3 |
4.1 |
5 |
6 |
7 |
7.5 |
7.8 |
8.2 |
9 |
| Yаналит
|
3.655 |
4.323 |
4.991 |
5.659 |
6.327 |
6.995 |
7.663 |
8.331 |
9.667 |
| ΔY |
0.655 |
0.223 |
-0.009 |
-0.341 |
-0.673 |
-0.505 |
-0.137 |
0.131 |
0.667 |
| ΔY2
|
0.429 |
0.050 |
0.000 |
0.116 |
0.453 |
0.255 |
0.019 |
0.017 |
0.449 |
Далее приведен проверочный расчет линейной аппроксимации на ЭВМ в программной среде MathCAD.
Вектор данных:
Длина вектора:
Оператор slope определяет тангенс угла образованного аппроксимирующей прямой и положительным направлением оси ОХ, т.е. определяет коэффициент при х.
Оператор intercept определяет точку пересечения аппроксимирующей прямой с осью OY, т.е. определяет свободный член.
Получаем уравнение аппроксимирующей прямой:
Определяем сумму квадратов отклонений:
Рисунок 1 – График статической модел
и 1-го порядка
1.2 Статистическая модель объекта второго порядка
В целом ход действий аналогичен случаю для линейной модели. Модель объекта второго порядка описывается уравнением вида y=ax2
+bx+c.
Для решения этой системы воспользуемся матричным методом наименьших квадратов.
Составим матрицы входных и выходных сигналов:
Таким образом, получили матричное уравнение:
,
где - матрица коэффициентов полинома второго порядка
Находим значение главного определителя:
Δ=314160
Подставляя матрицу поочередно в первый, второй и третий столбец матрицы , находим вспомогательные определители:
Находим коэффициенты полинома:
Таким образом, получили полином второго порядка:
Для качественной оценки полученного полинома вычислим аналитические значения функции и сравним их с экспериментальными данными. Результаты сведем в таблице 3.
Таблица 3 – Результаты расчета
| X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
| Yзад.
|
3 |
4,1 |
5 |
6 |
7 |
7,5 |
7,8 |
8,2 |
9 |
| Yаналит.
|
3,155 |
4,265 |
5,261 |
6,143 |
6,991 |
7,565 |
8,105 |
8,531 |
9,041 |
| ΔY |
0,155 |
0,165 |
0,261 |
0,143 |
-0,089 |
0,065 |
0,305 |
0,331 |
0,041 |
| ΔY2
|
0,024 |
0,027 |
0,068 |
0,020 |
0,008 |
0,004 |
0,093 |
0,110 |
0,002 |
Далее приведен проверочный расчет линейной аппроксимации на ЭВМ в программной среде MathCAD.
- векторы данных;
- длина вектора
- задание степени
- переход к созданию матрицы Вандермонда и подматрицы для решения системы уравнений;
|
|
- матрица коэффициентов системы уравнений;
|
|
- вектор правых частей системы уравнений;
|
|
- решение системы уравнений;
- коэффициент c;
- коэффициент b;
- коэффициент a;
- вычисление значений аппроксимирующей функции;
Определяем сумму квадратов отклонений:
Рисунок 2 – График статической модели 2-го порядка
1.3
Расчёт коэффициентов передачи объекта
Коэффициент передачи объекта показывает, в какую сторону и в какой степени происходит изменение сигнала при прохождении его через объект, то есть усилительные свойства объекта.
Коэффициент передачи определяется как производная от выходной величины:
Расчет коэффициента передачи производим при 10%, 50% и 90% номинального режима, из таблицы данных находим максимальное и минимальное значения сигнала на выходе объекта
Решим алгебраические нелинейные уравнения, исследуем полученные корни и, подставив, нужный корень, получили коэффициенты передач.
Таблица 4 – Результаты расчета коэффициентов передачи
| 10% |
50% |
90% |
|
| y |
3,6 |
6 |
8,4 |
| k |
1,209 |
1,417 |
1,598 |
2
ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА
Динамическая характеристика объекта нужна для построения его динамической математической модели, которая описывает поведение объекта во времени, начиная с момента подачи входного сигнала и до момента, когда все переходные процессы заканчиваются.
Динамические характеристики, в свою очередь, подразделяются на временные и частотные.
Временными характеристиками звена или системы называют изменение во времени значений выходной величины при поступлении на вход некоторого типового воздействия. Наиболее важной временной характеристикой является реакция системы на единичное, мгновенное, скачкообразное изменение значения входной величины, так как этот режим очень часто возникает в системах регулирования, как при включении, так и при изменении заданного значения регулируемой величины.
Таким образом, под временной характеристикой системы будем понимать процесс изменения выходной величины в функции времени при переходе системы из одного равновесного состояния в другое в результате поступления на вход системы единичного, ступенчатого воздействия.
Для получения динамической переходной характеристики объекта регулирования необходимо:
а) задаться рядом значений времени t;
б) зарегистрировать значение выходного сигнала Yi
в заданные моменты t, в результате интенсивного экспериментирования. Эти данные сведены в таблицу 5.
Таблица 5 – Динамическая характеристика объекта регулирования
| i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| t |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
| Y |
0 |
0,1 |
0,5 |
0,7 |
0,82 |
0,91 |
0,975 |
0,99 |
1 |
Для получения аналитической зависимости, заданную таблично динамическую характеристику необходимо аппроксимировать выражением первого порядка. Затем по наименьшему значению суммы квадратов отклонений для характеристик без запаздывания и с запаздыванием нужно выбрать наиболее приближенную к экспериментальным данным динамическую характеристику.
Для статических объектов первого порядка без запаздывания будем иметь:
- дифференциальное уравнение
Т - постоянная времени, это время в течение которого выходная координата объекта достигла установившегося состояния, если бы изменялась с максимальной скоростью;
k - коэффициент передачи.
- передаточную функцию
- решение дифференциального уравнения
Для статических объектов первого порядка с запаздыванием будем иметь:
- дифференциальное уравнение
- передаточную функцию
- решение дифференциального уравнения
Для статических объектов N-го порядка без запаздывания, имеющих кратные (одинаковые корни), будем иметь:
- передаточную функцию
- решение дифференциального уравнения (переходный процесс)
Для статических объектов N-го порядка с запаздыванием будем иметь:
- передаточную функцию
переходный процесс
Общий процесс решения поставленной задачи будет выглядеть следующим образом:
- составляем систему уравнений для всей совокупности экспериментальных точек. Для объектов высоких порядков систему предварительно линеаризуем посредством замены переменных и решения в каждой точке нелинейного уравнения для этой введенной дополнительной переменной;
- составляем систему уравнений для всей совокупности экспериментальных точек. Для объектов высоких порядков систему предварительно линеаризуем посредством замены переменных и решения в каждой точке нелинейного уравнения для этой введенной дополнительной переменной;
- полученную систему уравнений решаем матричным методом наименьших квадратов и находим неизвестные и T.
2.1 Динамическая модель объекта 1-го порядка без запаздывания
Расчёт вручную
Решением дифференциального уравнения будет являться сумма общего и частного решений:
Найдем Yобщ
(t):
Найдем Yчаст
(t):
Подставим:
Найдем постоянную С:
Y(0)=Y0
тогда
;
Подставим С:
По таблице при t = 0, Y(0) = 0, тогда:
, откуда и получим:
Где - установившееся значение, в нашем случае Yуст
= Ymax
.
Найдем постоянную времени Т методом наименьших квадратов. Преобразуем выражение:
Прологарифмируем выражение:
Обозначим
Рассчитаем для каждого момента времени ti
и занесем в таблицу 6.
Таблица 6 - Значения
| i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
1 |
0.9 |
0.5 |
0.3 |
0.18 |
0.09 |
0.025 |
0.01 |
0 |
Далее составляем систему алгебраических уравнений:
В систему не вошло уравнение для момента времени t9
, так как ln0 не определен, и для момента времени t=0, так как в них. Составляем матричное уравнение для:
Составим матрицы:
Находим произведение :
Находим произведение :
Окончательно найдем T:
Рисунок 3 – График динамической модели объекта 1-го порядка без запаздывания
2.2 Динамическая модель объекта 1-го порядка с запаздыванием
Расчёт вручную
Системой с запаздыванием называется система, в которой имеется звено, обладающее таким свойством, что реакция на его выходе отстает по времени на некоторую величину .
Объект первого порядка с запаздыванием можно описать уравнением вида:
Запишем решение дифференциального уравнения:
где
Найдем постоянную времени Т и время запаздывания методом наименьших квадратов. Преобразуем выражение:
Прологарифмируем выражение :
где , значение (таблица 6).
Составим систему алгебраических уравнений первого порядка, причем число уравнений равно числу состояний объекта в эксперименте, кроме точек , так как в них , а также точки и, так как в этой точке не существует:
Составим матричное уравнение для решения системы:
где
.
Составим матрицы L и t:
Найдем произведение :
Найдем произведение :
Найдем главный определитель:
Находим вспомогательные определители и , подставляя матрицу поочередно в первый и второй столбцы матрицы соответственно:
Находим Т и t:
Расчёт в системе MathCAD
|
|
|
|
|
|
| - решение системы линейных алгебраических уравнений методом наименьших квадратов посредством обращения матрицы; |
|
|
|
|
| - время запаздывания; |
| - постоянная времени; |
Рисунок 4 – График динамической модели объекта 1-го порядка с запаздыванием
| Таблицы исходных данных и результатов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3 Динамическая модель объекта 2-го порядка без запаздывания
Рисунок 5 – График динамической модели объекта 2-го порядка без запаздывания
| Таблицы исходных данных и результатов: |
|
|
2.4 Динамическая модель объекта 2-го порядка с запаздыванием
|
|
|
|
|
|
| - длина вектора данных; |
|
|
|
|
|
|
| - задание границ адекватности исходных данных предполагаемой модели по значениям y1; |
|
|
|
|
| - нелинейное уравнение; |
|
|
| - решение нелинейного уравнения; |
|
|
| - вектор правых частей; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| - вектор коэффициентов системы уравнений; |
- решение системы линейных алгебраических уравнений методом наименьших квадратов посредством обращения матрицы;
|
|
|
|
|
|
| - время запаздывания |
| - постоянная времени; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 6 – График динамической модели объекта 2-го порядка с запаздыванием
| Таблицы исходных данных и результатов: |
Таким образом, в результате расчета из четырёх моделей объекта выбрана модель второго порядка c запаздыванием, так как она наиболее точно отражает протекание переходных процессов и обеспечивает заданное качество регулирования. Это видно из расчетов, у этой модели сумма квадратов отклонений имеет наименьшее значение, чем у остальных объектов и также это видно из кривой переходного процесса.
3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА
3.1 Приведение к нормальной системе дифференциальных уравнений
Пусть имеем передаточную функцию в виде степенного полинома, который необходимо представить в обычной форме. В таком виде обычно формируется математическая модель объекта по результатам исследования. Передаточная функция представляет собой отношение выходной величины к входной величине, и она выбирается по минимальному среднеквадратическому отклонению от экспериментальных данных динамических характеристик. В нашем случае это передаточная функция динамической характеристики второго порядка с запаздыванием:
Где:
Разложим звено запаздывания в степенной ряд в виде отношения полиномов:
Тогда перемножая, получим:
Получили дифференциальное уравнение. Приведем к нормальной системе дифференциальных уравнений методом формального интегрирования.
Получили нормальную систему дифференциальных уравнений, разрешённую относительно первой производной:
Неизвестную величину найдём из соотношения:
Где k - коэффициент передачи при 50% мощности от номинального режима;
- максимальное значение экспериментальных данных.
Подставив в полученную систему получим:
В результате решения получается матрица чисел, содержащая столбец точек независимой переменной (в нашем случае - времени) и столбцы соответствующих значений функций, определенных системой уравнений и вычисленных в этих точках.
3.2 Решение нормальной системы уравнений методом Рунге – Кутта, с постоянным шагом
|
|
| - Вектор начальных условий; |
|
|
|
|
| - Количество точек; |
| - Вектор правых частей исходной системы дифференциальных уравнений в нормальной форме; |
|
|
| - Обращение к процедуре rkfixed |
|
|
Время, с
Рисунок 7 - График переходного процесса
На рисунке:– исходные данные; Y(t1) – полином второго порядка с запаздыванием.
4 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТА
4.1 Частотные характеристики
4.1.1 Расчёт частотных характеристик вручную
Для оценки установившихся режимов оказалось более удобным рассматривать поведение элементов и систем при воздействии, являющихся периодическими функциями времени. Частотные характеристики всякого объекта связаны с его передаточной функцией, которая имеет вид:
Где - коэффициент передачи при 50 %;
- постоянная времени;
- время запаздывания.
В выражении для объекта второго порядка, заменив на мнимую величину , получим комплексную функцию , которую называют частотной функцией и имеет следующий вид:
где - частота.
Экспоненту преобразуем по формулам Эйлера, получим:
Преобразовав выражение, получим выражение:
Обозначим в формуле:
- вещественная частотная характеристика системы;
- мнимая частотная характеристика системы.
Подставив и в уравнение:
На основании равенств составим соотношения, связывающие между собой частотные характеристики:
где - амплитудно-частотная характеристика;
- фазо-частотная характеристика;
- логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.
Пусть , тогда действительная составляющая равна:
Мнимая составляющая равна:
Амплитуда колебаний равна:
Фазовая составляющая равна:
Результаты, полученные при других частотах, сведены в таблицу 7.
Таблица 7 – Результаты вычислений
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
1,417 |
0 |
1,417 |
6,971 |
0 |
| 0,1 |
1,341 |
-0,413 |
1,403 |
6,733 |
-0,299 |
| 0,2 |
1,13 |
-0,762 |
1,363 |
6,191 |
-0,594 |
| 0,5 |
0,165 |
-1,123 |
1,135 |
2,532 |
-1,425 |
| 1 |
-0,597 |
-0,386 |
0,711 |
-6,832 |
0,574 |
4.1.2 Расчёт частотных характеристик в системе
MathCAD
|
|
|
|
|
|
|
|
| -диапазон изменения частоты; |
|
|
| -замена p на комплексную переменную i |
|
|
| -передаточная функция объекта; |
|
|
| -действительная составляющая; |
|
|
| -мнимая составляющая; |
|
|
| -АЧХ; |
|
|
| -ЛАЧХ; |
|
|
|
|
| -ФЧХ. |
Рисунок 8.1 – АФХ объекта
Рисунок 8.2 – АЧХ объекта
Рисунок 8.3 – ЛАЧХ объекта
Рисунок 8.4 – Действительная частотная характеристика
Рисунок 8.5 – Мнимая частотная характеристика
Рисунок 8.6 – Фазо – частотная характеристика
Фазо – частотная характеристика вычисляется в диапазоне от 0 до 3600. Для значений больше 3600 необходимо прибавить вычисленное значение.
Таблица 8 – Результаты вычислений в системе MathCAD
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2 Расчет расширенных частотных характеристик объекта
Расширенные частотные характеристики применяются при расчете регуляторов с заданными показателями качества замкнутой системы, и, в частности, с заданной величиной степени колебательности . При , регулятор должен обеспечить замкнутой системе 75%-ое затухание. Расчет расширенных частотных характеристик даёт более наглядное представление о происходящих процессах.
4.2.1 Расчет расширенных частотных характеристик объекта в системе
MathCAD
Заменив в выражении для объекта второго порядка величину на мнимую величину , получим комплексную функцию .
|
|
|
|
|
|
|
|
| - степень колебательности; |
|
|
| -диапазон изменения частоты; |
|
|
| -замена p на комплексную переменную i |
|
|
| -передаточная функция объекта; |
|
|
| -действительная составляющая; |
|
|
| -мнимая составляющая; |
|
|
| -АЧХ; |
|
|
| -ЛАЧХ; |
|
|
|
|
| -ФЧХ. |
Рисунок 9.1 – АФХ объекта
Рисунок 9.2 – АЧХ
Рисунок 9.3 – Логарифмическая АЧХ
Рисунок 9.4 – Действительная ЧХ
Рисунок 9.5 – Мнимая ЧХ
Рисунок 9.6 – ФЧХ
Фазо–частотная характеристика вычисляется в диапазоне от 0 до 3600. Для значений больше 3600 необходимо прибавить вычисленное значение.
Результаты расчетов представлены в таблице 9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 9 – Результаты вычислений в системе MathCAD
5 ВЫБОР И РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ
Регулятор состоит из элементарных звеньев и включается в цепь обратной связи системы автоматического регулирования. Автоматические регуляторы по своим динамическим свойствам подразделяются: на линейные и нелинейные. При проектировании наиболее часто из линейных регуляторов применяют:
- П – регулятор (пропорциональный регулятор);
- И – регулятор (интегральный регулятор);
- ПИ – регулятор (пропорционально-интегральный регулятор);
- Д – регулятор (дифференциальный регулятор);
- ПД – регулятор (пропорционально-дифференциальный регулятор);
- ПИД – регулятор (пропорционально-интегро-дифференциальный регулятор);
Требования, предъявляемые к регулятору, обусловлены требованиями ко всей системе регулирования. Для обеспечения устойчивости замкнутой системы, при проектировании систем стремятся обеспечивать их устойчивость, так чтобы изменения параметров в некоторых пределах не могло привести к неустойчивости системы. Расчёт параметров настройки регуляторов производится при помощи расширенных частотных характеристик объекта. Расширенные частотные характеристики рассчитываются при подстановке . Одним из методов расчёта, является критерий Найквиста. Этот частотный критерий устойчивости, разработанный в 1932г. Американским учёным Г.Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристике. Критерий Найквиста формулируется следующим образом: Если разомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая система автоматического управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку (-1,0). В математической форме условия устойчивости системы по критерию Найквиста следующие:
В данной работе рассмотрено несколько регуляторов, при выборе регуляторов необходимо пользоваться рекомендациями. В целом процедуры расчета регулятора следующие:
1) Имея передаточную функцию объекта (любого порядка с запаздыванием или без него) зададимся величиной , обеспечивающей требуемое качество переходного процесса в замкнутой системе, а также диапазоном и шагом изменения частоты.
2) Рассчитаем значения расширенной частотной характеристики объекта и в явном виде определим параметры настройки регулятора в заданном диапазоне частот.
3) Удовлетворяя фазовым соотношениям, находим по полученным графикам и таблицам оптимальные параметры настройки регуляторов.
5.1 П - регулятор
5.1.1 Расчёт П - регулятора вручную
Передаточная характеристика имеет вид:
где: - коэффициент передачи при 50%;
- постоянная времени;
- время запаздывания.
Заменив в выражении для объекта второго порядка величину на мнимую величину , получим комплексную функцию .
где: - степень колебательности;
- диапазон изменения частоты.
Обозначим в формуле вещественные и мнимые части частотной характеристики:
Подставив и в уравнение, получим:
; ;
Найдём значение для некоторых частот, результаты вычислений сведем в таблицу.
Таблица 10 - Результаты вычислений
|
|
|
|
|
| 0 |
1 |
0 |
-1 |
| 0,1 |
1,195 |
-0,485 |
-0,718 |
| 0,2 |
1,241 |
-1,198 |
-0,417 |
| 0,5 |
0,345 |
-1,152 |
-0,239 |
| 1 |
0,12 |
-0,289 |
-1,226 |
5.1.2 Расчёт П - регулятора в системе
MathCAD
| Для П - регулятора будем иметь следующие расчетные соотношения: Kп = Rp = R0 (m,) / [R20 (m,) + I20 (m,)], п (m,w)= + 0 (m,w). Оптимальный параметр настройки П - регулятора соответствует п (m,w) = 0. |
| Расчет параметров настройки: |
|
|
| -степень колебательности; |
| -диапазон изменения частоты; |
| -замена p на комплексную переменную i; |
|
|
| -передаточная функция объекта; |
|
|
|
|
| -действительная составляющая; |
|
|
| -мнимая составляющая; |
| -знаменатель; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| -фазо-частотная характеристика регулятора; |
|
|
| -действительная составляющая регулятора; |
|
|
| -мнимая составляющая регулятора; |
|
|
| -Kп регулятора. |
Таблица 11 – Результаты расчёта параметров настройки П – регулятора по расширенным частотным характеристикам
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 10.1 – АФХ объекта
Рисунок 10.2 – П - регулятора
Проведем более точное исследование П – регулятора при частоте:
|
|
| -диапазон изменения частоты; |
Таблица 12 – Результаты расчёта параметров настройки П – регулятора по расширенным частотным характеристикам
Коэффициент передачи П – регулятора , будем выбирать, при нулевой фазовой составляющей. Таким образом, при , .
5.2 И – регулятор
5.2.1 Расчёт И – регулятора вручную
Для И – регулятора передаточная характеристика имеет вид:
Заменив комплексную переменную на получим выражение вида:
Действительная часть:
Мнимая часть:
Выразим :
и возьмем из таблицы 10.
Найдём значение для некоторых частот, результаты вычислений сведем в таблицу:
Таблица 13 – Результаты вычислений
|
|
|
|
|
| 0 |
1 |
0 |
0 |
| 0,1 |
1,195 |
-0,485 |
0,341 |
| 0,2 |
1,241 |
-1,198 |
0,396 |
| 0,5 |
0,345 |
-1,152 |
0,567 |
| 1 |
0,12 |
-0,289 |
5,817 |
5.2.2 Расчёт И – регулятора в системе
MathCAD
|
|
|
|
|
|
|
|
| - степень колебательности; |
|
|
| -диапазон изменения частоты; |
|
|
| -замена p на комплексную переменную iw; |
Таблица 14 – Результаты расчёта параметров настройки И – регулятора по расширенным частотным характеристикам
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 11.1 – АЧХ
Рисунок 11.2 – И – регулятора
Проведем более точное исследование И – регулятора при частоте:
|
|
| -диапазон изменения частоты; |
Таблица 15 – Результаты расчёта параметров настройки И – регулятора по расширенным частотным характеристикам
Коэффициент передачи И – регулятора , будем выбирать, при нулевой фазовой составляющей. Таким образом, при ,
5.3 ПИ – регулятор
5.3.1 Расчёт ПИ – регулятора вручную
Для ПИ – регулятора передаточная характеристика имеет вид:
Заменив комплексную переменную , на , получим выражение вида:
Отсюда выразим действительные и мнимые части:
Выразим и :
Найдем численные значения и для ряда частот, результаты сведем в таблицу.
Таблица 16 – Результаты вычислений
|
|
|
|
|
|
| 0 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
| 0,1 |
1,195 |
-0,485 |
-0,031 |
-0,783 |
| 0,2 |
1,241 |
-1,198 |
-0,084 |
-0,506 |
| 0,5 |
0,345 |
-1,152 |
-0,418 |
-0,415 |
| 1 |
0,12 |
-0,289 |
-3,098 |
-1,879 |
5.3.2 Расчёт ПИ – регулятора в системе
MathCAD
|
|
|
|
|
|
|
|
| - степень к
олебательности;
|
|
|
| -диапазон изменения частоты; |
|
|
| -замена p на комплексную переменную iw; |
|
|
| -передаточная функция объекта; |
|
|
| -действительная составляющая; |
|
|
| -мнимая составляющая; |
|
|
| -знаменатель; |
|
|
|
|
| -фаза; |
|
|
| -действительная составляющая регулятора; |
|
|
| -мнимая составляющая регулятора; |
|
|
| -коэффициент передачи И – регулятора. |
|
|
| -коэффициент передачи П – регулятора. |
Таблица 17 – Результаты расчёта параметров настройки ПИ–регулятора по расширенным частотным характеристикам
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 12.1 – АЧХ
Рисунок 12.2 – , ПИ – регулятора
Проведем более точное исследование ПИ – регулятора при частоте:
|
|
| -диапазон изменения частоты; |
Таблица 18 – Результаты расчёта параметров настройки ПИ–регулятора по расширенным частотным характеристикам
Коэффициенты передачи ПИ – регулятора и , будем выбирать, при максимальном значении коэффициента передачи И – составляющей. Таким образом, при: , , .
Для дальнейших расчетов выберем коэффициенты ,, :
Таблица19 – Значения коэффициентов передачи для различного типа регуляторов
| Коэффициент передачи |
Вид регулятора: |
||
| П |
И |
ПИ |
|
|
|
--- |
0,374 |
0,710 |
|
|
1,537 |
--- |
0,861 |
6 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
6.1 Разомкнутые системы
Разомкнутыми системами называются такие системы, в которых отсутствует обратная связь между выходом объекта и входом устройства управления.
Различают разомкнутые системы автоматического управления, у которых управление осуществляют по задающему извне воздействию, а также системы, где управление осуществляется по возмущению. Наиболее перспективными являются системы, управление которых производят по задающему воздействию и по возмущению.
Структурная схема разомкнутой САУ изображена на рисунке 14.
Рисунок 13 – Структурная схема разомкнутой системы
Передаточной функцией такой системы будет следующее выражение:
,
Где:
- передаточная функция объекта,
- передаточная функция регулятора.
В нашем случае передаточная функция объекта имеет вид:
Передаточные функции регуляторов:
1. Для П – регулятора:
.
2. Для И – регулятора:
.
3. Для ПИ – регулятора:
.
6.2 Замкнутые системы
В этих системах устройство управления исключает все отклонения выходной величины, вызванные любыми возмущениями, а также внешними и внутренними помехами. Замкнутая система представляет собой замкнутый контур из устройства управления и объекта. При этом имеется обратная связь, связывающая выход системы с входом. Ее наличие и обуславливает почти стопроцентную точность управления.
Структурная схема замкнутой САУ изображена на рисунке 15:
Рисунок 14 – Структурная схема замкнутой системы
Передаточной функцией такой системы будет следующее выражение:
1. по возмущению
;
2. по управлению
.
Подставив все известные выражения передаточных функций объекта регулирования и регуляторов, получим передаточные функции систем с различными регуляторами:
-c П – регулятором:
- c И – регулятором:
;
- c ПИ – регулятором:
7 ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
7.1 Постановка задачи
Система автоматического регулирования как динамическая система, характеризуется переходным процессом, возникающем в системе при нарушении ее равновесия любым возмущением. Основной динамической характеристикой системы регулирования является ее устойчивость или неустойчивость.
Исследование замкнутых АСР на устойчивость предполагает получение ответов на следующие вопросы. Является ли система с рассчитанным регулятором устойчивой, то есть, возвращается ли она в состояние равновесия при наличии возмущений? Какие из параметров системы (объекта и регулятора) и каким образом влияют на устойчивость? При каких предельных значениях параметров система становится неустойчивой? Каков запас устойчивости системы при заданных значениях параметров?
7.2 Методы исследования САУ на устойчивость
Для исследования на устойчивость замкнутых САУ разработано множество методов:
определение устойчивости по корням характеристического уравнения, по критерию Гурвица, по критерию Рауса, по частотному критерию Михайлова, по частотному критерию Найквиста и другие.
Передаточную функцию замкнутой системы можно представить в виде:
,
Где и - полиномы по степеням .
Уравнение - характеристическое уравнение системы, описывающее невозмущенное состояние.
Если все действительные корни характеристического уравнения и действительные части комплексных корней будут отрицательны, то система под воздействием любого возмущения, после его снятия, возвратится в исходное состояние, а значит, система будет устойчивой.
Критерий Гурвица
При оценке устойчивости из коэффициентов характеристического уравнения составляется определитель Гурвица вида:
Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы полный определитель Гурвица и все частные определители, образованные вычеркиванием соответствующих строк и столбцов были одного знака с .
Критерий Рауса
Для проверки устойчивости составляется таблица коэффициентов по правилам, приведенным в таблице 20.
Таблица 20 – Критерий Рауса
| --- |
|
|
|
| --- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система будет устойчива, если все коэффициенты таблицы Рауса положительны, то есть , , , , и так далее. Если в характеристическом уравнении , то умножаем все коэффициенты исходного характеристического уравнения на -1.
Критерий Михайлова
При исследовании устойчивости строится годограф характеристического уравнения замкнутой системы. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф при изменении частоты от 0 до , начиная с положительной действительной полуоси и двигаясь против часовой стрелки, последовательно проходил квадрантов (где – порядок полинома), нигде не обращаясь в нуль.
Критерий устойчивости Найквиста
Данный критерий формулируется следующим образом: если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку на действительной оси с координатами . Расстояние от этой точки до точки пересечения годографа с действительной осью называется запасом устойчивости.
Необходимо отметить, что при исследованиях на устойчивость по критериям Михайлова и Найквиста рассчитываются и строятся графики АФХ характеристического уравнения (критерий Михайлова) или разомкнутой АСР (критерий Найквиста), что является трудоемкой задачей. Поэтому для построения АФХ используется ЭВМ.
7.3 Проверка устойчивости САУ по критерию Рауса
7.3.1 Замкнутая система с П – регулятором
Для замкнутой системы с П – регулятором составим таблицу 21, подставив в соответствующие ячейки коэффициенты при из знаменателя передаточной характеристики системы:
Используя правила из таблицы 20, составим таблицу 21
Таблица 21 – Критерий Рауса для системы с П – регулятором
| Коэффициенты ri |
Номера столбцов |
|||
| 1 |
2 |
3 |
4 |
|
| – |
0,004 |
0,378 |
1,654 |
0 |
| – |
0,056 |
1,723 |
3,178 |
0 |
| 0,071 |
0,256 |
1,428 |
0 |
0 |
| 0,219 |
1,410 |
3,178 |
0 |
0 |
| 0,182 |
0,850 |
0 |
0 |
0 |
| 1,659 |
3,178 |
0 |
0 |
0 |
| 0,267 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из таблицы 21 видно, что замкнутая система с П – регулятором устойчива, так как выполняется необходимое условие устойчивости по критерию Рауса.
7.3.2 Замкнутая система с И – регулятором
Аналогично правилам таблицы 20 составим таблицу 22 для замкнутой системы с И – регулятором, характеристическое уравнение которого имеет вид:
Таблица 22 – Критерий Рауса для системы с И – регулятором
| Коэффициенты ri |
Номера столбцов |
|||
| 1 |
2 |
3 |
4 |
|
| – |
0,004 |
0,387 |
2,308 |
0,530 |
| – |
0,056 |
1,616 |
0,847 |
0 |
| 0,071 |
0,272 |
2,248 |
0,530 |
0 |
| 0,206 |
1,153 |
0,738 |
0 |
0 |
| 0,236 |
2,074 |
0,530 |
0 |
0 |
| 0,556 |
0,443 |
0 |
0 |
0 |
| 4,682 |
0,530 |
0 |
0 |
0 |
| 0,836 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из таблицы 22 видно, что замкнутая система с И – регулятором устойчива, так как выполняется необходимое условие устойчивости по критерию Рауса.
7.3.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором
Аналогично правилам таблицы 20 составим таблицу 23 для замкнутой системы с ПИ – регулятором, характеристическое уравнение которого имеет вид:
Таблица 23 – Критерий Рауса для системы с ПИ – регулятором
| Коэффициенты ri |
Номера столбцов |
|||
| 1 |
2 |
3 |
4 |
|
| – |
0,004 |
0,382 |
1,979 |
1,006 |
| – |
0,056 |
1,673 |
1,093 |
0 |
| 0,071 |
0,263 |
1,901 |
1,006 |
0 |
| 0,213 |
1,268 |
0,879 |
0 |
0 |
| 0,207 |
1,693 |
1,006 |
0 |
0 |
| 0,749 |
0,126 |
0 |
0 |
0 |
| 13,437 |
1,006 |
0 |
0 |
0 |
| 0,125 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из таблицы 23 видно, что замкнутая система с ПИ – регулятором устойчива, так как выполняется необходимое условие устойчивости по критерию Рауса.
7.4 Проверка устойчивости систем по частотному критерию Найквиста
7.4.1 Разомкнутая система с П – регулятором
Для исследования системы по критерию Найквиста образуем передаточную функцию, построим годограф АФХ разомкнутой системы и исследуем ее поведение в окрестности точки с координатами .
Передаточная функция данной системы образуется следующим образом:
|
|
| - диапазон изменения чатоты; |
|
|
| - замена p на комплексную величину i; |
| - передаточная функция разомкнутой системы; |
|
|
| - действительная составляющая; |
|
|
| - мнимая составляющая; |
|
|
Рисунок 15 – Годограф Найквиста П – регулятора
Из рисунка 15, видно, что годограф не охватывает точку с координатами , следовательно, разомкнутая система с П – регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Найквиста.
7.4.2 Разомкнутая система с И – регулятором
Передаточная функция данной системы образуется следующим образом:
|
|
| - диапазон изменения чатоты; |
|
|
| - замена p на комплексную величину i; |
Рисунок 16 – Годограф Найквиста И – регулятора
Из рисунка 16, видно, что годограф не охватывает точку с координатами , следовательно, разомкнутая система с И – регулятором является неустойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Найквиста.
7.4.3 Разомкнутая система с ПИ-регулятором
|
|
| - диапазон изменения чатоты; |
|
|
| - замена p на комплексную величину i; |
| - передаточная функция разомкнутой системы; |
|
|
| - действительная составляющая; |
|
|
| - мнимая составляющая; |
|
|
Рисунок 17 – Годограф Найквиста ПИ – регулятора
Из рисунка 17, видно, что годограф не охватывает точку с координатами, следовательно, разомкнутая система с ПИ – регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Найквиста.
7.5 Проверка устойчивости САУ по корням характеристического уравнения
Для определения устойчивости системы необходимо вычислить корни полинома знаменателя (характеристического уравнения). Для этого выделим полином знаменателя, воспользовавшись системой аналитических преобразований и образуем вектор коэффициентов этого полинома A3. Для нахождения воспользуемся функцией polyroots(X).
7.5.1 Замкнутая система с П – регулятором по возмущению
Составим вектор коэффициентов:
|
|
|
|
|
|
Анализ корней показывает, что система устойчива, поскольку все корни расположены в левой полуплоскости.
7.5.2 Замкнутая система с И – регулятором по возмущению
Составим вектор коэффициентов:
|
|
|
|
|
|
Анализ корней показывает, что система устойчива, поскольку все корни расположены в левой полуплоскости.
7.5.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором по возмущению
Составим вектор коэффициентов:
|
|
|
|
|
|
Анализ корней показывает, что система устойчива, поскольку все корни расположены в левой полуплоскости.
7.6 Проверка устойчивости САУ по критерию устойчивости Гурвица
Система, описываемая передаточной функцией:
,
или линейным дифференциальным уравнением:
,
будет устойчивой, если все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. А для этого необходимо и достаточно, чтобы определитель А. Гурвица (1895 г.), составленный в следующем виде:
,
и все его диагональные миноры:
; ,
и.т.д. были одного знака с . При выборе знака определитель Гурвица и все его диагональные миноры должны бать положительны.
Как следствие этого, необходимое условие устойчивости будет следующие, что все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительны.
7.6.1 Замкнутая система с П – регулятором по управлению
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с П – регулятором по управлению:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По результатам расчёта все миноры определителя Гурвица , , и вместе с коэффициентом положительны, значит замкнутая система, описываемая этой передаточной функцией, устойчива.
7.6.2 Замкнутая система с И – регулятором по управлению
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с И – регулятором по управлению:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По результатам расчёта все миноры определителя Гурвица , , и вместе с коэффициентом положительны, значит замкнутая система, описываемая этой передаточной функцией, устойчива.
7.6.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором по управлению
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с ПИ – регулятором по управлению:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По результатам расчёта все миноры определителя Гурвица , , и вместе с коэффициентом положительны, значит замкнутая система, описываемая этой передаточной функцией, устойчива.
7.7 Проверка устойчивости САУ по частотному критерию Михайлова
Для исследования устойчивости замкнутой системы по критерию Михайлова строится годограф вектора характеристического уравнения знаменателя замкнутой системы при изменении частоты от до . Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от до , начав свое движение с положительной действительной полуоси и вращаясь против часовой стрелки, последовательно проходил квадрантов, нигде не обращаясь в нуль (где - порядок характеристического уравнения).
Таким образом, для исследования системы на устойчивость по критерию Михайлова необходимо построить годограф знаменателя передаточной функции замкнутой системы и по его виду оценить ее устойчивость.
Необходимо заметить, что для адекватного отображения годографа в области малых и больших частот часто приходиться строить несколько вариантов этого годографа в различных диапазонах частот, чтобы просмотреть его поведение во всем диапазоне.
7.7.1 Замкнутая система с П – регулятором по возмущению
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с П – регулятором по возмущению:
|
|
| - диапазон изменения чатоты; |
|
|
| - замена p на комплексную величину i; |
|
|
| - знаменатель передаточной функции; |
|
|
| - действительная составляющая; |
|
|
| - мнимая составляющая; |
Рисунок 18 – Годограф Михайлова разомкнутой системы с П – регулятором в интервале частот [0;2]
Изменим диапазон частоты: и покажем, что годограф разомкнутой системы с П – регулятором проходит все 5 квадрантов.
|
|
Рисунок 19 – Годограф Михайлова разомкнутой системы с П – регулятором в интервале частот [2;9,5]
Из рисунков 18 и 19 видно, годограф проходит 5 квадрантов, начав свое движение с положительной действительной полуоси, вращаясь последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь в нуль. Таким образом, замкнутая система с П – регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.
7.7.2 Замкнутая система с И – регулятором по возмущению
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с ПИ – регулятором по возмущению:
|
|
| - диапазон изменения чатоты; |
|
|
| - замена p на комплексную величину i; |
|
|
| - знаменатель передаточной функции; |
|
|
| - действительная составляющая; |
|
|
| - мнимая составляющая; |
Рисунок 20 – Годограф Михайлова разомкнутой системы с И – регулятором в интервале частот [0;2,5]
Изменим диапазон частоты: и покажем, что годограф разомкнутой системы с И – регулятором проходит все 6 квадрантов.
Рисунок 21 – Годограф Михайлова разомкнутой системы с И – регулятором в интервале частот [2,5; 9,5]
Из рисунков 20 и 21 видно, годограф проходит 6 квадрантов, начав свое движение с положительной действительной полуоси, вращаясь последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь в нуль. Таким образом, замкнутая система с И – регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.
7.7.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором по возмущению
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с ПИ – регулятором по возмущению:
|
|
| - диапазон изменения чатоты; |
|
|
| - замена p на комплексную величину i; |
| - знаменатель передаточной функции; |
|
|
| - действительная составляющая; |
|
|
| - мнимая составляющая; |
|
|
Рисунок 22 – Годограф Михайлова разомкнутой системы с ПИ – регулятором в интервале частот [0;2,5]
Изменим диапазон частоты: и покажем, что годограф разомкнутой системы с ПИ – регулятором проходит все 6 квадрантов.
Рисунок 23 – Годограф Михайлова разомкнутой системы с ПИ – регулятором в интервале частот [2,5; 9,5]
Из рисунков 22 и 23 видно, годограф проходит 6 квадрантов, начав свое движение с положительной действительной полуоси, вращаясь последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь в нуль. Таким образом, замкнутая система с ПИ – регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.
8 ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
8.1 Постановка задачи. Методы решения
Чтобы окончательно убедиться в пригодности САУ нужно исследовать результаты их переходных процессов. Поэтому на завершающей стадии проектирования САУ всегда стремятся тем или иным способом получить оценки динамических характеристик системы и сравнить их с заданными.
Переходные процессы рассчитывают для замкнутых САУ по возмущающему и управляющему воздействиям. Если переходные процессы рассчитываются для замкнутых САУ по возмущению, то регулятор должен в течение переходного процесса скомпенсировать это возмущение, а объект – вернуться в исходное состояние, в котором он был до приложения возмущения. Если же переходные процессы рассчитываются для замкнутых САУ по управлению, то регулятор должен отработать управляющее воздействие и регулируемая величина на выходе объекта должна принять заданное значение.
Для построения переходных процессов, используя при этом любые методы (аналитические, численные), необходимо иметь математическую модель замкнутой системы в форме передаточной функции или дифференциального уравнения (ДУ).
Если передаточная функция замкнутой системы приведена к ДУ с произвольной правой частью, то аналитическое решение ищется в следующей последовательности:
– находятся корни характеристического уравнения;
– строится частное решение с неопределенными коэффициентами;
– полученное частное решение подставляется в исходное уравнение;
– после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях находятся все неопределенные коэффициенты;
– записывается искомое частное решение.
Это решение и будет являться зависимостью выходной координаты системы от времени.
При использовании численных методов для построения переходных процессов необходимо:
– передаточную функцию замкнутой системы преобразовать в ДУ;
– ДУ порядка привести к нормальной системе, состоящей из ДУ первого порядка;
– задать уравнение для возмущающего воздействия;
– выбрать один из численных методов для решения полученной системы;
– составить программу на ЭВМ для решения полученной системы ДУ и построения переходных процессов.
Для решения поставленной задачи используются следующие методы:
1) Метод Эйлера;
Интегрирование ДУ этим методом аналогично вычислению определенного интеграла по методу левых прямоугольников:
.
2) Модифицированный метод Эйлера
Аналогично методу средних прямоугольников:
.
Недостатком данного метода являются двойные затраты на решение.
3) Усовершенствованный метод Эйлера-Коши
Аналогично методу трапеций:
.
4) Метод Эйлера – Коши с итерациями
В данном методе приближенное решение используется для уточнения этого же решения (подстановка в правую часть), эта итерация продолжается до обеспечения требуемой точности; если точность не достигается за заданное количество итераций, то либо нужно изменить дополнительное число итераций, либо уменьшить требуемую точность;
5) Методы с автоматическим выбором величины шага (адаптивные)
Во всех численных методах точность зависит от величины шага, в то же время искомое решение изменяется с разной скоростью внутри интервала. Для численных методов необходимо выбрать разный шаг на разных участках изменения функции, чтобы обеспечить на них одинаковую точность. В этих методах решение на каждом шаге находится дважды: с исходным шагом и с шагом, в два раза меньшим. Эти два решения сравниваются, и если точность не достигнута, то исходный шаг уменьшается вдвое и процедура повторяется; таким образом, каким бы ни был исходный шаг, машиной выберется шаг в соответствии с заданной точностью. В такой процедуре шаг может быть выбран исключительно малым и прохождение всего интервала с таким шагом может оказаться неэффективным, поэтому на следующем шаге выполняется обратная процедура. Решение находится с этим же шагом и с шагом в два раза большим; если точность достаточна, то шаг увеличивается еще вдвое. Таким образом, величина шага однозначно определяется величиной дополнительной погрешности получения решения;
6) Метод Рунге – Кутта:
.
7) Экстраполяционные методы
В основе этих методов лежит получение решения в последующей точке через найденные решения в предыдущих точках;
8) Методы решения для жестких систем (метод Гира, метод Штера, метод Булирша)
Для этого вычисляется матрица Якоби:
.
8.2 Построение переходных процессов в замкнутых системах по возмущению
8.2.1 Система с П – регулятором
Запишем передаточную функцию данной системы:
.
По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ пятого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решим её:
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные результаты отобразим на рисунке 24.
Рисунок 24 – График переходного процесса в замкнутой системе с П – регулятором по возмущению
8.2.2 Система с И – регулятором
Запишем передаточную функцию данной системы:
.
По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ шестого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решим её:
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные результаты отобразим на рисунке 25.
Рисунок 25 – График переходного процесса в замкнутой системе с И – регулятором по возмущению
8.2.3 Система с ПИ – регулятором
Запишем передаточную функцию данной системы:
.
По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ шестого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решим её:
|
|
|
|
|
|
Полученные результаты отобразим на рисунке 26.
Рисунок 26 – График переходного процесса в замкнутой системе с ПИ – регулятором по возмущению
8.3 Построение переходных процессов в замкнутых системах по управлению
8.3.1 Система с П – регулятором
Запишем передаточную функцию данной системы:
По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ пятого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решим её:
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные результаты отобразим на рисунке 27.
Рисунок 27 – График переходного процесса в замкнутой системе с П – регулятором по управлению
8.3.2 Система с И – регулятором
Запишем передаточную функцию данной системы:
По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ шестого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решим её:
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные результаты отобразим на рисунке 28.
Рисунок 28 – График переходного процесса в замкнутой системе с И – регулятором по управлению
8.3.3 Система с ПИ – регулятором
Запишем передаточную функцию данной системы:
По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ шестого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решим её:
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные результаты отобразим на рисунке 29.
Рисунок 29 – График переходного процесса в замкнутой системе с ПИ – регулятором по управлению
9 ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РАБОТЫ САУ
9.1 Постановка задачи. Критерии качества переходных процессов
Любая система автоматического регулирования, для того чтобы удовлетворять своему назначению, прежде всего, должна быть устойчивой. Однако устойчивость является необходимым, но недостаточным условием технической пригодности системы регулирования. Помимо устойчивости, к переходному процессу предъявляются требования, обуславливающие его так называемые показатели.
Качество функционирования АСР оценивается прямыми показателями оценки качества переходных процессов в замкнутой АСР. К ним относятся:
Соответственно основными критериями качества системы управления являются:
1) Устойчивость системы;
2) Максимальная динамическая ошибка
3) Статическая ошибка;
4) Время регулирования ;
5) Величина перерегулирования;
6) Степень затухания переходного процесса;
7) Степень колебательности.
Как всякая динамическая система, САУ может находиться в одном из двух режимов – стационарном (установившемся) и переходном. Стационарный режим может быть двух типов: статический и динамический. В статическом режиме, при котором все внешние воздействия и параметры системы не меняются, качество управления характеризуется точностью.
Исчерпывающее представление о качестве переходного процесса дает, естественно, сама кривая процесса. Однако при разработке САУ необходимо иметь возможность судить об основных показателях качества переходного процесса без построения их кривых, по каким-либо косвенным признакам, которые определяются более просто и, кроме того, позволяют связать показатели качества непосредственно со значениями параметров САУ. Такие косвенные признаки называются критериями качества переходного процесса.
Существуют три группы критериев качества: корневые, интегральные и частотные.
Группа корневых критериев основана на оценке качества переходного процесса по значениям полюсов и нулей передаточной функции САУ. В частном случае, когда нулей нет, качество переходного процесса определяется только полюсами.
Переходный процесс в устойчивой системе распадается на затухающие и колебательные составляющие. Если найти длительность самой длительной составляющей и величину колебательности самой колебательной составляющей, то по ним можно оценить верхние пределы величин длительности и колебательности всего переходного процесса.
Интегральными критериями качества называются такие, которые одним числом оценивают и величины отклонений, и время затухания переходного процесса. Такие критерии качества используются для определения оптимальных значений варьируемых параметров по минимуму значения соответствующей интегральной оценки. Применяются интегральные критерии обычно в теории оптимальных систем.
Наибольшее распространение получили частотные критерии, в основу которых положено использование частотных характеристик.
Рассмотрим некоторые критерии качества работы САУ:
1) Статическая ошибка (имеет место только в П – регуляторе) – это отклонение регулируемого параметра от заданного в установившемся режиме (точность системы);
.
Если в числителе передаточной функции системы нет свободного члена, то статическая ошибка равна нулю;
2) Динамическая ошибка - это максимальное рассогласование между заданной и текущей траекторией в переходном режиме;
3) Время регулирования – это время, в течение которого переходный процесс войдет в зону допустимой погрешности регулирования , где определяется следующим образом:
.
4)Величина перерегулирования - определяется как отношение амплитуды второй полуволны к первой
.
5)Степень затухания
учитывая, что
.
C данным критерием тесно связан еще один параметр-степень колебательности системы
;
Данные критерии взаимосвязаны следующими соотношениями:
.
Проведя небольшой анализ приведенных соотношений, можно выделить два крайних состояния системы:
а) апериодический процесс , ;
б) незатухающие колебания , .
Часто в расчетах применяют , .
Все системы регулирования рассчитываются с заданным значением либо , либо . Система регулирования считается настроенной оптимально, если она удовлетворяет двум или трем показателям качества. Например, максимальная динамическая ошибка, степень затухания, время регулирования удовлетворяют заданным значениям.
9.2 Оценка качества замкнутых САУ по возмущению
9.2.1 Система с П – регулятором
Используя рисунок 24, определим критерии качества данной системы.
Рассчитаем статическую ошибку по формуле:
Определим динамическую ошибку:.
Время регулирования имеет значение:.
Вычислим величину перерегулирования:
Определим степень затухания:
Степень колебательности:
.
9.2.2 Система с И – регулятором
Используя рисунок 25, определим критерии качества данной системы.
Статическая ошибка:
Определим динамическую ошибку:.
Время регулирования имеет значение:.
Вычислим величину перерегулирования:
Определим степень затухания:
Степень колебательности:
.
9.2.3 Система с ПИ – регулятором
Используя рисунок 26, определим критерии качества данной системы.
Статическая ошибка:
Определим динамическую ошибку:.
Время регулирования имеет значение:.
Вычислим величину перерегулирования:
Определим степень затухания:
Степень колебательности:
.
9.3 Оценка качества замкнутых САУ по управлению
9.3.1 Система с П – регулятором
Используя рисунок 27, определим критерии качества данной системы.
Статическая ошибка:
Определим динамическую ошибку:.
Время регулирования имеет значение:.
Вычислим величину перерегулирования:
Определим степень затухания:
Степень колебательности:
.
9.3.2 Система с И – регулятором
Используя рисунок 28, определим критерии качества данной системы.
Статическая ошибка:
Определим динамическую ошибку:.
Время регулирования имеет значение:.
Вычислим величину перерегулирования:
Определим степень затухания:
Степень колебательности:
.
9.3.3 Система с ПИ – регулятором
Используя рисунок 29, определим критерии качества данной системы.
Статическая ошибка:
Определим динамическую ошибку:.
Время регулирования имеет значение:.
Вычислим величину перерегулирования:
Определим степень затухания:
Степень колебательности:
.
Составим таблицы критериев качества для замкнутых САУ по возмущению и управлению вычисленных в п.9.2, 9.3.
Таблица 24 – Критерии качества замкнутых САУ по возмущению
|
|
|
||
| П |
И |
ПИ |
|
|
|
0,43 |
0 |
0 |
| Динамическая ошибка, |
0,6 |
1,02 |
0,7 |
| Время регулирования, , c |
30 |
60 |
50 |
| Перерегулирование, |
0,941 |
0,510 |
0,629 |
| Степень затухания, |
0,882 |
0,735 |
0,6 |
| Степень колебательности, |
0,34 |
0,211 |
0,146 |
Таблица 25 – Критерии качества замкнутых САУ по управлению
|
|
|
||
| П |
И |
ПИ |
|
|
|
0,67 |
1 |
1 |
| Динамическая ошибка, |
0,93 |
1,5 |
1,7 |
| Время регулирования, , c |
30 |
60 |
60 |
| Перерегулирование, |
0,962 |
0,5 |
0,629 |
| Степень затухания, |
0,923 |
0,76 |
0,6 |
| Степень колебательности, |
0,408 |
0,227 |
0,146 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В курсовом проекте были затронуты вопросы касающиеся: построения статической модели объекта по заданным параметрам, нахождения коэффициентов передачи объекта при 10, 50, 90% номинального режим, построения динамической модели объекта по требуемой динамической характеристике, построения объектов первого и второго порядков с запаздыванием и без запаздывания. При рассмотрении последнего вопроса можно сделать вывод о том, что модель объекта второго порядка с запаздыванием описывает исходные данные с наименьшей погрешностью, в результате чего была выбрана именно эта модель.
Следующими этапами проекта являлось построение математической модели, которая формировалась из ранее выбранной передаточной функции второго порядка с запаздыванием, определение частотных и расширенных характеристик, необходимые дальнейших расчетов регуляторов, нахождение коэффициентов при требуемых значениях частот для П, И, ПИ – регуляторов, формирование передаточных функций разомкнутых и замкнутых систем автоматического управления, как по возмущению, так и по управлению.
Важным шагом являлась оценка САУ на устойчивость по различным критериям устойчивости, среди них критерий Михайлова, критерий Гурвица, и другие. Отметим что, при проверке заданных систем автоматического управления по этим критериям эти системы оказались устойчивыми.
Следующий вопрос, который был, затронут это построение переходных процессов для замкнутых САУ по возмущению и по управлению. После чего была произведена оценка качества систем и сделаны следующие выводы:
САУ с П – регулятором имеет наименьшее значение максимальной динамической ошибки, однако такой системе присуща статическая ошибка, поэтому П – регуляторы могут применяться в случаях, когда допускается отклонение регулируемой величины от заданного значения в равновесном состоянии системы.
САУ с И – регулятором характеризуется небольшим перерегулированием, а также длительным переходным процессом, поэтому область применения И – регуляторов ограничивается объектами, допускающими нормальное максимальное отклонение регулируемой величины.
САУ с ПИ – регулятором имеет средние параметры по степени затухания, колебательности, поэтому без ПИ – регулятора можно обойтись при любых требованиях к значению установившегося отклонения и любом диапазоне возмущающих воздействий.
ЛИТЕРАТУР
А
1. Наладка автоматических систем и устройств управления технологическими процессами: /Справочное пособие./Под ред. А.С. Клюева – М: Энергия, 1977.- 400 с.
2. Полоцкий Л. М., Лалшенков Г. И. Автоматизация химических производств. Теория, расчет и проектирование систем автоматизации. - М.: Химия, 1982. - 296 с.
3. Дурновцев В. Я., Ширяев А. А. Расчет автоматических систем регулирования. Расчет линейных АСР. - Указания по выполнению индивидуальных заданий и курсовых проектов. - Томск: ТПИ, 1989. - 92 с.
4. Дурновцев В. Я., Ширяев А. А. Расчет автоматических систем регулирования в электронных таблицах. Электронная книга / Руководство по выполнению лабораторных и расчетных работ. – Северск: СТИ ТПУ, 1997. - 58 с.
5. Дурновцев В. Я. Расчет АСР / Электронная книга. Северск: СТИ ТПУ,1997.-188 с.
6. Дурновцев В. Я. Математические модели объектов управления и оптимизация / Электронная книга. - Северск: СТИ ТПУ, 1998. - 215 с.