В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Y (t) | 43 | 54 | 64 | 41 | 45 | 58 | 71 | 43 | 49 | 62 | 74 | 45 | 54 | 66 | 79 | 48 |
Требуется:
1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1
= 0,3; α2
= 0,6; α3
= 0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1
= 1,10 и d2
= 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1
= 0,32;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение:
1.
Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y (t). Линейная модель имеет вид:
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:
Таблица 1
| t | Y (t) | t-tср | (t-tср) 2 | Y-Yср | (Y-Yср) х (t-tср) |
| 1 | 43 | -4 | 12 | -9 | 33 |
| 2 | 54 | -3 | 6 | 2 | -4 |
| 3 | 64 | -2 | 2 | 12 | -17 |
| 4 | 41 | -1 | 0 | -11 | 6 |
| 5 | 45 | 1 | 0 | -7 | -4 |
| 6 | 58 | 2 | 2 | 6 | 8 |
| 7 | 71 | 3 | 6 | 19 | 47 |
| 8 | 43 | 4 | 12 | -9 | -33 |
| 36
|
419
|
0
|
42
|
0
|
36
|
Произведем расчет:
Получим линейное уравнение вида:
Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.
Таблица 2. Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели
| t | Y (t) | Yp
(t) |
| 1 | 43 | 49,42 |
| 2 | 54 | 50,26 |
| 3 | 64 | 51,11 |
| 4 | 41 | 51,95 |
| 5 | 45 | 52,80 |
| 6 | 58 | 53,64 |
| 7 | 71 | 54,49 |
| 8 | 43 | 55,33 |
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.
Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y (t) I квартала первого года, равное , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) .
Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV кварталов:
Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используя следующие формулы:
Таблица 3. Модель Хольта-Уинтерса
| t | Y (t) | a (t) | b (t) | F (t) | Yp (t) | Абс. погр., E (t) |
Отн. погр., в% |
| 0 | 48,57 | 0,85 | 0,8612 | - | - | ||
| 1 | 43 | 49,57 | 0,89 | 0,8650 | 42,56 | 0,44 | 1,03 |
| 2 | 54 | 50,35 | 0,86 | 1,0746 | 54,39 | -0,39 | 0,72 |
| 3 | 64 | 50,88 | 0,76 | 1,2658 | 65,43 | -1,43 | 2,24 |
| 4 | 41 | 51,85 | 0,82 | 0,7877 | 40,44 | 0,56 | 1,37 |
| 5 | 45 | 52,48 | 0,76 | 0,8605 | 45,56 | -0,56 | 1,24 |
| 6 | 58 | 53,46 | 0,83 | 1,0807 | 57,21 | 0,79 | 1,36 |
| 7 | 71 | 54,83 | 0,99 | 1,2833 | 68,73 | 2,27 | 3, 20 |
| 8 | 43 | 55,45 | 0,88 | 0,7803 | 43,97 | -0,97 | 2,26 |
| 9 | 49 | 56,52 | 0,94 | 0,8644 | 48,47 | 0,53 | 1,07 |
| 10 | 62 | 57,43 | 0,93 | 1,0801 | 62,09 | -0,09 | 0,15 |
| 11 | 74 | 58,15 | 0,87 | 1,2769 | 74,89 | -0,89 | 1, 20 |
| 12 | 45 | 58,61 | 0,74 | 0,7728 | 46,05 | -1,05 | 2,34 |
| 13 | 54 | 60,29 | 1,03 | 0,8832 | 51,31 | 2,69 | 4,99 |
| 14 | 66 | 61,25 | 1,01 | 1,0785 | 66,23 | -0,23 | 0,34 |
| 15 | 79 | 62,14 | 0,97 | 1,2735 | 79,50 | -0,50 | 0,63 |
| 16 | 48 | 62,81 | 0,88 | 0,7676 | 48,77 | -0,77 | 1,61 |
| 25,75 |
Проверка качества модели.
Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E (t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.
Таблица 4. Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
| t | E (t) | Точка поворота | E (t) 2
|
[E (t) - E (t-1)] 2
|
E (t) xE (t-1) |
| 1 | 0,44 | - | 0, 194 | - | - |
| 2 | -0,39 | 0 | 0,150 | 0,69 | -0,17 |
| 3 | -1,43 | 1 | 2,05 | 1,09 | 0,55 |
| 4 | 0,56 | 1 | 0,32 | 3,98 | -0,81 |
| 5 | -0,56 | 1 | 0,31 | 1,26 | -0,32 |
| 6 | 0,79 | 0 | 0,62 | 1,81 | -0,44 |
| 7 | 2,27 | 1 | 5,17 | 2,21 | 1,79 |
| 8 | -0,97 | 1 | 0,95 | 10,54 | -2,21 |
| 9 | 0,53 | 1 | 0,28 | 2,24 | -0,51 |
| 10 | -0,09 | 0 | 0,01 | 0,38 | -0,05 |
| 11 | -0,89 | 0 | 0,78 | 0,63 | 0,08 |
| 12 | -1,05 | 1 | 1,11 | 0,03 | 0,93 |
| 13 | 2,69 | 1 | 7,26 | 14,03 | -2,83 |
| 14 | -0,23 | 0 | 0,05 | 8,52 | -0,61 |
| 15 | -0,50 | 0 | 0,25 | 0,07 | 0,11 |
| 16 | -0,77 | - | 0,60 | 0,08 | 0,38 |
| Сумма | 0,41 | 8,00 | 20,09 | 47,57 | -4,09 |
2.
Проверка точности модели.
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E (t) }, поделенное на фактическое значение Y (t) и выраженное в процентах 100%* abs{E (t) }/ Y (t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 25,75. Средняя величина: 25,75/16=1,61%, значит, условие точности выполнено.
3.
Проверка условия адекватности.
Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E (t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.
Проверка случайности уровней.
Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр.2 табл.4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр.3 табл.4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр.3 ставится 0. В первой и в последней строке гр.3 табл.4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.
Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=8.
Рассчитаем значение :
Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.
Так как количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:
1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1
=1,10 и d2
=1,37):
Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:
Условие выполнено (1,37<1,63<2), следовательно, уровни ряда Е (t) являются независимыми.
2) по первому коэффициенту автокорреляции r (
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения < rтабл.,
то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл.
= 0,32. Имеем: =0,20 < rтабл.
= 0,32 - значит уровни независимы.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по
RS-критерию.
Рассчитаем значение RS:
,
где - максимальное значение уровней ряда остатков ;
- минимальное значение уровней ряда остатков ;
S- среднее квадратическое отклонение.
Emax
- Emin
= 2,69 - (-1,43) = 4,13
Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к полученное значение RS (3,57) попадает в заданный интервал (3,00<3,57<4,21).
Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Yp
(t) на год.
4.
Расчет прогнозных значений экономического показателя.
Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения и (см. табл.1.4) по формуле:
,
где k- период упреждения;
- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;
- коэффициенты модели;
- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
- период сезонности.
Определим прогнозные значения экономического показателя Yp
(t) для: t = 17, 18,19 и 20.
5.
На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.
Рис.1. Сопоставление расчетных и фактических данных
Задание 2
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.
| Дни | Цены | ||
| макс. | мин. | закр. | |
| 1 | 858 | 785 | 804 |
| 2 | 849 | 781 | 849 |
| 3 | 870 | 801 | 806 |
| 4 | 805 | 755 | 760 |
| 5 | 785 | 742 | 763 |
| 6 | 795 | 755 | 795 |
| 7 | 812 | 781 | 800 |
| 8 | 854 | 791 | 853 |
| 9 | 875 | 819 | 820 |
| 10 | 820 | 745 | 756 |
Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R,% К,% D;
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Решение:
Для расчета экспоненциальной скользящей
средней воспользуемся формулой:
,
где k = 2/ (n + 1),
-
цена закрытия t-го дня;
- значение EMA текущего дня t.
Момент
рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад :
где - цена закрытия t-го дня.
- значение МОМ текущего дня t.
Скорость изменения цен
рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:
,
где - цена закрытия t-го дня.
- значение ROC текущего дня t.
Таблица 1. Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней, момента, скорости изменения цен
| Дни | Цены закр | ЕМАt
|
МОМt
|
ROCt
|
| 1 | 804 | 804,00 | - | - |
| 2 | 849 | 819,00 | - | - |
| 3 | 806 | 814,67 | - | - |
| 4 | 760 | 796,44 | - | - |
| 5 | 763 | 785,30 | - | - |
| 6 | 795 | 788,53 | -9,0 | 98,88 |
| 7 | 800 | 792,35 | -49,0 | 94,23 |
| 8 | 853 | 812,57 | 47,0 | 105,83 |
| 9 | 820 | 815,05 | 60,0 | 107,89 |
| 10 | 756 | 795,36 | -7,0 | 99,08 |
Для расчета индекса относительной силы
используем формулу:
,
где AU- сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD- сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Таблица 2. Результаты расчета индекса относительной силы
| Дни | Цены закрытия | Изменение (+/-) | RSI |
| 1 | 804 | 45 | - |
| 2 | 849 | -43 | - |
| 3 | 806 | -46 | - |
| 4 | 760 | 3 | - |
| 5 | 763 | 32 | - |
| 6 | 795 | 5 | 47,3 |
| 7 | 800 | 53 | 31,0 |
| 8 | 853 | -33 | 66,9 |
| 9 | 820 | -64 | 73,8 |
| 10 | 756 | 45 | 48,1 |
Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:
,
где - значение индекса текущего дня t;
-
цена закрытия t-го дня;
L5
и Н5
- минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.
,
где - значение индекса текущего дня t;
-
цена закрытия t-го дня;
L5
и Н5
- минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущие.
Индекс % D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины и сглаживают, беря их трехдневную сумму.
Таблица 3. Результаты расчетов %R, %К, %D
| Дни | Цены | % Kt
|
% Rt
|
%Dt
|
||
| макс | мин | закр | ||||
| 1 | 858 | 785 | 804 | - | - | |
| 2 | 849 | 781 | 849 | - | - | - |
| 3 | 870 | 801 | 806 | - | - | - |
| 4 | 805 | 755 | 760 | - | - | - |
| 5 | 785 | 742 | 763 | 16,41 | 83,59 | - |
| 6 | 795 | 755 | 795 | 41,41 | 58,59 | - |
| 7 | 812 | 781 | 800 | 45,31 | 54,69 | 34,38 |
| 8 | 854 | 791 | 853 | 99,11 | 0,89 | 60,33 |
| 9 | 875 | 819 | 820 | 58,65 | 41,35 | 66,22 |
| 10 | 820 | 745 | 756 | 8,46 | 91,54 | 53,33 |
Задание 3
3.1
Банк выдал ссуду, размером 5 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 08.01.02, возврата 22.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 55% годовых. Найти:
3.1 1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1 2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1 3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение:
3.1 1) К = 365, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73/365 = 550 000,00 руб.
3.1 2) К = 360, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73/360 = 557 638,89 руб.
3.1 3) К = 360, t = 74, I = 5 000 000 х 0,55 х 74/360 = 565 277,78 руб.
3.2
Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 5 000 000 руб.
Кредит выдан под 55% годовых (проценты обыкновенные).
Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение:
P = S / (1 + ni) = 5 000 000/ (1 + 0,55 х 90/360) = 4 395 604,40 руб.
D = S- P = 5 000 000 - 3 395 604,40 = 604 395,60руб.
3.3
Через 90 предприятие должно получить по векселю 5 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение:
D = Snd
= 5 000 000 x 0,55 х 90/360 = 687 500,00 руб.
P = S- D = 5 000 000 - 687 500,00= 4 312 500,00 руб.
3.4
В кредитном договоре на сумму 5 000 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 55% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение:
S = Px (1+i) n
= 5 000 000 х (1+0,55) 5
= 44 733 048,44 руб.
3.5
Сумма размером 5 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 55% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.
Решение:
N = 5 x 4 = 20
S = Px (1+j / m) N
= 5 000 000 х (1 + 0,55/4) 20
= 65 765 497,67 руб.
3.6.
Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 55% годовых.
Решение:
iэ
= (1 + j / m) m -
1 = (1 + 0,55/4) 4
- 1 = 0,6742, т.е.67,42%.
3.7.
Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 55% годовых.
Решение:
j = mx [ (1 + iэ
) 1/
m
- 1] = 4 x [ (1 + 0,55) (1/4)
- 1] = 0,46316, т.е.46,316%.
3.8.
Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 5 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 55% годовых.
Решение:
руб.
3.9.
Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 5 000 000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых. Определить дисконт.
Решение:
P = S (1 - dсл
) n
= 5 000 000 x (1 - 0,55) 5
= 92 264,06 руб.
D = S- P = 5 000 000 - 92 264,06 = 4 907 735,94 руб.
3.10.
В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 5 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 55%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение:
руб.