1. Раскройте содержание вопроса: суть и содержание гомоскедастичности, Гетероскедастичности остатков; автокорреляции в остатках. Эконометригческие (количественные) выводы и их последующие интерпретация.
Решение.
Гомоскедастичноость, гетероскедастичность остатков.
Как упоминалось, при оценке параметров уравнения регрессии применяется метод наименьших квадратов. При этом делаются определенные предпосылки относительно случайной составляющей ε.
В модели
у = а + а1
х1
+ а2
х2
+ … + ак
хк
+ ε
случайная составляющая ε представляет собой ненаблюдаемую величину. Задача заключается в том, чтобы одновременно исследовать случайную величину εi
.
В предыдущих разделах мы остановились на формальных проверках статистической достоверности коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента, F-критерия Фишера. При использовании этих критериев делаются предположения относительно поведения остатков εi
. Утверждалось, что остатки представляют собой независимые случайные величины.
Затем осуществляется исследование остатков. Предусматривается следующие пяти предпосылок:
- случайный характер остатков;
- нулевая средняя величина остатков, не зависящая от хi
;
- гомоскедастичность - дисперсия каждого отклонения εi
одинакова для всех значений х;
- остатки εi
не имеют постоянной дисперсии;
- остатки εi
носят систематический характер.
Итак, в соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора xj
остатки εi
имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, тогда имеет место гетероскедастичность.
Автокорреляция в остатках, критерий Дарбина-Уотсона.
Рассмотрим уравнение регрессии вида
yt
=
a
+
,
где k ─ число независимых переменных модели.
Для каждого момента времени t = 1,2 …, n значение εt
определяется, как:
или
.
Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков
. Первый метод ─ построение графика зависимости остатков от времени визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод ─ использование критерия Дарбина ─ Уотсона и расчет величины:
.
Таким образом, d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.
Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется, как:
;
где ;
После соответствующих преобразований получим:
Итак, соотношение между критерием Дарбина ─ Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков имеет следующий вид:
d ≈ 2 · (1 - ).
Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то = -1, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то = 0 и d = 2. Следовательно, 0 ≤ d≤ 4.
Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина ─ Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0
об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1
, Н1
*
состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции остатков. Далее рассчитываются критические значения критерия Дарбина ─ Уотсона dL
и dv
для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели К и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0; 4] разбивают на пять отрезков, принятые или
Есть положительная автокорреляция остатков (Н0
р = (1 - α) принимается H1
|
Зона неопределенности | Нет оснований отклонять (Н0
) (автокорреляция остатков отсутствует) |
Зона неопределенности | Есть отрицательная автокорреляция остатков. (Н0
) отклоняется с вероятностью р = (1 - α) принимается H1 * |
Отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1 - α) осуществляется в зависимости от значений коэффициента автокорреляции.
Если значение Дарбина ─ Уотсона попадает в зону
.
2. Решите задачу. Имеются данные, характеризующие последовательность изменения цен в зависимости от факторов:
У(цена)
{26,4; 28,1; 28,9; 31,4; 32,2; 33,4}
Х1 (спрос)
{84,3; 88,4; 89,3; 93,3; 95,8; 96,1}
Х2 (н. р.)
{87,3; 88,4; 89,1; 90,3; 91,4; 92,8}
Требуется определить, по каким ценам можно выставлять товары на потребительский рынок, если тенденция спроса и насыщенность рынка сохранится на прежнем уровне. Оцените адекватность выводов.
Решение.
Анализ данных. Анализ данных дает основание утверждать, что спрос, цена и насыщенность рынка увеличиваются. Уровень роста спроса составляет около 6,4%, уровень роста насыщенности рынка - 1,3%. уровень роста цен - 4,8%.
Итак, с повышением спроса и насыщенности рынка, ценаувеличивается, причем уровень роста цен ниже, чем уровень увеличения спроса.
Выбор функции связи. Есть основание утверждать, данная зависимость имеет прямопропорциональный характер, то есть это двухфакторная линейная регрессионная модель. Таким образом, функция связи будет иметь вид: y = a0
+ a1
x1
+ a2
x2
,
где
у - цена;
х1
– насыщенность рынка;
х2
- спрос;
a0
, a1
, a2
- параметры системы;
Решение системы. Составляем систему стандартных уравнений:
∑y=na0
+a1
∑x1
+a2
∑x2
;
∑ x1
y=a0
∑x1
+a1
∑x1
2
+a2
∑ x1
x2
; (1)
∑ x1
x2
y=a0
∑x1
x2
+a1
∑x1
2
x2
+a2
∑ x1
x2
2
;
| Y | X1 | X2 | X1Y | X12 | X1X2 | X1X2Y | X12X2 | X1X22 | |
| 26,4 | 84,3 | 87,3 | 2225,52 | 7106,49 | 7359,39 | 194287,9 | 620396,6 | 642474,7 | |
| 28,1 | 88,4 | 88,4 | 2484,04 | 7814,56 | 7814,56 | 219589,1 | 690807,1 | 690807,1 | |
| 28,9 | 89,3 | 89,1 | 2580,77 | 7974,49 | 7956,63 | 229946,6 | 710527,1 | 708935,7 | |
| 31,4 | 93,3 | 90,3 | 2929,62 | 8704,89 | 8424,99 | 264544,7 | 786051,6 | 760776,6 | |
| 32,2 | 95,8 | 91,4 | 3084,76 | 9177,64 | 8756,12 | 281947,1 | 838836,3 | 800309,4 | |
| 33,4 | 96 | 92,8 | 3206,4 | 9216 | 8908,8 | 297553,9 | 855244,8 | 826736,6 | |
| Сумма | 180,4 | 547,1 | 539,3 | 16511,11 | 49994,07 | 49220,49 | 1487869 | 4501863 | 4430040 |
На основе данных таблицы составляем систему стандартных уравнений в количественном отношении:
180,4 = 6а0
+ 547,1a1
+ 539,3a2
;
16511,11 = 547,1а0
+ 49994,07a1
+ 49220,49a2
; (2)
1487869 = 49220,49а0
+ 4501863a1
+ 4430040a2
.
Путем решения системы (2) имеем:
у = 10 + 0,1 x1
+ 0,11 x2
.
Чтобы предвидеть возможные изменения спроса, вычисляем количественные характеристики спроса на основе полученной функции.
Итак,
y1
= 26,4;
y2
= 27,5;
y3
= 27,7;
y4
= 28,4;
y5
= 29,7;
y6
= 30,1.
Таким образом, цена увеличивается. Уровень роста составляет 4,3%, т.е. по выявленной функции уровень роста на 0,5% ниже по сравнению с заданной функцией цены.
Если тенденция спроса и насыщенность рынка сохранится на прежнем уровне, рекомендуется выставлять рассчитанную цену, то есть в размере 30,1. Однако, данный метод расчета прогнозирующей функции не достаточно точен. Поэтому результат может быть не достаточно правильный.
Список литературы.
1. Методические указания по дисциплине.