Эконометрика 10

Эконометрия
– наука, изучающая количественные взаимосвязи экономических объектов и процессов при помощи математических и статистических методов и моделей. Основная задача эконометрии – построение количественно определенных экономико-математических моделей, разработка методов определения их параметров по статистическим данным и анализ их свойств. Наиболее часто используемым математическим аппаратом решения задач данного класса служат методы корреляционно-регрессионного анализа
.

1. Основные понятия корреляционно-регрессионного анализа

Понятие корреляции
появилось в середине XIX века в работах английских статистиков Ф. Гальтона и К. Пирсона. Этот термин произошел от латинского "correlatio"
- соотношение, взаимосвязь. Понятие регрессии
(латинское "regressio"
- движение назад) также введено Ф. Гальтоном, который, изучая связь между ростом родителей и их детей, обнаружил явление "регрессии к среднему" - рост детей очень высоких родителей имел тенденцию быть ближе к средней величине.

Теория и методы корреляционного анализа используются для выявления связи между случайными переменными и оценки ее тесноты.

Основной задачей регрессионного анализа является установление формы и изучение зависимости между переменными.

В общем случае две величины могут быть связаны функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми.

Статистической
называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой.

Статистическая зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение среднего значения другой, называется корреляционной
.

Корреляционные зависимости занимают промежуточное положение между функциональной зависимостью и полной независимостью переменных.

Между величинами, характеризующими экономические явления, в большинстве случаев существуют зависимости, отличные от функциональных. Действительно, в экономике закономерности не проявляются также точно и неизменно, как, например, в физике, химии или астрономии.

Пусть, например, мы рассматриваем зависимость величины Y от величины x – y(x).

Невозможность выявления строгой связи между двумя переменными объясняется тем, что значение зависимой переменной Y определяется не только значением переменной x, но и другими (неконтролируемыми или неучтенными) факторами, а также тем, что измерение значений переменных неизбежно сопровождается некоторыми случайными ошибками.

Вследствие этого корреляционный анализ широко используется при установлении взаимосвязи экономических показателей.

Итак, если с увеличением x значение зависимой переменной Y в среднем увеличивается, то такая зависимость называется прямой
или положительной
.

Если среднее значение Y при увеличении x уменьшается, имеет место отрицательная
или обратная корреляция
.

Если с изменением x значения Y в среднем не изменяются, то говорят, что корреляция – нулевая
.

Часто при исследовании взаимосвязи между какими-либо показателями, представляют изучаемый объект в виде так называемого "черного (кибернетического) ящика".

Самый простой случай – изучение связи между одной переменной x, которую называют фактором
(входной переменной
, независимой переменной
), и переменной Y, которую называют откликом
(реакцией
, зависимой переменной
). Ситуации соответствует рисунок 6.1.

В более общем случае итогом функционирования системы является целый набор результирующих величин Ys
(). При этом значения откликов Ys
определяются, с одной стороны, совокупностью факторов xj
(), а, с другой стороны, набором возмущений (случайных, неконтролируемых факторов) xвi
(). Такую ситуацию иллюстрирует рисунок 6.2.

Рисунок 6.1 – Представление исследуемой системы в виде "черного ящика" (один фактор, один отклик)	Рисунок 6.2 – Представление исследуемой системы в виде "черного ящика" (общий случай)

Собственно говоря, на протяжении столетий ученые (особенно, естествоиспытатели) используют подобные приемы, т.е. наблюдают, что произойдет с явлением, процессом (с откликом Y), если изменять значения влияющих на процесс факторов (переменных x).

Корреляционным полем
называется множество точек {Xi
, Yi
} на плоскости XY (рисунки 6.3 - 6.4).

Рисунок 6.3 – Пример корреляционного поля (положительная корреляция)	Рисунок 6.4 – Пример корреляционного поля (отрицательная корреляция)

Если точки корреляционного поля образуют эллипс, главная диагональ которого имеет положительный угол наклона ( / ), то имеет место положительная корреляция (пример подобной ситуации можно видеть на рисунке 6.3).

Если точки корреляционного поля образуют эллипс, главная диагональ которого имеет отрицательный угол наклона ( ), то имеет место отрицательная корреляция (пример изображен на рисунке 6.4).

Если же в расположении точек нет какой-либо закономерности, то говорят, что в этом случае наблюдается нулевая корреляция.

2. Линейная парная регрессия

Связь зависимой переменной с одной или несколькими независимыми переменными описывается с помощью уравнения регрессии:

= f(x1 , x2 , ..., xm ).

Это уравнение показывает, каково будет в среднем значение y
, если переменные x
примут конкретные значения.

Если независимая переменная одна, то регрессия называется парной
.

Построение уравнения регрессии включает два этапа:

1) определение вида зависимости (этап спецификации);

2) определение коэффициентов регрессии (этап идентификации).

Предположим, на этапе спецификации установлено, что между величинами x
и y
существует линейная зависимость. Реальные значения y
будут отличаться от этой теоретической зависимости.

В общем случае линейное уравнение связи двух переменных, учитывающее случайные отклонения, можно представить в виде:

y = + x + ,

(6.1)

где – отклонение от теоретически предполагаемого значения;

и - неизвестные параметры (коэффициенты регрессии).

В уравнении (6.1) можно выделить две части:

 систематическую, = + x, где характеризует некоторое среднее значение y
для данного значения x
;

 случайную ().

Коэффициенты и описывают вид зависимости для генеральной совокупности. Так как при выполнении подобных исследований всегда имеют дело с выборочной совокупностью, то истинные значения параметров и являются неизвестными, и мы можем говорить лишь об их оценках. Обозначим эти оценки, соответственно, а
и b
, тогда уравнение регрессии с оцененными параметрами будет иметь вид:

i = a + bxi ,

(6.2)

где n - объем выборки.

Обозначим через ei
отклонение реального значения отклика yi
от теоретически рассчитанного по уравнению i
.

Параметры a
и b
уравнения регрессии чаще всего оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК)
.

Суть его состоит в том, чтобы зная положение точек на плоскости XY, так провести линию регрессии, чтобы сумма квадратов отклонений этих точек от проведенной прямой вдоль оси OY была минимальной.

Математически критерий оценки параметров линейной парной регрессии записывается так:

Q = = = → min.

Условие существования экстремума функции – равенство нулю производной:

= - 2 (yi - a - bxi ) = 0, = - 2 (yi - a - bxi )xi = 0.

Раскрыв скобки и выполнив преобразования, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

na + bxi = yi , axi + b = xi yi .

Разделив первое уравнение на n
, получим:

a + b = ,

т.е. метод наименьших квадратов дает прямую, проходящую через точку (, ).

Решая систему, получим расчетные формулы для нахождения коэффициентов уравнения регрессии:

a = - b.

(6.3)

Заметим, что данные значения могут быть легко получены средствами пакета Microsoft Excel
. Для вычисления коэффициента a
используется функция ОТРЕЗОК, коэффициента b
– функция НАКЛОН.

3. Коэффициент линейной корреляции

Величина влияния фактора на исследуемый отклик может быть оценена при помощи коэффициента линейной парной корреляции
, характеризующего тесноту (силу) линейной связи между двумя переменными.

Коэффициент можно определить по формуле:

.

(6.4)

Коэффициент обладает следующими свойствами:

1) не имеет размерности, следовательно, сопоставим для величин различных порядков;

2) изменяется в диапазоне от –1 до +1. Положительное значение свидетельствует о прямой линейной связи, отрицательное – об обратной. Чем ближе абсолютное значение коэффициента к единице, тем теснее связь. Считается, что связь достаточно сильная, если коэффициент по абсолютной величине превышает 0,7, и слабая, если он менее 0,3.

Значение коэффициента легко вычисляется при помощи MS Excel
(функция КОРРЕЛ).

Величина r2
называется коэффициентом детерминации
. Он определяет долю вариации одной из переменных, которая объясняется вариацией другой переменной.

4. Множественная регрессия

В тех случаях, когда необходимо оценить влияние нескольких факторов на исследуемую величину, строится уравнение множественной регрессии.

Если связь является линейной, то уравнение линейной множественной регрессии запишется в виде:

i = a0 + a1 xi1 + a2 xi2 + ... + am xim ,

где m - число учитываемых факторов (независимых переменных),

n - объем выборки.

Рассмотрим случай, когда y
зависит от двух переменных – x1
и x2
.

Уравнение с оцененными параметрами будет иметь вид:

i = a0 + a1 xi1 + a2 xi2 ,

Чтобы определить значения коэффициентов a0
, a1
и a2
, воспользуемся методом наименьших квадратов.

Как и ранее, задача формулируется следующим образом:

Q = = → min.

Приравяв частные производные нулю и выполнив преобразования, получим систему уравнений:

na0 + a1 xi1 + a2 xi2 = yi , a0 xi1 + a1 + a2 xi1 xi2 = yi xi1 , a0 xi2 + a1 xi1 xi2 + a2 = yi xi2 .

Решив систему, можно получить формулы для расчета коэффициентов уравнения множественной линейной регрессии (a0
, a1
, a2
).

Рассмотрим более общий случай - зависимость переменной y
от m
факторов.

Обозначим:

A = {aj
}, j = 0, 1, 2, ..., m - вектор оценок параметров регрессии;

Y = {yi
}, - вектор значений зависимой переменной;

X = {xij
}, , j = 0, 1, 2, ..., m - матрица значений независимых переменных;

при этом m
- количество независимых переменных, n
- объем выборки.

Уравнение регрессии может быть представлено в следующим образом.

Для конкретного yi
:

i = a0 + a1 xi1 + a2 xi2 + ... + am xim ,

(6.5)

или в матричном виде:

Y = A ∙ X,

где X = 1 x11 x12 ... x1m 1 x21 x22 ... x2m ... 1 xn1 xn2 ... xnm .

Обратите внимание на то, что в матрицу X дополнительно введен столбец, все элементы которого равны 1, т.е. условно полагается, что в уравнении (6.5) свободный член a0
умножается на фиктивную переменную xi0
, принимающую значение 1 для всех i
.

Можно показать, что для общего случая множественной линейной регрессии, коэффициенты уравнения могут быть определены из следующего соотношения:

A = (Xт ∙X)-1 ∙Xт ∙Y.

(6.6)

5. Сравнение коэффициентов регрессии

Допустим, в результате анализа получено следующее уравнение регрессии:

y = 2,4 + 0,8x1 + 3,2x2 .

Если величины x1
и x2
являются соизмеримыми, то мы можем сопоставить влияние факторов x1
и x2
путем непосредственного сравнения соответствующих коэффициентов. В нашем примере можно сказать, что фактор x2
воздействует на y
в четыре раза сильнее.

В тех случаях, когда x1
и x2
измеряются в разных величинах для сравнения степени их влияния прибегают к нормированию коэффициентов регрессии и определяют так называемый бета-коэффициент
():

j = aj ∙ ,

(6.7)

где aj
- соответствующий коэффициент уравнения регрессии;

, - среднеквадратическое отклонение значений переменной xj
(m – число учитываемых факторов);

- среднеквадратическое отклонение значений переменной y
.

Математически бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднеквадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

Заметим, что некоторые авторы именуют бета-коэффициент стандартизированным коэффициентом регрессии
.

Для целей сравнения коэффициентов регрессии (сравнения силы влияния каждого фактора на отклик) также может быть использован коэффициент эластичности
(Э):

Эj = aj ∙ .

(6.8)

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении соответствующего фактора на один процент.

6. Коэффициент множественной корреляции

Экономические явления чаще всего адекватно описываются именно многофакторными моделями. Поэтому возникает необходимость обобщить рассмотренное выше корреляционное отношение (6.4) на случай нескольких переменных.

Теснота линейной взаимосвязи между переменной y
и рядом переменных xj
, рассматриваемых в целом, может быть определена с помощью коэффициента множественной корреляции
.

Предположим, что переменная y
испытывает влияние двух переменных - x
и z
. В этом случае коэффициент множественной корреляции может быть определен по формуле:

.

(6.9)

где ryx
, ryz
, rxz
- простые коэффициенты линейной парной корреляции, определенные из соотношения (6.4).

Коэффициент множественной корреляции заключен в пределах 0 ≤ R ≤ 1. Он не меньше, чем абсолютная величина любого парного или частного коэффициента корреляции с таким же первичным индексом.

С помощью множественного коэффициента (по мере приближения R к 1) делается вывод о тесноте взаимосвязи, но не о ее направлении. Величина R2
, называемая множественным коэффициентом детерминации
, показывает, какую долю вариации исследуемой переменной (y
) объясняет вариация остальных учтенных переменных (x
, z
).

7. Коэффициент частной корреляции

Иногда представляет интерес измерение частных зависимостей (между y
и xj
) при условии, что воздействие других факторов, принимаемых во внимание, устранено. В качестве соответствующих измерителей приняты коэффициенты частной корреляции
.

Рассмотрим порядок расчета коэффициента частной корреляции для случая, когда во взаимосвязи находятся три случайные переменные – x
, y
, z
. Для них могут быть получены простые коэффициенты линейной парной корреляции – ryx
, ryz
, rxz
. Однако большая величина этого коэффициента может быть обусловлена не только тем, что y
и x
действительно связаны между собой, но и в силу того, что обе переменные испытывают сильное действие третьего фактора – z
.

Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y
и x
) при условии, что влияние на них третьего фактора (z
) устранено.

Соответствующая расчетная формула:

.

(6.10)

Частный коэффициент корреляции, так же как и парный коэффициент корреляции r (рассчитанный по формуле (6.4)), может принимать значения от -1 до 1.

8. Оценка параметров нелинейной регрессии

Пусть предварительный анализ исходной информации дает основание предполагать, что регрессионная зависимость носит нелинейный характер. Пример корреляционного поля, соответствующего нелинейной зависимости, представлен на рисунке 6.5.

Рисунок 6.5 – Пример корреляционного поля (нелинейная зависимость)

Рассмотрим в качестве примера следующее уравнение регрессии:

= a0 + a1 x1 + a2 + a3 x2 + a4 .

(6.11)

Пусть необходимо определить коэффициенты уравнения.

В этом случае, как правило, выполняют линеаризующие преобразования переменных