Задача 1.5
Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (E) работ) поступает в продажу. Для производства красок используются два исходных продукта – A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов A и B на1 1 т соответствующих красок приведены в таблице.
| Исходный продукт | Расход исходных продуктов на тонну краски, т | Максимально возможный запас, т | |
| Краска T | Краска I | ||
| A | 1 | 2 | 6 |
| B | 2 | 1 | 8 |
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску T более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден. ед. для краски T и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должны производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
Решение:
Сформулируем экономическо-математическую модель задачи. Обозначим через x1
количество краски для наружных работ (в тоннах), x2
– количество краски для внутренних работ (в тоннах). Необходимо максимизировать доход от реализации краски:
maxf(x) = 3000x1
+ 2000x2
,
при ограничениях
x1
+ 2x2
≤ 6
2x1
+ x2
≤ 8
x2
– x1
≤ 1
x2
≤ 2
x1
, x2
≥ 0
Полученная задача – задача линейно программирования. Построим ОДР задачи.
Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.
Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:
I. x1
+ 2x2
= 6
II. 2x1
+ x2
= 8
III. x2
– x1
= 1
IV. x2
= 2
Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой полуплоскость - заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР.
1. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ(3, 2) с началом координат O (0, 0).
2. Построим некоторую линию уровня 3000x1
+ 2000x2
= a. Пусть, например, a = 12666,67. На рисунке такой линии уровня отвечает прямая OX, перпендикулярная вектор - градиенту.
3. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня OX в направлении вектор - градиента, а при минимизации – в противоположном направлении.
Максимум функции будет находиться в точке пересечения прямых x1
+ 2x2
= 6 и 2x1
+ x2
= 8. Таким образом, максимума функции (12666,67) достигается при x1
= 10/3, x2
= 4/3. Если решать задачу на минимум, то минимум функции будет равен 0, так как функция ограничена снизу осями Ox1 и Ox2.
Задача 2.5
На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
| Вид ресурсов | Нормы расхода ресурсов на ед. продукции | Запасы ресурсов | ||
| I вид | II вид | III вид | ||
| I | 1 | 4 | 3 | 200 |
| II | 1 | 1 | 2 | 80 |
| III | 1 | 1 | 2 | 140 |
| Цена изделия | 40 | 60 | 80 | |
Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремы двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.
Решение:
1. Обозначим через x1
, x2
, x3
, x4
– количество четырех видов продукции соответственно и запишем математическую модель задачи критерию «максимум стоимости»:
max (40x1
+ 60x2
+ 80x3
)
x1
+ 4x2
+ 3x3
≤ 200
x1
+ x2
+ 2x3
≤ 80
x1
+ x2
+ 2x3
≤ 140
xj
≥ 0, j = 1, 2, 3.
Приведем задачу к каноническому виду
max (40x1
+ 60x2
+ 80x3
)
x1
+ 4x2
+ 3x3
+ x4
= 200
x1
+ x2
+ 2x3
+ x5
= 80
x1
+ x2
+ 2x3
+ x6
= 140
xj
≥ 0, j = 1-6.
Решим каноническую задачу симплекс-методом.
| Базис | Z | x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
Реш | b/aij | Комм |
| z | 1 | -40 | -60 | -80 | 0 | 0 | 0 | 0 | не опт | |
| x4
|
0 | 1 | 4 | 3 | 1 | 0 | 0 | 200 | 66,67 | |
| x5
|
0 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 80 | 40 | x3
в Baz |
| x6
|
0 | 1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 140 | 70 | |
| z | 1 | 0 | -20 | 0 | 0 | 40 | 0 | 3200 | не опт | |
| x4
|
0 | -0,5 | 2,5 | 0 | 1 | -1,5 | 0 | 80 | 32 | x2
в Baz |
| x3
|
0 | 0,5 | 0,5 | 1 | 0 | 0,5 | 0 | 40 | 80 | |
| x6
|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 1 | 60 | ||
| z | 1 | -4 | 0 | 0 | 8 | 28 | 0 | 3840 | не опт | |
| x2
|
0 | -0,2 | 1 | 0 | 0,4 | -0,6 | 0 | 32 | ||
| x3
|
0 | 0,6 | 0 | 1 | -0,2 | 0,8 | 0 | 24 | 40 | x1
в Baz |
| x6
|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 1 | 60 | ||
| z | 1 | 0 | 0 | 6,67 | 6,67 | 33,33 | 0 | 4000 | опт | |
| x2
|
0 | 0 | 1 | 0,33 | 0,33 | -0,33 | 0 | 40 | ||
| x1
|
0 | 1 | 0 | 1,67 | -0,33 | 1,33 | 0 | 40 | ||
| x6
|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 1 | 60 |
Задача решена, получена оптимальная симплекс-таблица.
z = 4000 – максимальное значение целевой функции. Решение x1
= 40, x2
= 40, x3
= 0.
В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности запасов ресурсов используемых в производстве продукции.
Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений планом X* = (x1
= 40, x2
= 40, x3
= 0):
40 + 40 ∙ 4 + 0 ∙ 3 = 200
40 + 40 + 2 ∙ 0 = 80 (*)
40 + 40 + 2 ∙ 0 = 80 ≤ 140
Значение целевой функции на этом плане равно
f(X) = 40 ∙ 40 + 60 ∙ 40 + 80 ∙ 0 = 4000
2. Двойственная задача имеет вид:
min (200y1
+ 80y2
+ 140y3
)
y1
+ y2
+ y3
≥ 40
4y1
+ y2
+ y3
≥ 60
3y1
+ 2y2
+ 2y3
≥ 80
yj
≥ 0.
Для нахождения оценок y1
, y2
, y3
используем вторую теорему двойственности. Поскольку первое и второе ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то y3
= 0. Так как x1
> 0 и x2
> 0 , то
y1
+ y2
+ y3
= 40
4y1
+ y2
+ y3
= 60.
Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:
y3
* = 0
y1
+ y2
+ y3
= 40
4y1
+ y2
+ y3
= 60,
т.е. y1
* = 20/3, y2
* = 100/3, y3
* = 0.
Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:
φ(Y) = 200 ∙ 20/3 + 80 ∙ 100/3 + 140 ∙ 0 = 4000, т.е. f(X) = φ(Y) = 4000.
3. Значение переменной x3
в оптимизационном плане равно нулю. Это говорит о том, что изделие третьего вида невыгодно изготавливать.
4. По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.
· Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.
1. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.
В рассматриваемом примере увеличение запасов сырья I типа привело бы к увеличению общей стоимости на 20/3 у.е. (y1
= 20/3), увеличение запасов сырья II типа привело бы к увеличению общей стоимости на 100/3 у.е. (y2
= 100/3), а увеличение запасов сырья III типа не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и на общую стоимость.
2. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными, какие менее дефицитные и какие совсем не дефицитными.
В нашем примере недефицитным ресурсом является сырье III поскольку y3
= 0.
Острее ощущается дефицитность сырья II (y2
= 100/3) – он более дефицитен, чем сырье I (y1
= 20/3).
3. Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов». В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением 1 : 5.
· Определим, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 ед.
Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем:
x1
+ 4x2
+ 3 ∙ 0 = 200
x1
+ x2
+ 2 ∙ 0 = 98
Отсюда определяется план выпуска в новых производственных условиях – X = (x1
= 64, x2
= 34, x3
= 0) соответственно прибыль составит 4600 у.е., т.е. увеличится на 600 у.е.
· Решим вопрос о целесообразности включения в план изделий четвертого вида ценой 70 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.
20/3 ∙ 2 + 100/3 ∙ 2 + 0 ∙ 2 – 70 = 10 > 0 – невыгодно.
Задача 3.5
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое их трех предприятий специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij
(i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi
вектора конечно продукции Y.
Требуется:
Проверить продуктивность технологической матриц A = (aij
) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
| Предприятия (виды продукции | Коэффициенты прямых затрат aij
|
Конечный продукт Y | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| I | 0,2 | 0,3 | 0,0 | 120 |
| II | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 250 |
| III | 0,1 | 0,0 | 0,3 | 180 |
1. Проверим продуктивность технологической матриц A = (aij
). Оценку произведем по второму признаку.
æ0,2 0,3 0,0öì120ü
A = | 0,3 0,1 0,2çY = ï250ï
è0,1 0,0 0,3øî180þ
æ 0,8 -0,3 0,0ö
E – A = | -0,3 0,9 -0,2ç
è-0,1 0,0 0,7ø
Определим ее главные миноры:
∆1
= 0,8 > 0; ∆2
= 0,8 ∙ 0,9 – (– 0,3) ∙ (– 0,3) = 0,72 – 0,09 = 0,63 > 0;
∆3
= 0,8(0,63 – 0,00) + 0,3(– 0,21 – 0,02) – 0,0(0,00 + 0,09) = 0,504 – 0,069 – 0,000 = 0,435 > 0.
Таким образом, матрица A– продуктивна.
2. Модель баланса производства и распределения продукции предприятия можно представить следующей системой уравнений:
ìX1
= 0,2X1
+ 0,3X2
+ 0,0X3
+ 120
ïX2
= 0,3X1
+ 0,1X2
+ 0,2X3
+ 250
îX3
= 0,1X1
+ 0,0X2
+ 0,3X3
+ 180
ì0,8X1
– 0,3X2
– 0,0X3
= 120
ï– 0,3X1
+ 0,9X2
– 0,2X3
= 250
î– 0,1X1
– 0,0X2
+ 0,7X3
= 180
Отсюда определяем валовую продукцию цехов методом Жордана-Гаусса:
| 0,8 | -0,3 | 0 | 120 |
| -0,3 | 0,9 | -0,2 | 250 |
| -0,1 | 0 | 0,7 | 180 |
| 1 | -0,38 | 0,00 | 150,00 |
| -0,3 | 0,9 | -0,2 | 250 |
| -0,1 | 0 | 0,7 | 180 |
| 1 | -0,38 | 0,00 | 150,00 |
| 0 | 0,79 | -0,20 | 295,00 |
| 0 | -0,0375 | 0,7 | 195 |
| 1 | -0,38 | 0,00 | 150,00 |
| 0 | 1 | -0,25 | 374,60 |
| 0 | -0,0375 | 0,7 | 195 |
| 1 | 0 | -0,10 | 290,48 |
| 0 | 1 | -0,25 | 374,60 |
| 0 | 0 | 0,69 | 209,05 |
| 1 | 0 | -0,10 | 290,48 |
| 0 | 1 | -0,25 | 374,60 |
| 0 | 0 | 1 | 302,76 |
| 1 | 0 | 0 | 319,31 |
| 0 | 1 | 0 | 451,49 |
| 0 | 0 | 1 | 302,76 |
Следовательно, X1
= 319, X2
= 451, X3
= 303.
Распределение продукции между цехами на внутреннее потребление определяем из соотношения
Xij
= aij
Xj
, т.е. X11
= 0,2 ∙ 319 = 64; X12
= 0,3 ∙ 451 = 135; X13
= 0,0 ∙ 303 = 0;
X21
= 0,3 ∙ 319 = 96;X22
= 0,1 ∙ 452 = 45; X23
= 0,2 ∙ 303 = 61;
X31
= 0,1 ∙ 319 = 32; X32
= 0,0 ∙ 451 = 0; X33
= 0,3 ∙ 303 = 91.
В итоге плановая модель – баланс производства и распределение продукции предприятия – будет иметь следующий вид
| Межпродуктовый баланс производства и распределения продукции | |||||
| Производящие структуры | Потребляющие структуры | Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
| 1 | 2 | 3 | |||
| 1 | 64 | 135 | 0 | 120 | 319 |
| 2 | 96 | 45 | 61 | 250 | 451 |
| 3 | 32 | 0 | 91 | 180 | 303 |
| Итого | 192 | 181 | 151 | 550 | 1074 |
Задача 4.5.
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице.
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Yt
|
5 | 7 | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 | 23 | 26 |
Требуется:
Проверить наличие аномальных наблюдений.
Построить линейную модель Ŷ(t) = a0
+ a1
t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда.).
Построить адаптированную модель Брауна Ŷ(t) = a0
+ a1
k с параметром сглаживания α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использования R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70 %).
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение:
1. Проверим наличие аномальных наблюдений с помощью метода Ирвина. Для этого надо вычислить величину λt
по формуле λt
= ïyt
– yрасч
ï/Sy
,
_______________
где Sy
= Ì(yt
– yср
)2
/(n – 1).
Если рассчитанная величина λt
превышает табличный уровень, то уровень yt
считается аномальным. Для десяти наблюдений λтабл
= 1,5.
Согласно колонке 15 таблицы 5 аномальных наблюдений нет.
2. Уравнение линейной регрессии имеет вид: yрасч
= a0
+ a1
∙ t. Значения параметров a0
и a1
линейной модели определим, используя данные таблицы 1.
(y ∙ t)ср
– yср
∙ tср
162 – 35,6 ∙ 5
a1
= ——————— = —————– = – 2,4
(t2
)ср
– (tср
)2
31,7 – 5
a0
= yср
– a1
∙ tср
= 35,6 + 2,4 ∙ 5 = 47,6
Уравнение линейной регрессии имеет вид: yрасч
= 47,6 – 2,4 ∙ t.
r;">Таблица 1.
| t | Yt | t∙Yt
|
t2
|
|
| 1 | 45 | 45 | 1 | |
| 2 | 43 | 86 | 4 | |
| 3 | 40 | 120 | 9 | |
| 4 | 36 | 144 | 16 | |
| 5 | 38 | 190 | 25 | |
| 6 | 34 | 204 | 36 | |
| 7 | 31 | 217 | 49 | |
| 8 | 28 | 224 | 64 | |
| 9 | 25 | 225 | 81 | |
| Сумма | 45 | 320 | 1455 | 285 |
| Среднее | 5 | 35,6 | 162 | 31,7 |
3. Построим адаптивную модель Брауна.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| x | 5 | 7 | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 | 23 | 26 |
Начальные оценки параметров получим по первым пяти точка при помощи метода наименьших квадратов.
na0
+ a1
∑x = ∑y
a0
∑x + a1
∑x2
= ∑xy
5a0
+ 15a1
= 49
15a0
+ 55a1
= 172
∑y ∙ ∑x2
– ∑xy ∙ ∑x
a0
= ————————
n ∑x2
– ∑x ∙ ∑x
49 ∙ 55 – 172 ∙ 15
a0
= ——————— ≈ 2,30
5 ∙ 55 – 15 ∙ 15
n∑xy – ∑y ∙ ∑x
a1
= ———————
n ∑x2
– ∑x ∙ ∑x
5 ∙ 172 – 49 ∙ 15
a1
= ——————– ≈ 2,50
5 ∙ 55 – 15 ∙ 15
Данные для расчета возьмем в следующей таблице:
| Сумма | ||||||
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 15 |
| y | 5 | 7 | 10 | 12 | 15 | 49 |
| x2
|
1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 55 |
| xy | 5 | 14 | 30 | 48 | 75 | 172 |
Уравнение линейной регрессии имеет вид: yx
= 2,30 + 2,50x.
Получили a0
(0) = 2,30, a1
(0) = 2,50.
Возьмем α = 0,4, k = 1 и β = 1 – α = 1 – 0,4 = 0,6.
Будем находить последующие значения a0
(t) и a1
(t) по формулам
a1
(t) = a1
(t – 1) + (1 – β)2
∙ (Y(t) – Yp
(t)) и a0
(t) = a0
(t – 1) + a1
(t – 1) + (Y(t) – Yp
(t)) ∙ (1 – β2
),
где Yp
(t) = a0
(t – 1) + a1
(t – 1)k.
Таблица 3.
| Номер | Факт | a0
|
a1
|
Расчет | Отклонение | ε2
|
| 2,30 | 2,50 | |||||
| 1 | 5 | 4,93 | 2,53 | 4,80 | 0,200 | 0,04 |
| 2 | 7 | 7,17 | 2,46 | 7,46 | -0,460 | 0,21 |
| 3 | 10 | 9,86 | 2,52 | 9,62 | 0,376 | 0,14 |
| 4 | 12 | 12,14 | 2,46 | 12,38 | -0,383 | 0,15 |
| 5 | 15 | 14,85 | 2,52 | 14,60 | 0,405 | 0,16 |
| 6 | 18 | 17,78 | 2,62 | 17,38 | 0,624 | 0,39 |
| 7 | 20 | 20,14 | 2,56 | 20,40 | -0,397 | 0,16 |
| 8 | 23 | 22,89 | 2,61 | 22,70 | 0,299 | 0,09 |
| 9 | 26 | 25,82 | 2,69 | 25,50 | 0,502 | 0,25 |
| 10 | 28,51 | 1,59 | ||||
| 11 | 31,19 |
___________________
u(1) = 1,12 ∙ 0,48 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)2
/60 ≈ 3,25
k = 1 (t = 10).
Нижняя граница: 28,51 – 0,66 = 27,85
Верхняя граница: 28,51 0,66 = 29,17
___________________
u(2) = 1,12 ∙ 0,48 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)2
/60 ≈ 3,44
k = 2 (t = 10).
Нижняя граница: 31,19 – 0,70 = 30,49
Верхняя граница: 31,19 + 0,70 = 31,89
Проверим адекватность модели.
Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат 7 больше 2 (критическое число поворотных точек).
Вычислим dпо формуле
∑(εt
– εt-1
)2
3,95
d = ————— = —— = 2,48
∑ εt
2
1,59
При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d′ = 4 – 2,48 = 1,52 при уровне значимости a = 0,025 больше d2
= 1,36, т.е. модель адекватна.
Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы
R/S = (εmax
– εmin
)/Sn
,
_______________ _____
Sn
= √ ∑(εt
– εср
)2
/(n – 1) = √1,44/8 = 0,42
R/S = (0,62 – (-0,46))/0,42 = 2,55
Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,55 не попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения не выполняется.
Результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна при α = 0,4.
Возьмем α = 0,7, k = 1 и β = 1 – α = 1 – 0,7 = 0,3.
Будем находить последующие значения a0
(t) и a1
(t) по формулам
a1
(t) = a1
(t – 1) + (1 – β)2
∙ (Y(t) – Yp
(t)) и a0
(t) = a0
(t – 1) + a1
(t – 1) + (Y(t) – Yp
(t)) ∙ (1 – β2
),
где Yp
(t) = a0
(t – 1) + a1
(t – 1)k.
Таблица 4.
| Номер | Факт | a0
|
a1
|
Расчет | Отклонение | ε2
|
| 2,30 | 2,50 | |||||
| 1 | 5 | 4,98 | 2,60 | 4,80 | 0,200 | 0,04 |
| 2 | 7 | 7,05 | 2,31 | 7,58 | -0,580 | 0,34 |
| 3 | 10 | 9,94 | 2,62 | 9,37 | 0,634 | 0,40 |
| 4 | 12 | 12,05 | 2,35 | 12,57 | -0,567 | 0,32 |
| 5 | 15 | 14,95 | 2,64 | 14,40 | 0,602 | 0,36 |
| 6 | 18 | 17,96 | 2,84 | 17,59 | 0,413 | 0,17 |
| 7 | 20 | 20,07 | 2,45 | 20,81 | -0,807 | 0,65 |
| 8 | 23 | 22,96 | 2,68 | 22,52 | 0,479 | 0,23 |
| 9 | 26 | 25,97 | 2,86 | 25,64 | 0,360 | 0,13 |
| 10 | 28,83 | 2,64 | ||||
| 11 | 31,69 |
___________________
u(1) = 1,12 ∙ 0,61 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)2
/60 ≈ 0,85
k = 1 (t = 10).
Нижняя граница: 28,83 – 0,85 = 27,98
Верхняя граница: 28,83 + 0,85 = 29,68
___________________
u(2) = 1,12 ∙ 0,61 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)2
/60 ≈ 0,90
k = 2 (t = 10).
Нижняя граница: 31,69 – 0,90 = 30,79
Верхняя граница: 31,69 + 0,90 = 32,59
Проверим адекватность модели.
Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат 7 больше 2 (критическое число поворотных точек).
Вычислим dпо формуле
∑(εt
– εt-1
)2
8,08
d = ————— = —— = 3,06
∑ εt
2
2,64
При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d′ = 4 – 3,06 = 0,94 при уровне значимости a = 0,025 меньше d1
= 1,08, т.е. модель неадекватна.
Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы
R/S = (εmax
– εmin
)/Sn
,
_______________ _____
Sn
= √ ∑(εt
– εср
)2
/(n – 1) = √2,58/8 = 0,57
R/S = (0,57 – (-0,81))/0,57 = 2,54
Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,54 не попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения не выполняется.
Результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна при α = 0,7.
Очевидно, что лучше взять α = 0,4.
4. Для того чтобы оценить параметры и качество этой модели (адекватность и точность), а также построить точечный и интервальный прогнозы, заполним следующую таблицу:
Таблица 5.
| t | Yt
|
t-tср
|
(t-tср
)2 |
Yt
-yср |
(t-tср
)(Yt -yср ) |
Yt
* |
εt
= Yt - Yt * |
Точ. пов |
εt
2 |
εt
-εt -1 |
(εt
-εt -1 )2 |
εt
∙εt -1 |
(εt
- εср )2 |
λt
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 1 | 5 | -4 | 16 | -10,11 | 40,44 | 4,58 | 0,42 | 0,18 | 0,18 | 0,2 | ||||
| 2 | 7 | -3 | 9 | -8,11 | 24,33 | 7,21 | -0,21 | 1 | 0,04 | -0,63 | 0,40 | -0,09 | 0,04 | 0,2 |
| 3 | 10 | -2 | 4 | -5,11 | 10,22 | 9,84 | 0,16 | 1 | 0,02 | 0,37 | 0,13 | -0,03 | 0,02 | 0,3 |
| 4 | 12 | -1 | 1 | -3,11 | 3,11 | 12,48 | -0,48 | 1 | 0,23 | -0,63 | 0,40 | -0,07 | 0,23 | 1,6 |
| 5 | 15 | 0 | 0 | -0,11 | 0,00 | 15,11 | -0,11 | 0 | 0,01 | 0,37 | 0,13 | 0,05 | 0,01 | 2,0 |
| 6 | 18 | 1 | 1 | 2,89 | 2,89 | 17,74 | 0,26 | 1 | 0,07 | 0,37 | 0,13 | -0,03 | 0,07 | 0,7 |
| 7 | 20 | 2 | 4 | 4,89 | 9,78 | 20,38 | -0,38 | 1 | 0,14 | -0,63 | 0,40 | -0,10 | 0,14 | 0,2 |
| 8 | 23 | 3 | 9 | 7,89 | 23,67 | 23,01 | -0,01 | 0 | 0,00 | 0,37 | 0,13 | 0,00 | 0,00 | 0,3 |
| 9 | 26 | 4 | 16 | 10,89 | 43,56 | 25,64 | 0,36 | 0,13 | 0,37 | 0,13 | 0,00 | 0,13 | 0,7 | |
| 45 | 136 | 0 | 60 | 0 | 158 | 136 | 0,00 | 5 | 0,82 | 1,88 | -0,27 | 0,82 | ||
| 5 | 15,11 | 0 | 6,67 | 0 | 0,000 |
В первой нижней строке под таблицей записаны суммы соответствующих граф, во второй – соответствующие средние значения.
Наличие тренда, то есть меру связи между переменными tи Yt
оценим по коэффициенту корреляции. Построим вспомогательную расчетную таблицу:
Таблица 6.
| t | Yt
|
t – tср
|
(t – tср
)2 |
Yt
– Yср |
(Yt
– Yср )2 |
t∙Yt
|
|
| 1 | 5 | -4 | 16 | -10,11 | 102,23 | 5 | |
| 2 | 7 | -3 | 9 | -8,11 | 65,79 | 14 | |
| 3 | 10 | -2 | 4 | -5,11 | 26,12 | 30 | |
| 4 | 12 | -1 | 1 | -3,11 | 9,68 | 48 | |
| 5 | 15 | 0 | 0 | -0,11 | 0,01 | 75 | |
| 6 | 18 | 1 | 1 | 2,89 | 8,35 | 108 | |
| 7 | 20 | 2 | 4 | 4,89 | 23,90 | 140 | |
| 8 | 23 | 3 | 9 | 7,89 | 62,23 | 184 | |
| 9 | 26 | 4 | 16 | 10,89 | 118,57 | 234 | |
| Сумма | 45 | 136 | 0 | 60 | 0 | 416,89 | 838 |
| Среднее | 5 | 15,1 | 0 | 6,67 | 0 | 46,32 | 93,11 |
Коэффициент корреляции:
____ _ __
t ∙ Yt
– t ∙ Yt
r = ————
st
∙ sy
гдеst
=√∑(t – tср
)2
/n
sy
= √∑( Yt
– Yср
)2
/n
tср
= ∑t / n
Yt
ср
= ∑ Yt
/ n
tср
= 45/9 = 5
Yt
ср
= 136/9 = 15,11
st
=√60/9 = 2,58
sy
=√416,89/9 = 6,81
r = (93,11 – 5 ∙ 15,11)/(2,58 ∙ 6,81) = 0,999
Оценим полученный коэффициент корреляции по статистике Стьюдента. То есть проверим гипотезу о ненулевом коэффициенте корреляции генеральной совокупности. Для проверки гипотезы установим значения ta
и Fa
и сравним с заданными табличными значениями.
r2
(n – 2) 0,9992
(9 – 2)
ta
= ———— = ————— = 3542,19
1 – r2
1 – 0,9992
Для уровня значимости a = 0,05 при числе степеней свободы m = 9 tтабл
= 2,262. Так как ta
> tтабл
, то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности отвергаем.
Для проверки адекватности модели в соответствии и видом формул
|εср
| _ ∑(εt
– εt-1
)2
ť = —— ∙ √nd = ————— r1
= (∑εt
∙εt-1
) : ∑ εt
2
.
S∑
∑ εt
2
организуем заполнение граф 9 – 13.
Легко убедиться, что математическое ожидание ряда остатков равна нулю, т.е. |εср
| = 0.
Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат: 5 (сумма графы 9) больше 2 (критическое число поворотных точек).
__________ _____
/ ∑ (εt
– εср
)2
/ 0,82
S∑
= / ————— = / ——— = 0,32
√ n – 1 √ 8
|εср
| _ 0,00 _
ť = —— ∙ √n = —— ∙ √9 = 0,00
S∑
0,32
Вычислим d по формуле
∑(εt
– εt-1
)2
1,88
d = ————— = —— = 2,28
∑ εt
2
0,82
При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d = 2,28 при уровне значимости a = 0,025 больше d2
= 1,36, т.е. ряд остатков не коррелирован. Воспользоваться формулой
r1
= (∑εt
∙εt-1
) / ∑ εt
2
= – 0,27/0,82 = – 0,33.
Сопоставляя это число с табличным значением первого коэффициента автокорреляции 0,36, взятым для уровня значимости a = 0,01 и n = 9, увидим, что расчетное значение по модулю меньше табличного. Это означает, что с ошибкой в 1 % ряд остатков можно считать некоррелированным, т.е. свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается.
Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы
R/S = (εmax
– εmin
)/Sn
,
_______________ _____
Sn
= √ ∑(εt
– εср
)2
/(n – 1) = √0,82/8 = 0,32
R/S = (0,42 – (-0,48))/Sn
= 2,81
Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,81 попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения выполняется, и можно строить доверительный интервал прогноза.
Так как модель оказалась адекватной, оценим ее точность. Рассчитаем среднюю относительную ошибку по формуле
1 |εt
| 1
Eотн
= — ∑ —— ∙ 100% = — ∙ 0,23 ∙ 100% = 2,6 %.
n |Yt
| 9
Такую ошибку можно считать приемлемой.
6. Экстраполяция уравнения Yt
* = 1,94 + 2,63t вперед дает прогнозное значение равное Y10
= = 28,28 и равное Y11
= 30,91.
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости a = 0,3, а значит, доверительную вероятность – 70 %. В этом случае критерий Стьюдента (при n = n – 2 = 7) равен ta,
n
= 1,12. Вычислив среднеквадратическую ошибку тренда, с учетом значения ta,
n
получим интервальный прогноз:
____________________
u(1) = 1,12 ∙ 0,34 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)2
/60 ≈ 0,47
k = 1 (t = 10).
Нижняя граница: 28,28 – 0,47 = 27,80
Верхняя граница: 28,28 + 0,47 = 28,75
___________________
u(2) = 1,12 ∙ 0,34 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)2
/60 ≈ 0,50
k = 2 (t = 10).
Нижняя граница: 30,91 – 0,50 = 30,41
Верхняя граница: 30,91 + 0,50 = 31,41
Таким образом, построенная модель является полностью адекватной динамике фактических показателей. Поэтому с вероятностью 70% можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития значение показателя, прогнозируемое на 10 наблюдение с помощью линейной модели роста, попадет в промежуток, образованный нижней и верхней границей доверительного интервала.
7. Представим графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.