Имеются данные 24 заводов одной из отраслей промышленности (табл.1.1).
Таблица 1.1
| № завода |
Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн. |
Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн. |
№ завода |
Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн. |
Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн. |
| 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 1 |
1,7 |
1,5 |
13 |
1,2 |
1,1 |
| 2 |
3,9 |
4,4 |
14 |
7 |
7,7 |
| 3 |
3,5 |
4,5 |
15 |
4,6 |
5,6 |
| 4 |
4,9 |
4,5 |
16 |
8,1 |
7,8 |
| 5 |
3,2 |
2 |
17 |
6,4 |
6 |
| 6 |
5,1 |
4,4 |
18 |
5,5 |
8,5 |
| 7 |
3,3 |
4 |
19 |
6,7 |
6,5 |
| 8 |
0,5 |
0,2 |
20 |
1 |
0,8 |
| 9 |
3,2 |
3,6 |
21 |
4,8 |
4,5 |
| 10 |
5,6 |
7,8 |
22 |
2,7 |
2,5 |
| 11 |
3,6 |
3 |
23 |
2,8 |
3,2 |
| 12 |
0,9 |
0,7 |
24 |
6,8 |
6,8 |
С целью изучения зависимости между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов и выпуском валовой продукции произведите группировку по среднегодовой стоимости основных фондов, образовав 4 группы заводов с равными интервалами. По каждой группе и совместимости заводов подсчитайте:
1) число заводов;
2) среднегодовую стоимость основных фондов - всего и в среднем на один завод;
3) стоимость валовой продукции - всего и в среднем на один завод;
4) уровень фондоотдачи по группам. Результаты представьте в виде групповой таблицы. Сделайте выводы.
Решение:
1. Определим величину интервала группировочного признака.
Среднегодовая стоимость основных фондов является группировочным признаком.
где xmax
- максимальное значение;
xmin
- минимальное значение группировочного признака;
s
- число образуемых групп.
2. Определим границы интервалов.
xmin
® 0,5 … 2,4
2,4 … 4,2
4,2 … 6,3
6,3 … 8,1 ¬ xmax
Составим вспомогательную таблицу.
Таблица 1.2 Вспомогательная таблица.
| № п/п |
Группы по с/г стоимости ОФ |
Номер завода |
Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн. |
Валовая продукция в сопост. ценах, грн. |
| 1 |
0,5 - 2,4 |
1 |
1,7 |
1,5 |
| 8 |
0,5 |
0,2 |
||
| 12 |
0,9 |
0,7 |
||
| 13 |
1,2 |
1,1 |
||
| 20 |
1 |
0,8 |
||
| Итого |
5 |
5,3 |
4,3 |
|
| 2 |
2,4 - 4,3 |
2 |
3,9 |
4,4 |
| 3 |
3,5 |
4,5 |
||
| 5 |
3,2 |
2 |
||
| 7 |
3,3 |
4 |
||
| 9 |
3,2 |
3,6 |
||
| 11 |
3,6 |
3 |
||
| 22 |
2,7 |
2,5 |
||
| 23 |
2,8 |
3,2 |
||
| Итого |
8 |
26,2 |
27,2 |
|
| 3 |
4,3 - 6,2 |
4 |
4,9 |
4,5 |
| 6 |
5,1 |
4,4 |
||
| 10 |
5,6 |
7,8 |
||
| 15 |
4,6 |
5,6 |
||
| 18 |
5,5 |
8,5 |
||
| 21 |
4,8 |
4,5 |
||
| Итого |
6 |
30,5 |
35,3 |
|
| 4 |
6,2 - 8,1 |
14 |
7 |
7,7 |
| 16 |
8,1 |
7,8 |
||
| 17 |
6,4 |
6 |
||
| 19 |
6,7 |
6,5 |
||
| 24 |
6,8 |
6,8 |
||
| Итого |
5 |
35 |
34,8 |
|
| Всего |
24 |
97 |
101,6 |
Групповые показатели рабочей таблицы и вычисленные на их основе средние показатели занесем в сводную аналитическую таблицу.
Таблица 1.3 Группировка заводов по среднегодовой стоимости ОФ.
| Группы, № пп |
Группы по ср/г стоимости ОФ |
Количество заводов, шт. |
Средняя ср/год ст-ть ОФ, млн. грн. |
Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн |
|
| всего |
на один завод |
||||
| А |
Б |
1 |
2 |
3 |
4 |
| 1 |
0,5 - 2,4 |
5 |
1,06 |
4,3 |
0,86 |
| 2 |
2,4 - 4,3 |
8 |
3,275 |
27,2 |
3,4 |
| 3 |
4,3 - 6,2 |
6 |
5,08 |
35,3 |
5,88 |
| 4 |
6,2 - 8,1 |
5 |
7 |
34,8 |
6,96 |
| Итого |
24 |
4,1 |
101,6 |
4,2 |
|
Среднегодовая стоимость ОФ: Стоимость валовой продукции:
5,3/5 = 1,064,3/5 = 0,86
26,2/8 = 3,27527,2/8 = 3,4
30,5/6 = 5,08 35,3/6 = 5,88
35/5 = 7 34,8/5 = 6,96
Итого: 97/24 = 4,1 Итого: 101,6/24 = 4,2
Вывод: с ростом среднегодовой стоимости основных фондов растет стоимость валовой продукции, следовательно, между изучаемыми показателями существует прямая зависимость.
Задача 2
Имеются данные по двум заводам, вырабатывающим однородную продукцию (табл.2)
Таблица 2
| Номер завода |
1998 год |
1999 год |
||
| Затраты времени на единицу продукции, ч |
Изготовление продукции, шт. |
Затраты времени на единицу продукции, ч |
Затраты времени на всю продукцию, ч |
|
| 1 |
2,5 |
150 |
1,9 |
380 |
| 2 |
3,2 |
250 |
3,4 |
850 |
Вычислите средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам с 1998 по 1999 годы.
Укажите, какой вид средней необходимо применить при вычислении этих показателей.
Решение:
Если в статистической совокупности дан признак xi
и fi
его частота, то расчет ведем по формуле средней арифметической взвешенной.
2,9 (ч)
Если дан признак xi
, нет его частоты fi
, а дан объем
M =
xi
fi
распространения явления, тогда расчет ведем по формуле средней гармонической взвешенной:
2,7 (ч)
В среднем затраты времени на изготовление единицы продукции в 1998 году выше, чем в 1999 г.
Задача 3
Для определения средней суммы вклада в сберегательных кассах района, имеющего 9000 вкладчиков, проведена 10% -я механическая выборка, результаты которой представлены в табл.3.
Таблица 3.
| Группы вкладов по размеру, грн. - xi
|
До 200 |
200-400 |
400-600 |
600-800 |
Св.800 |
Итого |
| Число вкладчиков - fi
|
85 |
110 |
220 |
350 |
135 |
900 |
|
|
100 |
300 |
500 |
700 |
900 |
|
| x - A
|
-600 |
-400 |
-200 |
0 |
200 |
|
|
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
|
|
-255 |
-220 |
-220 |
0 |
135 |
-560 |
|
|
-475 |
-275 |
-75 |
125 |
325 |
|
|
|
225625 |
75625 |
5625 |
15625 |
105625 |
|
|
|
19178125 |
8318750 |
1237500 |
5468750 |
14259375 |
48462500 |
По данным выборочного обследования вычислить:
применяя способ моментов:
а) среднюю сумму вкладов;
б) дисперсию и среднее квадратическое отклонение вклада;
коэффициент вариации;
с вероятностью 0,954 возможные границы, в которых находится средняя сумма вкладов в сберкассе района;
с вероятностью 0,954 возможные границы, в которых находится удельный вес вкладчиков, вклад которых не превышает 400 грн.
Решение:
Среднюю сумму вкладов способом моментов определим по формуле:
где А - постоянная величина, на которую уменьшаются все значения признака.
В вариационных рядах с равными интервалами в качестве такой величины принимается варианта ряда с наибольшей частотой.
i =
величина интервала.
Находим середины интервалов:
200 + 400/2 = 300 - для закрытых интервалов;
Для открытых интервалов вторая граница достраивается:
0 + 200/2 = 100
Величина интервала i =
200.
Наибольшая частота равна 350, следовательно А = 700.
Вывод: в среднем сумма вкладов составляет 575 грн.
Дисперсия: ;
Коэффициент вариации:
Среднеквадратичное отклонение: ;
Задача 4
Имеются данные о младенческой смертности на Украине (табл.4.1).
Таблица 4.1
| Год |
1990 |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
| Умерло детей в возрасте до 1 года (всего), тыс. чел. |
12,5 |
11,7 |
11,9 |
10,6 |
9,4 |
9,2 |
Для анализа ряда динамики исчислите:
1) абсолютный прирост, темпы роста и прироста (по годам и к базисному 1995 г), абсолютное содержание 1% прироста (полученные показатели представьте в виде таблицы);
2) среднегодовой темп роста и прироста младенческой смертности: а) с 1990 по 1996 годы; б) с 1995 по 1999 годы; в) с 1990 по 1999 годы. Изобразите исходные данные графически. Сделайте выводы.
Решение:
1. Абсолютный прирост (Δi
) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает, на сколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения Δi
=yi
-yбаз
, где yi
- уровень сравниваемого периода; yбаз
- базисный уровень.
При сравнении с переменной базой абсолютный прирост будет равен Δi
=yi
-yi
-1
, где yi
- уровень сравниваемого периода; yi
-1
- предыдущий уровень.
Темпы роста о
При сравнении с базисом:
.
По годам:
.
Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) базисного уровня.
По отношению к базисному:
;
по годам:
или можно вычислять так:
Тп=Тр-100%.
Абсолютное содержание 1% прироста - сравнение темпа прироста с показателем абсолютного роста:
.
2. Среднегодовая младенческая смертность вычисляется по формуле:
.
3. Среднегодовой абсолютный прирост вычисляется по формуле:
.
4. Базисный темп роста с помощью взаимосвязи цепных темпов роста вычисляется по формуле:
.
5. Среднегодовой темп роста вычисляется по формуле:
.
Среднегодовой темп прироста вычисляется по формуле:
.
Рассчитанные данные представим в таблице 4.2
Таблица 4.2
| Год |
Умерло, тыс. чел. |
Абсол. прирост |
Ср. год. темп роста |
Ср. год. темп прироста |
Аі
|
|||
| цепн. |
базисн. |
цепн. |
базисн. |
цепн. |
базисн. |
|||
| 1990 |
12,3 |
- |
0,7 |
102,973 |
2,973046 |
|||
| 1995 |
11,6 |
0,7 |
0 |
98,83 |
100 |
-1,16504 |
0 |
0,123 |
| 1996 |
11,1 |
0,5 |
0,5 |
97,82 |
97,82109 |
-2,17891 |
-2,17891 |
0,116 |
| 1997 |
10,6 |
0,5 |
0 |
97,72 |
95,59253 |
-2,2782 |
-4,40747 |
0,111 |
| 1998 |
9 |
1,6 |
1,6 |
92,14 |
88,08303 |
-7,85573 |
-11,917 |
0,106 |
| 1999 |
9,3 |
-0,3 |
-1,9 |
101,65 |
89,53905 |
1,653005 |
-10,461 |
0,09 |
В качестве базисного берем 1995 г.
| Среднегодовой темп роста |
||
| с 1990 по 1996 |
98,30 |
|
| с 1995 по 1999 |
94,63 |
|
| с 1990 по 1999 |
96,94 |
|
| Среднегодовой темп прироста |
||
| с 1990 по 1996 |
-1,70 |
|
| с 1995 по 1999 |
-5,37 |
|
| с 1990 по 1999 |
-3,06 |
|
Задача 5
Реализация товаров на колхозном рынке характеризуется данными представленными в табл.5.
Таблица 5.
| Наименование товара |
Базисный период |
Отчетный период |
||
| Количество, тыс. кг. |
Цена 1 кг., грн |
Количество, тыс. грн. |
Цена 1 кг., грн |
|
| Картофель |
15,5 |
0,4 |
21 |
0,6 |
| Мясо |
3,5 |
5,5 |
4 |
8 |
Определите:
1) общий индекс физического объема продукции;
2) общий индекс цен и абсолютный размер экономии (перерасхода) от изменения цен;
3) на основании исчисленных индексов определить индекс товарооборота.
Решение.
Индекс представляет собой относительную величину, получаемую в результате сопоставления уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или с планом.
Индивидуальными называются индексы, характеризующие изменения только одного элемента совокупности.
Общий индекс отражает изменение по всей совокупности элементов сложного явления.
Стоимость - это качественный показатель.
Физический объем продукции - количественный показатель.
Общий индекс физического объема продукции вычисляется по формуле:
,
где p0
и р1
-
цена единицы товара соответственно в базисном и отчетном периодах; q0
и q1 -
количество (физический объем) товара соответственно в базисном и отчетном периодах. Количество проданных товаров увеличилось на 19,4%.
Или в деньгах: 30,4 - 25,45 = 4,95 тыс. грн.
Общий индекс стоимости вычисляется по формуле:
Следовательно, цены на данные товары в среднем увеличились на 46,7%.
Сумма сэкономленных или перерасходованных денег:
сумма возросла на 46,7%, следовательно, население в отчетном периоде на покупку данных товаров дополнительно израсходует: 44,6 - 30,4 = 14,2 тыс. грн.
Общий индекс товарооборота вычисляется по формуле:
Товарооборот в среднем возрос на 75,2%.
Взаимосвязь индексов:
1,467 * 1, 194 = 1,752
Задача 6
Имеются данные о выпуске одноименной продукции и её себестоимости по двум заводам (табл.6).
Таблица 6.
| Завод |
Производство продукции, тыс. шт. |
Себестоимость 1 шт., грн. |
||
| I квартал |
II квартал |
I квартал |
II квартал |
|
| I |
120 |
180 |
100 |
96 |
| II |
60 |
80 |
90 |
100 |
Вычислите индексы:
1) себестоимости переменного состава;
2) себестоимости постоянного состава;
3) структурных сдвигов. Поясните полученные результаты.
Решение.
Индекс себестоимости переменного состава вычисляется по формуле:
где z0
и z1 -
себестоимость единицы продукции соответственно базисного и отчетного периодов;
q0
и q1 -
количество (физический объем) продукции соответственно в базисном и отчетном периодах.
Индекс показывает, что средняя себестоимость по двум заводам повысилась на 0,6%, это повышение обусловлено изменением себестоимости продукции по каждому заводу и изменением структуры продукции (увеличением объема выпуска).
Выявим влияние каждого из этих факторов.
Индекс себестоимости постоянного состава вычисляется по формуле:
То есть себестоимость продукции по двум заводам в среднем возросла на 0,3%.
Индекс себестоимости структурных сдвигов вычисляется по формуле:
или
Взаимосвязь индексов:
1,003 * 1,003 = 1,006
Вывод:
Индекс себестоимости переменного состава зависит от изменения уровня себестоимости и от изменения объема производства, т.е. средний прирост себестоимости составил 0,6%.
Индекс себестоимости постоянного состава показывает изменение себестоимости при фиксированном объеме производства, т.е. в среднем по заводам себестоимость повысилась на 0,3%. Индекс себестоимости переменного состава выше, чем индекс себестоимости постоянного состава, это свидетельствует о том, что произошли благоприятные структурные сдвиги. Индекс структурных сдвигов равен 1,003%, т.е. за счет изменения объемов производства по заводам средняя себестоимость повысилась на 0,3%.
Задача 7
Для изучения тесноты связи между выпуском валовой продукции на один завод (результативный признак Y) и оснащенностью заводов основными производственными фондами (факторный признак X) по данным задачи 1 вычислить коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Решение: показателем тесноты связи между факторами, является линейный коэффициент корреляции. Линейный коэффициент корреляции вычислим по формуле:
.
Линейное уравнение регрессии имеет вид: y=bx-а.
Коэффициент детерминации показывает насколько вариация признака зависит от фактора, положенного в основу группировки и вычисляется по формуле:
где d2
- внутригрупповая дисперсия; s2
- общая дисперсия.
Общая дисперсия характеризует вариацию признака, который зависит от всех условий в данной совокупности. Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием фактора, положенного в основу группировки и рассчитывается по формуле:
где среднее значение по отдельным группам; fi
-
частота каждой группы.
Средняя из внутригрупповых дисперсия:
где - дисперсия каждой группы.
Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле:
Все расчетные данные приведены в таблице 7.
Таблица 7
| № завода |
Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн. (X) |
Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн. (Y) |
X^2 |
Y^2 |
XY |
| 1 |
1,6 |
1,5 |
2,56 |
2,25 |
2,55 |
| 2 |
3,9 |
4,2 |
15,21 |
17,64 |
17,16 |
| 3 |
3,3 |
4,5 |
10,89 |
20,25 |
15,75 |
| 4 |
4,9 |
4,4 |
24,01 |
19,36 |
22,05 |
| 5 |
3,0 |
2,0 |
9 |
4 |
6,4 |
| 6 |
5,1 |
4,2 |
26,01 |
17,64 |
22,44 |
| 7 |
3,1 |
4,0 |
9,61 |
16 |
13,2 |
| 8 |
0,5 |
0,4 |
0,25 |
0,16 |
0,1 |
| 9 |
3,1 |
3,6 |
9,61 |
12,96 |
11,52 |
| 10 |
5,6 |
7,9 |
31,36 |
62,41 |
43,68 |
| 11 |
3,5 |
3,0 |
12,25 |
9 |
10,8 |
| 12 |
0,9 |
0,6 |
0,81 |
0,36 |
0,63 |
| 13 |
1,0 |
1,1 |
1 |
1,21 |
1,32 |
| 14 |
7,0 |
7,5 |
49 |
56,25 |
53,9 |
| 15 |
4,5 |
5,6 |
20,25 |
31,36 |
25,76 |
| 16 |
8,1 |
7,6 |
65,61 |
57,76 |
63,18 |
| 17 |
6,3 |
6,0 |
39,69 |
36 |
38,4 |
| 18 |
5,5 |
8,4 |
30,25 |
70,56 |
46,75 |
| 19 |
6,6 |
6,5 |
43,56 |
42,25 |
43,55 |
| 20 |
1,0 |
0,9 |
1 |
0,81 |
0,8 |
| 21 |
4,7 |
4,5 |
22,09 |
20,25 |
21,6 |
| 22 |
2,7 |
2,3 |
7,29 |
5,29 |
6,75 |
| 23 |
2,9 |
3,2 |
8,41 |
10,24 |
8,96 |
| 24 |
6,8 |
6,9 |
46,24 |
47,61 |
46,24 |
| Итого |
95,6 |
100,8 |
485,96 |
561,62 |
523,49 |
| Среднее |
3,824 |
4,032 |
19,4384 |
22,4648 |
21,81 |
Подставив вычисленные значения в формулу, получим:
Коэффициент детерминации h2
= 0,87.
Эмпирическое корреляционное отношение имеет вид: у = 1,0873х - 0,161.
Линейный коэффициент корреляции r = 0,93.
a=0,161b=1,0873
Так как значение коэффициента корреляции близко к единице, то между выпуском валовой продукции и оснащенностью заводов основными производственными фондами есть тесная зависимость.
b - коэффициент регрессии, т.к b > 0, то связь прямая.
Список использованной литературы
1. Адамов В.Е. Факторный индексный анализ. - М.: Статистика, 1997.
2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2004.
3. Ефимова М.Р., Рябцев В.Ф. Общая теория статистики: Учебник. М.: Финансы и статистика, 1999.