Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе

УДК 330.105

ББК 65.290.2я73

Д79

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

кафедра математического моделирования экономических процессов

Финансовой академии при Правительстве РФ;

доктор экономических наук, профессор А.В. Мищенко

Дубров А.М.

Д79 Моделирование рисковых ситуации в экономике и биз­несе: Учеб. пособие/А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев; Под ред. Б.А. Лагоши.— М.: Финансы и статисти­ка, 2000.— 176 с.: ил. ISBN 5-279-02068-0.

Рассматриваются подходы к учету факторов неопределенности и риска в экономической практике, а также математические модели, используемые для этих целей. Анализируются ситуации, возникающие в условиях неопределен­ности и недостатка информации при принятии управленческих решений. Со­держание иллюстрируется прикладными задачами с решениями.

Для студентов, обучающихся по специальностям «Статистика», «Мате­матические методы и исследование операций в экономике», «Информацион­ные системы в экономике» и другим экономическим специальностям. Для ас­пирантов, преподавателей, а также для предпринимателей, организующих свой бизнес.

Д 2404000000-031
136 – 98 УДК 330.105

010(01)-2000 ББК 65.290-2,73

ISBN 5-279-02068-0 © А.М. Дубров, Б.А. Лагоша

Е.Ю. Хрусталев. 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ................................................................................................................................................................................................... 3

Глава 1 РИСК И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ............................................................................................................................................................... 4

1.1. РИСК И ПРИБЫЛЬ.................................................................................................................................................................................. 4

1.2. МЕРЫ РИСКА.......................................................................................................................................................................................... 6

Глава 2 СТРАТЕГИЧЕСКИЕ ИГРЫ............................................................................................................................................................... 8

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СТРАТЕГИЧЕСКИХ ИГР.................................................................................................... 8

2.2. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ............................................................................................................................................................ 12

2.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ (ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ).................................................................... 13

2.4. МАЖОРИРОВАНИЕ (ДОМИНИРОВАНИЕ) СТРАТЕГИЙ....................................................................................................... 16

Задачи для самостоятельного решения............................................................................................................................................ 17

Глава 3 ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И РИСКА (ИГРЫ С ПРИРОДОЙ)........................ 18

3.1. ПОНЯТИЕ ИГРЫ С ПРИРОДОЙ....................................................................................................................................................... 18

3.2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ....................................................................... 20

3.3. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА.......................................................................................................................... 22

3.4. ВЫБОР РЕШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ (ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ)........................................................ 23

3.4.1. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ................................................................................ 23

3.4.2. АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ............................................................................ 24

3.4.3. ОЖИДАЕМАЯ ЦЕННОСТЬ ТОЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ.................................................................................................... 27

3.5. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ.................................................................................................................................................................. 27

Глава 4 ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ НЕЙМАНА - МОРГЕНШТЕРНА............................................................................................. 33

4.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ............................................................................................................................... 33

4.2. ИЗМЕРЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ К РИСКУ......................................................................................................................................... 36

4.3. СТРАХОВАНИЕ ОТ РИСКА.............................................................................................................................................................. 38

Глава 5 ФИНАНСОВЫЕ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ РИСКА.............................................................................................................. 42

5.1. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ ФИНАНСОВ............................................................................................. 42

5.2. ОЦЕНКА ТЕКУЩЕЙ СТОИМОСТИ ФИРМЫ.............................................................................................................................. 45

5.2.1. ЧИСТАЯ ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ (БЕЗРИСКОВАЯ СИТУАЦИЯ).................................................................. 45

5.2.2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИСКОНТИРОВАНИЯ ДЛЯ РИСКОВАННОГО ПРОЕКТА...................................................... 47

5.3. ОЦЕНКА ПЕРСПЕКТИВНОГО ПРОЕКТА.................................................................................................................................... 48

5.4. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ПРОЕКТА.......................................................................................................... 51

Глава 6 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ........................................................................................................................................................... 53

6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ............................................................................................................................................................................ 53

6.2. СВОЙСТВА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИГР.......................................................................................................................................... 54

6.2.1. ВЫБОР ФУНКЦИЙ РЕШЕНИЯ................................................................................................................................................ 57

6.2.2. МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ............................................................................................................................... 60

Глава 7 ИНВЕСТИЦИОННЫЕ РЕШЕНИЯ............................................................................................................................................... 62

7.1. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ВАРИАНТА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ ПРИ СТРОИТЕЛЬСТВЕ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ......................................................................................................................................................................................... 62

7.2. ИНВЕСТИЦИИ В РАЗРАБОТКУ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ............................................................................................. 63

Глава 8 ЗАДАЧИ ИЗ РАЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ................................................................... 65

8.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МАРШРУТОВ ГОРОДСКОГО ТРАНСПОРТА.................................................................................... 65

8.2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ............................................................................................................... 68

8.3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ ПАРТИИ ГОТОВЫХ ИЗДЕЛИЙ И ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕБОЕВ ПРОИЗВОДСТВА................................................................................................................................................................................................ 70

8.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЗАПАСА ПРОДУКЦИИ ТОРГОВОЙ ФИРМЫ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ..................................................................................................................................................................... 75

ПРИЛОЖЕНИЕ.................................................................................................................................................................................................. 78

СВЯЗЬ МАТРИЧНЫХ ИГР С ЛИНЕЙНЫМ ПРОГРАММИРОВАНИЕМ (ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ИГР). ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ............................................................................................................................................................................. 78

КРАТКИЙ СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ.............................................................................................................................................................. 82

ЛИТЕРАТУРА.................................................................................................................................................................................................... 83

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ....................................................................................................................................................................... 84

ПРЕДИСЛОВИЕ

В предлагаемой читателю книге основное внимание уделяет­ся методам решения задач, возникающих в рисковых ситуациях. В Словаре русского языка С. И. Ожегова термин «риск» опреде­ляется как «возможная опасность» и «действие наудачу в надеж­де на счастливый исход». Следовательно, риск предполагает возможность наступления неблагоприятного события. Для лю­бого бизнеса важно не избежать риск вообще, а предвидеть его и принять наилучшее решение относительно определенного кри­терия, отражающего основной интерес предпринимателя.

Теоретической основой и практическим инструментарием анализа и прогнозирования решений в экономике и бизнесе яв­ляются экономико-математические модели и проводимые по ним расчеты.

В настоящем учебном пособии при рассмотрении моделей принятия решений в условиях неопределенности и риска даются практические рекомендации по применению этих моделей в типовых ситуациях. В данном случае основная трудность заклю­чается не в выполнении расчетов, а в построении самих моде­лей, адекватных реальной обстановке. В силу этого читателю предлагается достаточно большое число примеров построения таких моделей. Разнообразные реальные экономические ситуа­ции - потенциальные объекты моделирования - описаны в зада­чах. Некоторые из них даются с решениями, другие - предназ­начены для самостоятельной работы.

В качестве математических средств принятия решений в ус­ловиях неопределенности и риска используются: теория страте­гических игр, теория вероятностей, математическая статистика, теория статистических решений, математическое программиро­вание, теория полезности Неймана-Моргенштерна.

Книга состоит из восьми глав. Главы 1-5 отражают достаточ­но элементарный подход к исследуемой области, главы 6 - 8 -более углубленный.

Необходимый для первых пяти глав математический аппарат не выходит за пределы младших курсов экономических вузов. Здесь приводятся задачи с решениями, а в гл. 1-4 - задачи для самостоятельного выполнения. Соответственно данный матери­ал ориентирован на студентов младших курсов обучения и всех желающих получить первоначальное представление о расчете в бизнесе.

Последние три главы, как мы упоминали, дают более углуб­ленное представление об аппарате моделирования рисковых си­туаций. Прежде всего это относится к статистическим играм с природой. Изложение материала сопровождается многими при­мерами с решениями, доведенными до конкретных цифр и реко­мендаций. Эта часть книги ориентирована на студентов старших курсов, аспирантов и преподавателей, может использоваться и практиками.

Различная целевая ориентация учебного материала объясня­ет, почему в конце каждой из глав 1 - 4 даются вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения, а в дру­гих главах они отсутствуют, но приводится большое количество задач повышенной трудности с решениями.

Глава 1 «Риск и его измерение» включает общее описание прибыли и риска от реализации проектов, методы оценки эф­фективности и рисковости проектов, связь этих показателей со склонностью к риску лица, принимающего решение.

Глава 2 «Стратегические игры» содержит описание игр двух лиц с противоположными интересами. Участники игры осознан­но противодействуют друг другу, что соответствует, например, конкуренции фирм на одном рынке. Фирмы пытаются реализо­вать свои интересы и помешать в этом конкурентам. Рассматри­вается простейший графический метод решения матричных игр и указывается на их связь с линейным программированием в общем случае при произвольном виде платежной матрицы т
х п.
Это универсальный метод решения игр двух лиц с нулевой сум­мой, позволяющий применить известный математический аппа­рат линейного программирования и соответствующее програм­мное обеспечение. Доказательство связанной с этим основной теоремы теории игр и пример ее применения вынесены в прило­жение.

Отличие игр, описанных в главе 3 «Принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой)», от стра­тегических игр состоит в том, что в них один из участников противодействует сопернику неосознанно. В экономике многие решения зависят от конъюнктуры, складывающейся из многих факторов (курса валют, политики правительства, уровня инфля­ции и т.д.), которые, взаимодействуя друг с другом, влияют на всех участников «игры в экономику» не персонально, а единооб­разно. Принятие решений в условиях неопределенности и риска получает развитие в виде выбора решений с помощью дерева решений (позиционные игры). Этот метод учитывает, что дей­ствия игроков, испытывающих противостояние ряда независи­мых явлений, могут быть выстроены в некоторую последователь­ность. Например, геологическая разведка недр может закончить­ся неудачей (полезных ископаемых не найдено). Если этот этап пройден успешно, то дальнейший риск связан с правильной оценкой мощности открытого месторождения. Можно построить перерабатывающий завод, который будет простаивать, а можно продать месторождение по лицензии и оказаться в проигрыше, если запасы ископаемых превысили ожидаемые значения.

Теория полезности Неймана-Моргенштерна, представленная в гл. 4, учитывает отношение лица, принимающего решения, к риску.

Глава 5 «Финансовые решения в условиях риска» отражает некоторые аспекты банковской и финансовой деятельности, ко­торые в рамках рыночной экономики приобретают особо риско­вый характер и поэтому требуют более детального исследова­ния. Приведены две динамические модели планирования финан­сов в форме задачи линейного программирования с решениями. Рассмотрена методика оценки стоимости фирмы на примере неопределенно долго «живущей» акционерной фирмы. Вырабо­танный при этом критерий живучести сравнивается с альтерна­тивными популярными, но могущими оказаться неточными кри­териями.

Глава 6 «Статистические игры» дает углубленное изложе­ние теории игр с природой. Используется математический ап­парат теории множеств, байесовских функций, условных веро­ятностей и др. Теория иллюстрируется множеством примеров с решениями.

Глава 7 «Инвестиционные решения» опирается на теорию предыдущих глав. Однако все рассматриваемые прикладные за­дачи в том или ином плане связаны с моделированием принятия инвестиционных решений. Для практиков, по-видимому, эта гла­ва должна представлять наибольший интерес.

В главе 8 «Задачи из разных областей хозяйственной деятель­ности» разбираются следующие задачи: возникающие на транс­порте при планировании новых пассажирских маршрутов, зада­чи обоснования выбора участков земли под посадку картофеля в зависимости от погодных условий, статистического контроля партии готовых изделий и оценки вероятности перебоев на про­изводстве, определения оптимального запаса продукции торго­вой фирмы на основе статистических данных.

Краткий словарь терминов раскрывает основные понятия теории вероятностей, математической статистики и линейного программирования, встречающиеся в данном учебном пособии.

В подготовке глав 4 и 5 принимал участие А. Б. Аронович.

Авторы благодарят доктора технических наук, профессора В.А. Бывшева и доктора экономических наук, профессора А.В. Мищенко за полезные замечания, способствовавшие улуч­шению содержания учебного пособия.

Глава 1 РИСК И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ

1.1. РИСК И ПРИБЫЛЬ

Любая сфера человеческой деятельности, в особенности эко­номика или бизнес, связана с принятием решений в условиях неполноты информации. Источники неопределенности могут быть самые разнообразные: нестабильность экономической и/или по­литической ситуации, неопределенность действий партнеров по бизнесу, случайные факторы, т.е. большое число обстоятельств, учесть которые не представляется возможным (например, погод­ные условия, неопределенность спроса на товары, неабсолютная надежность процессов производства, неточность информации и др.). Экономические решения с учетом перечисленных и множе­ства других неопределенных факторов принимаются в рамках так называемой теории принятия решений — аналитического подхода к выбору наилучшего действия (альтернативы) или последователь­ности действий. В зависимости от степени определенности воз­можных исходов или последствий различных действий, с которы­ми сталкивается лицо, принимающее решение (ЛПР), в теории принятия решений рассматриваются три типа моделей:

• выбор решений в условиях определенности, если относи­тельно каждого действия известно, что оно неизменно приводит к некоторому конкретному исходу;

• выбор решения при риске, если каждое действие приводит к одному из множества возможных частных исходов, причем каж­дый исход имеет вычисляемую или экспортно оцениваемую веро­ятность появления. Предполагается, что ЛПР эти вероятности известны или их можно определить путем экспертных оценок;

• выбор решений при неопределенности, когда то или иное действие или несколько действий имеют своим следствием мно­жество частных исходов, но их вероятности совершенно не из­вестны или не имеют смысла.

Проблема риска и прибыли - одна из ключевых в экономи­ческой деятельности, в частности в управлении производством и финансами. Под риском
принято понимать вероятность (угрозу) потери лицом или организацией части своих ресурсов, недопо­лучения доходов или появления дополнительных расходов в результате осуществления определенной производственной и финансовой политики.

Различают следующие виды рисков:

• производственный,
связанный с возможностью невыполне­ния фирмой своих обязательств перед заказчиком;

• кредитный,
обусловленный возможностью невыполнения фирмой своих финансовых обязательств перед инвестором;

• процентный,
возникающий вследствие непредвиденного изменения процентных ставок;

• риск ликвидности,
обусловленный неожиданным изменени­ем кредитных и депозитных потоков;

• инвестиционный,
вызванный возможным обесцениванием инвестиционно-финансового портфеля, состоящего из собствен­ных и приобретенных ценных бумаг;

• рыночный,
связанный с вероятным колебанием рыночных процентных ставок как собственной национальной денежной единицы, так и зарубежных курсов валют.

Риск подразделяется на динамический и статический. Дина­мический риск
связан с возникновением непредвиденных изме­нений стоимости основного капитала вследствие принятия уп­равленческих решений, а также рыночных или политических обстоятельств. Такие изменения могут привести как к потерям, так и к дополнительным доходам. Статический риск
обуслов­лен возможностью потерь реальных активов вследствие нанесе­ния ущерба собственности и потерь дохода из-за недееспособно­сти организации.

Все участники проекта заинтересованы в том, чтобы не до­пустить полного провала проекта или хотя бы избежать убыт­ка. В условиях нестабильной, быстро меняющейся ситуации необходимо учитывать все возможные последствия от действий конкурентов, а также изменения конъюнктуры рынка. Поэто­му основное назначение анализа риска состоит в том, чтобы обеспечить партнеров информацией, необходимой для приня­тия решений о целесообразности участия в некотором проек­те, и предусмотреть меры по защите от возможных финансо­вых потерь.

При анализе риска могут использоваться следующие условия или предположения:

• потери от риска не зависят друг от друга;

• потери по одному из некоторого перечня рисков не обяза­тельно увеличивают вероятность потерь по другим;

• максимально возможный ущерб не должен превышать фи­нансовых возможностей участников проекта.

Все факторы, влияющие на рост степени риска в проекте, можно условно разделить на объективные и субъективные. Объек­тивные факторы
непосредственно не зависят от самой фирмы: это инфляция, конкуренция, анархия, политические и экономичес­кие кризисы, экология, налоги и т.д. Субъективные факторы
непосредственно характеризуют данную фирму: это производствен­ный потенциал, техническое оснащение, уровень производитель­ности труда, проводимая финансовая, техническая и производствен­ная политика, в частности выбор типа контракта между инвесто­ром и заказчиком. Последний фактор играет особо важную роль для фирмы, поскольку от типа контракта зависят степень риска и величина вознаграждения по окончании проекта.

Исследование риска целесообразно проводить в следующей последовательности:

• выявление объективных и субъективных факторов, влияю­щих на конкретный вид риска;

• анализ выявленных факторов;

• оценка конкретного вида риска с финансовых позиций, определяющая либо финансовую состоятельность проекта, либо его экономическую целесообразность;

• установка допустимого уровня риска;

• анализ отдельных операций по выбранному уровню риска;

• разработка мероприятий по снижению риска.

Финансирование проекта, являясь одним из наиболее важных условий эффективности его выполнения, должно быть нацелено на обеспечение потока инвестиций для планомерного выполнения проекта, на снижение капитальных затрат и риска проекта за счет оптимальной структуры инвестиции и получения налого­вых преимуществ. В плане финансирования проекта должны учитываться следующие виды рисков:

• риск нежизнеспособности проекта;

• налоговый риск;

• риск неуплаты задолженностей;

• риск незавершения строительства.

Высокая степень риска проекта приводит к необходимости поиска путей искусственного снижения его (риска) возможных последствий на состояние фирмы.

В существующей практике применяются главным образом четыре основных способа управления риском: распределение риска между всеми участниками проекта (передача части риска соисполнителям), страхование, резервирование средств на покры­тие непредвиденных расходов и диверсификация.

Анализ рисков подразделяется на два взаимно дополняющих друг друга вида: качественный,
главная задача которого состоит в определении факторов риска и обстоятельств, приводящих к рисковым ситуациям, и количественный,
позволяющий вычис­лить размеры отдельных рисков и риска проекта в целом.

1.2. МЕРЫ РИСКА

Наиболее распространена точка зрения, согласно которой мерой риска
некоторого коммерческого (финансового) решения или операции следует считать среднее квадратичное отклонение (положительный квадратный корень из дисперсии) значения показателя эффективности этого решения или операции. Действи­тельно, поскольку риск обусловлен недетерминированностью исхода решения (операции), то, чем меньше разброс (дисперсия) результата решения, тем более он предсказуем, т.е. меньше риск. Если вариация (дисперсия) результата равна нулю, риск полно­стью отсутствует. Например, в условиях стабильной экономики операции с государственными ценными бумагами считаются безрисковыми.

Чаще всего показателем эффективности финансового реше­ния (операции) служит прибыль.

Рассмотрим в качестве иллюстрации выбор некоторым ли­цом одного из двух вариантов инвестиций в условиях риска. Пусть имеются два проекта А
и В,
в которые указанное лицо может вложить средства. Проект А
в определенный момент в будущем обеспечивает случайную величину прибыли. Предположим, что ее среднее ожидаемое значение, математическое ожидание, рав­но тА

с дисперсией .
Для проекта В
эти числовые характери­стики прибыли как случайной величины предполагаются равны­ми соответственно mB
и .
Средние квадратичные отклонения равны соответственно SA
и SB
.

Подробнее описание числовых характеристик дано, напри­мер, в [2, гл.4] и [7, гл. 14].

Возможны следующие случаи:

a) т
A
= mB
, SA
< SB
,
следует выбрать проект А;

b) т
A
> mB
, SA
< SB
,
следует выбрать проект А;

c) т
A
> mB
, SA
= SB
,
следует выбрать проект А;

d)
т
A
> mB
, SA
> SB
;

e) т
A
< mB
, SA
< SB
.

В последних двух случаях решение о выборе проекта А
или В
зависит от отношения к риску ЛПР. В частности, в случае d проект А
обеспечивает более высокую среднюю прибыль, одна­ко он и более рискован. Выбор при этом определяется тем, какой дополнительной величиной средней прибыли компенсируется для ЛПР заданное увеличение риска. В случае е для проекта А
риск меньший, но и ожидаемая прибыль меньшая. Субъективное от­ношение к риску учитывается в теории Неймана-Моргенштерна и рассматривается в гл. 4.

Пример.
Пусть имеются два инвестиционных проекта. Пер­вый с вероятностью 0,6 обеспечивает прибыль 15 млн руб., одна­ко с вероятностью 0,4 можно потерять 5,5 млн руб. Для второго проекта с вероятностью 0,8 можно получить прибыль 10 млн руб. и с вероятностью 0,2 потерять 6 млн руб. Какой проект выбрать?

Решение. Оба проекта имеют одинаковую среднюю при­быльность, равную 6,8 млн руб. (0,6*15 + +0,4(-5,5)=0,8*10 + 0,2(-6) = 6,8). Однако среднее квадратичное отклонение прибыли для первого проекта равно 10,04 млн руб. ([0,6(15 - 6,8)2
+ 0,4(-5,5 – 6,8)2
]1
/2
= 10,04), а для второго - 6,4 млн руб. ([0,8 (10 - 6,8)2
+ 0,2(-6 – 6,8)2
]1/2
= 6,4), поэтому более предпочтите­лен второй проект.

Хотя среднее квадратичное отклонение эффективности реше­ния и используется часто в качестве меры риска, оно не совсем точно отражает реальность. Возможны ситуации, при которых варианты обеспечивают приблизительно одинаковую среднюю прибыль и имеют одинаковые средние квадратичные отклоне­ния прибыли, однако не являются в равной мере рискованными. Действительно, если под риском понимать риск разорения, то величина риска должна зависеть от величины исходного капита­ла ЛПР или фирмы, которую он представляет. Теория Неймана-Моргенштерна это обстоятельство учитывает. Из публикаций, посвященных методам измерения и управления рисками, укажем на [8,9,10,16,18,20].

На рис. 1.1 рассмотрен случай выбора из более чем двух вариантов инвестиций. Характеристики вариантов показаны точ­ками на плоскости (т,
S),
где т -
средняя прибыль, получаемая в результате инвестиции, а S-
среднее квадратичное отклонение прибыли.

Рис. 1.1. Варианты выбора инвестиций

Из рис. 1.1 видно, что среди вариантов А, В
и С наиболее предпочтителен А.
Из вариантов В,
D
и Н
следовало бы выбрать Н.
Вариант Н
лучше вариантов С и F.
Однако сравнительная предпочтительность, например, вариантов А, D, F
и G
зависит от склонности ЛПР к риску.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что такое риск?

2. Какие бывают виды рисков?

3. Какой параметр наиболее часто используется в качестве меры риска?

4. Акционерному обществу предлагаются два рисковых проекта:

Проект I
Проект 2

Вероятность события ................................. 0,2 0,6 0,2 0,4 0,2 0,4

Наличные поступления, млн руб. ........... 40 50 60 0 50 100

Учитывая, что фирма имеет фиксированные платежи по долгам 80 млн руб., какой проект должны выбрать акционеры и почему?

Глава 2 СТРАТЕГИЧЕСКИЕ ИГРЫ

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СТРАТЕГИЧЕСКИХ ИГР

На практике часто появляется необходимость согласования дей­ствии фирм, объединении, министерств и других участников проек­тов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участ­ников, обязанных согласовывать действия при столкновении инте­ресов. Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений. Это имеет большое значение при решении задач в про­мышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, осо­бенно при заключении договоров с иностранными государствами на любых иерархических уровнях. Так, можно определить научно обоснованные уровни снижения розничных цен и оптимальный уровень товарных запасов, решать задачи экскурсионного обслужи­вания и выбора новых линий городского транспорта, задачу плани­рования порядка организации эксплуатации месторождений полез­ных ископаемых в стране и др. Классической стала задача выбора участков земли под сельскохозяйственные культуры. Метод теории игр можно применять при выборочных обследованиях конечных со-вокупностей, при проверке статистических гипотез.

Обычно теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Это значит, что можно вырабо­тать оптимальные правила поведения каждой стороны, участву­ющей в решении конфликтной ситуации.

В экономике, например, оказался недостаточным аппарат ма­тематического анализа, занимающийся определением экстрему­мов функций. Появилась необходимость изучения так называе­мых оптимальных минимаксных и максиминных решений. Сле­довательно, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятии решений.

Игра -
упрощенная формализованная модель реальной кон­фликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры при данном вари­анте действия; объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон.

Одну играющую сторону при исследовании операций может представлять коллектив, преследующий некоторую общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному инфор­мированы об обстановке проведения игры.

Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, дру­гие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш в действительности можно оценивать количественно.

Игрок -
одна из сторон в игровой ситуации. Стратегия иг­рока -
его правила действия в каждой из возможных ситуаций игры. Существуют игровые системы управления, если процесс управления в них рассматривается как игра.

Платежная матрица (матрица эффективности, матрица игры) включает все значения выигрышей (в конечной игре). Пусть игрок 1 имеет т
стратегий А
i
,
а игрок 2 - п
стратегий В
j
,
(;
). Игра может быть названа игрой т
хп.
Представим мат­рицу эффективности игры двух лиц с нулевой суммой, сопрово­див ее необходимыми обозначениями (табл. 2.1).

Таблица 2.1

В данной матрице элементы – значения выигрышей игро­ка 1 – могут означать и математическое ожидание выигрыша (среднее значение), если выигрыш является случайной величи­ной. Величины ,– соответственно мини­мальные значения элементов , по строкам и максимальные - по столбцам. Их содержательный смысл будет отражен ниже.

В теории игр не существует установившейся классификации видов игр. Однако по определенным критериям некоторые виды можно выделить.

Количество игроков.
Если в игре участвуют две сто­роны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре п
игроков. Наибольший интерес вызыва­ют игры двух лиц. Они и математически более глубоко прорабо­таны и в практических приложениях имеют наиболее обширную библиографию [3, 7, 12, 13].

Количество стратегий игры.
По этому критерию игры делятся на конечные и бесконечные. В конечной игре
каж­дый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное число возможных стратегий, игра является бесконечной.

Взаимоотношения сторон.
Согласно данному кри­терию игры делятся на кооперативные, коалиционные и бескоа­лиционные. Если игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции, то такая игра относится к бескоалицион­ным;
если игроки могут вступать в соглашения, создавать коали­ции - коалиционной. Кооперативная игра -
это игра, в которой заранее определены коалиции.

Характер выигрышей.
Этот критерий позволяет клас­сифицировать игры с нулевой и с ненулевой суммой. Игра с ну­левой суммой
предусматривает условие: «сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю». Игры двух игроков с нулевой суммой относят к классу антагонистических. Естествен­но, выигрыш одного игрока при этом равен проигрышу другого. Примерами игр с нулевой суммой служат многие экономические задачи. В них общий капитал всех игроков перераспределяется между игроками, но не меняется. К играм с ненулевой суммой также можно отнести большое количество экономических задач. Например, в результате торговых взаимоотношений стран, уча­ствующих в игре, все участники могут оказаться в выигрыше. Игра, в которой нужно вносить взнос за право участия в ней, является игрой с ненулевой суммой.

Вид функции выигрышей.
По этому критерию игры подразделяются на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т. д. Поясним суть некоторых из них.

Матричная игра -
конечная игра двух игроков с нулевой суммой. В общем случае ее платежная матрица является прямо­угольной (см.
табл. 2.1). Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1. Номер столбца соот­ветствует номеру стратегии игрока 2. Выигрыш игрока 1 являет­ся элементом матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу игрока 1. Как показано в приложении, матричные игры всегда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут быть реше­ны методами линейного программирования.

Биматричная игра -
конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которой строка соответствует стратегии игрока 1, а столбец — стратегии игрока 2. Однако элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы - выигрыш игро­ка 2. Для биматричных игр так же, как и для матричных, разра­ботана теория оптимального поведения игроков.

Если функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий является непрерывной, игра считается непрерывной.
Если функция выигрышей выпуклая, то и игра - выпуклая.

Если функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента; то игра относится к сепарабельной.

Количество ходов.
Согласно этому критерию игры можно разделить на одношаговые и многошаговые. Одношаго­вые игры
заканчиваются после одного хода каждого игрока. Так, в матричной игре после одного хода каждого из игроков проис­ходит распределение выигрышей. Многошаговые игры
бывают позиционными, стохастическими, дифференциальными и др. Подробнее см.
[3,7,12,13].

Информированность
cmoрон.
По данному крите­рию различают игры с полной и неполной информацией. Если каждый игрок на каждом ходу игры знает все ранее приме­ненные другими игроками на предыдущих ходах стратегии, такая игра определяется как игра с полной информацией.
Если игроку не все стратегии предыдущих ходов других игроков известны, то игра классифицируется как игра с неполной ин­формацией.
Мы далее убедимся, что игра с полной информа­цией имеет решение. Решением будет седловая точка при чистых стратегиях.

Степень неполноты и н формации. По этому кри­терию игры
подразделяются на статистические (в условиях час­тичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности, см.
разд. 3.2). Игры с природой (см.
гл. 3, 6) часто относят к статистическим играм. В статистической игре имеется возможность получения информации на основе статис­тического эксперимента, при котором вычисляется или оценива­ется распределение вероятностей состояний (стратегий) приро­ды. С теорией статистических игр тесно связана теория приня­тия экономических решений.

Получив некоторое представление о существующих под­ходах к классификации игр, можно остановиться на оценках игры.

Рассмотрим матричную игру, представленную матрицей вы­игрышей т
хп,
где число строк , а число столбцов
(см.
табл. 2.1). Применим принцип получения максимального га­рантированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стре­мится принять стратегию, обеспечивающую минимальный вы­игрыш игрока 1. Рассмотрим оба этих подхода.

Подход игрока 1.Он должен получить максимальный гарантированный результат при наихудших условиях. Значит, при выборе отвечающей этим условиям своей чистой страте­гии он должен выбрать гарантированный результат в наихудших условиях, т.е. наименьшее значение своего выигрыша а,.,
которое обозначим

Чтобы этот гарантированный эффект в наихудших условиях был максимальным, нужно из всех а, выбрать наибольшее зна­чение. Обозначим его а и назовем чистой нижней ценой игры («максимин»):

Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка мат­рицы, которой соответствует элемент a
i
. Какие бы стратегии ни применял игрок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией га­рантировал себе выигрыш, не меньший, чем a
. Таково оптималь­ное поведение игрока 1.

Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каж­дой j
-й чистой стратегии он отыскивает величину своего макси­мального проигрыша

в каждом j-
м столбце, т.е. определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 применит j
-ю чистую стратегию. Из всех своих n j-
х чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1 получит минимальный выигрыш, т.е. определяет чистую верхнюю цену игры («минимакс»):

Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выигрыш может гарантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, - выигрыш, не меньший, чем a
. Игрок 2 за счет ука­занного выше выбора своих чистых стратегий не допустит, что­бы игрок 1 мог получить выигрыш, больший, чем b
. Таким об­разом, минимаксная стратегия отображается столбцом платеж­ной матрицы, в котором находится элемент b
(см.
табл. 2.1). Она является оптимальной чистой гарантирующей стратегией игро­ка 2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.

Чистая цена игры v -
цена данной игры, если нижняя и вер­хняя ее цены совпадают:

В этом случае игра называется игрой с седловой точкой.

Пример 2.1.
Определить верхнюю и нижнюю цены при за­данной матрице игры и указать максиминную и минимаксную стратегии. Представим матрицу игры с обозначениями страте­гий b
j
, a
.j
, (табл. 2.2).

Т а б л и ц а 2.2

Решение. Определим нижнюю цену игры:

; ; (см. столбец ).

Определим верхнюю цену игры:

; ; ; (см. строку b
j
).

Таким образом, , т.е.

Значит, – чистая цена игры при стратегиях А
2
и B
1
. Следовательно, имеем игру с седловой точкой.

Пример
2.2.
Определим максиминную и минимаксную стра­тегии при заданной матрице эффективности (табл. 2.3).

Решение. Определим максиминную стратегию:

; ;

Максиминная стратегия - строка А
2
.

Таблица 2.3

Определим минимаксную стратегию:

Минимаксная стратегия - столбец В
2
.
Здесь , следова­тельно, седловой точки нет.

Если матрица игры содержит элемент, минимальный в сво­ей строке и максимальный в своем столбце, то он, как уже сказано выше, является седловой точкой. В этом случае мы имеем игру с седловой точкой.

Пусть в игре с седловой точкой один игрок придерживается седловой точки, тогда другой получит лучший результат, если также будет придерживаться этой точки. Лучшее поведение иг­рока не должно повлечь уменьшение его выигрыша. Зато худшее поведение может привести к этому. В данном случае решением игры являются:

• чистая стратегия игрока 1;

• чистая стратегия игрока 2;

• седловой элемент.

Оптимальные чистые стратегии — это чистые стратегии, об­разующие седловую точку.

В игре без седловой точки, если игрок 1 информирован о стратегии, принятой игроком 2, он сможет принять оптималь­ную стратегию, которая не совпадает с максиминной.

Пример
2.3.
Дана матрица игры

Допустим, игроку 1 стало известно, что игрок 2 принял минимаксную стратегию. Игрок 1 должен выбрать оптимальную стратегию при условии, что B
2
–
стратегия игрока 2 ( = 5).

Решение. Определим максиминную стратегию игрока 1:

Стратегия игрока 1 – А
2
-
максиминная.

Выберем оптимальную стратегию для игрока 1. Ею будет не максиминная А
2
,
дающая игроку 1 выигрыш = 4, а та страте­гия, которая соответствует . В этом случае его максималь­ный гарантированный выигрыш будет равен верхней цене игры , поэтому он выберет свою оптимальную стратегию А
1
,
зная, что игрок 2 выбрал свою стратегию В
2
.
Таким образом, рас­смотренный пример дает результат, отличный от результата при игре с седловой точкой.

Стратегия является оптимальной, если ее применение обес­печит игроку наибольший гарантированный выигрыш при лю­бых возможных стратегиях другого игрока.

На примере 2.3 показано, что бывают ситуации, когда игрок 1 может получить выигрыш, превосходящий максиминный, если ему известны намерения игрока 2.

При многократном повторении игры в сходных условиях можно добиться гарантированного среднего выигрыша, превос­ходящего для игрока 1 максиминный.

2.2. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ

Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находят верхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры. В примере 2.3 игрок 1 получил по своей оптимальной стратегии А
1
,
отличной от максиминной, выигрыш, равный верхней цене игры. Такова плата за информи­рованность о стратегии игрока 2. Это крайний случай. Не улуч­шится ли результат игрока 1, если информация о действиях противной стороны будет отсутствовать, но игрок будет много­кратно применять чистые стратегии случайным образом с опре­деленной вероятностью?

В такой ситуации, оказывается, можно получать выигрыши, в среднем большие нижней цены игры, но меньшие верхней.

Смешанная стратегия игрока - это полный набор примене­ния его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:

• игра без седловой точки;

• игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;

• игра многократно повторяется в сходных условиях;

• при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;

• допускается осреднение результатов игр.

Применяются следующие обозначения смешанных стратегий.

Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся в применении чистых стратегий А
1
, А
2
,..., А
m
с соответствующими вероятностями р
1
, р
2
, ..., р
m
,

где ,

Для игрока 2

где ,

qj

–
вероятность применения чистой стратегии В
j
.

В случае, когда pi

= 1 , для игрока 1 имеем чистую стратегию:

Чистые стратегии игрока являются единственно возможны­ми несовместными событиями. В матричной игре, зная матрицу А
(она относится и к игроку 1, и к игроку 2), можно определить при заданных векторах и средний выигрыш (математическое ожидание эффекта) игрока 1:

,

где и -
векторы;

р
i
и qj
-
компоненты векторов.

Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1 стре­мится максимально увеличить свой средний выигрыш, а игрок 2 - довести этот эффект до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится достигнуть

.

Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие

.

Обозначим и векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям игроков 1 и 2, т.е. такие векторы и ,
при которых будет выполнено равенство

Цена игры g – средний выигрыш игрока 1 при использовании обоими игроками смешанных стратегий. Следовательно, реше­нием матричной игры являются:

1) - оптимальная смешанная стратегия игрока 1;

2) -
оптимальная смешанная стратегия игрока 2;

3) g - цена игры.

Смешанные стратегии будут оптимальными ( и ), если они образуют седловую точку для функции , т.е.

Существует основная теорема математических игр (доказа­тельство см.
в приложении).

Теорема 2.1.
Для матричной игры с любой матрицей A
вели­чины

И

существуют и равны между собой: .

Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не мень­ший, чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игро­ка 2 (и, наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игро­ков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностя­ми, отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешан­ных стратегий игроков могут входить не все априори заданные их стратегии.

2.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ (ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ)

Решить игру - означает найти цену игры и оптимальные стратегии. Рассмотрение методов нахождения оптимальных сме­шанных стратегий для матричных игр начнем с простейшей игры, описываемой матрицей 2х2. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если получена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых следу­ет отказываться. При отсутствии седловой точки можно полу­чить две оптимальные смешанные стратегии. Как уже отмеча­лось, эти смешанные стратегии записываются так:

Значит, имеется платежная матрица

При этом

откуда получаем оптимальные значения
и :

Зная
и находим g:

Вычислив g, находим
и :

Задача решена, так как найдены векторы

и цена игры g.
Имея матрицу платежей А,
можно решить задачу графически. При этом методе алгоритм решения весьма прост (рис. 2.1):

1. По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.

2. По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии А
1
.

3. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 отклады­ваются выигрыши при стратегии А
2
.

4. Концы отрезков обозначаются для a11
– b11
,
a12
– b21
, a22
– b22
,
a21
– b12
и проводятся две прямые линии b11
b12

и b21
b22
.

5. Определяется ордината точки пересечения с
. Она равна g. Абсцисса точки с
равна р2
(р1
= 1 – р2
)
.

Рис.
2.1. Оптимальная смешанная стратегия

Данный метод имеет достаточно широкую область приложе­ния. Это основано на общем свойстве игр т
´п,
состоящем в том, что в любой игре т
´п
каждый игрок имеет оптимальную сме­шанную стратегию, в которой число чистых стратегий не боль­ше, чем min(m,n
). Из этого свойства можно получить известное следствие:
в любой игре 2
´п
и т
´2
каждая оптимальная страте­гия и содержит не более двух активных стратегий. Значит, любая игра 2´
n
и т
´2
может быть сведена к игре 2´
2. Следовательно, игры 2´т
и т
´2
можно решить графическим методом.

Если матрица конечной игры имеет размерность т
´п,
где т>2
и п>2,
то для определения оптимальных смешанных стратегий, как будет показано в приложении, используется линейное програм­мирование.

Рассмотрим некоторые практические задачи, в которых ис­пользуются критерии игр для оценки наиболее эффективного поведения оперирующей стороны.

Задача 2.1.
Выбрать оптимальный режим работы новой систе­мы ЭВМ, состоящей из двух ЭВМ типов А1
и А2
.
Известны выигрыши от внедрения каждого типа ЭВМ в зависимости от внешних условий, если сравнить со старой системой.

При использовании ЭВМ .типов А1
и А2
в зависимости от характера решаемых задач В1
и В2
(долговременные и краткос­рочные) будет разный эффект. Предполагается, что максималь­ный выигрыш соответствует наибольшему значению критерия эффекта от замены вычислительной техники старого поколения на ЭВМ А1
и А2
.

Итак, дана матрица игры (табл. 2.4), где А1
, А2
-
стратегии руководителя; В1
, В2
-
стратегии, отражающие характер решае­мых на ЭВМ задач.

Таблица 2.4

Требуется найти оптимальную смешанную стратегию руково­дителя и гарантированный средний результат g,
т.е. определить, какую долю времени должны использоваться ЭВМ типов А1
и А2
.

Решение. Запишем условия в принятых индексах:

а11
= 0,3; а12
= 0,8; а21
=
0,7; а22
=
0,4 .

Определим нижнюю и верхнюю цены игры:

a1
= 0,3; a2
= 0,4; a = 0,4;

b1
= 0,7; b2
= 0,8; b = 0,7.

Получаем игру без седловой точки, так как

Максиминная стратегия руководителя вычислительного цен­тра – А2
.

Для этой стратегии гарантированный выигрыш равен a = 0,4 (40 %) по сравнению со старой системой.

Решение для определения g, р1
и р2
проведем графически (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Графическая интерпретация алгоритма решения

Алгоритм решения:

1. По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины.

2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии А1
.

3. На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии А2
.

4. Проводим прямую b11
b12
,
соединяющую точки а11
,a21
.

5.
Проводим прямую b
21
b
22
,
соединяющую точки а
12
, а
22
.

6. Определяем ординату точки пересечения с линий b11
b12
и b
21
b
22
. Она равна g.

7. Определим абсциссу точки пересечения с.
Она равна р2
,
а р1
=1–р2

Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:

Вывод. При установке новой системы ЭВМ, если неизвес­тны условия решения задач заказчика, на работу ЭВМ А1
долж­но приходиться 37,5 % времени, а на работу ЭВМ А2
-
62,5 %. При этом выигрыш составит 55 % по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.

2.4. МАЖОРИРОВАНИЕ (ДОМИНИРОВАНИЕ) СТРАТЕГИЙ

Мажорирование представляет отношение между стратегия­ми, наличие которого во многих практических случаях дает воз­можность сократить размеры исходной платежной матрицы игры. Рассмотрим это понятие на примере матрицы

Рассуждая с позиции игрока 2, можно обнаружить преиму­щество его третьей стратегии перед второй, поскольку при пер­вой стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен —3 (вторая стратегия) и 1 (третья стратегия), а при второй стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен —2 (вторая стратегия) и - 0,5 (третья стратегия). Таким образом, при любой стратегии игрока 1 игроку 2 выгоднее применять свою третью стратегию по сравнению со второй; при наличии третьей стратегии игрок 2, если он стремится играть оптимально, никогда не будет использовать свою вторую стратегию, поэтому ее мож­но исключить из игры, т.е. в исходной платежной матрице можно вычеркнуть 2-й столбец:

С позиции игрока 1 его первая стратегия оказывается хуже второй, так как по первой стратегии он только проигрывает. Поэтому первую стратегию можно исключить, а матрицу игры преобразовать к виду:

(0 0,5).

Учитывая интересы игрока 2, следует оставить только его первую стратегию, поскольку, выбирая вторую стратегию, иг­рок 2 оказывается в проигрыше (0,5 - выигрыш игрока 1), и матрица игры принимает простейший вид: (0), т.е. имеется седловая точка.

Мажорирование можно распространить и на смешанные стра­тегии. Если элементы одной строки не все меньше (или равны) соответствующих элементов других строк, но все меньше (или равны) некоторых выпуклых линейных комбинаций соответству­ющих элементов других строк, то эту стратегию можно исклю­чить, заменив ее смешанной стратегией с соответствующими частотами использования чистых стратегий.

В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим матрицу игры:

Для первых двух чистых стратегий игрока 1 возьмем частоты их применения (вероятности) равными 0,25 и 0,75.

Третья стратегия игрока 1 мажорируется линейной выпуклой комбинацией первой и второй чистых стратегий, взятых с часто­тами 0,25 и 0,75 соответственно, т.е. смешанной стратегией:

24*0,25 + 0*0,75 = 6 > 4;

0*0,25 + 8*0,75 = 6 > 5.

Поэтому третью стратегию игрока 1 можно исключить, ис­пользуя вместо нее указанную выше смешанную стратегию.

Аналогично если каждый элемент некоторого столбца боль­ше или равен некоторой выпуклой линейной комбинации соот­ветствующих элементов некоторых других столбцов, то этот столбец можно исключить из рассмотрения (вычеркнуть из мат­рицы). Например, для матрицы

третья стратегия игрока 2 мажорируется смешанной стратегией из первой и второй его чистых стратегий, взятых с частотами 0,5 и 0,5:

10*0,5 + 0*0,5 = 5 < 6;

0*0,5 + 10*0,5 = 5 < 7.

Таким образом, исходная матрица игры эквивалентна матри­це следующего вида:

Как видно, возможности мажорирования смешанными стра­тегиями в отличие от чистых значительно менее прозрачны (нуж­но должным образом подобрать частоты применения чистых стратегий), но такие возможности есть, и ими полезно уметь пользоваться.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.2.
Найдите седловые точки следующих платежных мат­риц:

Задача 2.3.
Найдите для платежной матрицы:

Задача 2.4.
Решите аналитически и графически, используя поня­тие доминирования, игры, определяемые следующими платежными матрицами:

Задача 2.5.
Постройте платежную матрицу двухпальцевой игры Морра, которая заключается в следующем. В игру играют два челове­ка: каждый из них показывает один или два пальца и одновременно называет число пальцев, которое, по его мнению, покажет его против­ник (естественно, противник этого не видит). Если один из игроков угадывает правильно, он выигрывает сумму, равную сумме пальцев, показанных им и его противником. В противном случае - ничья (вы­игрыш равен нулю).

Найдите нижнюю и верхнюю цены игры.

Задача 2.6.
Используя понятие доминирования, уменьшите разме­ры следующей платежной матрицы:

Для задач 2.7-2.12 постройте платежную матрицу игры и сформу­лируйте соответствующую модель линейного программирования.

Задача 2.7.
Пусть сторона А
засылает подводную лодку в один из п
районов. Сторона В,
располагая т
противолодочными кораблями, желает обнаружить лодку противника. Вероятность обнаружения лодки в j
-м районе (j
= 1,...,п
) равна pj
. Предполагается, что обнаружение под­лодки каждым кораблем является независимым событием. Сторона В
может посылать в различные регионы разное количество кораблей (рас­пределение т
кораблей по регионам и есть стратегии стороны В).
Сто­рона В
стремится максимизировать вероятность обнаружения подлод­ки. Сторона А
желает противоположного.

Вероятность обнаружения лодки в районе j
, в котором находится rij
кораблей (i
- номер стратегии), равна:

причем .
Найдите оптимальное распределение противолодоч­ных кораблей по регионам.

Рассмотреть частный случай: m
= 2, п
= 2, р
1
=
0,6, р
2
=
0,4.

Задача 2.8.
Каждому из игроков выдается по бубновому и трефо­вому тузу. Игрок 1 получает также бубновую двойку, а игрок 2 - тре­фовую. При первом ходе игрок 1 выбирает и откладывает одну из своих карт, а игрок 2, не зная карты, выбранной игроком 1, также откладыва­ет одну из своих карт. Если были отложены карты одной масти, то выигрывает игрок 1, в противном случае выигравшим считается игрок 2. Если отложены две двойки, выигрыш равен нулю. Размер выигрыша определяется картой, отложенной победителем (тузу приписывается одно очко, двойке - два).

Задача 2.9.
Фирма изготавливает железобетонные панели, исполь­зуя в качестве основного сырья цемент. В связи с неопределенным спросом на изделия потребность в сырье в течение месяца также не определена. Цемент поставляется в мешках, причем известно, что по­требность может составлять D1
,D2
,...,Dn
мешков. Резервы сырья на складе могут составлять R1
,R2
,...,Rn

мешков в месяц. Учитывая, что удельные затраты на хранение сырья равны с
1
а удельные издержки дефицитности сырья (потери, связанные с отсутствием необходимого количества цемента на складе) равны с
2
, определить оптимальную стра­тегию управления запасами цемента на складе.

Рассмотреть частный случаи: п =
5, c1
= 5, c2
= 3;

D = (1 500, 2 000, 2 500, 3 500, 4 000), R =
(1 500, 2 000, 2 500, 3 500, 4 000).

Задача 2.10.
Игрок 2 прячет некоторый ценный предмет в одном из п
мест, а игрок 1 этот предмет ищет. Если он его находит, то получает сумму а
i
где i
= 1,2, ..., п,
в противном случае - не получает ничего.

Задача 2.11.
Два игрока независимо друг от друга называют по одному числу из диапазона 1 - 5. Если сумма чисел нечетная, то иг­рок 2 платит игроку 1 сумму, равную максимальному из чисел; если четная, то платит игрок 1.

Задача 2.12.
Два игрока имеют по п
рублей и предмет ценой с > 0. Каждый игрок делает заявку в запечатанном конверте, предлагая i
руб. (где i
- одно из целых чисел от 0 до п)
за предмет. Записавший большее число получает предмет и платит другому предложенную им сумму. Если оба игрока заявляют одинаковую сумму, то предмет назначается без компенсирующего одностороннего платежа одному из игроков путем бросания монеты, так что ожидаемая доля каждого в предмете состав­ляет в этом случае половину с.
Постройте платежную матрицу игры и определите, имеет ли игра седловую точку.

Глава 3 ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И РИСКА (ИГРЫ С ПРИРОДОЙ)

3.1. ПОНЯТИЕ ИГРЫ С ПРИРОДОЙ

Ситуации, описываемые рассмотренными в гл. 2 моделями в виде стратегических игр, в экономической практике могут не в полной мере оказаться адекватными действительности, посколь­ку реализация модели предполагает многократность повторения действий (решений), предпринимаемых в похожих условиях. В реальности количество принимаемых экономических решений в неизменных условиях жестко ограничено. Нередко экономичес­кая ситуация является уникальной, и решение в условиях нео­пределенности должно приниматься однократно. Это порождает необходимость развития методов моделирования принятия реше­ний в условиях неопределенности и риска.

Традиционно следующим этапом такого развития являются игры с природой. Формально изучение игр с природой, так же как и стратегических, должно начинаться с построения платежной мат­рицы, что является, по существу, наиболее трудоемким этапом под­готовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными ус­ловиями или с природными стихийными силами).

На примере игры с природой рассмотрим проблему заготов­ки угля на зиму.

Задача 3.1.
Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагает­ся, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Поку­пать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долгосрочные прогнозы, состав­ляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому мо­гут использоваться в практической деятельности только как ори­ентировочные при принятии решений.

Решение. Матрица игры с природой аналогична матрице стратегической игры: А
= ||а
ij
||, где а
ij
- выигрыш игрока 1 при реализации его чистой стратегии i
и чистой стратегии j
игрока 2 (i
= 1, ..., m; j
=
1, ..., п
).

Мажорирование стратегий (см.
разд. 2.4) в игре с природой имеет определенную специфику: исключать из рассмотрения можно лишь доминируемые стратегии игрока 1: если для всех j
=1, ..., п

, k, l
=
1, ..., т,
то k-ю
стратегию принимающего решения игрока 1 можно не рассматривать и вычеркнуть из мат­рицы игры. Столбцы, отвечающие стратегиям природы, вычер­кивать из матрицы игры (исключать из рассмотрения) недопус­тимо, поскольку природа не стремится к выигрышу в «игре» с человеком, для нее нет целенаправленно выигрышных или про­игрышных стратегий, она действует неосознанно*.

* Впрочем, в матричных представлениях игр с природой значения выигры­шей принимающего решения игрока не всегда располагаются по строкам. Это допустимо делать и по столбцам, принимая ЛПР как игрока 2, понимая, одна­ко, что мажорировать можно только стратегии принимающего решения игрока. Такой подход осуществлен в некоторых задачах, представленных в гл. 6 - 8 настоящего учебного пособия.

На первый взгляд отсутствие обдуманного противодействия упрощает игроку задачу выбора решения. Однако, хотя ЛПР никто не мешает, ему труднее обосновать свой выбор, поскольку в этом случае гарантированный результат не известен.

Методы принятия решений в играх с природой зависят от характера неопределенности, точнее от того, известны или нет вероятности состояний (стратегий) природы, т.е. имеет ли место ситуация риска или неопределенности. Ниже будут описаны методы, применяемые в обоих случаях.

Рассмотрим организацию и аналитическое представление игры с природой. Пусть игрок 1 имеет т
возможных стратегий: А
1
,
A2
, ...
, А
m
,
а у природы имеется п
возможных состояний (стра­тегий): П1
, П2
, ..., П
n
, тогда условия игры с природой задаются матрицей А
выигрышей игрока 1:

Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объединенных в понятие «природа»).

Возможен и другой способ задания матрицы игры с приро­дой: не в виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков R
=
||rij
||m,n
или матрицы упущенных возможно­стей. Величина риска - это размер платы за отсутствие инфор­мации о состоянии среды. Матрица R
может быть построена не­посредственно из условий задачи или на основе матрицы выиг­рышей А.

Риском r
ij
игрока при использовании им стратегии А
i
и при состоянии среды П
j
будем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он знал, что состоянием среды будет П
j
, и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации.

Зная состояние природы (стратегию) П
j
, игрок выбирает ту стратегию, при которой его выигрыш максимальный, т.е. rij
=
b
j
– aij
при заданном j
. Например, для мат­рицы выигрышей

Согласно введенным определениям r
ij
и b
j
получаем матрицу рисков

Независимо от вида матрицы игры требуется выбрать такую стратегию игрока (чистую или смешанную, если последняя име­ет смысл), которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими. Необходимо отметить, что в игре с природой понятие смешанной стратегии игрока не всегда правомерно, поскольку его действия могут быть альтернативными, т.е. выбор одной из стратегий отвергает все другие стратегии (например, выбор аль­тернативных проектов). Прежде всего следует проверить, нет ли среди стратегий игрока мажорируемых, и, если таковые имеют­ся, исключить их.

3.2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероятностях состоянии среды (природы), называют «безнадеж­ной» или «дурной».

В таких случаях для определения наилучших решении ис­пользуются следующие критерии: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Альтернативные подходы, в частности принципы Байеса - Лапласа, рассматриваются в разд. 6.2.1.

Применение каждого из перечисленных критериев проиллю­стрируем на примере матрицы выигрышей (3.1) или связанной с ней матрицы рисков (3.2).

Критерий максимакса.
С его помощью определяется страте­гия, максимизирующая максимальные выигрыши для каждого состояния природы. Это критерий крайнего оптимизма. Наилуч­шим признается решение, при котором достигается максималь­ный выигрыш, равный .

Нетрудно увидеть, что для матрицы А
наилучшим решением будет А
1
, при котором достигается максимальный выигрыш - 9.

Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия, в экономике в общем нередки, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствовать­ся принципом «или пан, или пропал».

Максиминный критерий Вальда.
С позиций данного крите­рия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник типа тех, которые проти­водействуют в стратегических играх (см.
гл. 2). Выбирается ре­шение, для которого достигается значение .

Для платежной матрицы А
(3.1) нетрудно рассчитать:

• для первой стратегии (i
=
1) ;

• для второй стратегии (i
=2) ;

•
для третьей стратегии (i
=3) .

Тогда , что соответствует второй стратегии A2
игрока 1.

В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудач­ных результатов выбирается лучший (W =
3). Это перестрахо­вочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда игрок не столь заинтересован в крупной удаче, но хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей. Выбор такой стратегии определя­ется отношением игрока к риску.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа.
Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличи­ем, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей А
(3.1), а матрицей рисков R
(3.2):

Для матрицы R
(3.2) нетрудно рассчитать:

• для первой стратегии (i
=1)
;

•
для второй стратегии (i
=2)
;

• для третьей стратегии (i
=3)
.

Минимально возможный из самых крупных рисков, равный 4, достигается при использовании первой стратегии А
1
.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.
Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым сред­ним результатом, характеризующим состояние между крайним пес­симизмом и безудержным оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия в матрице А
выбирается в соответствии со значением

При p
= 0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным кри­терием, а при р =
1 - с критерием Вальда. Покажем процедуру применения данного критерия для матрицы А
(3.1) при р =
0,5:

• для первой стратегии

• для второй стратегии

•
для третьей стратегии

Тогда , т.е. оптимальной является вторая стратегия А
2
.

Применительно к матрице рисков R
критерий пессимизма-оптимизма Гурвица имеет вид:

При р
= 0 выбор стратегии игрока 1 осуществляется по ус­ловию наименьшего из всех возможных рисков (); при р
= 1 - по критерию минимаксного риска Сэвиджа.

В случае, когда по принятому критерию рекомендуется к использованию несколько стратегий, выбор между ними может делаться по дополнительному критерию, например в расчет могут приниматься средние квадратичные отклонения от средних вы­игрышей при каждой стратегии. Данная идея отвечает подходу, рассмотренному в разд.1.2 (см.
рис. 1.1). Еще раз подчеркнем, что здесь стандартного подхода нет. Выбор может зависеть от склонности к риску ЛПР.

В заключение приведем результаты применения рассмотрен­ных выше критериев на примере следующей матрицы выигры­шей:

Для игрока 1 лучшими являются стратегии:

• по критерию Вальда – А
3
,

• по критерию Сэвиджа – А
2

и А
3
,

•
по критерию Гурвица (при р
= 0,6) – А
3
;

•
по критерию максимакса – А
4
.

Поскольку стратегия А
3
,
фигурирует в качестве оптимальной по трем критериям выбора из четырех испытанных, степень ее надежности можно признать достаточно высокой для того, что­бы рекомендовать эту стратегию к практическому применению.

Таким образом, в случае отсутствия информации о вероят­ностях состоянии среды теория не дает однозначных и матема­тически строгих рекомендации по выбору критериев принятия решений. Это объясняется в большей мере не слабостью тео­рии, а неопределенностью самой ситуации. Единственный ра­зумный выход в подобных случаях - попытаться получить до­полнительную информацию, например, путем проведения ис­следований или экспериментов. В отсутствие дополнительной информации принимаемые решения теоретически недостаточ­но обоснованы и в значительной мере субъективны. Хотя при­менение математических методов в играх с природой не дает абсолютно достоверного результата и последний в определен­ной степени является субъективным (вследствие произвольно­сти выбора критерия принятия решения), оно тем не менее создает некоторое упорядочение имеющихся в распоряжении ЛПР данных: задаются множество состояний природы, альтер­нативные решения, выигрыши и потери при различных сочета­ниях состояния «среда - решение». Такое упорядочение пред­ставлений о проблеме само по себе способствует повышению качества принимаемых решений.

3.3. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА

Методы принятия решении в условиях риска разрабатывают­ся и обосновываются в рамках так называемой теории статисти­ческих решений. При этом в случае «доброкачественной», или стохастической, неопределенности, когда состояниям природы поставлены в соответствие вероятности, заданные экспортно либо вычисленные, решение обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша или минимума ожи­даемого среднего риска (матрицы типа (3.1) либо (3.2)).

Если для некоторой игры с природой, задаваемой платежной матрицей А
= ||aij
||m,n
, стратегиям природы П
j
соответствуют ве­роятности р
j
,
то лучшей стратегией игрока 1 будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, т.е.

Применительно к матрице рисков (матрице упущенных вы­год) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск:

Заметим, что когда говорится о среднем выигрыше или рис­ке, то подразумевается многократное повторение акта принятия решений. Условность предположения заключается в том, что реально требуемого количества повторений чаще всего может и не быть.

Покажем, что критерии (3.3) и (3.4) эквивалентны в том смысле, что оптимальные значения для них обеспечивает одна и та же стратегия А
i
,
игрока 1. Действительно,

т.е. значения критериев отличаются на постоянную величину, поэтому принятое решение не зависит от стратегии А
i
.

Например, для игры, задаваемой матрицей А
(3.1) или матри­цей R
(3.2), при условии, что р
1
= р
2
= р
3
= р
4
= 1/4, А
1
-
лучшая стратегия игрока 1 по критерию (3.3), поскольку

Эта же стратегия является лучшей для игрока 1 по критерию (3.4) относительно обеспечения минимального уровня риска:

На практике целесообразно отдавать предпочтение матрице выигрышей (3.1) или матрице рисков (3.2) в зависимости от того, какая из них определяется с большей достоверностью. Это осо­бенно важно учитывать при экспертных оценках элементов мат­риц А
и R.

3.4. ВЫБОР РЕШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ (ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ)

Рассмотрим более сложные (позиционные, или многоэтапные) решения в условиях риска. Одноэтапные игры с природой, таб­лицы решений (см.
разд.3.3), удобно использовать в задачах, имеющих одно множество альтернативных решений и одно множество состояний среды. Многие задачи, однако, требуют анализа последовательности решений и состояний среды, когда одна совокупность стратегий игрока и состояний природы по­рождает другое состояние подобного типа. Если имеют место два или более последовательных множества решений, причем последующие решения основываются на результатах предыду­щих, и/или два или более множества состояний среды (т.е. появ­ляется целая цепочка решений, вытекающих одно из другого, которые соответствуют событиям, происходящим с некоторой вероятностью), используется дерево решений.

Дерево решений —
это графическое изображение последова­тельности решений и состояний среды с указанием соответству­ющих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций аль­тернатив и состояний среды.

3.4.1. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ

В постановочном плане рассмотрим несколько задач, кото­рые могут быть решены с помощью данного метода.

Задача 3.2.
Разведывательное бурение скважин. Некоторая нефтяная разведывательная партия должна решить, стоит ли бу­рить скважины на данном участке до того, как истечет срок кон­тракта. Для руководителей партии не ясны многие обстоятельства:

• в какую сумму обойдется стоимость бурения, зависящая от качества грунта, глубины залегания нефти и т.д.;

• на какие запасы нефти в этом месте можно рассчитывать;

• сколько будет стоить эксплуатация скважины.

В распоряжении руководства имеются объективные данные об аналогичных и не вполне похожих скважинах этого типа. При помощи сейсмической разведки можно получить дополнитель­ную информацию, которая, однако, не дает исчерпывающих све­дений о геофизической структуре разведываемого участка. Кро­ме того, получение сейсмической информации стоит недешево, поэтому еще до того, как будет принято окончательное решение (бурить или нет), следует определить, есть ли необходимость собирать эти сведения.

Задача
3.3.
Выпуск нового товара. Большая химическая ком­пания успешно завершила исследования по усовершенствованию строительной краски. Руководство компании должно решить, производить эту краску самим (и если - да, то какой мощности строить завод) либо продать патент или лицензию, а также тех­нологию независимой фирме, которая имеет дело исключитель­но с производством и сбытом строительной краски. Основные источники неопределенности:

• рынок сбыта, который фирма может обеспечить при прода­же новой краски по данной цене;

• расходы на рекламу, если компания будет сама производить и продавать краску;

• время, которое потребуется конкурентам, чтобы выпустить на рынок подобный товар (успеет ли компания за этот срок окупить затраты, понесенные для того, чтобы стать лидером в данной сфере производства).

Компания может получить некоторые дополнительные све­дения, имеющие косвенное отношение к проблемам проникно­вения конкурентов на рынок сбыта, опросив часть поставщиков краски. Но к материалам опросов следует относиться с осторож­ностью, ибо поставщики в действительности могут поступать не так, как они первоначально предполагают. В качестве подтверж­дения последнего суждения можно привести исследования, про­веденные американскими автомобильными корпорациями для того, чтобы определить спрос на большие легковые автомобили. Несмотря на надвигающийся энергетический кризис 1971-1973 гг., результаты анкетирования показали, что американские покупате­ли по-прежнему предпочитают многоместные легковые автомо­били. Однако на деле все произошло с точностью до наоборот, и на рынке стали пользоваться спросом небольшие, экономич­ные машины. Такие результаты опроса могут быть частично объяснены скрытностью человеческого характера, и это должно учитываться при принятии решений.

3.4.2. АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ

Процесс принятия решений с помощью дерева решений в общем случае предполагает выполнение следующих пяти этапов.

Этап 1. Формулирование задачи.
Прежде всего необходимо отбросить не относящиеся к проблеме факторы, а среди множе­ства оставшихся выделить существенные и несущественные. Это позволит привести описание задачи принятия решения к подда­ющейся анализу форме. Должны быть выполнены следующие основные процедуры: определение возможностей сбора информаций для экспериментирования и реальных действии; состав­ление перечня событии, которые с определенной вероятностью могут произойти; установление временного порядка расположе­ния событий, в исходах которых содержится полезная и доступ­ная информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять.

Этап 2. Построение дерева решений.

Этап 3. Оценка вероятностей состояний среды,
т.е. сопо­ставление шансов возникновения каждого конкретного события. Следует отметить, что указанные вероятности определяются либо на основании имеющейся статистики, либо экспертным путем.

Этап 4. Установление выигрышей
(или проигрышей,
как выигрышей со знаком минус) для каждой возможной комбина­ции альтернатив (действий) и состояний среды.

Этап 5. Решение задачи.

Прежде чем продемонстрировать процедуру применения де­рева решений, введем ряд определений. В зависимости от отно­шения к риску решение задачи может выполняться с позиций так называемых «объективистов» и «субъективистов». Поясним эти понятия на следующем примере. Пусть предлагается лотерея: за 10 дол. (стоимость лотерейного билета) игрок с равной вероятно­стью р
= 0,5 может ничего не выиграть или выиграть 100 дол. Один индивид пожалеет и 10 дол. за право участия в такой лоте­рее, т.е. просто не купит лотерейный билет, другой готов запла­тить за лотерейный билет 50 дол., а третий заплатит даже 60 дол. за возможность получить 100 дол. (например, когда ситуация скла­дывается так, что, только имея 100 дол., игрок может достичь своей цели, поэтому возможная потеря последних денежных средств, а у него их ровно 60 дол., не меняет для него ситуации).

Безусловным денежным эквивалентом
(БДЭ) игры называет­ся максимальная сумма денег, которую ЛПР готов заплатить за участие в игре (лотерее), или, что то же, та минимальная сумма денег, за которую он готов отказаться от игры. Каждый индивид имеет свой БДЭ.

Индивида, для которого БДЭ совпадает с ожидаемой денеж­ной оценкой (ОДО) игры, т.е. со средним выигрышем в игре (лотерее), условно называют объективистом, индивида, для ко­торого БДЭ ^ ОДО, - субъективистом. Ожидаемая денежная оцен­ка рассчитывается как сумма произведений размеров выигрышей на вероятности этих выигрышей. Например, для нашей лотереи ОДО = 0,5*0 + 0,5*100 = 50 дол. Если субъективист склонен к риску, то его БДЭ > ОДО. Если не склонен, то БДЭ < ОДО. Воп­рос об отношении к риску более строго рассматривается в гл. 4i

Предположим, что решения принимаются с позиции объек­тивиста.

Рассмотрим процедуру принятия решения на примере следу­ющей задачи.

Задача 3.4.
Руководство некоторой компании решает, созда­вать ли для выпуска новой продукции крупное производство, малое предприятие или продать патент другой фирме. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от благо­приятного или неблагоприятного состояния рынка (табл. 3.1).

На основе данной таблицы выигрышей (потерь) можно пост­роить дерево решений (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Дерево решений без дополнительного обследования конъюнктуры рынка:
ÿ -
решение (решение принимает игрок):
[*] - случай (решение "принимает" случай); // - отвергнутое решение

Таблица 3.1

• Вероятность благоприятного и неблагоприятного состояний экономичес­кой среды равна 0,5.

Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины дерева (при движении справа налево) ожидае­мых денежных оценок, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение ОДО.

Определим средний ожидаемый выигрыш (ОДО):

• для вершины 1 ОДО1
= 0,5*200 000 + 0,5(-180 000) = 10 000 дол.;

• для вершины 2 ОДО2
= 0,5*100 000 + 0,5(-20 000) = 40 000 дол.;

• для вершины 3 ОДО3
= 10 000 дол.

Вывод. Наиболее целесообразно выбрать стратегию а2
,
т.е. строить малое предприятие, а ветви (стратегии) а1
и а3
дерева решений можно отбросить. ОДО наилучшего решения равна 40 000 дол. Следует отметить, что наличие состояния с вероят­ностями 50 % неудачи и 50 % удачи на практике часто означает, что истинные вероятности игроку скорее всего неизвестны и он всего лишь принимает такую гипотезу (так называемое предпо­ложение «fifty - fifty» - пятьдесят на пятьдесят).

Усложним рассмотренную выше задачу.

Пусть перед тем, как принимать решение о строительстве, руководство компании должно определить, заказывать ли допол­нительное исследование состояния рынка или нет, причем пре­доставляемая услуга обойдется компании в 10 000 дол. Руковод­ство понимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной информации, но оно поможет уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей.

Относительно фирмы, которой можно заказать прогноз, изве­стно, что она способна уточнить значения вероятностей благо­приятного или неблагоприятного исхода. Возможности фирмы в виде условных вероятностей благоприятности и неблагоприят­ности рынка сбыта представлены в табл. 3.2. Например, когда фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот прогноз оправдывается (с вероятностью 0,22 могут возникнуть неблагоприятные условия), прогноз о неблагоприят­ности рынка оправдывается с вероятностью 0,73.

Таблица 3.2

Предположим, что фирма, которой заказали прогноз состоя­ния рынка, утверждает:

• ситуация будет благоприятной с вероятностью 0,45;

• ситуация будет неблагоприятной с вероятностью 0,55.

На основании дополнительных сведений можно построить новое дерево решений (рис. 3.2), где развитие событий происхо­дит от корня дерева к исходам, а расчет прибыли выполняется от конечных состояний к начальным.

Рис. 3.2. Дерево решений при дополнительном обследовании рынка (см. условные обозначения к рис. 3.1)

Анализируя дерево решений, можно сделать следующие выводы:

• необходимо проводить дополнительное исследование конъ­юнктуры рынка, поскольку это позволяет существенно уточнить принимаемое решение;

• если фирма прогнозирует благоприятную ситуацию на рынке, то целесообразно строить большое предприятие (ожида­емая максимальная прибыль 116 400 дол.), если прогноз не­благоприятный - малое (ожидаемая максимальная прибыль 12 400 дол.).

3.4.3. ОЖИДАЕМАЯ ЦЕННОСТЬ ТОЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Предположим, что консультационная фирма за определенную плату готова предоставить информацию о фактической ситуации на рынке в тот момент, когда руководству компании надлежит принять решение о масштабе производства. Принятие предложе­ния зависит от соотношения между ожидаемой ценностью (ре­зультативностью) точной информации и величиной запрошенной платы за дополнительную (истинную) информацию, благодаря которой может быть откорректировано принятие решения, т.е. первоначальное действие может быть изменено.

Ожидаемая ценность точной информации о фактическом состоянии рынка равна разности между ожидаемой денежной оценкой при наличии точной информации и максимальной ожидаемой денежной оценкой при отсутствии точной инфор­мации.

Рассчитаем ожидаемую ценность точной информации для примера, в котором дополнительное обследование конъюнктуры рынка не проводится. При отсутствии точной информации, как уже было показано выше, максимальная ожидаемая денежная оценка равна:

ОДО = 0,5 * 100 000 - 0,5 * 20 000 =
40 000 дол.

Если точная информация об истинном состоянии рынка бу­дет благоприятной (ОДО =200 000 дол., см.
табл. 3.1), принима­ется решение строить крупное производство; если неблагоприятной, то наиболее целесообразное решение - продажа патента (ОДО=10 000 дол.). Учитывая, что вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуаций равны 0,5, значение ОДОт.и
(ОДО точной информации) определяется выражением:

ОДОт.и
= 0,5 * 200 000 + 0,5 * 10 000 = 105 000 дол.

Тогда ожидаемая ценность точной информации равна:

ОЦт.и
= ОДОт.и
- ОДО = 105 000 - 40 000 = 65 000 дол.

Значение ОЦт.и
показывает, какую максимальную цену должна быть готова заплатить компания за точную информацию об ис­тинном состоянии рынка в тот момент, когда ей это необходимо.

3.5. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Задача 3.5.
Компания «Российский сыр» - небольшой произ­водитель различных продуктов из сыра на экспорт. Один из продуктов - сырная паста - поставляется в страны ближнего зарубежья. Генеральный директор должен решить, сколько ящи­ков сырной пасты следует производить в течение месяца. Веро­ятности того, что спрос на сырную пасту в течение месяца будет 6, 7, 8 или 9 ящиков, равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.

Затраты на производство одного ящика равны 45 дол. Компа­ния продает каждый ящик по цене 95 дол. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится и компа­ния не получает дохода. Сколько ящиков следует производить в течение месяца?

Решение. Пользуясь исходными данными, строим матри­цу игры. Стратегиями игрока 1 (компания «Российский сыр») являются различные показатели числа ящиков с сырной пас­той, которые ему, возможно, следует производить. Состояниями природы выступают величины спроса на аналогичное число ящиков.

Вычислим, например, показатель прибыли, которую получит производитель, если он произведет 8 ящиков, а спрос будет толь­ко на 7.

Каждый ящик продается по 95 дол. Компания продала 7, а произвела 8 ящиков. Следовательно, выручка будет 7*95, а из­держки производства 8 ящиков 8*45. Итого прибыль от указан­ного сочетания спроса и предложения будет равна: 7*95 - 8*45 = 305 дол. Аналогично производятся расчеты при других соче­таниях спроса и предложения.

В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой (табл. 3.3). Как видим, наибольшая средняя ожидаемая прибыль равна 352,5 дол. Она отвечает производству 8 ящиков.

Таблица 3.3

* В скобках приведена вероятность спроса на ящики.

На практике чаще всего в подобных случаях решения принима­ются исходя из критерия максимизации средней ожидаемой прибы­ли или минимизации ожидаемых издержек. Следуя такому подходу, можно остановиться на рекомендации производить 8 ящиков, и для большинства ЛПР рекомендация была бы обоснованной. Именно так поступаем мы, когда в гл. 6 - 8 рассматриваем различные при­кладные задачи принятия решений в играх с природой.

Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднего квадратичного отклонения как индекса риска, мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение. Это в полной мере согласуется с характеристиками вариантов, представленных на рис. 1.1. Допол­нительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, за­висимыми от склонности к риску ЛПР.

Вспомним необходимые для наших исследований формулы теории вероятностей [2, с. 109, 119]:

дисперсия случайной величины x,
равна

D
x
= M(
x
2
) – (M
x
)
2
;

среднее квадратичное отклонение

где D
и М -
соответственно символы дисперсии и математического ожидания.

Проводя соответствующие вычисления для случаев производ­ства 6, 7, 8 и 9 ящиков, получаем:

6 ящиков

7 ящиков

8 ящиков

9 ящиков

Вывод. Из представленных результатов расчетов с учетом полученных показателей рисков - средних квадратичных отклоне­нии - очевидно, что производить 9 ящиков при любых обстоятель­ствах нецелесообразно, ибо средняя ожидаемая прибыль, равная 317, меньше, чем для 8 ящиков (352,5), а среднее квадратичное откло­нение (76) для 9 ящиков больше аналогичного показателя для 8 ящиков (63,73). А вот целесообразно ли производство 8 ящиков по сравнению с 7 или 6 - неочевидно, так как риск при производстве 8 ящиков (sx = 63,73) больше, чем при производстве 7 ящиков (sx = 28,5) и тем более 6 ящиков, где sx = 0. Вся информация с учетом ожидаемых прибылей и рисков налицо. Решение должен принимать генеральный директор компании «Российский сыр» с учетом его опыта, склонности к риску и степени достоверности показателей вероятностей спроса: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Авторы, учиты­вая все приведенные числовые характеристики случайной величи­ны - прибыли, склоняются к рекомендации производить 7 ящиков (не 8, что вытекает из максимизации прибыли без учета риска!). Читателю предлагается обосновать свой выбор.

Задача 3.6.
Рассмотрим упомянутую выше проблему закупки угля для обогрева дома. Имеются следующие данные о количестве и ценах угля, необходимого зимой для отопления дома (табл. 3.4). Вероятности зим: мягкой - 0,35; обычной - 0,5; холодной - 0,15.

Таблица 3.4

Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 ф. ст. за 1 т, у вас есть место для хранения запаса угля до 6 т, заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недо­стающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Пред­полагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадет.* Сколько угля летом покупать на зиму?

* Предположение делается для упрощения постановки и решения задачи.

Решение. Построим платежную матрицу (табл. 3.5).

Таблица 3.5

Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь (табл. 3.6).

Таблица 3.6

Как видим из табл. 3.6, наименьшая ожидаемая средняя пла­та приходится на случай мягкой зимы (30,15 ф. ст.). Соответ­ственно если не учитывать степени риска, то представляется целесообразным летом закупить 4 т угля, а зимой, если потребу­ется, докупить уголь по более высоким зимним ценам.

Если продолжить исследование процесса принятия решения и аналогично задаче 3.5 вычислить средние квадратичные откло­нения платы за уголь для мягкой, обычной и холодной зимы, то соответственно получим:

•
для мягкой зимы sx = 5,357;

• для обычной зимы sx = 2,856;

• для холодной зимы sx = 0.

Минимальный риск, естественно, будет для холодной зимы, однако при этом ожидаемая средняя плата за уголь оказывается максимальной - 36 ф. ст.

Вывод. Мы склоняемся к варианту покупки угля для обыч­ной зимы, так как согласно табл. 3.6 ожидаемая средняя плата за уголь по сравнению с вариантом для мягкой зимы возрастает на 3,5 %, а степень риска при этом оказывается почти в 2 раза меньшей (sx =
2,856 против 5,357).

Отношение среднего квадратичного отклонения к математи­ческому ожиданию (средний риск на затрачиваемый 1 ф. ст.) для обычной зимы составляет = 0,0915 против аналогичного показателя для мягкой зимы, равного = 0,1777, т.е. вновь различие почти в 2 раза.

Эти соотношения и позволяют нам рекомендовать покупку угля, ориентируясь не на мягкую, а на обычную зиму.

Задача
3.7.
АО «Фото и цвет» - небольшой производитель химических реактивов и оборудования, которые используются не­которыми фотостудиями при изготовлении 35-мм фильмов. Один из продуктов, который предлагает «Фото и цвет», - ВС-6. Пре­зидент АО продает в течение недели 11, 12 или 13 ящиков ВС-6. От продажи каждого ящика АО получает 35 дол. прибыли. Как и многие фотографические реактивы, ВС-6 имеет очень малый срок годности. Поэтому, если ящик не продан к концу недели, он должен быть уничтожен. Каждый ящик обходится предприятию в 56 дол. Вероятности продать 11, 12 и 13 ящиков в течение недели равны соответственно 0,45; 0,35; 0,2. Как вы советуете поступить? Как вы порекомендуете поступить, если бы «Фото и цвет» мог сделать ВС-6 с добавкой, значительно про­длевающей срок его годности?

Решение. Матрицу игры с природой (здесь АО «Фото и цвет» - игрок с природой, а природа - торговая конъюнкту­ра) строим по аналогии с рассмотренными выше задачами (табл. 3.7).

Таблица 3.7

* В скобках приведены вероятности спроса на ящики.

Расчет средней ожидаемой прибыли производится с исполь­зованием вероятностей состояний природы, как и в задачах 3.5 и 3.6.

Вывод. Наибольшая из средних ожидаемых прибылей (385 дол.) отвечает при заданных возможностях спроса произ­водству 11 ящиков ВС-6.

Производство 11 ящиков в неделю и следует рекомендовать АО «Фото и цвет», ибо показатель риска - среднее квадратичное отклонение, как нетрудно убедиться, sx = 0 - минимален при максимальной средней ожидаемой прибыли.

Если срок службы химического реактива будет удлинен, то его производство даже при прежнем спросе можно увеличить, частично поставляя на склад для последующей реализации.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 3.8.
Компания, производящая стиральный порошок, работа­ет в условиях свободной конкуренции. Порошок выпускается блоками, причем цена одного блока в будущем месяце является неопределенной: 10 руб. с вероятностью 0,3; 15 руб. с вероятностью 0,5; 20 руб. с веро­ятностью 0,2. Полные затраты (ПЗ) на производство Q
блоков стираль­ного порошка определяются зависимостью ПЗ =
1000 + 5Q
+
0,0025Q2
.

Постройте таблицу решений и определите суточный выпуск про­дукции компании (в блоках), при котором среднесуточная прибыль будет максимальной.

Задача 3.9.
Спрос на некоторый товар, производимый монополис­том, определяется зависимостью Q
= 100 — 5р
+ 5j
, где j
- достоверно неизвестный уровень дохода потребителей, р -
цена товара. По оцен­кам экспертов,

Полные затраты на производство товара определяются зависимос­тью ПЗ = 5 + 4Q
+
0,05Q2
.
Сколько товара должен выпускать монопо­лист и по какой цене продавать, чтобы максимизировать свою ожида­емую прибыль?

Задача 3.10.
Молодой российский бизнесмен предполагает постро­ить ночную дискотеку неподалеку от университета. По одному из допу­стимых проектов предприниматель может в дневное время открыть в здании дискотеки столовую для студентов и преподавателей. Другой вариант не связан с дневным обслуживанием клиентов. Представлен­ные бизнес-планы показывают, что план, связанный со столовой, может принести доход в 250 тыс. руб. Без открытия столовой бизнесмен мо­жет заработать 175 тыс. руб. Потери в случае открытия дискотеки со столовой составят 55 тыс. руб., а без столовой- 20 тыс. руб. Определи­те наиболее эффективную альтернативу на основе средней стоимост­ной ценности в качестве критерия.

Задача 3.11.
Небольшая частная фирма производит косметическую продукцию для подростков. В течение месяца реализуется 15, 16 или 17 упаковок товара. От продажи каждой упаковки фирма получает 75 руб. прибыли. Косметика имеет малый срок годности, поэтому, если упаковка не продана в месячный срок, она должна быть уничтожена. Посколь­ку производство одной упаковки обходится в 115 руб., потери фирмы составляют 115 руб., если упаковка не продана к концу месяца. Веро­ятности продать 15, 16 или 17 упаковок за месяц составляют соответ­ственно 0,55; 0,1 и 0,35. Сколько упаковок косметики следует произво­дить фирме ежемесячно? Какова ожидаемая стоимостная ценность это­го решения? Сколько упаковок можно было бы производить при значи­тельном продлении срока хранения косметической продукции?

Задача 3.12.
Магазин «Молоко» продает в розницу молочные про­дукты. Директор магазина должен определить, сколько бидонов смета­ны следует закупить у производителя для торговли в течение недели. Вероятности того, что спрос на сметану в течение недели будет 7, 8, 9 или 10 бидонов, равны соответственно 0,2; 0,2; 0,5 и 0,1. Покупка одного бидона сметаны обходится магазину в 70 руб., а продается сметана по цене 110 руб. за бидон. Если сметана не продается в течение недели, она портится, и магазин несет убытки. Сколько бидонов сметаны жела­тельно приобретать для продажи? Какова ожидаемая стоимостная цен­ность этого решения?

Задача 3.13.
Найти наилучшие стратегии по критериям: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,2), Гурвица применительно к матрице рисков (коэффициент пессимизма равен 0,4) для следующей платежной матрицы игры с природой (эле­менты матрицы - выигрыши):

Задача 3.14.
Директор лицея, обучение в котором осуществляется на платной основе, решает, следует ли расширять здание лицея на 250 мест, на 50 мест или не проводить строительных работ вообще. Если население небольшого города, в котором организован платный лицей, будет расти, то большая реконструкция могла бы принести прибыль 250 тыс. руб. в год, незначительное расширение учебных помещений могло бы приносить 90 тыс. руб. прибыли. Если население города уве­личиваться не будет, то крупное расширение обойдется лицею в 120 тыс. руб. убытка, а малое - 45 тыс. руб. Однако информация о том, как будет изменяться население города, отсутствует. Построите дерево ре­шений и определите лучшую альтернативу, используя критерии Вальда. Чему равно значение ОДО для наилучшей альтернативы в отсутствие необходимой информации?

Пусть при тех же исходных данных государственная статистичес­кая служба предоставила информацию об изменении численности на­селения: вероятность роста численности населения составляет 0,7; ве­роятность того, что численность населения останется неизменной или будет уменьшаться, равна 0,3. Определите наилучшее решение, исполь­зуя критерий максимизации ожидаемой денежной оценки. Чему равно значение ОДО для наилучшей альтернативы при получении дополни­тельной информации? Какова ожидаемая ценность дополнительной ин­формации?

Задача 3.15.
При крупном автомобильном магазине планируется открыть мастерскую по предпродажному обслуживанию и гарантийно­му ремонту автомобилей. Консультационная фирма готова предоставить дополнительную информацию о том, будет ли рынок благоприятным или нет. Эти сведения обойдутся магазину в 13 тыс. руб. Администра­ция магазина считает, что эта информация гарантирует благоприятный рынок с вероятностью 0,5. Если рынок будет благоприятным, то боль­шая мастерская принесет прибыль в 60 тыс. руб., а маленькая - 30 тыс. руб. При неблагоприятном рынке магазин потеряет 65 тыс. руб., если будет открыта большая мастерская, и 30 тыс. руб.- если откроется маленькая. Не имея дополнительной информации, директор оценивает вероятность благоприятного рынка как 0,6. Положительный результат обследования гарантирует благоприятный рынок с вероятностью 0,8. При отрицательном результате рынок может оказаться благоприятным с вероятностью 0,3. Постройте дерево решений и определите:

• Следует ли заказать консультационной фирме дополнительную информацию, уточняющую конъюнктуру рынка?

• Какую мастерскую следует открыть при магазине: большую или маленькую?

• Какова ожидаемая денежная оценка наилучшего решения?

• Какова ожидаемая ценность дополнительной информации?

Задача 3.16.
Фирма, производящая вычислительную технику, про­вела анализ рынка нового высокопроизводительного персонального компьютера. Если будет выпущена крупная партия компьютеров, то при благоприятном рынке прибыль составит 250 тыс. руб., а при неблагоп­риятных условиях фирма понесет убытки в 185 тыс. руб. Небольшая партия техники в случае ее успешной реализации принесет фирме 50 тыс. руб. прибыли и 10 тыс. руб. убытков - при неблагоприятных внешних условиях. Возможность благоприятного и неблагоприятного исходов фирма оценивает одинаково. Исследование рынка, которое мо­жет провести эксперт, обошлось фирме в 15 тыс. руб. Эксперт считает, что с вероятностью 0,6 рынок окажется благоприятным. В то же время при положительном заключении благоприятные условия ожидаются лишь с вероятностью 0,8. При отрицательном заключении с вероятно­стью 0,15 рынок также может оказаться благоприятным. Используйте дерево решений для того, чтобы помочь фирме выбрать правильную технико-экономическую стратегию. Ответьте на следующие вопросы:

• Следует ли заказывать эксперту дополнительное обследование рынка?

• Какую максимальную сумму фирма может выплатить эксперту за проделанную работу?

• Какова ожидаемая денежная оценка наилучшего решения?

Задача 3.17.
Автомобильный завод получает реле поворота от двух поставщиков: А
и В.
Качество этих изделий характеризуется данными в табл.3.8.

Таблица 3.8

Полные затраты, связанные с ремонтом одного бракованного реле, составляют 5 руб.

Реле поступают партиями по 20 000 шт. Поскольку качество изде­лий у поставщика В
хуже, он уступает всю партию на 500 руб. дешевле. Постройте дерево решений. Какого поставщика следует выбрать?

Глава 4 ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ НЕЙМАНА - МОРГЕНШТЕРНА

4.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ

Обоснование выбора решения в предыдущих главах выпол­нялось с позиции объективиста. Если же ЛПР - субъективист, то он будет руководствоваться индивидуально определенным БДЭ. Поясним смысл этой величины. Рассмотрим ситуацию, когда игрок с вероятностью 0,8 выигрывает 40 дол. и с вероятностью 0,2 проигрывает 20 дол. Попробуем выяснить, за какую сумму ЛПР уступит свое право участвовать в игре. Как отмечалось, объективист пользуется правилом: БДЭ = ОДО = 0,8*40 + 0,2 (–20) =
28 дол. Поэтому свое право на игру он уступит не менее чем за 28 дол. Субъективист, как правило, готов уступить свое право на игру за меньшую сумму, поскольку для него БДЭ < ОДО. Причинами такого поведения могут быть:

• финансовое состояние игрока (возможно, он на грани бан­кротства и ему необходимы денежные средства);

• отношение игрока к риску вообще (склонность к риску);

• настроение или состояние здоровья игрока;

• множество других, даже непосредственно не относящихся к бизнесу причин.

Величина БДЭ может изменяться со временем в зависимости от обусловленных указанными причинами обстоятельств. Например, в случае катастрофической нехватки финансовых средств (наличных денег) право на игру можно уступить и за более низкий эквивалент.

Исследуем реалистичность критерия выбора решения, осно­ванного на расчете ОДО. Рассмотрим две альтернативы:

1) выигрыш 1 000 000 дол. с вероятностью 1;

2) игра (лотерея): выигрыш 2 100 000 дол. с вероятностью 0,5 и проигрыш 50 000 дол. с вероятностью 0,5. В этом случае

ОДО= 0,5* 2 100 000 - 0,5* 50 000 = 1 025 000 дол.

Относительно получаемого среднего выигрыша указанные альтернативы практически эквивалентны, и если игрок безраз­личен к риску, он выберет вторую альтернативу. Если он к риску не безразличен, а подавляющее число людей именно таковыми являются, то выбор будет зависеть главным образом от финансо­вого состояния игрока. Игроки, имеющие скромный денежный доход, предпочтут не рисковать и выберут гарантированный выигрыш. Для ЛПР, обладающего достаточно крупным капита­лом, проигрыш в 50 000 дол. невелик, и он предпочтет рискнуть. Рисковать будут также игроки, патологически склонные к фи­нансовым авантюрам.

В данной главе будут изложены основы математической те­ории принятия субъективных решений [13]. Методология раци­онального принятия решений в условиях неопределенности, основанная на функции полезности индивида, опирается на пять аксиом, которые отражают минимальный набор необходимых условий непротиворечивого и рационального поведения игрока. Для компактного изложения аксиом нам потребуется следующее определение.

Определение 4.1.
Предположим, что конструируется игра, в которой индивид с вероятностью а получает денежную сумму х
и с вероятностью (1 – a
) - сумму z. Эту ситуацию будем обозна­чать G(x, z:
a
).

Аксиома
1.
Аксиома сравнимости (полноты). Для всего мно­жества S
неопределенных альтернатив (возможных исходов) индивид может сказать, что либо исход х
предпочтительнее ис­хода у
(х у
),
либо у х,
либо индивид безразличен в отноше­нии к выбору между х
и у
(х
у
).
Запись х
у
означает, что исход х
предпочтительнее исхода у
либо индивид безразличен в отношении к выбору между х
и у.

Аксиома 2.
Аксиома транзитивности (состоятельности). Если х

у
и у

z, то х

z. Если х
у
и у
z, то х
z
.

Аксиома 3.
Аксиома сильной независимости. Предположим, что мы конструируем игру, в которой индивид с вероятностью а получает денежную сумму х и с вероятностью (1 - α) — сумму z
, т.е. G(x,
z
: α). Сильная независимость означает, что если ин­дивид безразличен в отношении к выбору между х
и у
(х
у
), то он также будет безразличен в отношении к выбору между игрой (лотереей) G
(x, z:
α) и игрой G
(y, z:
α), т.е. из х
у
следует G
(x, z:
α) G
(y, z:
α).

Аксиома 4.
Аксиома измеримости. Если х

у
z
или х
у

z
, то существует единственная вероятность α, такая, что у
G
(x, z:
α).

Поясним смысл этой аксиомы. Пусть, например, имеем три исхода: х =
1000; у =
0; z
означает смерть игрока. Исходя из здра­вого смысла смерть нельзя сравнивать ни с каким выигрышем, и соответствующего этому исходу значения вероятности α суще­ствовать не может. Однако в жизни бывают ситуации, когда некий проигрыш равнозначен смерти. Тогда утверждение у
G
(x, z:
α) можно считать справедливым для некоторого значения .

Аксиома 5.
Аксиома ранжирования. Если альтернативы у
и и
находятся по предпочтительности между альтернативами х
и z
и можно построить игры, такие, что индивид безразличен в отно­шении к выбору между у
и G
(x, z:
α2
), a также к выбору между и
и G(x, z:
α2
), то при у
и
.

Поясним смысл этой аксиомы. Пусть существуют следующие альтернативы: х =
1000; у =
500; и =
200; z =
–10. Пусть эквива­лентны две пары ситуаций, одна из которых неигровая, а другая игровая:

1) гарантированно получить 500 или игра: с вероятностью α1
, выиграть 1000 и с вероятностью (1 – α1
) проиграть 10, т.е.

500 G
(1000, -10: α1
);

2) гарантированно получить 200 или игра: с вероятностью α2
выиграть 1000 и с вероятностью (l - α2
) проиграть 10, т.е.

200 G
(1000, -10: α2
).

Очевидно, что при указанных условиях α1
α2
. Если α1
+ α2
, то у
и.

Утверждение аксиомы вполне соответствует здравому смыс­лу: чем больше вероятность крупного выигрыша, тем больше игра «стоит», т.е. тем большая плата потребуется за приобретение права участвовать в этой игре.

Если принять приведенные аксиомы и предположить, что люди предпочитают большее количество некоторого блага мень­шему, то все это в совокупности определяет рациональное пове­дение ЛПР.

При названных предположениях американскими учеными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном было показано, что ЛПР при принятии решения будет стремиться к максимизации ожи­даемой полезности.
Другими словами, из всех возможных реше­нии он выберет то, которое обеспечивает наибольшую ожидае­мую полезность. Сформулируем определение полезности по Нейману-Моргенштерну.

Определение 4.2.
Полезность - это некоторое число, припи­сываемое лицом, принимающим решение, каждому возможному исходу. Функция полезности Неймана - Моргенштерна для ЛПР показывает полезность, которую он приписывает каждому воз­можному исходу. У каждого ЛПР своя функция полезности, ко­торая показывает его предпочтение к тем или иным исходам в зависимости от его отношения к риску.

Определение 4.3.
Ожидаемая полезность события равна сум­ме произведений вероятностей исходов на значения полезностей этих исходов.

Проиллюстрируем практическую реализацию введенных по­нятий на примере расчета ОДО и сопоставления этого значения с полезностью.

Задача 4.1.
Нефтеперерабатывающая фирма решает вопрос о бурении скважины. Известно, что если фирма будет бурить, то с вероятностью 0,6 нефти найдено не будет; с вероятностью 0,1 запасы месторождения составят 50 000 т; с вероятностью 0,15 -100 000 т; с вероятностью 0,1 - 500 000 т; с вероятностью 0,05 -1 000 000 т. Если нефть не будет найдена, то фирма потеряет 50 000 дол.; если мощность месторождения составит 50 000 т, то потери снизятся до 20 000 дол.; мощность месторождения в 100 000 т принесет прибыль 30 000 дол.; 500 000 т- 430 000 дол.; 1 000 000 т - 930 000 дол. Дерево решений данной задачи пред­ставлено на рис. 4.1. Нетрудно рассчитать ожидаемое значение вы­игрыша:

ОДО = 0,6(-50 000) + 0,1 (-20 000) + 0,15*30 000 + + 0,1*430 000 + 0,05*930 000 = 62 000 дол.

Рис. 4.1. Дерево решений для задачи 4.1 (прибыль указана в долларах)

Если ЛПР, представляющий фирму, безразличен к риску и принимает решение о проведении буровых работ на основании рассчитанного ОДО, то он воспринимает ожидаемую полезность как пропорциональную ОДО, полагая U
= 62. Учитывая, что U
-
индивидуальное число, характеризующее ЛПР, нули, отвечаю­щие расчету ОДО, можно отбросить. В этом случае функция полезности U(v),
где v -
прибыль, получаемая при различных исходах, является прямой с положительным наклоном. Ниже бу­дет показано, что U
можно задавать с точностью до некоторого монотонного преобразования.

Для принятия решения в случае небезразличия ЛПР к риску необходимо уметь оценивать значения полезности каждого из допустимых исходов. Дж. Нейман и О. Моргенштерн предложи­ли процедуру построения индивидуальной функции полезности, которая (процедура) заключается в следующем: ЛПР отвечает на ряд вопросов, обнаруживая при этом свои индивидуальные предпочтения, учитывающие его отношение к риску. Значения полезностей могут быть найдены за два шага.

Шаг 1. Присваиваются произвольные значения полезностей выигрышам для худшего и лучшего исходов, причем первой величине (худший исход) ставится в соответствие меньшее чис­ло. Например, для приведенной выше задачи U
(-50 000 дол.) = 0, а U
(930 000 дол.) = 50. Тогда полезности промежуточных выиг­рышей будут находиться в интервале от 0 до 50. Полезность исхода даже для одного индивида определяется не однозначно, а с точностью до монотонного преобразования. Пусть, напри­мер, имеем x1
, х
2
,..., х
n
-
полезности, приписываемые п
ожида­емым значениям выигрышей. Тогда α+βx1
,
α+
βх
2
,...,
α+
βх
n
(где (β > 0) также будут полезностями. Если в задаче 4.1 при рас­чете полезности отбросить последние нули, это будет эквивален­тно линейному преобразованию функции полезности при α =
0 и β = 0,001.

Шaг 2. Игроку предлагается на выбор: получить некоторую гарантированную денежную сумму , находящуюся между луч­шим и худшим значениями S
и s,
либо принять участие в игре, т.е. получить с вероятностью р
наибольшую денежную сумму S
и с вероятностью (1 - р) -
наименьшую сумму s.
При этом ве­роятность следует изменять (понижать или повышать) до тех пор, пока ЛПР станет безразличным в отношении к выбору между получением гарантированной суммы и игрой. Пусть указанное значение вероятности равно р0
.
Тогда полезность гарантирован­ной суммы определяется как среднее значение (математическое ожидание) полезностей наименьшей и наибольшей сумм, т.е.

U
() = p0
U
(S
) +
(1 – p0
)U(s).
(4.1)

Рассчитаем полезность результатов любого из возможных исходов для задачи 4.1. Пусть для ЛПР безразлично: потерять 20 000 дол. или принять участие в игре (выигрыш 930 000 дол. с вероятностью 0,1 или проигрыш 50 000 дол. с вероятностью 0,9). Согласно формуле (4.1) имеем:

U
(-20) =
0,1 U
(930) + 0,9 U
(-50) = 5,

при этом по определению принято, что U
(-50) = 0, U
(930) = 50, откуда следует, что U
(-20) = 5.

Таким образом, если определена шкала измерения, то может быть построена функция полезности ЛПР (рис. 4.2).

Рис.
4.2. График полезности для задачи 4.

Рис. 4.3.

Типы функции полезности Неймана — Моргенштерна для ЛПР, не склонного к риску (а), безразличного к риску (б), склонного к риску (в)

В общем случае график функции полезности может быть трех типов (рис. 4.3):

• для ЛПР, не склонного к риску, —
строго вогнутая функция, у которой каждая дуга кривой лежит выше своей хорды (рис. 4.3 а);

• для ЛПР, безразличного к риску, —
прямая линия (рис. 4.3 б),

•
для ЛПР, склонного к риску, —
строго выпуклая функция, у которой каждая дуга кривой лежит ниже своей хорды (рис. 4.3 в
).

4.2. ИЗМЕРЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ К РИСКУ

Исследуем график функции полезности, представленной на рис. 4.4. Для такого типа ЛПР полезность среднего выигрыша (полезность ОДО) больше ожидаемой полезности игры: с веро­ятностью p
выиграть М
1
и с вероятностью (1 - р
) выиграть М
2
.

Рис. 4.4. График функции полезности ЛПР, не склонного к риску

Формально мы имеем график вогнутой функции, о которой известно, что ордината любой точки кривой больше ординаты точки хорды кривой. Определим соотношение, характеризующее ЛПР, не склонного к риску. Нетрудно видеть, что

U(M1
) -
значение полезности в точке А;

U(M2
) -
значение полезности в точке В;

U(pM1
+ (1 -
р
)М
2
) -
значение полезности в точке С
.

Уравнение хорды АВ
имеет вид:

U1
= а
+
bМ ,

где U1
- совокупность точек, лежащих на отрезке прямой.

Найдем значения параметров а
и b
уравнения прямой.

В точке А
имеем U(M1
)
= а +
bМ
1
.

В точке В
имеем U(M2
)
= а +
bМ
2
.

Вычитаем из первого выражения второе, исключая величину a:

U(M1
) – U(M2
) = b(M1
– М
2
) ,

откуда получаем:

После подстановки значений для параметров а
и b
уравнение хорды АВ
имеет вид:

где М
1
£ М
£
M2
.

Пусть М = рМ
1
+
(1 – р
)М
2
, где 0 £ р
£
1, тогда в точке С
справедливо неравенство

Подставив в это неравенство вычисленные значения а
и b
, получим:

или

U
(pM1
+
(1 -
р)М
2
) >
PU(M1
) +
(1 - p
)U(M
2
). (4.2)

Неравенство (4.2) характерно для функции полезности ЛПР, не склонных к риску. Оно действительно показывает, что полез­ность среднего выигрыша (полезность ОДО) больше ожидаемой полезности игры: с вероятностью р
выиграть М
1
и с вероятнос­тью (
1 – р)
выиграть М
2
.

Аналогично можно показать, что для функций полезности ЛПР, склонных к риску, справедливо неравенство

U(pM1
+ (
1 – р)М
2
) <
pU(M1
) +
(1 – p)U(M2
).
(4.3)

Для функций полезности ЛПР, безразличных (нейтральных) к риску, имеет место равенство

U(pM1
+ (
1 – р)М
2
)
= pU(M1
) +
(1 – p)U(M2
).
(4.4)

Склонность или несклонность ЛПР к риску, как уже отмеча­лось, зависит от его финансового положения, текущей ситуации принятия решения и других факторов. Иначе говоря, эта харак­теристика ЛПР не является абсолютной, присущей ему при любых обстоятельствах.

Приведем пример игры, по отношению к которой любой игрок не склонен к риску.

Петербургский парадокс
(игра придумана петербургскими гусарами). Играют двое. Один бросает монету до тех пор, пока не выпадет «орел». Выигрыш равен (2)n
руб., где п -
число брос­ков до появления «орла». Ожидаемая величина выигрыша:

ОДО = 2(1/2) + (2)2
(1/4) + (2)3
(1/8) + ... = 1+1+1+ ... .

Вряд ли какой-либо игрок согласится заплатить за право участвовать в этой игре сумму, равную ОДО: эта сумма беско­нечно велика.

Предположим теперь, что имеет место игра (лотерея) с аль­тернативами a
и в
, т.е. G(a,в:
a). Исследуем проблему, как целе­сообразнее поступить ЛПР: играть или получить гарантирован­ный выигрыш, равный ожидаемому выигрышу. Пусть функция полезности игрока определена как U(W)
= ln(W
), где W
-
вели­чина благосостояния. Пусть игра заключается в выигрыше 5 дол. с вероятностью 0,8 и в выигрыше 30 дол. с вероятностью 0,2. Ожидаемая величина выигрыша (ОДО):

E(W)
= 5*0,8 + 30*0,2 = 10 дол.

Для указанной логарифмической функции полезности имеем зависимость, выраженную в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Рассчитаем полезность ОДО для данной игры:

U(E(W)) =
U
(10) = ln(10) = 2,3,

т.е. полезность отказа от игры при получении гарантированного выигрыша, равного 10 дол. (ОДО данной игры), оценивается в 2,3 ютиля (ютиль - условная единица полезности). Если ЛПР предпочтет игру, то

E(U(W)) =
0,8U
(5) + 0,2U
(30) = 0,8*1,61 + 0,2*3,40 = 1,97 ютиля.

Для рассмотренной логарифмической функции полезности большей полезностью обладает вариант с получением гарантированного выигрыша, равного E
(W
)=ОДО, а не участие в игре (2,3 > 1,97). Такое лицо, принимающее решение, не склонно к риску.

Выводы. Из соотношении (4.2) – (4.4) вытекает:

• если U(E(W)) > E(U(W)),
игрок не склонен к риску;

• если U(E(W)) = E(U(W)),
игрок нейтрален (безразличен) к риску;

• если U(E(W)) < E(U(W}),
игрок склонен к риску.

Здесь Е
и U
-
соответственно символы математического ожидания и функции полезности.

4.3. СТРАХОВАНИЕ ОТ РИСКА

Пусть по-прежнему полезность выражается логарифмической зависимостью U(W)
= ln(W)
(см.
табл. 4.1).

Определим, какую максимальную сумму пожелает заплатить ЛПР, чтобы избежать игры, в которой с вероятностью 0,8 он выигрывает 5 дол. (уменьшение выигрыша на 5 дол. по сравне­нию с ОДО = 10 дол.) и с вероятностью 0,2 выигрывает 30 дол. (увеличение выигрыша на 20 дол. по сравнению с ОДО). Значение ожидаемой полезности игры составляет 1,97 ютиля, что соответствует гарантированному выигрышу 7,17 дол. (ln7,17 = 1,97). С другой стороны, сумма ожидаемого выигрыша в случае игры (ОДО) равна 10 дол. Поэтому, чтобы избежать игры, ЛПР согласится заплатить максимальную сумму, равную

10 – 7,17 = 2,83 дол.

Из этого следует, что, если ЛПР предлагают застраховаться от игры и просят за это сумму, меньшую, чем 2,83 дол., ему выгодно принять предложение. В данном случае величина, рав­ная 2,83 дол., - премия (максимальная плата) за риск.

Рассмотрим некоторые приложения теории полезности.

Задача 4.2.
Оптимальная величина страхования. Ювелир вла­деет бриллиантом стоимостью 100 000 дол. и желает застраховать его от кражи. Страховка покупается по правилу: цена страховки составляет 20 % от суммы, которую страхуют. Например, если бриллиант страхуется на всю стоимость (100 000 дол.), страховка стоит 20 000 дол., если страхуется на половину цены (50 000 дол.). то страховка обходится в 10 000 дол. Если ювелир будет знать (построит) свою функцию полезности, он сможет рассчитать, на какую оптимальную сумму следует застраховать дорогую вещь.

Ювелир может оказаться в одной из двух ситуации: 1) бриллиант украден; 2) бриллиант не украден. Чем больше сумма страхования, тем больше его состояние (капитал), если бриллиант украден, но тем меньше его состояние, если брил­лиант не украден.

Например, если бриллиант застрахован на 50 000 дол., име­ют место два случая:

1. Бриллиант украден. При этом потери ювелира рассчитыва­ются следующим образом:

-100 000 (бриллиант) - 10 000 (страховка) + 50 000 (компен­сация) = -60 000 дол., а капитал 50 000-10 000 = 40 000 дол.

2. Бриллиант не украден. В этом случае капитал ювелира составит:

100 000 (бриллиант) - 10 000 (страховка) = 90 000 дол.

Если бриллиант застрахован на 100 000 дол., то в случае кражи бриллианта капитал составит 100 000 - 20 000 = 80 000 дол. Если бриллиант не украден, капитал также составит 80 000 дол. Обозначим капитал ювелира в случае, если бриллиант не украден, через Yn
:

Yn
= 100 000 - 0,2К,
(4.5)

где К -
сумма страхования.

Если бриллиант украден, то капитал ювелира определим как Yt
:

Yt
= 0,8 K .

Соответствующий график, отражающий бюджетное ограни­чение, представлен на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Графическое решение задачи 4.2

Предположим, что можно экспертно определить вероятность р
того, что бриллиант будет украден. Тогда полезность капитала Y
t
,
равна U(Yt
).
Вероятность того, что бриллиант не украден, со­ставляет (1-р
), и U(Yn
)
- полезность капитала Yn
в этом случае.

Ожидаемая полезность U
«игры» (с вероятностью р
брилли­ант украден и с вероятностью (1 -
р
) -
не украден) определяется согласно формуле (4.1) выражением

U = pU(Yt
)+
(1-p
)U
(Yn
).

Значения Yt
и Yn
следует выбирать таким образом, чтобы ожидаемая полезность была максимальной, т.е.

pU(Yt
) +
(1-р)(Yn
) max .

Пусть точка касания кривой безразличия (линия одинаковой полезности) на рис. 4.5 соответствует Yn
= 86 000 дол., Yt
= 56 000 дол.

Тогда согласно формуле (4.5) имеем: 86 000 = 100 000 - 0,2К,
откуда оптимальная величина страхования К
= 70 000 дол.

Задача 4.3.
Спрос на страхование. Пусть финансовое состо­яние индивида оценивается заданным значением W.
Предполага­ется, что можно вычислить вероятность р
потери некоторой ча­сти этого состояния, определяемой суммой L
£ W
(например, в результате пожара). Индивид может купить страховой полис, в соответствии с которым ему возместят нанесенный ущерб в размере q.
Плата за страхование составляет p
q,
где p -
доля страхования в объеме нанесенного ущерба. Проблема состоит в определении значения q.

Исследуем задачу максимизации ожидаемой полезности фи­нансового состояния индивида в ситуации, когда с вероятностью р
страховой случай происходит и с вероятностью (
1 –р) -
не происходит. Тогда задача сводится к поиску максимума по q
ожидаемой полезности капитала индивида:

Применим необходимое условие оптимальности - продиффе­ренцируем выражение в квадратных скобках по q
и приравняем производную нулю:

где q*
-
оптимальное значение q.
В результате получаем:

Предполагая известным вид функции U,
из соотношения (4.6) находим значение q*.

Рассчитаем ожидаемую прибыль страховой компании, учи­тывая, что страховой случай имеет вероятностный характер.

Если страховой случай произошел, компания получает доход p
q
– q.
Если страховой случай не наступил, компания получает доход p
q.
Поэтому ожидаемая прибыль компании

р(
p
q -
q)+
(1 - р)
pq
= p
p
q -
pq +
p
q -
p
p
q
= q(
p - р),

где р -
вероятность наступления страхового случая.

Конкуренция между страховыми компаниями уменьшает прибыль, которая в условиях совершенной конкуренции стремит­ся к нулю, т.е. из условия q(
p - р) = 0
следует, что p
р.

Это означает, что доля платежа от страхуемой суммы p
при­ближается к вероятности несчастного случая р.
Если соотноше­ние p = р
ввести в условие максимума ожидаемой полезности, то получим:

.

Если потребитель не склонен к риску, то , и из равенства первых производных следует равенство аргументов, т.е.

W – L +
(1 -
p
)q*
=W
– p
q*
,

или

– L +
q*
–
p
q* =
–
p
q*,

откуда

q* =
L.

Вывод. Страховаться целесообразно на сумму, которую мож­но потерять в результате несчастного случая.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 4.4.
Допустим, что функция полезности ЛПР логарифми­ческая U(W)
= ln(W)
и весь его капитал составляет 5 тыс. руб.

Возникают две ситуации:

1. С вероятностью 0,5 ЛПР может выиграть и проиграть 1 тыс. руб. Есть ли смысл покупать страховой полис, устраняющий риск, за 125 руб.?

2. ЛПР рискнул, отказался от страхового полиса и проиграл 1 тыс. руб. Та же ситуация возникла во второй раз. Следует ли ему застрахо­ваться от риска на прежних условиях (125 руб. за страховой полис). Что целесообразнее: приобрести полис или принять участие в игре?

Задача 4.5.
Предположим, что ваша функция полезности определя­ется логарифмической зависимостью U(W)=
ln(W)
и вы сталкиваетесь с ситуацией, когда можете с равными шансами выиграть и проиграть

1 тыс. руб. Сколько вы готовы заплатить, чтобы избежать риска, если текущий уровень вашего благосостояния равен 10 тыс. руб.? Сколько вы заплатили бы, если бы ваше состояние было 1 млн руб.?

Задача 4.6.
Мелкий бизнесмен сталкивается с ситуацией, когда с вероятностью 10 % пожар может уничтожить все его имущество, с вероятностью 10 % - уменьшить его недвижимость до 50 тыс. руб., с вероятностью 80 % огонь не принесет ему вреда и стоимость его иму­щества останется равной 100 тыс. руб. Какую максимальную сумму он готов заплатить за страховку, если его функция полезности имеет лога­рифмический вид U(W)
= ln(W
), а страховые выплаты составляют 100 тыс. руб. для первого случая и 50 тыс. руб. для второго случая?

Задача
4.7.
Пусть функция полезности «нового русского» имеет вид:

U(W
) = 10 + 2W,

где W
-
денежный выигрыш.

Бизнесмен может вложить в строительство магазина 25 тыс. руб. и считает, что с вероятностью 0,5 он получит прибыль в 32 тыс. руб. и с вероятностью 0,5 потеряет весь свой капитал. Определите:

• Следует ли осуществлять инвестирование проекта?

• Если будет сделано инвестирование, то какова ожидаемая полез­ность этого мероприятия?

Задача 4.8.
В профессиональном теннисе нередко имеет место практика дележа призов за первое и второе места поровну между фи­налистами (тайный сговор до начала состязания). Например, если пер­вый приз равен 100 000 дол., а второй - 32 000 дол., то каждый полу­чает по 66 000 дол. (66 000 = (100 000 + 32000) / 2). Определите:

• Если игрок склонен к риску и уверен, что его выигрыш и проиг­рыш равновероятны (50 %), то согласится ли он участвовать в дележе?

• Предположим, что функция полезности одного из игроков имеет вид, представленный на рис. 4.6. Пожелал бы такой игрок участвовать в дележе призов, если шанс выиграть составляет 50 %?