Задача №1
Исходные данные:
| № наблю-дения | Уровень фактора (или тип региона) | ||||||
| Кировская область | Архангельск. область | Республика Карелия | Ленинград. Область | Калинингр. область | Псковская область | Новгород-ская область | |
| 1 | 2,90 | 3,90 | 4,90 | 2,10 | 6,10 | 7,00 | 8,00 |
| 2 | 2,10 | 5,00 | 3,50 | 6,90 | 10,0 | 10,00 | 1,00 |
| 3 | 10,30 | 2,80 | 4,00 | 2,00 | 15,1 | 12,10 | 1,10 |
| 4 | 4,90 | 8,90 | 3,00 | 3,10 | 5,00 | 5,90 | 2,00 |
| 5 | 4,00 | 4,10 | 1,90 | 5,90 | 5,10 | 6,10 | 2,00 |
| 6 | 2,90 | 4,90 | 1,20 | 7,90 | 6,00 | 5,10 | 1,10 |
| 7 | 1,10 | 1,50 | 4,10 | 6,10 | 5,00 | 6,10 | 1,19 |
| 8 | 2,30 | 3,90 | 3,00 | 2,70 | 6,10 | 8,90 | 1,10 |
| 9 | 2,00 | 1,80 | 2,90 | 7,00 | 3,10 | 5,00 | 3,19 |
| 10 | 1,00 | 3,00 | 5,90 | 3,00 | 2,00 | 5,91 | |
| 11 | 1,00 | 2,50 | 2,90 | 5,20 | 3,10 | 4,80 | |
| 12 | 1,10 | 3,90 | 5,00 | 13,00 | 10,90 | 1,00 | |
| 13 | 1,01 | 4,50 | 5,00 | 3,00 | 5,10 | 0,19 | |
| 14 | 1,91 | 1,91 | 2,00 | 2,10 | 1,00 | 1,00 | |
| 15 | 1,09 | 1,10 | 9,00 | 3,00 | |||
| 16 | 1,10 | 1,10 | 8,10 | 2,10 | |||
| 17 | 2,10 | 1,90 | 15,9 | 2,90 | |||
| 18 | 2,91 | 2,10 | 6,20 | 1,00 | |||
| 19 | 2,09 | 2,20 | |||||
| 20 | 3,90 | ||||||
| 21 | 2,90 | ||||||
| 22 | 2,10 | ||||||
| 23 | 2,50 | ||||||
Решение:
1. Находим сумму квадратов всех наблюдений (Q1), сумму квадратов итогов по столбцам, деленных на число наблюдений в соответствующем столбце (Q2), квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений (Q3).
№ наблю-дения |
Квадрат наблюдений | |||||||||||
| Кировская область | Архан-гельская. область | Республика Карелия | Ленинград. Область | Калинингр. область | Псковская область | Новго-родская область | ||||||
| 1 | 8,41 | 15,21 | 24,01 | 4,41 | 37,21 | 49,00 | 64,00 | |||||
| 2 | 4,41 | 25,00 | 12,25 | 47,61 | 100,00 | 100,00 | 1,00 | |||||
| 3 | 106,90 | 7,84 | 16,00 | 4,00 | 228,01 | 146,41 | 1,21 | |||||
| 4 | 24,01 | 79,21 | 9,00 | 9,61 | 25,00 | 34,81 | 4,00 | |||||
| 5 | 16,00 | 16,81 | 3,61 | 34,81 | 26,01 | 37,21 | 4,00 | |||||
| 6 | 8,41 | 24,01 | 1,44 | 62,41 | 36,00 | 26,01 | 1,21 | |||||
| 7 | 1,21 | 2,25 | 16,81 | 37,21 | 25,00 | 37,21 | 1,41 | |||||
| 8 | 5,29 | 15,21 | 9,00 | 7,29 | 37,21 | 79,21 | 1,21 | |||||
| 9 | 4,00 | 3,24 | 8,41 | 49,00 | 9,61 | 25,00 | 10,17 | |||||
| 10 | 0 | 1,00 | 9,00 | 34,81 | 9,00 | 4,00 | 34,92 | |||||
| 11 | 0 | 1,00 | 6,25 | 8,41 | 27,04 | 9,61 | 23,04 | |||||
| 12 | 0 | 1,21 | 15,21 | 25,00 | 169,00 | 118,81 | 1,00 | |||||
| 13 | 0 | 1,02 | 20,25 | 25,00 | 9,00 | 26,01 | 0,03 | |||||
| 14 | 0 | 3,64 | 3,64 | 4,00 | 4,41 | 1,00 | 1,00 | |||||
| 15 | 0 | 1,18 | 0 | 1,21 | 0 | 81,00 | 9,00 | |||||
| 16 | 0 | 1,21 | 0 | 1,21 | 0 | 65,61 | 4,41 | |||||
| 17 | 0 | 4,41 | 0 | 3,61 | 0 | 252,81 | 8,41 | |||||
| 18 | 0 | 8,46 | 0 | 4,41 | 0 | 38,44 | 1,00 | |||||
| 19 | 0 | 4,36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4,84 | |||||
| 20 | 0 | 15,21 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||
| 21 | 0 | 8,41 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||
| 22 | 0 | 4,41 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||
| 23 | 0 | 6,25 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||
| Q1-сумма квадратов | 2997,78 | |||||||||||
| кол-во наблю-дений | 9 | 23 | 14 | 18 | 14 | 18 | 19 | 115 | ||||
| Q2 | 19,759 | 10,893 | 11,063 | 20,223 | 53,036 | 62,897 | 9,256 | 187,127 | ||||
| 26,068 | ||||||||||||
2. Вычисляем оценку дисперсии фактора:
3. Вычисляем оценку дисперсии, связанной со случайностью:
4. Рассчитываем значение F-статистики (статистики Фишера):
5. Проверяем значимость фактора (q =0,05; h1
= K-1; h2
= N-K)
F = 2,29, так как расчетное меньше табличного, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что связь между сроком окупаемости и типом региона не существенна.
6. Строим диаграмму средних значений сроков окупаемости для всех рассматриваемых регионов.
Средние сроки окупаемости:
| Показатель | Кировская область | Архангельск. область | Республика Карелия | Ленинград. Область | Калинингр. область | Псковская область | Новго-родская область |
| Ср.срок окупаемости | 3,54 | 2,76 | 3,17 | 3,93 | 6,27 | 7,08 | 2,36 |
Согласно таблицы и диаграммы самый маленький срок окупаемости инвестиционных проектов сложился в Новгородской области, следовательно, данная область является приоритетной.
Задача 2
Исходные данные:
| Моменты времени (дни) | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 |
| -60 | -40 | -20 | 0 | 20 | 40 | 60 | |
| Расчет для варианта(убрать) | 340+510 | 400+59 | 440+610 | 430+69 | 520+79 | 570+710 | 550+89 |
| У-физ.объем товарооборота (шт.) | 850 | 459 | 1050 | 499 | 599 | 1280 | 639 |
Решение.
1. Изобразить данные графическ
2. Составить уравнение линейной регрессии.
3. Для расчета параметров уравнения регрессии (yt
= a0
+ a1
t) составляем вспомогательную таблицу:
| Моменты времени (дни) | У-физ.объем товарооборота (шт.) | t | t^2 | y*t | Урасч. | У^2 |
| 0 | 850 | -60 | 3600 | -51000 | 708,24 | 722500 |
| 20 | 459 | -40 | 1600 | -18360 | 728,16 | 210681 |
| 40 | 1050 | -20 | 400 | -21000 | 748,08 | 1102500 |
| 60 | 499 | 0 | 0 | 0 | 768 | 2493001 |
| 80 | 599 | 20 | 400 | 11980 | 787,92 | 358801 |
| 100 | 1280 | 40 | 1600 | 51200 | 807,84 | 1638400 |
| 120 | 639 | 60 | 3600 | 38340 | 827,76 | 408321 |
| ∑ | 5376 | 0 | 11200 | 11160 | 5376 | 6934204 |
Для нахождения a0
и a1
составляем систему уравнений:
∑у =n*a0
+ a1
∑t
∑уt =a0
∑t + a1
∑t2
Так как при t =60мин = 0, ∑t=0, система принимает вид:
5376 =7*a0
11160 = a1
*11200
Откуда:
a0
= 768 и a1
= 0,996
Уравнение регрессии имеет вид:
yt
= 768 + 0,996 t
Задача 3
Исходные данные:
| Год | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 231+8 | 171+10 | 291+8 | 309+10 | 317+28 | 362+210 | 351+8+10 | 361+10+8 | |
| Спрос | 239 | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 | 379 |
Решение
1. Находим среднее значение, среднее квадратичное отклонение, коэффициенты автокорреляции (для лагов τ=1;2) и частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка.
2. - среднее значение:
- среднее квадратическое отклонение:
| Год | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| У | 239 | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 | 379 |
| У-Уср | 239 | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 | 379 |
| (У-Уср)^2 | 57121 | 32761 | 89401 | 101761 | 119025 | 327184 | 136161 | 143641 |
| ∑(У-Уср)^2 | 1007055 |
- Найдем коэффициент автокорреляции r(τ) временного ряда (для лага τ=1), т.е. коэф-т корреляции между последовательностями семи пар наблюдений:
| Год | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Уt | 239 | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 |
| Уt+ τ | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 | 379 |
Вычисляем необходимые суммы:
∑ Уt = 239+181+…+369 =2319
∑ Уt2
= 2392
+ 1812
+ … + 3692
= 860449
∑ Уt+ τ = 181+ 299+ … +379 = 2464
∑ У2
t+ τ = 1812
+2992
+ … +3792
=949934
∑ Уt *Уt+ τ = 239*181 + 181*299 + … + 369*3729=851073
Находим коэффициент автокорреляции:
- Найдем коэффициент автокорреляции r(τ) временного ряда (для лага τ=2), т.е. коэф-т корреляции между последовательностями шести пар наблюдений:
| Год | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Уt | 239 | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 |
| Уt+ τ | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 | 379 |
Вычисляем необходимые суммы:
∑ Уt = 239+181+…+572 =1955
∑ Уt2
= 2392
+ 1812
+ … + 5722
= 727253
∑ Уt+ τ = 299+ 319+ … +379 = 2283
∑ У2
t+ τ = 2992
+3192
+ … +3792
=917173
∑ Уt *Уt+ τ = 239*299 + 181*319 + … + 572*379 =758916
Находим коэффициент автокорреляции:
Для определения частного коэффициента корреляции 1-го порядка найдем коэффициент автокорреляции между членами ряда Уе+1
и Уе+2
:
| Год | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Уt+ 1 | 181 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 |
| Уt+ 2 | 299 | 319 | 345 | 572 | 369 | 379 |
Вычисляем необходимые суммы:
∑ Уt+1= 181+299+…+369 =2080
∑ У2
t +1= 1812
+ 2992
+ … + 3692
= 806293
∑ Уt+ 2 = 299+ 319+ … +379 = 2283
∑ У2
t+ 2 = 2992
+3192
+ … +3792
=917173
∑ Уt+1 *Уt+ 2 = 181*299 + 299*319 + … + 369*379 =807814
Находим коэффициент автокорреляции:
- Найдем частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка:
3. Найти уравнение неслучайной составляющей (тренда) для временного ряда, полагая тренд линейным.
4. Находим коэффициенты для системы нормальных уравнений:
Система нормальных уравнений имеет вид:
8b0
+ 36b1
= 2703
36b0
+ 204b1
= 13546
Отсюда находим b0
= 189,068;b1
=33,068
Уравнение тренда:
Yt
= 189,068+33,068t
То есть спрос ежегодно увеличивается в среднем на 33.068 ед.
5. Провести сглаживание временного ряда методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания m = 3 года.
6. у2
= 1/3 (у1
+ у2
+ у3
) = 1/3 (239+181+299)=239,7
7. у3
= 1/3 (у2
+ у3
+ у4
) = 1/3 (181+299+319)=266,3
У4
=1/3(у3
+ у4
+ у5
)=1/3(299+572+345)=405.3
У5
=1/3(y4
+y5
+y6
)=1/3(319+345+572)=412
У6
=1/3(у5
+ у6
+ у7)
=1/3(345+572+369)=428,7
У7
=1/3(у6
+ у7
+ у8)
=1/3(572+369+379)=440
В результате получим сглаженный ряд:
| Год | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Уt | - | 239,7 | 266,3 | 405,3 | 412,0 | 428,7 | 440,0 | - |
8. Дать точечную и с надежностью 0,95 интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на некоторый товар в момент времени t=взятый год. (Полагаем, что тренд линейный, а возмущения удовлетворяют требованиям классической модели).
По полученному выше уравнению регрессии Yt
= 189,068 + 33,068t оценим условное математическое ожидание. Оценкой у(9) является групповая средняя:
Уt=9
= 189,068 + 33,068*9 =486,68(ед)
Составим вспомогательную таблицу для оценки дисперсии.
| Год | У | Уt | еt = У-Уt | et-1 | et *et-1 | et ^2 |
| 1 | 239 | 222,1 | 16,9 | 0,0 | 0,0 | 285,6 |
| 2 | 181 | 252,2 | -74,2 | 16,9 | -1253,98 | 5505,6 |
| 3 | 299 | 288,3 | 10,7 | -74,2 | -793,94 | 114,5 |
| 4 | 319 | 321,3 | 2,3 | 10,7 | 24,6 | 5,3 |
| 5 | 345 | 354,4 | -9,4 | 2,3 | -21,62 | 88,4 |
| 6 | 572 | 387,5 | 184,5 | -9,4 | -1734,3 | 34040,3 |
| 7 | 269 | 420,5 | -51,5 | 184,5 | -9501,8 | 2652,3 |
| 8 | 379 | 453,6 | -74,6 | -51,5 | 384,19 | 5565,2 |
| 9439,02 | 48257,2 |
Вычислим оценку s2
дисперсии ^
Вычислим оценку дисперсии групповой средней:
Значение t0.95;6
= 2,45, критерий Стьюдента. Теперь находим интервальную оценку прогноза среднего значения спроса:
486,68 – 2,45*69,76 ≤у(9)≤ 486,68+2,45*69,76
Или
315,77≤у(9)≤ 657,59
Для нахождения интервальной оценки прогноза индивидуального значения вычислим дисперсию его оценки:
Теперь находим интервальную оценку:
486,68-2,45*113,69 ≤ у*
(9) ≤ 486,68+2,45*113,69
Или
208,14 ≤ у*
(9) ≤ 765,22
Вывод:
Следовательно, с надежностью 0,95 среднее значение спроса на товар на 9-й год будет заключено от 315,77 до 657,59 (ед.), а его индивидуальное значение – от 208,14до 765,22 (ед.)