Задача
2.
Постройте ряд распределения студентов по успеваемости: 2, 3, 3, 4, 2,
5,
5, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 5,
5, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4.
Подсчитайте локальные и накопительные частоты. Постройте полигон и кумуляту распределения. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Решение:
Ряд распределения – это ряд чисел, в котором значение изучаемого признака (варианты), расположены в определенном порядке: либо в порядке возрастания, либо убывания. Наряду с вариантами ряд распределения включает и частоты – величины, показывающие сколько раз каждая варианта встречается в данной совокупности. Сумма частот равна объему совокупности. Таким образом, ряд распределения состоит из вариант (х) и частот (f
)
В зависимости от прерывности или непрерывности варьирующего признака ряды распределения удобно представлять в виде двух разновидностей: дискретного и вариационного (интервального). Дискретный ряд представляет собой ряд прерывных чисел. Например, распределение студентов по успеваемости (табл. 1). При непрерывной вариации распределение признака называется интервальным. Частоты относятся ко всему интервалу.
В зависимости от вида ряда распределения по-разному можно изобразить их графически. Если ряд дискретный – строится полигон
распределения. Величина признака откладывается на оси абсцисс, частоты – на оси ординат. Вершины ординат соединяются прямыми линиями. Гистограмма
распределения отличается от полигона тем, что на оси абсцисс берутся не точки, а отрезки, изображающие интервал, т.е. гистограмма, строится на
| Оценка (балл) | Число студентов (частоты) | Накопленные |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 8 | 10 |
| 4 | 12 | 22 |
| 5
|
8 | 30 |
| Итого | 30 |
В основе вариационного (интервального) ряда. По накопленным частотам строится кумулятивная кривая (кумулята). Для определения средней арифметической надо сложить все варианты и полученную сумму разделить на число единиц, входящих в совокупность (объем совокупности). Средняя арифметическая бывает простая и взвешенная. Простая средняя используется тогда, когда каждая варианта встречается лишь один раз (1). Если каждая варианта встречается несколько раз, то следует подсчитать частоты и умножить (взвесить) каждую варианту на соответствующую частоту (2).
Простая средняя арифметическая х = (1)
Средняя арифметическая взвешенная х = (2)
Средний процент влажности найдём по формуле средней арифметической взвешенной:
==
При расчете средней арифметической для интервального ряда нужно сначала определить середины интервалов как полусуммы значений верхней и нижней границ интервала. При наличии интервалов, где <хоткрыты» верхняя или нижняя граница, величину интервала определяют по последующему или предыдущему интервалу.
Для характеристики рядов распределения кроме средней степенной применяются структурные средние: мода и медиана.
Мода
– варианта, которая наиболее часто встречается в данной совокупности, т.е. варианта с наибольшей частотой. Мо=4
Медиана
– варианта, находящаяся в середине ряда распределения.
Мода для дискретного ряда определяется просто и соответствует варианте с наибольшей частотой.
Медиану для дискретного определяют по накопленным частотам делением объема совокупности пополам: по таблице 1 – 30:2=15. Это соответствует медиане, равной 4.
Размах вариации
– разность между наибольшей и наименьшей вариантой:
R
=
=5–2=3
Среднее квадратическое отклонение
– показатель вариации, измеряющий величину, на которую все варианты в среднем отклоняются от средней арифметической.
Квадрат среднего квадратического отклонения называется дисперсией,
или средним квадратом отклонений.
Найдем дисперсию:
s2
==
s==0,885 – среднее квадратическое отклонение.
Наряду с абсолютным показателем колеблемости признака – средним квадратическим отклонением – широко применяется и относительный показатель – коэффициент вариации, который показывает меру колеблемости признака относительно его среднего значения и измеряется в процентах.
V=
Задача 12.
Используя данные задачи 2, проверьте при уровне значимости 0,05 гипотезу о нормальном законе распределения студентов по успеваемости.
Решение:
Применяем критерий согласия – Пирсона.
Каждому ряду распределения достаточно большой совокупности объективно свойственна определенная закономерность. Моделирование кривой распределения позволяет в компактной форме дать характеристику закономерности распределения, используя ее в планировании и прогнозировании. Одним из наиболее распространенных законов распределения, применяемых в качестве стандарта, с которым сравнивают другие распределения и которое имеет важное значение для решения задач выборочного наблюдения является нормальное распределение. для того чтобы установить, верно, ли предположение о том, что эмпирическое распределение подчиняется закону нормального распределения, необходимо сравнить его с теоретическим распределением. Важно определить, являются ли различия между ними результатом действия случайных причин или обусловлены неправильно подобранной функцией.
Критерий X-Пирсона:
Значение Х 2факрi,
рассчитывается по изложенной выше формуле, для которой предварительно определяются теоретические частоты.
Нормированное отклонение определяется по формуле:
Таблица – Эмпирическое и теоретическое распределение студентов по успеваемости
| Оценка балл | Число студентов | t | F(t) | fm | |
| 2 | 2 | 2,1 | 0,0880 | 3 | 0,3 |
| 3 | 8
|
0,98 | 0,2017 | 7 | 0,14 |
| 4 | 12 | 0,15 | 0,3212
|
11 | 0,09 |
| 5 | 8 | 1,28 | 0,2617 | 9 | 0,11 |
| Итого | 30 | х | Х | 30 | 0,64 |
Х 2 табл
8,95
при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы число интервалов – 1.
Так как Х 2 факт
<
Х 2 табл
критического (допустимого) значения, то эмпирическое распределение соответствует нормальному.
Задача
27.
На основании данных таблицы б (с 1 по 26 предприятие) о выпуске продукции и размере прибыли постройте аналитическую группировку, а также исследуйте наличие и характер взаимосвязи между ними. Рассчитайте коэффициент корреляции, детерминации. Сделайте выводы.
Таблица 6– Исходные данные деятельности предприятий, млн. руб.
№ предприятия |
– Выпуск продукции, | Среднегодовая стоимость ОПФ, | Численность работающих, чел. | Потери рабочего времени, тыс. чел. дн. | Прибыль. | |||
| 1 | 65,0
|
54,6
|
340 | 66,0 | 15,7 | |||
| 2 | 78,0 | 73,6 | 700 | 44,0 | 18,0 | |||
| 3 | 41,0 | 42,0 | 100 | 91,0 | 12,1 | |||
| 4 | 54,0 | 46,0 | 280 | 78,0 | 13,8 | |||
| 5
|
66,0 | 62,0 | 410 | 57,4 | 15,5 | |||
| 6 | 80,0 | 68,4 | 650
|
42,0 | 17.9 | |||
| 7 | 45,0 | 36,0 | 170 | 100,0 | 12,8 | |||
| 8 | 57,0 | 49,6 | 260 | 79,8 | 14,2 | |||
| 9 | 67,0 | 62,4 | 380 | 57,0 | 15,9 | |||
| 10 | 81,0 | 71,2 | 680 | 38,0 | 17,6 | |||
| 11 | 92,0 | 78,8 | 800 | 23,1 | 18,2 | |||
| 12 | 48,0 | 51,0 | 210 | 112,0 | 13,0 | |||
| 13 | 59,0 | 60,8 | 230 | 72,0 | 16,5 | |||
| 14 | 680 | 69,0 | 400 | 55,7 | 16,2 | |||
| 15 | 83,0 | 70,4 | 710 | 36,0 | 16,7 | |||
| 16 | 52,0 | 50,0 | 340 | 85,2 | 14,6 | |||
| 17 | 62,0 | 55,0 | 290 | 72,8 | 14,8 | |||
| 18 | 69,0 | 58,4
|
520 | 54,6
|
16,1 | |||
| 19 | 850 | 83,2 | 720 | 37,0 | 16,7 | |||
| 20 | 70,0 | 75,2
|
420 | 56,4
|
15,8 | |||
| 21 | 71,0 | 67,2 | 420 | 56,0
|
16,4
|
|||
| 22 | 64,0 | 64,2 | 400 | 70,4 | 15,0
|
|||
| 23 | 72,0 | 65,0
|
430 | 53,6
|
16,5 | |||
| 24 | 88,0 | 76,2 | 790 | 34,9 | 18,5 | |||
| 25
|
73,0 | 68,0 | 560
|
55,4
|
16,4 | |||
| 26 | 740 | 65,6
|
550
|
52,0 | 16,0 | |||
27 28 |
96,0 | 87,2 | 810 | 20,4 | 19,1 | |||
| 75,0
|
71,8 | 570
|
53,1 | 16,3 | ||||
| 29 | 101,0 | 96,0 | 820 | 12,0 | 19,6 | |||
| 30 | 76,0 | 69,2 | 600 | 46,0 | 17,2 | |||
Решение:
Результаты группировки сведем в групповую таблицу, которая имеет вид:
Таблица 4 – Пример групповой таблицы
| Группы предприятий по…(факторный признак ВП) | Число предприятий Вгруппе | Факторный признак (ОПФ) | Результативный признак (Прибыль) | ||
| всего | в среднем на 1 пред – приятие | всего | в среднем на 1 пред – приятие | всего | в среднем на 1 пред – приятие |
41–58 58–75 75–92 |
6 13 7 |
274,6 827,4 521,8 |
45,77 63,65 74,5 |
80,5 206,8 123,6 |
13,4 15,9 17,66 |
| Итого в среднем | 26 | 1623,8 | 62,45 | 410,9 | 15,8 |
Найдем коэффициент детерминации и корреляции по формулам:
-эмпирический коэффициент детерминации
Найдем коэффициент корреляции рангов Спирмена по формуле
Полученное значение коэффициента спирмена свидетельствует об очень тесной связи между стоимостью основных производственных фондов и прибылью.
Задача 40
Известны темпы прироста выпуска продукции предприятия в 1999–2005 гг., процент по отношению к предыдущему году:
Таблица 12 – Темпы прироста выпуска продукции предприятия
| 1999 г. | 2000 г. | 2001 г. | 2002 г. | 2003 г. | 2004 г. | 2005 г. |
| 2 | 1 | -3 | -5 | 2 | 4 | 5 |
Определите:
1) базисные темпы роста (1998 г. – 100%) выпуска продукции предприятия;
2) среднегодовой темп роста и прироста.
Решение:
| Год | 1999 г. | 2000 г. | 2001 г. | 2002 г. | 2003 г. | 2004 г. | 2005 г. |
| Темп прироста | 2 | 1 | -3 | -5 | 2 | 4 | 5 |
| Темп роста | 102 | 101 | 97 | 95 | 102 | 104 | 105 |
Расчет будем производить по формулам:
Задача 46.
Имеются данные о продаже картофеля на рынках города в мае месяце:
Таблица 17-Продажа картофеля на рынках города
| № рынка | Средняя цена, руб. | Продано, тыс. кг. |
| 1 | 8,0 | 70 |
| 2
|
7,8 | 25 |
| З | 8,2 | 30 |
Определите среднюю цену реализации картофеля по 3 рынкам города, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации цены. Сделать выводы.
Решение:
=
s2
==
s==0,13 – среднее квадратическое отклонение.
V=
Задача 60
Имеются следующие данные о продаже товаров:
Таблица 30 – данные о продаже товаров
| Товары | Базисный период | Отчетный период | ||
| цена за единицу, руб. | количество, тыс, руб. | цена за единицу, руб. | количество, тыс, руб. | |
| А | 30 | 10 | 40 | 9 |
| Б | 8 | 20 | 12 | 30 |
| В | 12 | 5
|
20 | 6 |
Определите:
1) общие индексы цен. физического объема, товарооборота;
2) абсолютное изменение товарооборота и влияние на него отдельных факторов.
Решение:
Будем использовать следующие формулы:
Абсолютный и относительный прирост стоимости реализованной продукции в текущем году по сравнению с базисным:
Изменение общей стоимости за счет отдельных факторов:
1) За счет изменения количества(q)
В индексной системе:
В абсолютном выражении
2) за счет изменения цен на продукцию(p)
В индексной системе:
В абсолютном выражении:
Общее абсолютное изменение результативного показателя составит алгебраическую сумму абсолютных изменений за счет отдельных факторов: