Вычисление стаистических показателей

Среднее абсолютное значение 1% прироста за несколько периодов.

А = 0,08+0,084+0,089+0,095+0,0101 / 5 = 0,07

Выводы:
на основании полученных результатов по анализу динамического ряда о производстве продукции промышленного предприятия за 1994–1999 гг. и проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

– абсолютный прирост производства продукции за 1995 г. больше на 0,4 млн грн чем производство продукции за 1994 г.,

– прирост производства продукции за 1996 г. больше на 0,5 млн. грн. чем производство продукции за 1995 г. и больше на 0,9 млн. грн. чем производство продукции за 1994 г.,

– прирост производства продукции за 1997 г. больше на 0,6 млн. грн. чем производство продукции за 1996 г. и больше на 1,5 млн. грн. чем производство продукции за 1994 г.

– прирост производства продукции за 1998 г. больше на 0,6 млн. грн. чем производство продукции за 1997 г. и больше на 2,1 млн. грн. чем производство продукции за 1994 г.

– прирост производства продукции за 1999 г. больше на 0,6 млн. грн. чем производство продукции за 1998 г. и больше на 2,8 млн. грн. чем производство продукции за 1994 г.

– аналогичные выводы можно сделать по темпу прироста. Он показывает на сколько процентов уровень данного периода больше или меньше предшествующего уровня или уровня взятого за базу.

ЗАДАЧА 4.

Имеются следующие данные о продаже в городе молока на колхозных рынках и в государственной торговле:

Таблица 5.

Вычислить:

1. Индекс цен переменного состава

2. Индекс цен постоянного состава

3. Индекс структурных сдвигов

Покажите зависимость исчисленных индексов. Поясните полученные результаты.

Теоретическое обоснование

Отношение двух взвешенных средних величин с изменяющимися (переменными весами) показывающие изменение индексируемой величины называется индексом переменного состава. Для этого необходимо посчитать среднюю цену по всем местам продажи в городе молока соответственно в базисном и отчетном периодах.

Что бы ликвидировать влияние изменений в структуре весов (количество выпускаемой продукции) на показатель изменения уровня цены, берут отношение средних взвешенных величин с одними и теми же весами, т.е. вычисляют индекс постоянного состава. Для этого среднюю цену продукции в базисном периоде корректируем на структуру фактического выпуска продукции. Тогда формула индекса постоянного состава будет выглядеть так:

Для того, что бы ликвидировать влияние на средний уровень цены изменение цены выпускаемой продукции в каждом определенном месте рассчитывают индекс структурных сдвигов. Он представляет собой отношение среднего уровня цены базисного периода рассчитанного на отчетную структуру производства определенного вида продукции и фактическую среднюю цену в базисном периоде.

Между приведенными выше индексами существует взаимосвязь: индекс переменного состава равен произведению индекса постоянного состава на индекс структурных сдвигов.

РЕШЕНИЕ

Определяем индекс цен переменного состава:

Определяем индекс цен постоянного состава:

Определяем индекс структурных сдвигов:

Взаимосвязь между индексами:

0,85 = 0,8905 ∙ 0,9545

Выводы:
На основании полученных результатов по определенным индексам цен можно сделать следующие выводы:

– индекс переменного состава показывает, что средняя цена молока в городе проданного в государственной торговле и на колхозных рынках снизилась на 15%. Это снижение обусловлено изменением цены молока в каждом месте продажи и изменением удельного веса выпускаемого молока. Для того, что бы выявить влияние каждого из этих факторов на динамику средней цены вычислялись индексы постоянного состава и индекс структурных сдвигов.

– индекс постоянного состава показывает, что средняя цена проданного молока уменьшилась на 11% в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения цены.

– индекс структурных сдвигов показывает, что средняя цена проданного молока уменьшилась на 4% в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет увеличения количества продаваемого молока.

ЗАДАЧА 5.

Имеются следующие данные о норме расхода сырья на единицу изделия:

Таблица 6.

Определить:

1. Средний размер сырья на одно изделие;

2. Среднее линейное отклонение;

3. Дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

4. Коэффициент вариации.

Сделайте выводы.

Теоретическое обоснование

Расчет дисперсии – производят по формуле:

σ2
= Σ (

xi

-

x

)2
∙

fi

/ Σ

fi

Следовательно, прежде всего необходимо найти отклонения вариант от средней (xi

-

xi

), затем возвести их в квадрат ([(

xi

-

xi

)2

]) квадраты отклонения взвесить [(

xi

-

xi

)2

∙

fi

] и просуммировать взвешенные квадраты отклонений [Σ

(

xi

-

xi

)2
∙

fi

.]. Полученную сумму разделить на сумму частот (2).

Среднее квадратическое отклонение устанавливают извлечением корня квадратного из значения дисперсии

σ= √ σ2

Расчет средней, дисперсии и среднего квадратического отклонение производя по формулам указанным выше. Однако в качестве вариант в задачах приведены так называемые «открытые» варианты. В начале следует закрыть варианты, а затем, найдя полу сумму интервалов, ввести их в программу в виде усредняемых значений признака xi и fi – частоты повторения каждой варианты.

Среднее линейное отклонение L– есть средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней и определяется по формуле:

L=(

S

(

Xi

-

X

)*

fi

)/

S

fi

Согласно формуле в начале находят абсолютные отклонения каждой варианты от средней ((Xi-X

), а затем каждое абсолютное отклонение взвешивают ((Xi

-

X

)*

fi

), суммируют взвешенные абсолютные отклонения (S

(

Xi

-

X

)*

fi

) и это суммы делят на сумму частот (S

fi

).

РЕШЕНИЕ

Для упрощения решения представим его в виде таблицы и для нахождения средней и дисперсии воспользуемся способом моментов:

Таблица 7.

Для нахождения средней
и дисперсии
воспользуемся способом моментов:

Х=m1 · i +A; s2
= i 2
(n ·(m2 – m1 2)
;

m1= å((X – A) ·f / i))/åf; m2= å((X – A) / i) 2
·f)/åf;

где

m1, m2 – соответственно моменты первого и второго порядка;

i – величина интервала;

А – варианта, имеющая наибольшую частоту;

F – значение весов или частот каждой варианты.

Наиболее часто встречаются изделия с расходом сырья на единицу продукции =23 г. Значит А=23 (г.).

Определим величину интервала (визуально видно, что интервалы имеют равную величину):

I=22–20=24–22=26–24=2 (г.)

На основании расчетов представленных в таблице найдем Х и s2:

m1
= 3/100 = 0,03; m2
= 95/100 = 0,95;

Х= 0,03 · 2 + 23= 23,06 (г.)

s2
= 4 · (0,95 – 0,03 2
) = 3,8

Найдем среднее квадратическое отклонение
:

s = √3,8 = 1,95 (г.)

2.
Определим среднее линейное отклонение
:

L= 130 / 100 = 1,3 (г.)

3.
Определим коэффициент вариации
:

V= 1,3 / 23,06 = 0,056 (5,6%).

Выводы: на основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

– средний расход сырья на единицу изделия равен ≈ 23 г.

– среднее квадратическое отклонение показывает, что возможно отклонение от среднего расхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения на 1,95 г., что составляет 5,6% (см. коэффициент вариации).

– среднее линейное отклонение также показывает возможное отклонение от среднего расхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, но менее точно, чем среднее квадратическое отклонение, и составляет 1,3 г.

ЗАДАЧА 6

Для определения срока службы металлорежущих станков проведено 10%-е выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные:

Таблица 8.

Определить: с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых ожидается средний срок службы металлорежущих станков.

Теоретическое обоснование

Предельная ошибка выборки это показатель, характеризующий диапазон в котором по обе стороны от выборочной средней или выборочной доли расположатся значения генеральной доли или генеральной средней гарантируемые с определенной вероятностью.

Δ =
t
∙ μ

Δ – величина предельной ошибки выборки

μ – величина средней ошибки выборки

t – коэффициент доверия которому соответствуют вероятности предельной ошибки выборки.

Величина вероятности соответствующие коэффициентам доверия устанавливаются математической статистикой. Вероятности 0,683 соответствует коэффициент доверия равным 1, вероятности 0,954 t = 2, вероятности 0,997 t = 3.

Бесповторная выборка это когда каждая из единиц после регистрации ее признаков обратно не возвращается и в дальнейшем отборе не участвует. При бесповторной выборке сокращается численность единиц участвующих в выборочном наблюдении, поэтому при определении ошибки выборочной средней и выборочной доли признака при бесповторном отборе должна быть учтена численность генеральной совокупности и доля выборки. Если численность генеральной совокупности обозначается через N, то доля выборочной совокупности n будет равна отношению n к N. Поэтому формула средней ошибки выборки будет выглядеть:

РЕШЕНИЕ

Решение представим в виде таблицы.

Таблица 9.

Определяем средний срок службы станков

Х = 678 ∙ 100 = 6,78

Определяем дисперсию

s2
= 447,32 / 100 = 4,47

Находим величину средней ошибки выборки

Величина предельной ошибки выборки будет равна

Δ = 3 ∙ 0,04 = 0,12

Выводы
: с вероятностью 0,997 можно гарантировать, что средний срок службы металлорежущих станков в генеральной совокупности расположиться между 6,78–0,12 = 6,66 года и 6,78+0,12 = 6,9 года.

ЗАДАЧА 7

По данным задачи 1 для выявления тесноты связи между возрастом рабочих и оплатой труда вычислить коэффициент детерминации.

Теоретическое обоснование

Выполнение задания предусматривает расчет показателей, характеризующих случайную и систематическую вариации и их роли в общей вариации. Эти показатели широко используются на производстве при количественной оценке влияния различных факторов на те или иные показатели, осуществляемой с помощью дисперсионного анализа.

Исходя из этого правила, можно определить влияние случайной и систематической дисперсий на общую дисперсию, установить тесноту связи

между признаками.

Для выявления тесноты связи между группировочными и результативными признаками находят линейный коэффициент корреляции.

Коэффициент детерминации вычисляется по формуле

η2
= δ2
вн
/ σ2
об,

Где δ2
вн

- внутригрупповая дисперсия.

σ2
об

- общая дисперсия.

Для оценки влияния группировочного признака (постоянного фактора) на величину вариаций рассчитывают межгрупповую дисперсию, исчисляемую на основании групповых средних

U² – межгрупповая дисперсия;

Xi– групповые средние исчисляются по формуле (1)

X – общее среднее (также исчисляется по формуле (1)

fi– групповые частоты.

При оценке влияния случайных факторов и их роли в общей вариации определяют внутригрупповую дисперсию
. Она исчисляется как средняя арифметическая из групповых дисперсий

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле

η= √ δ2
вн
/ σ2
об,

РЕШЕНИЕ

Определим линейный коэффициент корреляции для выявления тесноты связи между возрастом рабочих и оплатой труда. Таким образом, группировочным признаком в нашей задаче является возраст рабочих х,
а результативным их заработная плата y
.

Таблица 10.

;

Определим внутригрупповую дисперсию

δ2
= ((192 – 236,5)2
· 5 + (280 – 236,5)2
· 5 + (287,5 – 236,5)2
· 4 + (325 – 236,5)2
· 4 + (350 – 236,5)2
· 2) / 20 = 4343

Определим общую дисперсию

s2
= [1481300/20] – [236,5]2
= 18132,75

Определим коэффициент детерминации

η2
= 4343 / 18132,75 = 0,24

Определим эмпирическое корреляционное отношение

η = √ 0,24 = 0,48

Выводы:
На основании полученных результатов по группировке рабочих по возрасту и проведенных расчетов можно сделать следующие выводы: значение коэффициента линейной корреляции, вычисленного по формуле Пирсона равно 1, то связь между возрастом рабочих и оплатой труда тесная. Знак «–» говорит о наличии обратной связи.