МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники (ТУСУР)
Кафедра Экономики
Контрольная работа
по дисциплине “Математические модели в Экономике ”
Вариант №18
Выполнил:
Студент гр. з822
________ Васенин П.К.
Проверила:
________ Сидоренко М.Г.
г. Томск 2003
Задание №1
1. Объём выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда x как функция
. Цена продукции v, зарплата p. Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда.
Решение:
Оптимальное количество вложенного труда обозначим через X*
Определим прибыль
Воспользуемся соотношением - т.е. частные производные приравняем к нулю, найдём оптимальное количество вложенного труда
Задание №2
2. Даны зависимости спроса D=200-2p и предложения S=100+3p от цены. Найдите равновесную
цену, цену при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.
Решение:
Равновесная цена находится путём приравиевания спроса и предложения, т.е. 200-2p=100+3p; p*=20 – равновесная цена.
Найдём прибыль при равновесной цене:
Найдём цену, определяющую максимум выручки:
При p*(200-2p) максимум достигается в точке p’=50 (определили через производную)
W (50)=50*(200-2*50)=5000
Таким образом, максимальная выручка W(p’)=5000 достигается не при равновесной цене.
Задание №3
3. Найти решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры) .
Решение:
1- способ.
Проверим на наличие седловой точки. Седловая точка является одновременно наименьшим элементом строки и наибольшим элементом столбца. В матрице седловой точки нет.
Выигрыш первого есть случайная величина с рядом распределения:
Найдём средний выигрыш за партию Первого – это математическое ожидание случайной величины W(x,y):
Оптимальные стратегии игроков:
2 – способ.
Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой суммой, то для игры с матрицей оптимальные смешанные для 1 и 2 игроков и цена игры получаются из решения уравнений:
Откуда, Оптимальные стратегии игроков:
Задание №4
4. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции . Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невыраженных матриц и приближённо), заполнить схему межотраслевого баланса.
Решение:
I. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближённо, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.
Матрица косвенных затрат первого порядка:
Матрица косвенных затрат второго порядка:
Получаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат (приближённо):
II. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невыраженных матриц:
a) Находим матрицу (E-A):
b) Вычисляем определитель этой матрицы:
c) Транспонируем матрицу (E-A):
d) Находим алгебраические дополнение для элемента матрицы (E-A)’:
Таким образом:
e) Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
Таким образом, расчёты первым и вторым способом получились разные – это произошло из-за того, что второй способ наиболее точен (рассчитан по точным формулам), а первый способ рассчитан приближённо, без учёта косвенных затрат выше второго порядка.
Для заполнения межотраслевого баланса необходимо найти величину валовой продукции:
Схема межотраслевого баланса
| Производящие
отрасли
|
Потребляющие отрасли
|
||||
| 1
|
2
|
3
|
Конечная продукция
|
Валовая продукция
|
|
| 1
2
3
|
2574,67
1839,05
0
|
464,32
232,16
232,16
|
0
0
3328,64
|
640
250
600
|
3678,
2321,6
4160,8
|
| Условно чистая продукция
|
-735,62
|
1392,96
|
832,16
|
1490
|
|
| Валовая продукция
|
3678,
|
2321
|
4160,8
|
|
10160,5
|
Задание №5
5. Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящеё средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (а=0,1), представить результаты графически, определить для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперёд.
Решение:
a) Проверим ряд на наличие выбросов методом Ирвина. Метод Ирвина Служит для выявления аномальных уровней, т.е. – это отдельное значение временного ряда которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве значения уровня ряда, оказывает существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда, и на трендовую модель.
Для выявления аномальных уровней воспользуемся формулой:
Расчётные значения:
| t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
- |
1,06 |
0,53 |
1,06 |
0,53 |
0,53 |
0,53 |
0,53 |
1,06 |
0,53 |
Необходимо, расчётные значения сравнить с табличными критерия Ирвина , и если окажется, что расчётное больше табличного, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальн
Табличные значения для уровня значимости a
=0,05, т.е. с 5% ошибкой:
| n |
2 |
3 |
10 |
20 |
30 |
50 |
100 |
|
|
2,8 |
2,3 |
1,5 |
1,3 |
1,2 |
1,1 |
1 |
Таким образом, при сравнении значений, обнаруживаем, что аномальных уровней нет, т.е. .
b) Сгладим методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:
| t |
|
Метод простой скользящей средней, |
| 1 |
53 |
-- |
| 2 |
51 |
-- |
| 3 |
52 |
52 |
| 4 |
54 |
52,3 |
| 5 |
55 |
53,6 |
| 6 |
56 |
55 |
| 7 |
55 |
55,3 |
| 8 |
54 |
55 |
| 9 |
56 |
55 |
| 10 |
57 |
55,6 |
c) Сгладим экспоненциальным методом с а=0,1 – параметр сглаживания:
| t |
|
Экспоненциальный метод, |
| 1 |
53 |
52,1 |
| 2 |
51 |
51,99 |
| 3 |
52 |
51,99 |
| 4 |
54 |
52,19 |
| 5 |
55 |
52,47 |
| 6 |
56 |
52,82 |
| 7 |
55 |
53,04 |
| 8 |
54 |
53,14 |
| 9 |
56 |
53,42 |
| 10 |
57 |
53,78 |
d) Представим результаты графически:
e) Определим для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель):
Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е. необходимо выполнение следующих условий:
a) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности:
Проверку случайности уровней ряда проведем по критерию пиков, должно выполняться:
| t |
Фактическое |
Расчётное |
Отклонение |
Точки пиков |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
53 51 52 54 55 56 55 54 56 57 |
51,97 52,49 53 53,52 54,03 54,55 55,06 55,58 56,09 56,61 |
1,03 -1,49 -1 0,48 0,97 1,45 -0,06 -1,58 -0,09 0,39 |
-- 1 0 0 0 1 0 1 0 -- |
| 55 |
543 |
542,9 |
0,1 |
3 |
b) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения:
Необходимые условия:
Если эти условия выполняются одновременно, то гипотеза о характере распределения случайной компоненты принимается, если выполняется хотя бы одно из следующих неравенств:
то гипотеза о нормальном распределении отвергается, трендовая модель признаётся неадекватной.
1)
2)
Таким образом, одно из неравенств не выполняется, трендовая модель неадекватна, значит, дальнейшее исследование не имеет смысла.
Задание №6
6. Пункт по приёму квартир работает в режиме отказа и состоит из двух бригад. Интенсивность потока , производительность пункта . Определить вероятность того, что оба канала свободны, один канал занят, оба канала заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускную способности, среднее число занятых бригад.
Решение:
Коэффициент использования (количество заявок, поступающих за время использования одной заявки)
a) Вероятность того, что оба канала свободны:
b) Вероятность того, что один канала занят:
c) Вероятность того, что оба канала заняты:
d) Вероятность отказа в заявке:
e) Относительная пропускная способность:
f) Абсолютная пропускная способность:
g) Среднее число занятых бригад: