Модель прогнозирования параметров финансовых рынков и оптимального управления инвестиционными портфелями

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ.

Выполнил:

Проверил:

г.Пермь 2000.

Построение математической модели прогнозирования поведения является трудной задачей в связи с сильным влиянием политических и других проблем (выборы, природные катаклизмы, спекуляции крупных участников рынка…).

В основе модели лежит анализ некоторых критериев с последующим выводом о поведении доходности и ценовых показателей. В набор критериев входят различные макро- и микроэкономические показатели, информация с торговых площадок, экспертные оценки специалистов. Процедура прогнозирования состоит из этапов:

1. Подготовка и предварительная фильтрация данных;

2. Аппроксимация искомой зависимости линейной функцией;

3. Моделирование погрешности с помощью линейной сети.

Но для повышения точности модели практикуется нелинейный анализ с использованием многослойной однородной нейронной сети. Этапы проведения нелинейного анализа в системе совпадают со стандартными шагами при работе с нейросетями.

1-й этап
. Подготовка выходных данных.

Выходными данными являются zi
= yi
-pi

, где yi

- реальное значение прогнозируемой величины на некоторую дату, pi

- рассчитанное на эту дату с помощью линейного анализа.

2-й этап
. Нормирование входных сигналов.

(1)

где xi
j

- j-я координата некоторого критерия Xi

,
M[Xi
]
- выборочная оценка среднего квадратичного отклонения.

3-й этап
. Выбор функции активации и архитектуры нейронной сети.

Используются функции активации стандартного вида (сигмоидная, ступенчатая), а также следующего вида:

(2)

(3)

(4)

(5)

Архитектура нейронной сети представлена на рисунке:

S1

f1

вектор

входных

S

сигналов вектор

выходн.

f1

Sm

Вектор сигналов

входных

сигналов

Введены следующие обозначения: Sj
- линейные сумматоры; fj

- нелинейные функции; используемые для аппроксимации; S - итоговый сумматор.

4-й этап. Выбор алгоритма обучения нейронной сети, основанного на одном из следующих методов: обратного распространения ошибки, градиентного спуска, метода сопряженных градиентов, методе Ньютона, квазиньютоновском. Методы оцениваются по времени, затрачиваемому на обучение и по величине погрешности.

5-й этап. Итоговые вычисления границ прогнозируемого значения:

P=P
лин

+Рнелин

±
Енелин

где Р
— итоговое прогнозируемое значение, Рлин

и Рнелин

значение линейного и нелинейного анализов. Енелин

— погрешность полученная на этапе нелинейного анализа.

Результаты задачи прогнозирования используются в построенной на ее основе задаче оптимального управления инвестиционным портфелем. В основе разработанной задачи управления идея минимизации трансакционных издержек по переводу портфеля в класс оптимальных.

Используемый поход основан на предположениях, что эффективность ин

вестирования в некий набор активов является реализацией многомерной случайной величины, математическое ожидание которой характеризует доходность (
m={mi
}i=1..n
,
где
mi
=M[Ri
], i=1..n
)
, матрица ковариаций — риск (
V=(Vij
), i,j=1..n,
где
Vij
=M[(Ri
-mi
)(Rj
-mj
)],i,j=1..n
)
. Описанные параметры (m,V) представляют собой оценку рынка и являются либо прогнозируемой величиной, либо задаются экспертно. Каждому вектору Х
, описывающему относительное распределение средств в портфеле, можно поставить в соответствие пару оценок: mx
=(m,x), Vx
=(Vx,x)
. Величина mx

представляет собой средневзвешенную доходность портфеля, распределение средств в котором описывается вектором Х
величина V
х
(вариация портфеля [3,5]) является количественной характеристикой риска портфеля х
. Введем в рассмотрение оператор Q
, действующий из пространства Rn

в пространство R2

(критериальная плоскость [3]), который ставит в соответствие вектору х
пару чисел (
mx
, Vx

)
:

Q: Rn-R2
Û
"
x
Ì
Rn
, x
®
((m,x),(Vx,x)).
(7)

В задаче управления допустимыми считаются только стандартные портфели, т.е. так называемые портфели без коротких позиций. Правда это накладывает на вектор х два ограничения: нормирующее условие (е,х)=1
, где е
– единичный вектор размерности n, и условие неотрицательности доли в портфеле, х
>=0
. Точки удовлетворяющие этим условиям образуют dв пространствеRn

так называемый стандартный (n-1)-мерный симплекс. Обозначим его D
.

D
={x
Ì
Rn

½
(e,x)=1, x
³
0}

Образом симплекса в критериальной плоскости будет являться замкнутое ограниченное множество оценок допустимых портфелей. Нижняя граница этого множества представляет собой выпуклую вниз кривую, которая характеризует Парето – эффективный с точки зрения критериев выбор инвестора (эффективная граница [3], [5]). Прообразом эффективной границы в пространстве Rn

будет эффективное множество портфелей [5]. Обозначим его как y
. Данное множество является выпуклым: линейная комбинация эффективных портфелей также представляет собой эффективный портфель [3].

Пусть в некоторый момент времени у нас имеется портфель, распределение средств в котором описывается вектором х
. Тогда задачу управления можно сформулировать в следующем виде: найти такой элемент y
, принадлежащий y
, что r
(y,x)
. Иными словами, для заданной точки х
требуется найти ближайший элемент y
, принадлежащий множеству Y
. В пространстве Rn

справедлива теорема, доказывающая существование и единственность элемента наилучшего приближения х
элементами множества Y
[6]. Метрика (понятие расстояния) может быть введена следующим образом:

r
(x,y)=
a
S
i=1,n

sup(yi
-xi
,0)+
b
S
i=1..n

sup(xi
-yi
,0)
, (9)

где a
>0
— относительная величина издержек при покупке, b
>0
— относительная величина издержек при продаже актива.

Литература

1. Сборник статей к 30-ти летию кафедры ЭК. ПГУ.

2. Ивлиев СВ Модель прогнозирования рынка ценных бумаг. 6-я Всероссийская студенческая конференция «Актуальные проблемы экономики России»: Сб.тез.докл. Воронеж, 2000.

3. Ивлиев СВ Модель оптимального управления портфелем ценных бумаг. Там же.