Для вирішення задачі лінейного програмування, потрібно записати вихідну задачу в формі задачі лінейного програмування, а потім застосовувати симплекс-метод . Основною задачею лінійного програмування – задача для якої:
1. потрібно визначити максимальне значення ф-ції
2. всі обмеження записані в вигляді рівностей
3. для всіх змінних виконується умова невідємності
Якщо обмеження має вид нерівності зі знаком >=, то шляхом множення його на (-1) переходять до нерівності зі знаком <=.
Від обмежень нерівностей необхідно перейти до обмежень рівностей. Такий перехід виконується шляхом введення в ліву частину кожної нерівності додаткових незалежних невідємних змінних. При цьому знак нерівності міняють на знак рівності.
Вихідне завдання:
F = 5х1
+6х2
max
-10x1
- 6x2
³-60
-4x1
+ 9x2
£ 36
4x1
- 2x2
£ 8
x1
,x2
³0 x1
,x2
-цілі числа
Основна задача:
F = 5х1
+6х2
max
10x1
+ 6x2
+ х3
=60
-4x1
+ 9x2
+х4
= 36
4x1
- 2x2
+х5
= 8
x1
,x2
,x3
,x4
,x5
³0 x1
,x2
-цілі числа
Кожній змінній в системі відповідає свій вектор – стовпець. Вектор – стовпець Ро
складається із значень правих частин рівнянь і називається вектором вільних членів.
Виходячи з основного завдання, складаєм симплекс-таблицю.
| № рядка |
Базис |
Сб
|
Р0
|
Р1
|
Р2
|
Р3
|
Р4
|
Р5
|
| 1 |
Р3
|
0 |
60 |
10 |
6 |
1 |
0 |
0 |
| 2 |
Р4
|
0 |
36 |
-4 |
9 |
0 |
1 |
0 |
| 3 |
Р5
|
0 |
8 |
4 |
-2 |
0 |
0 |
1 |
| 4 |
F |
0 |
-5 |
-6 |
0 |
0 |
0 |
Таблиця № 1 – Вихідна симплекс-таблиця
Знаходження оптимального розвязку ЗЛП за допмогою с-м включає слідуючі етапи:
1. За вихідною с-т знаходять опорне рішення
Кожній с-т відповідає своє опорне рішення. Воно може бути представлене у вигляди вектора Х Розмірніст вектора дорівнює кількості змінних в основній задачі.
Кожній змінній в симплекс таблиці відповідає свій вектор. Змінній x1
—вектор Р1
і т.д.
Вектор Р0
складений із вільних членів рівнянь. Кожний рядок симплекс-таблиці – рівняння відповідно. Четвертий рядок—рядок оцінок в ньому записують коефіцієнти при змінних в цільовій ф-ції з протилежним знаком і визначається розв’язуємий стовпець, беруться модулі від’ємних чисел з цієї строки. В векторі Х кожній змінній відповідає певна компонента. Змінній х1
перша компонента змінній х2
—друга. Значення компонент визначають слідуючим чином, якщо вектор базисний, то компонента дорівнює значенню компоненти вектора стовпця Р0
з того рідка де в базисі стоїть 1.
У вихідній таблиці вектори Р1
, Р2
– не базісні, тобто в Х – перша и друга компоненти = 0
Х=(0;0;60;36;8)
2. Зясовують, мається хочаб одне відємне значення врядку оцінок ( рядок 4) Якщо нема – то план оптимальний, якщо є – треба переходити до новій с-т.
Рядок оцінок має (-5) та (-6), отже данний опорний план – не оптимальний.
3. Знаходять визначальний стовпець. Стовпець називають визначальним, якщо в рядку оцінок у нього найбільше за модулем значення. Маємо стовпець Р2
|-6|>|-5|
4. Знаходимо визначальний рядок. Визанчальним назівається такий рядок, який відповідає найменшому з відношень компонентів стовпця Ро
до додатніх компонентів визначального стовпця. (Рядок оцінок до уваги не приймається)
Min = ( 60/6; 36/9) = 4 – рядок 2.
5. Будують наступну с-т .
Для цього кожний елемент таблиці перераховуємо за формулою
aij
=aij
- (аі
k
*
аnj
)/ank
де k-номер розв’язувального стовпця, а n- номер розв’язувального рядка
aij
—елемент строки- і, стовпця- j нової сиплекс таблиці
aij
—елемент строки- і, стовпця-j попередньої симплекс-таблиці
аі
k
-- елемент що знаходиться у визначальному стовпці попер. с-т.
аnj
-- елемент що знаходиться у визначальному рядку попер с-т.
ank
– элемент що стоїть на перехресті визн рядка и строки у попер сим-т.
a10
= 60 – (36*6)/9 = 36
a11
= 10 +(6*4)/9 = 38/3
| № рядка |
Базис |
Сб
|
Р0
|
Р1
|
Р2
|
Р3
|
Р4
|
Р5
|
| 1 |
Р3
|
0 |
36 |
0 |
0 |
-1 1/5 |
0 |
|
| 2 |
Р2
|
6 |
4 |
-4/9 |
1 |
1 |
1/5 |
0 |
| 3 |
Р5
|
0 |
16 |
28/9 |
0 |
0 |
3/5 |
1 |
| 4 |
F |
24 |
-23/3 |
0 |
0 |
1 1/5 |
0 |
Таблиця № 2
Х1
=(0;4;36;0;16) F(X1
) = 24
В рядку оцінок є одне відємне число. Тому Р1
– визначальний стовпець
Min = ( 36/38*3;16/4;9) = 54/19 – визначальний рядок Р3
Таблиця № 3
| № рядка |
Базис |
Сб
|
Р0
|
Р1
|
Р2
|
Р3
|
Р4
|
Р5
|
| 1 |
Р1
|
5 |
54/19 |
1 |
0 |
3/38 |
-1/19 |
0 |
| 2 |
Р2
|
6 |
100/19 |
0 |
1 |
2/57 |
5/57 |
0 |
| 3 |
Р5
|
0 |
136/19 |
0 |
0 |
-14/57 |
22/57 |
1 |
| 4 |
F |
870/19 |
0 |
0 |
21/38 |
5/19 |
0 |
X3
= ( 54/19;100/19;0;0;136/19) F3
(X3
) = 45 15/19
В рядку оцінок нема відємних значень, тому даний опорний план є оптимальним. Але не виконується умова цілочисельності, тому слід застосувати відсічення по методу Гоморі.
2. Застосування і побудова відсічення по методу Гоморі
х1
=54/19, х2
=100/19
До системи обмежень основного завдання добавляємо ще одну нерівність виду: F(a*
ij
)*xij
>= F(b*
ij
), де a*
ij
і b*
ij
дробови частини чисел.
Під дробовою частиною числа а розуміють найменше невідємне число в і таке, що а – в є цілим числом.Якщо в оптимальному плані вихідного завдання дробового значення приймають декілька змінних, то додаткова нерівність будується для змінної, в якої найбільша дробова частина.
F(x1
)>F(x2
) (16/19 >5/19)
-3/38х3
-18/19х4
+ х6
= -16/19
таблиця № 4
| № рядка |
Базис |
Сб
|
Р0
|
Р1
|
Р2
|
Р3
|
Р4
|
Р5
|
Р6
|
| 1 |
Р1
|
5 |
54/19 |
1 |
0 |
3/38 |
-1/19 |
0 |
0 |
| 2 |
Р2
|
6 |
100/19 |
0 |
1 |
2/57 |
5/57 |
0 |
0 |
| 3 |
Р5
|
0 |
136/19 |
0 |
0 |
-14/57 |
22/19 |
1 |
0 |
| 4 |
Р6
|
0 |
-16/19 |
0 |
0 |
-3/38 |
-18/19 |
0 |
1 |
| 5 |
F |
870/19 |
0 |
0 |
23/38 |
5/19 |
0 |
0 |
Х4
= ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4
) = 45 15/19
Т.к. опорний план містить відємну змінну то треба застосувати подвійний
с. м.
3.
Відшукання розвязку ЗЛП подвійним с-м включає слідуючі етапи
:
1. Знахдять опорне рішення
Х4
= ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4
) = 45 15/19
2. Перевіряють знайдений опорний розвязок на оптимальність.
Розвязок не оптимальний, тому слід перейти до нового опорного рішення.
3. Вибираемо визначальний рядок. Визначальним називається той, який відповідає найбільшому за модулем відємному значенню в стовпцю Ро
Рядок № 4
4. Вибираємо визначальний стовпчик. Той, який відповідає найменшему відношенню рядка оцінок до ньгого. (по модулю)
Min = (23/38*38/3;5/19*19/18) = 5/18 стовпець Р4
Таблиця № 5
| № рядка |
Базис |
Сб
|
Р0
|
Р1
|
Р2
|
Р3
|
Р4
|
Р5
|
Р6
|
| 1 |
Р1
|
5 |
26/9 |
1 |
0 |
1/12 |
0 |
0 |
-1/18 |
| 2 |
Р2
|
6 |
140/27 |
0 |
1 |
1/36 |
0 |
0 |
5/54 |
| 3 |
Р5
|
0 |
1048/171 |
0 |
0 |
-13/38 |
0 |
1 |
11/9 |
| 4 |
Р4
|
0 |
8/9 |
0 |
0 |
1/12 |
1 |
0 |
-19/18 |
| 5 |
F |
410/9 |
0 |
0 |
7/12 |
0 |
0 |
5/18 |
Х5
= (26/9;140/27;0;0;8/9;1048/171) F5
= 45 5/9
F(x1
) = f ( 2 8/9) = 8/9
F (x2
) = f ( 5 5/27) = 5/27
-1/12х3
– 17/18х6
+ х7
= -8/9
таблица № 6
| № рядка |
Базис |
Сб
|
Р0
|
Р1
|
Р2
|
Р3
|
Р4
|
Р5
|
Р6
|
Р7
|
| 1 |
Р1
|
5 |
26/9 |
1 |
0 |
1/12 |
0 |
0 |
-1/18 |
0 |
| 2 |
Р2
|
6 |
140/27 |
0 |
1 |
1/36 |
0 |
0 |
5/54 |
0 |
| 3 |
Р5
|
0 |
1048/171 |
0 |
0 |
-13/38 |
style="text-align:center;">0
|
1 |
11/9 |
0 |
| 4 |
Р4
|
0 |
8/9 |
0 |
0 |
1/12 |
1 |
0 |
-19/18 |
0 |
| 5 |
Р7
|
0 |
-8/9 |
0 |
0 |
-1/12 |
0 |
0 |
-17/18 |
1 |
| 6 |
F |
410/9 |
0 |
0 |
7/12 |
0 |
0 |
5/18 |
0 |
Таблица № 7
| № рядка |
Базис |
Сб
|
Р0
|
Р1
|
Р2
|
Р3
|
Р4
|
Р5
|
Р6
|
Р7
|
| 1 |
Р1
|
5 |
50/17 |
1 |
0 |
3/34 |
0 |
0 |
0 |
-1/17 |
| 2 |
Р2
|
6 |
260/51 |
0 |
1 |
1/57 |
0 |
0 |
0 |
5/57 |
| 3 |
Р5
|
0 |
1608/323 |
0 |
0 |
-436/969 |
0 |
1 |
0 |
11/17 |
| 4 |
Р4
|
0 |
32/17 |
0 |
0 |
3/17 |
1 |
0 |
0 |
-19/17 |
| 5 |
Р6
|
0 |
16/17 |
0 |
0 |
3/34 |
0 |
0 |
1 |
-18/17 |
| 6 |
F |
770/17 |
0 |
0 |
19/34 |
0 |
0 |
0 |
5/17 |
Х6
= ( 50/17;260/51;0;32/17;1608/323;16/17) F6
= 45 5/17
Будуємо нове відсічення:
F(x1
) = f(2 16/17) = f(16/17) = 16/17
F(x2
) = f (5 5/51) = f(5/51) = 5/51
F(x1
)> F(x2
)
-3/34x3
– 16/17x7
+ x8
= -16/17
таблица №8
| № рядка |
Базис |
Сб
|
Р0
|
Р1
|
Р2
|
Р3
|
Р4
|
Р5
|
Р6
|
Р7
|
Р8
|
| 1 |
Р1
|
5 |
50/17 |
1 |
0 |
3/34 |
0 |
0 |
0 |
-1/17 |
0 |
| 2 |
Р2
|
6 |
260/51 |
0 |
1 |
1/57 |
0 |
0 |
0 |
5/57 |
0 |
| 3 |
Р5
|
0 |
1608/323 |
0 |
0 |
-436/969 |
0 |
1 |
0 |
22/17 |
0 |
| 4 |
Р4
|
0 |
32/17 |
0 |
0 |
3/17 |
1 |
0 |
0 |
-19/17 |
0 |
| 5 |
Р6
|
6 |
16/17 |
0 |
0 |
3/34 |
0 |
0 |
1 |
-18/17 |
0 |
| 6 |
Р8
|
0 |
-16/17 |
0 |
0 |
-3/34 |
0 |
0 |
0 |
-16/17 |
1 |
| 7 |
F |
770/17 |
0 |
0 |
19/34 |
0 |
0 |
0 |
5/17 |
0 |
Таблица №9
| № рядка |
Базис |
Сб
|
Р0
|
Р1
|
Р2
|
Р3
|
Р4
|
Р5
|
Р6
|
Р7
|
Р8
|
| 1 |
Р1
|
5 |
3 |
1 |
0 |
3/32 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 2 |
Р2
|
6 |
5 |
0 |
1 |
1/96 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 3 |
Р5
|
0 |
70/19 |
0 |
0 |
-521/912 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
| 4 |
Р4
|
0 |
3 |
0 |
0 |
9/32 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 5 |
Р6
|
0 |
2 |
0 |
0 |
3/16 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| 6 |
Р7
|
0 |
1 |
0 |
0 |
3/32 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
| 7 |
F |
45 |
0 |
0 |
17/32 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Х*
=(3; 5) F*
=45
4. Геометирчна интерпретація процесу розвязку.
Геометирчна интерпретація процесу розвязку дозволяє наглядно проілюстровати процесс знаходження оптимального плану.
1) Будують прямі, рівняння яких отримують в результаті заміни в обмеженнях знаків нерівностей на знаки =.
10x1
+ 6x2
=60 (1)
-4x1
+ 9x2
= 36 (2)
4x1
- 2x2
= 8 (3)
x1
=0, (4)
x2
=0 (5)
Графіком рівняння x1
= 0 є вісь ординат, x2
=0 – вісь абсцисс.
Графіки решти рівнянь будують так. Оскільки графіки – це прями, то достатньо для кожного рівняння знайти дві точки, задовільнюючі йому, і через них провести пряумю.
2) Визначають область допустимих значень.
Область допустимих значень знаходиться в перший чверті координат, т.к. x1
,x2
³0 x1
,x2
-цілі числа
На коорд. Площині вибирають довільну точку і перевіряють виконання тотожністів рівняннях-обмеженнях. Якщо тотожність вірна, то дана нпівплощина – площина напівплощина допустимих рішень.
3) Будують радіус-вектор.
10
М
4
(2)
6
-9
(3)
(1)
-4
10
В М
4
( I )
|
(2)
6
-9
(3)
(1)
-4
В точці В, що є оптимальною за даних умов, перетикаються (I) відсічення та (1) обмеження. Знайдемо координати т.В
-3х1
+ 9х2
= 38 х1
=26/9
т.В (26/9; 140/27)
10х1
+ 6х2
= 60 х2
=140/27 F ( B) = 45 5/9
-1/12х3
– 17/18х6
= -8/9 – второе отсечение.
-1/12х3
*(60 – 10х1
- 6х2
) – 17/18*(38 + 3х1
– 9х2
) = -8/9
-2х1
+ 9х2
= 40 – уравнение 2-го отсечения
.
Х7
= 40 + 2х1
- 92
10
В М
С
4
|
( II ) (I)
(2)
6
-9
2 16/17
-20 (II) (3)
(1)
-4
10
В М
С
D
4
(III)
( II ) (I)
(2)
6
-9
2 16/17
-20 (II) (3)
(1)
-4
Уравнение третьего отсечения:
-3/34х3
– 16/17х7
= -16/17
х7
находится из 2 го ограничения
-3/34 * ( 60 – 10х1
– 6х2
) – 16/17*(40 + 2х1
– 9х2
) = -16/17
-х1
+ 9х2
= 42 – ур. Третьего отсечения
В т. D пересекаются (1) и (III)
10х1
+ 6х2
= 60
-х1
+ 9х2
= 42
х1
=3; х2
=5. F(D)=45
т.D (3;5)
Вывод:
экономико-матем. модел. испольузется в экономике для решения различного рода заданий, для оптимизации их. В данной к.р. использованы симплекс метод,….. отсечения Гомори, двойной симплекс метод. Геометрическая интерпретация показывает весь ход решения.
Список використаної літератури:
1.
Кузнецов Ю.Н. “Математическое програмирование:(учебное пособие для экономических специальностей ”
2.
Оптимізація єкономічних показників з врахуванням умови цілочисленності: “Методичні вказівки до виконання курсової роботи з дисципліни “Економіко математичне моделювання для студентів економічних спеціальностей”(Викладач Іванов Л.П. –Чернігів: ЧТІ,1998-20с)”