Эк. Кибернетика.
Игра –
матем. Модель конфликтной ситуации.
Стратегия игрока –
это правила выбора действий в сложившейся ситуации.
Решение игры –
это нахождение оптимальной стратегии для каждого игрока, т.е. нахождение цены игры.
Оптимальная стратегия игрока –
это стратегия, которая в среднем (настрив. на длительную игру) дает игроку возможный наибольший выигрыш.
Неонтогонистическая –
если выигрыш одной из сторон склад. из проигрыша др. стороны, иначе антогонистическая –
выигрыш одного равен проигрышу др.
Матричные игры.
-
самые простые игры. Играют 2 чел. У каж конечное число стратегий. Список стратегий известен каж играющему, т.е. игра с полной инф. Игра одноходовая.
Величина выигрыша известна заранее, опис. В числовых единицах. Оба дейст. Сознательны, никто не поддается. Игра яв-ся антогонистической. Правила определяют победителя.
Игры с седловой точкой обладают св-м устойчивости –
если один игрок примен оптим стратегию, то др. игроку не выгодно отклон-ся от своей оптим стратегии.
Первонач сведен по т. вероятности.
Случайные событие –
это событие, которое может произойти или не произойти в данной ситуации.
Вероятность –
это количественная характеристика, мера появ-я событий.
P(
А)=(число благопр. событий)/(общее число событий).
М(х)=
å
i
хi
pi
–
матем. ожидание
.
D(x)=
å
i
х2
i
pi
–
(M(x))2
–
дисперсия.
s
(x)=
Ö
D(x) –
средне квадратичное отклонение
– показывает степень разбросанности значений случайной величины относительно матем. ожидания.
Правило 3 сигм (
s
)
:
P
í
M(x)-3
s
(x)<x<M(x)+3
s
(x)
ý
= 0
,997
÷
Вероятность того, что сличайная величина х попадает в интервал с концами матем. ожидания -3s(х) и +3s(х) равняется 0,997.
Многоуголь. распределение –
ломанная линия соед-я последовательно точки с коор-ми (хi
;pi
).
Смешанные стратегии.
- распределение вероятностей на множестве его чистых стратегий, обобщение обычной стратегии.
Чистая стратегия –
это стратегия, которая применяется с вероятностью 1.
Теорема Неймана
:
Любая матричная игра имеет оптимальное решение возможно среди смешанных стратегий.
Стратегия А
i
активная первого игрока
– если вероятность исполь-я в оптим стратегии больше нуля (Аi
-акт, если р*
i
>0); S*
A
- оптим стратегия.
Стратегия В
j
активная второго игрока –
если вероятность исполь-я ее в опти стратегии больше нуля (Bi
-акт, если q*
i
>0); S*
B
- оптим стратегия.
Неактивная стратегия –
вероятность применения, которой в оптим стратегии равна нулю.
Теорема устойчивости:
Если один игрок применяет свою оптим стратегию, то 2 игроку не выгодно выходить за рамки своих активных стратегий.
Теорема
:
В матр. игре количество активных стратегий у каж игрока одинаковое.
Применение решений в усл. неопределенности.
Рассмотрим игру человек и природа. Человек –
лицо принимающее решение. Природа
– экон-я среда в состоянии рынка.
Отличия от матричной игры
:
Активные решения принимает только чел, он хочет найти наиболее оптим решение. У природы стихийное поведение и она не стремится к выигрышу. Считается, что чел знает список сост природы, но не знает какое из них будет фактическим. В игре с природой чел труднее сделать свой выбор, поэтому сущ несколько подходов нахождения оптимального решения.
Подход определяется склонностью чел к риску.
Риск –
это может быть упущенная выгода или необход понести дополнит произв-е затраты.
Элементы матрицы –
это ожидание резуль. Деятельности в завис от сост природы.
1) Подход махмах
“
оптимистический”
:
В каж точке мы находим макс элемент и после этого находим макс из полученных чисел. gi
=maxj
aij
Þg=maxi
gi
=gi0
Þ выб Аi0
.
Выбираем макс значение. Чел ориентир на самый лучший возмож результат, не обращ внимание на возмож неудачи.
2) Критерий Вальда – критерий пессимизма
:
Находим в каж строчке миним элемент и выбираем ту стратегию, которая дает макс гарантируемый доход.
ai
=minj
aij
Þa=maxi
ai
=ai
Þ выб Аi0
.
3)Критерий Гурвица (
l
) – ур пессимизма
:
Человек выбирает 0£l£1. Находим число a
i
=
l
a
i
+(1-
l
)
g
i
Þa
maxi
a
i
=
a
i0
Þвыб Аi0
. Если l=1 – кр Вальда (пессимизма), если l=0 – кр оптимизма. Конкретная величина l опред-ся эк-ой ситуацией.
4) Критерий Сэвиджа – кр минималь
:
Состав март риска по формуле rij
=
b
j
-аij
.
bij
=max aij
Þ rij
=bj
-aij
.
R=(rij
) –матр риска; ri
=maxj
rij
Þ mini
ri
=ri0
Þ выб Аi0
.
Если бы мы знали, то мы бы выбрали наиболее эф-е решение. Для самого эф-го решения: rij
=0 (если Пj
) Þ Аi
. Риск = величине упущенной возможности.
У каж критерия есть свои особенности применения. Если мы оценив ситуацию по разным критериям, то мы можем принять более обоснован решение. Трудность обоснования яв-ся, что природа не стремится к выигрышу.
Принятие решения в усл риска.
Рассотрим вариант игры чел и природы в случаи, когда нам известно сост природы. Природа к выигрышу не стремится. Находим стратегию, которая приносит макс средний доход. Средний доход расчитывается по правилу теории вероятности.
Величина среднего дохода
равна матем ожиданию при этой стратегии.
1) М(Ai
)=n
åj=1
aij
pj
Находим макс maxi
M(Ai
)
2) Правило минималь среднего риска. R=(Ai
)=n
åj=1
rij
pj
. Находим наимень mini
R(Ai
).
Лемма
:
Указ выше 2 критерия в результате всегда приводят к выбору одной и той же оптим стратегии.
Док-во: Найдем миним сред риска mini
R(Ai
)= mini
åj
rij
pj
= mini
(åj
(bj
-аij
)pj
)= mini
(åj
bj
pj
-åj
аij
pj
)={åj
bj
pj
– не зависит от переменной i, значит это const С}= mini
(С-åj
аij
pj
)Þ минимум разности соот-ет максимуму вычитаемого.
maxi
åj
аij
pj
=M(Ai
).
Номера стратегий, на которых достиг миним среднего риска, равны номерам стратегий обеспеч наиболь средний выигрыш.
Бейссовский подход нахождения оптимального решения.
Бейсовский подход:
Если первонач распредел вероятности мы получ доход `Q`
. Если мы можем провести эксперемент дающий новое распред вероятности в завис от первонач `Q`
и нового `Q’ , мы делаем свой выбор стратегии. p'Þ`Q’`
.
Некоторые св-ва матричной игры.
Замеч№1
О масштабе игр
:
Пусть даны 2 игры одинаковой размерности с платежной матрицей р(1)
и р(2)
. При чем при любых i и j выпол (а(2)
ij
=aa(1)
ij
+b), некоторые числа a и b. Тогда: 1) опт стратегии 1 игрока в 1 и 2 игре одинаковые. Опт стратегии 2 игрока одинаковы в обеих играх.
2) Цена второй игры V2
=aV1
+b.
Для некот методов решений все элементы матр должны быть не отрицательными.
Заме№2 О доминировании стратегий
:
Этот прием применяется для умень размерности игры.
А
:
Аi
доминирует над Ак
(Аi
>Ак
), если для любого j выпол нерав-во аij
>akj
и хотя бы одно из этих нерав-в строгое.
Ак
– заведомо невыгодна; сред размер выигрыша меньше; р*
к
=0, стратегия пассивная.
В
:
Вj
доминирует над Вt
(Вj
>Вt
), если для любого i выпол нерав-во аij
>ait
и хотя бы одно из этих нерав-в строгое.
Bt
– невыгодна Þ q*
t
=0 – актив стратегия.
Доминир стратегии вычеркиваются и получ матр меньшей размерностью.
Замеч№3 Сравнение операций по методу Парето
:
Допустим есть операции Q1
, Q2
,… Qn
. Для каж опер-и расчит 2 параметра: 1) E(Q) – эффективность (доход);
2) r(Q) – степень риска (s-сред квадратич отклон).
Самая лучшая операция – это опер с наилуч эф-ю и с наимень риском. F(Q)=
k
E(Q)-r(Q)
,
где k - это склонность к риску (не мат проблема). Находим макс из этих критериев maxi
F(Qi
). Операция Qi
>Q,
если эф-ть не менее E(Qi
)³E(Qj
), а риск опер r(Qi
)£r(Qj
) и хотя бы одно из нерав-в строгое.
Доминир страт отбрас, как заведомо невыгодные.
Множ Парето –
это все недоминир-е операции. Наиболее эф-е среди них.
Понятие о позиционных игр.
У каж игрока своя платежная матрица. Выигрыш одного не означ проигр др. Таким способом можно высчитывать взаимные интересы игроков, а также возможность образования коалиции. Можно расчит динамические игры учитывая фактор времени и т.д.
Позиционные игры
–
возникает в случаи, когда надо принимать последо-но несколько решений, при чем выбор решения опираются на предыдущ-е решения.
Рассотрим простейш случ позиц-й игры с природой. Решение изобр в виде дерева решений.
Дерево решений –
граф-е изобр-е всех возможных альтернатив игрока и сост природы с указ вероятности соответ-х состояний и размеров выигрыша в каж ситуации.
Альтернатива игрока
изобр квадратом – список возможных стратегий в соот-й ситуации. Сост-е природы кружочком, чел на них влиять не может. Делается оценка каж вершины и наход макс оценка ситуаций соот-х каж ветви дерева решений.
EMV
–
денежное решение; EMV=
å
i
(
отдача в
i-
ом сост-и
)pi
maxвершина
(EMV)=?