Исследование статистических характеристик случайной последовательности

Министерство Образования Республики Таджикистан

Таджикский Технический Университет

имени М.С. Осими

Кафедра «АСОИиУ»

Лабораторная работа №1

На тему: Исследование статистических характеристик

случайной последовательности.

Душанбе-2010

Лабораторная работа №1. Исследование статистических характеристик случайной последовательности

Цель работы:

1.Освоение методов оценки закона распределения и вероятностных характеристик случайной последовательности: математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения и автокорреляционной функции.

2.Освоение метода проверки гипотезы о законе распределения по критерию согласия хи- квадрат Пирсона.

3.Исследование свойств базовой псевдослучайной последовательности.

Теоретические сведения.

Оценка вероятностных характеристик
.

Числовая последовательность Х1,Х2,...Хn, статистические характеристики которой требуется определить считается реализацией стационарной эргодической случайной последовательности Х1,Х2,...хn. Вероятностные характеристики случайной последовательности неизвестны и подлежат оценке с помощью соответствующих статистических характеристик числовой последовательности. При вероятностном моделировании последовательности Х1,Х2,...хn представляет собой совокупность результатов отдельных опытов. В данной лабораторной работе в качестве такой последовательности Х1,Х2,...хn рассматриваются псевдослучайные числа вырабатываемые генератором, построенным на М – последовательности (датчиком случайных чисел) в котором

M= g ⁿ -1 (1)

Где М – общее количество чисел, вырабатываемых генератором

g-основание системы исчисления

n- Количество разрядов в генераторе.

Генератор строится на базе регистра Хi(i=1,n),состоящего из ячеек , в которые записываются целые числа от 1 до g. Случайные числа М- последовательности снимаются с последнего элемента Хn. Числа записанные в ячейки Xm и Xn складываются по модулю g

R= Xm + Xn(2)

И приводится сдвиг чисел в регистре:

Xn-i= Xn-j-I (i=0,..n-2) (3)

В первую ячейку записывается содержимое сумматора Xi=R

Такая процедура повторяется М – раз, в процессе которой получается исследуемая базовая псевдослучайная последовательность Х1,Х2,...хn, где M=N. Для данной последовательности рассчитываются ее вероятностные характеристики.

Математическое ожидание
M
(
Xi
)=
m
оценивается по формуле:

m* =1/N ∑ Xi(5)

Дисперсия
Dx
оценивается по формуле:

Dx= 1/n-1∑(xi-mx)² (6)

Среднеквадратическое отклонение оценивается по формуле:

n

(м*=1/n∑xi) δ*= √D* (7)

i=1

Aавтокорреляционная функция (нормированная) представляет собой последовательность коэффициентов корреляции, зависящих от величины сдвига, как от аргумента.

K(r)=1/D · M[(xi - m)(xi + r-m)]

Ее оценка вычисляется:

K*(r)=1/D*(N-r-1)n
-2
∑i
=1
[(xi-m*)(xi+r-m*)]=1/D*(1/N-r-1)n
-2
∑i
=1
xixi+r-(N-r)/(N-r-1)m* (8)

Оценка закона распределения
.

Одномерный закон распределения при большом объеме последовательности оценивается статистическим рядом, графическое изображение которого называется гистограммой. При малом объеме последовательности, когда N не превосходит несколько десятков, используется статистическая функция распределения, называемая также выборочной и эмпирической.

Для построения гистограммы диапазон возможных значений элементов последовательности разбивается на е

участков точками U1,U2,Ue

Крайние точки Uo и Ue могут быть бесполезными. Длины участков ΔU могут быть необязательно одинаковыми. Если они различны, то чаще всего называются так, чтобы вероятности попадания на все участки были одинаково близки друг к другу. В связи с тем, что моделируемый генератор вырабатывает целые случайные числа от 1 до g , то участки выделяются точками U1=1;U2=2;Ue=g.

Статистический ряд- это совокупность чисел V1,V2,Ve , где Vj0- количество элементов последовательности, удовлетворяющее неравенствуUj-1 < Xi<
Uj т.е попавших в j –участок. Графическое представление статистического ряда, т. Е гистограмму, удобно строить в относительных величинах. Поэтому производится нормировка:

e

∑ Vj / N=1 (9)

i=1

Статистическая (выборочная , эмпирическая) функция распределения F*(X) является оценкой для интегральной функции распределения и вычисляется по формуле :

0,если X<X1

F*(X)= k/n, если Хk<
Х<
Хk+1

1, если X>Xn (k=1,2,..N-1) (10)

Где Xk-тый элемент вариационного ряда, т.е. последовательности, в которой элементы расположены в порядке возрастания числовых значений. Графическое представление функции распределения показано показано на рис.

Проверка гипотезы о законе распределения.

Гипотеза о законе распределения элементов последовательности задается названием закона и численным значением параметров. Она может быть задана плотностью вероятности в виде формулы или графика.

Иногда может быть задана интегральная функция распределения. Тогда знак F(x)можно всегда найти плотность вероятности как f(x)=p(x).

Для проверки гипотезы о законе распределения при большом объеме последовательности (n>100)пользуются критерием X² Пирсона. По построенному статистическому ряду (гистограмме) вычисляется статис. х² (Δ)

e

Δ= X² = ∑(Vj-NPj)² /(NPj) (11)

i=1

Где Pj- вероятность попадания элемента последовательности в j-ый участок

Vj- j-ый член стат.ряда, т.е. количество элементов последовательности попавших в j-ый участок

N – общее количество элементов последовательности.

Распределение Х² зависит от параметра r , называемого числом «степени свободы». Число степеней свободы r равно числу участков е минус число независимых условий, наложенных на частоты Pj =Vj / n (j=1,e). Примером такого условия может быть условие вида (9), которое накладывается при любом случае. Поэтому

R=e-1 (12)

Если для теоретического распределения задаются математическое ожидание, дисперсия и другие параметры, то число степеней свободы уменьшается на число таких параметров.

Для распределения Х² имеются специальные таблицы, по которым можно для каждого значения Х² и числа степеней свободы r найти вероятность P того, что величина, распределенная по закону Х² превзойдет его значение. Вероятность P, определенная по таблице, есть вероятность того, что за счет числа случайных причин мера расхождения теоретического и статистического распределения (11)будет не меньше, чем фактически наблюденное в данном серии опытов значения Х². если эта вероятность P весьма мала, то результат опыта следует считать противоречивым гипотезе о том, что закон распределения величины Х есть F(x). Поэтому эту гипотезу следует отбросить как неправдоподобную. Напротив, если вероятность P сравнительно велика, то можно признать расхождения между теоретическим и статистическим распределением вещественным. При этом гипотеза о том, что величина X распределена по закону F(x) можно считать правдоподобной или не противоречащей опытным данным.

На практике, если P оказывается меньше, чем 0,1, то рекомендуется проверить и по возможности повторить эксперимент. В случае, если опять появятся замеченные расхождения, то следует подобрать более подходящий для описания стат. Данных закона распределения.

Содержание исследования

В состав исследования, проводимого в данной лабораторной работе входит:

1. программная реализация базой псевдослучайной последовательности, вырабатываемой генератором случайных чисел при заданных преподавателем параметрах: g,n,m.

2.Определение оценок математич. ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и gкоэффициентов корреляции (для r=1,g).

3. Построение гистограммы распределения.

4.Вычисление статист. по критерию Х² Пирсона.

5.Проверка гипотезы о равномерном распределении чисел от 0,1,2,..g, полученных генератором случайных чисел.

Таблица1

Критические точки распределения