ГОУ ВПО Омский государственный технический университет
Кафедра «Экономика и организация труда»
Контрольная раБОтА
по дисциплине «Методы и модели в экономике»
Вариант 28
Выполнил:
студент гр. ЗУТ-217
Чупраков Д. А.
Проверила:
__________ Е. Н. Казанцева
«___» ___________ 2009 г.
Омск 2009
СОДЕРЖАНИЕ
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача №1
1. Составить математическую модель задачи.
Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.
| Магазины Склады | №1 | №2 |
| №1 | 20 руб. | 45 руб. |
| №2 | 30 руб. | 20 руб. |
| №3 | 40 руб. | 35 руб. |
Составить наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических способов, чтобы получить максимум прибыли?
Решение
Введем переменные , представляющие собой количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.
Поскольку суммарные запасы = 65 (т) и суммарные потребности = 60 (т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт потребления . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).
Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы
| Пунктыпроизводства, i | Пункты потребления, j | Объем производства | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | 20 | 45 | 0 | 15 |
| 2 | 30 | 20 | 0 | 20 |
| 3 | 40 | 35 | 0 | 30 |
| Объем потребления (спрос) | 25 | 35 | 5 | 65 |
Зададим целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной задачи.
Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
Пункты производства, i |
Пункты потребления, j | Объем производства | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | 20 15 |
45 - |
0 - |
15/0 |
| 2 | 30 10 |
20 10 |
0 - |
20/10/0 |
| 3 | 40 - |
35 25 |
0 5 |
30/5/0 |
| Объем потребления | 25/10/0 | 35/25/0 | 5/0 | 65 |
Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:
(т) или = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).
Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (руб.).
Итерация 1.
Шаг 1.1. Вычисление потенциалов
20 15 |
45 - |
0 - |
u1
=0 |
|
30 10 |
20 10 |
0 - |
u2
=-10 |
|
40 - |
35 25 |
0 5 |
u3
=-25 |
|
| v1
=20 |
v2
=10 |
v3
=-25 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1
=0, находим значения всех потенциалов: v1
=20, v2
=10, u2
=-10, v3
= - 25, u3
= - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).
Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| 0 | -35 | -25 | u1
=0 |
|
| 0 | 0 | -15 | u2
=-10 |
|
| ∆1
= |
10 | -10 | -5 | u3
=-25 |
| v1
=20 |
v2
=10 |
v3
=-25 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К31
.
-30 10 |
+20 10 |
|
| ∆1
= |
+40 - |
-35 25 |
Θ == 10. Составим новый план перевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1. Вычисление потенциалов
20 15 |
45 - |
0 - |
u1
=0 |
|
30 - |
20 20 |
0 - |
u2
=-5 |
|
40 10 |
35 15 |
0 5 |
u3
=-20 |
|
| v1
=20 |
v2
=15 |
v3
=-20 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1
=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).
Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| 0 | -35 | -20 | u1
=0 |
|
| -5 | 0 | -15 | u2
=-5 |
|
| ∆1
= |
0 | 0 | 0 | u3
=-20 |
| v1
=20 |
v2
=15 |
v3
=-20 |
Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.
Х оптим
= (0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (руб.).
Ответ: Х оптим
= (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.
Задача №2
2. Решить графически задачу: найти экстремумы функции , если , .
Решить симплекс-методом
РЕШЕНИЕ
а) Решим задачу графически при
z = 3x1
– 2x2
→ max
, .
Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.1).
|
Рис.1. Графическое решение задачи при z = 3x1
– 2x2
→ max
Строим вектор из точки (0;0) в точку (3; -2). Точка Е (7;0) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка максимума целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:
.
б) Решим задачу графически при
z = 3x1
– 2x2
→ min
, .
Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2).
|
Рис.2. Графическое решение задачи при z = 3x1
– 2x2
→ min
Строим вектор из точки (0;0) в точку (-3; 2). Точка Е (0;1) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка минимума целевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:
.
Ответ: а) Функция z = 3x1
– 2x2
→ max и равна 21 в точке (7;0).
б) Функция z = 3x1
– 2x2
→ min и равна - 2 в точке (0;1).
Задача №3
Решить методом потенциалов транспортную задачу, где – цена перевозки единицы груза из пункта в пункт .
Решение
Поскольку суммарные запасы = 35 (ед. груза) и суммарные потребности = 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт производства . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).
Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы
| Пунктыпроизводства, i | Пункты потребления, j | Объем производства | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| 1 | 6 | 8 | 4 | 2 | 10 |
| 2 | 5 | 6 | 9 | 8 | 10 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 8 | 15 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 13 |
| Объем потребления (спрос) | 5 | 8 | 15 | 20 | 48 |
Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
Пункты производства, i |
Пункты потребления, j | Объем производства | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| 1 | 6 5 |
8 5 |
4 - |
2 - |
10/5/0 |
| 2 | 5 - |
6 3 |
9 7 |
8 - |
10/7/0 |
| 3 | 4 - |
2 - |
3 8 |
8 7 |
15/7/0 |
| 4 | 0 - |
0 - |
0 - |
0 13 |
13/0 |
| Объем потребления | 5/0 | 8/3/0 | 15/8/0 | 20/13/0 | 48 |
Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:
(ед. груза) или = (5; 5; 0; 0; 0; 3; 7;0;0;0;8;7;0;0;0;13).
Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (ден. ед.).
Итерация 1.
Шаг 1.1. Вычисление потенциалов
6 5 |
8 5 |
4 - |
2 - |
u1
=0 |
|
5 - |
6 3 |
9 7 |
8
r /> - |
u2
=2 |
|
4 - |
2 - |
3 8 |
8 7 |
u3
=8 |
|
0 - |
0 - |
0 - |
0 13 |
u4
=16 |
|
| v1
=6 |
v2
=8 |
v3
=11 |
v4
=16 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1
=0, находим значения всех потенциалов: v1
=6, v2
=8, u2
=2,v3
=11, v4
=16, u3
=8, u4
=16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16).
Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| 0 | 0 | 7 | 14 | u1
=0 |
|
| -1 | 0 | 0 | 6 | u2
=2 |
|
| ∆1
= |
-6 | -2 | 0 | 0 | u3
=8 |
| -10 | -8 | -5 | 0 | u4
=16 |
|
| v1
=6 |
v2
=8 |
v3
=11 |
v4
=16 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К14
.
- 8 5 |
4 - |
+2 - |
|
+6 3 |
- 9 7 |
8 - |
|
| ∆1
= |
2 - |
+3 8 |
- 8 7 |
0 - |
0 - |
0 13 |
Θ == 5. Составим новый план перевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1. Вычисление потенциалов
6 5 |
8 - |
4 - |
2 5 |
u1
=0 |
|
5 - |
6 8 |
9 2 |
8 - |
u2
=-12 |
|
4 - |
2 - |
3 13 |
8 2 |
u3
=-6 |
|
0 - |
0 - |
0 - |
0 13 |
u4
=2 |
|
| v1
=6 |
v2
=-6 |
v3
=-3 |
v4
=2 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1
=0, находим значения всех потенциалов: v1
=6, v2
=-6, u2
=-12,v3
=-3, v4
=2, u3
=-6, u4
=2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).
Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| 0 | -14 | -7 | 0 | u1
=0 |
|
| 13 | 0 | 0 | 6 | u2
=-12 |
|
| ∆1
= |
8 | -2 | 0 | 0 | u3
=-6 |
| 4 | -8 | -5 | 0 | u4
=2 |
|
| v1
=6 |
v2
=-6 |
v3
=-3 |
v4
=2 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К21
.
-6 5 |
8 - |
4 - |
+2 5 |
|
| ∆1
= |
+5 - |
6 8 |
-9 2 |
8 - |
4 - |
2 - |
+3 13 |
-8 2 |
Θ === 2. Возьмем и составим новый план перевозки.
Итерация 3.
Шаг 3.1. Вычисление потенциалов
6 3 |
8 - |
4 - |
2 7 |
u1
=0 |
|
5 2 |
6 8 |
9 0 |
8 - |
u2
=1 |
|
4 - |
2 - |
3 15 |
8 - |
u3
=7 |
|
0 - |
0 - |
0 - |
0 13 |
u4
=2 |
|
| v1
=6 |
v2
=7 |
v3
=10 |
v4
=2 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1
=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2).
Шаг 3.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| 0 | -1 | 6 | 0 | u1
=0 |
|
| 0 | 0 | 0 | -7 | u2
=1 |
|
| ∆1
= |
-5 | -2 | 0 | -13 | u3
=7 |
| 4 | 5 | 8 | 0 | u4
=2 |
|
| v1
=6 |
v2
=7 |
v3
=10 |
v4
=2 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 3.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К43
.
-6 3 |
8 - |
4 - |
+2 7 |
|
+5 2 |
6 8 |
-9 0 |
8 - |
|
| ∆1
= |
4 - |
2 - |
3 15 |
8 - |
0 - |
0 - |
+0 - |
-0 13 |
Θ == 0. Составим новый план перевозки.
Итерация 4.
Шаг 4.1. Вычисление потенциалов
6 3 |
8 - |
4 - |
2 7 |
u1
=0 |
|
5 2 |
6 8 |
9 - |
8 - |
u2
=1 |
|
4 - |
2 - |
3 15 |
8 - |
u3
=-1 |
|
0 - |
0 - |
0 0 |
0 13 |
u4
=2 |
|
| v1
=6 |
v2
=7 |
v3
=2 |
v4
=2 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1
=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).
Шаг 4.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| 0 | -1 | -2 | 0 | u1
=0 |
|
| 0 | 0 | -8 | -7 | u2
=1 |
|
| ∆1
= |
3 | 6 | 0 | -5 | u3
=-1 |
| 4 | 5 | 0 | 0 | u4
=2 |
|
| v1
=6 |
v2
=7 |
v3
=2 |
v4
=2 |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.
Шаг 4.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К32
.
-6 3 |
8 - |
4 - |
+2 7 |
|
+5 2 |
-6 8 |
-9 - |
8 - |
|
| ∆1
= |
4 - |
+2 - |
-3 15 |
8 - |
0 - |
0 - |
+0 0 |
-0 13 |
Θ == 3. Составим новый план перевозки.
Итерация 5.
Шаг 5.1. Вычисление потенциалов
6 - |
8 - |
4 - |
2 10 |
u1
=0 |
|
5 5 |
6 5 |
9 - |
8 - |
u2
=-5 |
|
4 - |
2 3 |
3 12 |
8 - |
u3
=-1 |
|
0 - |
0 - |
0 3 |
0 10 |
u4
=2 |
|
| v1
=0 |
v2
=1 |
v3
=2 |
v4
=2 |
Система для плана имеет вид:
Полагая u1
=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2).
Шаг 5.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .
| -6 | -7 | -2 | 0 | u1
=0 |
|
| 0 | 0 | -2 | -1 | u2
=-5 |
|
| ∆1
= |
-3 | 0 | 0 | -5 | u3
=-1 |
| -2 | -1 | 0 | 0 | u4
=2 |
|
| v1
=0 |
v2
=1 |
v3
=2 |
v4
=2 |
Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.
Х оптим
= (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (ден. единиц).
Ответ: Х оптим
= (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.