ЗАДАНИЕ №1
По предложенной выборке наблюдений результативного признака у и факторных признаков х1,х2,х3
требуется с помощью корреляционного анализа выбрать факторные признаки для построения двухфакторной модели и пояснить свой выбор.
| n | у
|
х1
|
х2
|
х3
|
| 1 | 88 | 38 | 54 | 87 |
| 2 | 71 | 49 | 92 | 57 |
| 3 | 62 | 44 | 74 | 68 |
| 4 | 49 | 78 | 76 | 42 |
| 5 | 76 | 62 | 41 | 76 |
Решение
Для получения искомых величин составим расчетную таблицу:
Получим: x1 = 54,2, х2=67,4, х3= 66; у*х1=3617; у*х2=4542,4; у*х3=4750,6; х1*х2=3657,2; х1*х3=3415,8; х2*х3= 4256,4
Рассчитаем r коэффициент корреляции между величинами у и х1; у и х2; у и х3; х1 и х2; х2 и х3; х1 и х3;
Cov
(
x
*у)= х*у –х*у
Cov
(
x
1*у)=3617-54.2*69.2 =-133,64
Cov
(
x
2*у)=4542,4-67,4*69,2 =-121,68
Cov
(
x
3*у)=4750,6-66*69,2 =183,4
Rх1у = cov(х1;у)
= -133,64
= -133,64
=- 0,712
Var
(
x
1)
Var
(
y
) 204,16*172,56 187,696
Rх2у = cov(х2;у)
=-121,68
= -121,68
= -0,5179
Var
(
x
2)
Var
(
y
) 319,84*172,56 234,928
R
х3у =
cov
(х3;у)
=183,4
=183,4
= 0,900
Var
(
x
3)
Var
(
y
) 240,4*172,56 203,675
Cov (x1*x2)=x1*x2-x1*x
Cov(x1*x2)=3657,2-54,2*67,4=4,12
Cov(x1*x3)=3415,8-54,2*66=-161,4
Cov(x2*x3)==4256,4-67,4*66=-192
Rх1х2 = cov(х1;х2)=4,12= 4,12 = 0,016
Var
(
x
1)
Var
(х2) 204,16*319,84 255,5357
R
х1х3 =
cov
(х1;х3)
= -161,4
= -161,4
= -0,728
Var
(х1)
Var
(х3) 204,16*240,4 221,54
R
х2х3 =
cov
(х2;х3)
= -192
= -192
= -0,692
Var
(х2)
Var
(х3) 240,4*319,84 277,288
Построим расчетную таблицу для двухфакторной модели
Для построения двухфакторной модели по модулю подходят х1 и х3 т.к у них более высокий показатель, но по факторному признаку х1 и х3> 0,6 значит выбираем х1 и х2
ЗАДАНИЕ № 2
Результаты обследования десяти статистически однородных филиалов фирмы в таблице (цифры условные). Требуется:
А. Построить модель парной линейной прогрессии производительности труда от фактора фондовооруженности, определить коэффициент регрессии, рассчитать парный коэффициент корреляции, оценить тесноту корреляционной связи, найти коэффициент эластичности и бета – коэффициент: пояснить экономический смысл всех коэффициентов;
Б. Построить модель множественной линейной регрессии производительности труда от факторов фондо- и энерго- вооруженности, найти все коэффициенты корреляции и детерминации, коэффициенты эластичности и - коэффициенты, пояснить экономический смысл всех коэффициентов.
Решение
А. Обозначим производительность труда через у
– резтивный признак, два других признака фондовооруженость и энерговооруженность будут фак.х1 и х2. Рассмотрим линейную модель зависимости производительности труда – у
от величины фондовооруженности – х
1 это модель выражения линейной функции f
вида у = а0 + а1*х1, параметры которой находят в результате решения системы нормального уровня, сформированных на основе метода наименьших квадратов, суть которого заключается в то, что бы сумма квадратов отклонений фактических уравнений ряда от соответствующих, выровненных по кривой роста значений была наименьшей.
а0*n+а_х1=_у
а0*_х1+а1*_х1^2=_(у*х1),
где суммирование приводится по всем
- n- группам,
- параметры а
0 и а
1можно рассчитать по формуле:
а
1= cov
(х1*у)
= ух
1-ух
1
var
(х1) х
2-2/х
1
а
0 = у
-а
1*х
10*а
0+396*а
1 = 959
396*а
0+15838*а
1 = 38856
Составим расчетную таблицу
Из расчета таблицы имеем
ух
1 = 3885,60
х
1 = 1583,80
Дополнительно рассчитываем
ух
1 = 95,9*39,6 = 3797,64
х
1 = (39,6)^2 = 1568.16
а
1 = 3885,6-3797,64 = 87,96 = 5,624040
1583,8-1568,16 15,64
а
0 = 95,9-5,624040*39,6 = -126,81,
таким образом однофакторная модель имеет вид:
у
регр = а
0+а
1*х
1
у
регр = -126,812+5624041*х
1
Полученное уравнение является уравнением парной регрессии, коэффициента а
1 в этом уравнении называется коэффициентом регрессии. Знак этого коэффициента определяется направлением связи между у
и х
2. В нашем случае эта связь образуется а
1 = +5,624040(+) – связь прямая.
Теснота связи между у и х1 определяется коэффициентом корреляции:
rух1 = V1-о у регр.^ 2/ оу^2 , где оу – средняя квадратная ошибка выборки у из значений таблицы
| rух1 | 0.8809071 |
rух1 = V1-142.79937/637.49 = 0.8809071
Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь: rух1=0,881, следовательно, связь между производительностью труда и фондовооруженностью достаточно тесная.
Коэффициент детерминации rух1^2
| rух1^2 | 0.7759974 |
Это означает, что фактором фондовооруженности можно объяснить 77,6% изменения производительности труда.
Коэффициент эластичности Эух1 = а1*х1 ср./ у ср.; Эух1 = 5,624040*39,6/95,9
| Эух1 | 2,322336 |
Это означает, что при увеличении фондовооруженности на 1%, производительность труда увеличится на 2,3223%.
Бета коэффициент _ух1 = а1*ох1/оу,
_ух1 = 5,624040*V15.64/ V637,49 = 0,8809072
| _ух1 | 0,8809072 |
Это значит, что увеличение фондов
Б. Модуль множественных регрессий рассматривается на периметре двухфакторной линейной модели, отражающей зависимость производительности труда у, от величины фондовооруженности (х
1) и энерговооруженности (х
2), модуль множественной регрессии имеет вид у = а
0+а
1у
1+а
2х
2.Параметры модели а
0,а
1,а
2, находятся путем решения системы нормальных уравнений:
а
0*n
+а
1*Sх
1+а
2*Sх
2=Sу
а
0*Sх
1+а
1*
Sх
1^2+а
2*S(х
1*х
2) = S(у*х
1)
а
0*Sх
2+а
1*S(х
1*х
2)+а2*Sх
2^2 = Sу
*х
2)
10*а
0+396*а
1+787*а
2 = 959
396*а
0+15838*а
1+31689*а
2 = 38859
787*а
0+31689*а
1+64005*а
2 = 78094
Рассчитаем таблицу
Решаем систему нормальным уравнением,методом Гаусса (метод исключения неизвестных).
Разделим каждое уравнение системы на коэффициент при а
0 соответственно:
а
0+39,6*а
1+78,7*а
2 = 95,9
а
0+39,994949*а
1+80,022727*а
2 = 98,128787
а
0+40,26556*а
1+81,327827*а
2 = 99,229987
из первогоуравнения системы вычитаем второе уравнение системы
а
0+39,6а
+78,7а
2 = 95,9
а
0 +39,994949а
1+30,022727а
2 = 98,128787
-0,394949-1,322727 = -2,228787
Из первого вычитаем третье уравнение:
а
0+39,6а
+78,7а
2 = 95,9
а
0+40,26556*а
1+81,327827*а
2 = 99,229987
-0,665563-2,627827 = -3,329987
получим систему с двумя неизвестными
0,394949*а
1+1,322727а
2 = 2,228787
0,665565*а
1+2,627827а
2 = 3,329987
Делим каждое уравнение на β при а
1 соответственно:
а
1+3,349108а
2 = 5,643227
а
1+3,948265а
2 = 5,003248
из первого вычитаем второе
-0,599157а
2 =
0,639979
| а
2 = -1,0681323 |
Полученное значение а
2 подставим в уравнение с двумя неизвестными:
а
1+3,349108а
2 = 5,643227
а
1 = 5,643227-3,349108*(-1,0681323)
а
1 = 5,643227+3,577290
| а
1 =9,220517 |
Полученное значение а
1 и а
2 подставим в любое из уравнений с тремя неизвестными
а
0+39,6а
+78,7а
2 = 95,9
а
0 = 95,9-39,6 а
1-78,7 а
2
а
0 = 95,9-39,6*9,220517-78,7*(-1,0681323)
а
0 = 95,9-365,132473+84,062012
а
0 = 185,170461
| а
0 = -185,170461 |
Получим модель:
у = а
0+а
1х
1+а
2х
2
у
= -185,170461+9,220517х
1-1,0681323х
2
Ответ: у
= -185,170461+9,220517х
1-1,0681323х
2
Парные коэффициенты корреляции:
А. rух
1 = ((у*х
1)ср-у
ср*х
1ср)/(оу
*ох
1)
| rух
1 |
0,881 |
Б. rух
2 = ((у*х
2)ср-у
ср*х
2ср)/(оу
*ох
2), где ох
2 = VS(х
2-х
2ср)^2/10
| rух
2 |
0,722 |
| ох
2 |
14,38 |
В. rх
1х
2 = ((х
1*х
2)ср-х
1ср*х
2ср)/(ох
1*ох
2)
| rх
1х 2 |
0,921 |
Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем теснее связь.
Коэффициент множественной корреляции:
А. rух
1х
2 = V(rух
1^2+rух
2^2-2*rух
1*rух
2*rх
1х
2)/(1-rх
1х
2^2)
| rх
1х 2 |
0,91 |
Таким образом, степень тесноты связи производительности труда с факторами фондовооруженности и энерговооруженности является высокой.
Совокупный коэффициент детерминации:
r
|
0,829 |
Это означает, что совместное влияние двух факторов определяет 82,9% производительности труда.
Частные коэффициенты корреляции:
А.
r
ух
1(х
2) = (rух
1-rух
2*rх
1х
2)/V(1-rух
2^2)*(1-rх
1х
2^2)
| r
ух 1(х 2) |
0,831 |
т.е. теснота связи между производительностью труда и фондовооруженностью, при энерговооруженности, значительная.
В.R
ух
2(х
1) = (rух
2-rух
1*rх
1х
2)/V(1-rух
1^2)*(1-rх
1х
2^2)
| rух
2(х 1) |
-0,486 |
т.е. связи между производительностью труда и энерговооруженностью, при неизменной фондовооруженности, в данной выборке нет.
Частные коэффициенты эластичности:
А. эух
1(х
2) = а
1*х
1ср/у
ср
| эух
1(х 2) |
3.807 |
т.е. при увеличении фондовооруженности на 1% и неизменной энерговооруженности, производительность труда увеличится на 3,807%.
Б. эух
2(х
1) = а
2*х
2ср/у
ср
| эух
2(х 1) |
-0,877 |
т.е. при увеличении энерговооруженности, производительность труда не изменится.
Частные бета β коэффициенты:
А. βух
1(х
2) = а
1*ох
1/
оу
| βух
1(х 2) |
1,444 |
это означает, что при неизменной энерговооруженности, увеличение на величину среднеквадратического отклонения размера фондовооруженности приведет к увеличению средней производительности труда на 1,444 среднеквадратического отклонения.
Б. Βух
2(х
1) = а
2*ох
2/
оу
| βух
2(х 1) |
-0,6083377 |
это означает, что связи нет.