Эконометрика

ЗАДАНИЕ

Задача 1.
Используя метод парного корреляционно-регрессионного анализа выявить зависимость между объемом продаж (Y) и расходами на рекламу (X). Постройте поле корреляции. Для аппроксимации используйте как минимум 3 вида зависимостей (прямолинейную, параболическую и логарифмическую). Оценить тесноту связи и точность аппроксимации, сделайте выводы о возможности использования модели для прогнозирования.

Расходы на рекламу X	Объем продаж Y
1	9	80
2	12	130
3	12	100
4	12	150
5	12	150
6	13	270
7	14	170
8	11	130
9	9	90
10	10	120
11	11	100
12	12	120
13	15	220
14	12	130
15	11	130
16	14	130
17	12	120
18	15	220
19	16	170

Задача 2
Определить зависимость между фактором и результатирующим признаком по данным, приведенным в таблице. Рассчитать коэффициент корреляции, определить вид зависимости, параметры линии регрессии, корреляционное отношение и оценить точность аппроксимации.

N	Основная заработная плата (тыс. ден. ед)	Расходы по эксплуатации машин и механизмов (тыс. ден. ед)
1	6.3	3.2
2	1.1	0.5
3	2.9	1.2
4	2.5	1.0
5	2.3	0.5
6	4.7	1.6
7	2.5	0.8
8	3.6	1.3
9	5.0	2.1
10	0.7	0.3
11	7.0	3.2
12	1.0	0.5
13	3.1	1.4
14	2.8	1.8
15	1.4	0.3
16	1.0	0.4
17	5.1	2.3
18	2.6	1.0
18	3.8	1.3
20	2.5	1.3

РЕШЕНИЕ

Задача 1

Поле корреляции:

1. Прямолинейная зависимость

Уравнение прямой y =
a+
bx
, таким образом, используя метод наименьших квадратов, минимизируем функцию . Для нахождения коэффициентов a и b, продифференцируем по каждому параметру a и b приравняем, 0 и получим систему уравнений.

Для вычисления параметров a и b прямой заполняем расчетную таблицу:

X	Y	XY	X^2	Y^2
1	9	80	720	81	6400
2	12	130	1560	144	16900
3	12	100	1200	144	10000
4	12	150	1800	144	22500
5	12	150	1800	144	22500
6	13	270	3510	169	72900
7	14	170	2380	196	28900
8	11	130	1430	121	16900
9	9	90	810	81	8100
10	10	120	1200	100	14400
11	11	100	1100	121	10000
12	12	120	1440	144	14400
13	15	220	3300	225	48400
14	12	130	1560	144	16900
15	11	130	1430	121	16900
16	14	130	1820	196	16900
17	12	120	1440	144	14400
18	15	220	3300	225	48400
19	16	170	2720	256	28900
232	2730	34520	2900	434700

X	Y
1	X	Y	87.02	0.09	49.31	4055.68
2	9	80	139.97	0.08	99.37	187.26
3	12	130	139.97	0.40	1597.49	1908.31
4	12	100	139.97	0.07	100.63	39.89
5	12	150	139.97	0.07	100.63	39.89
6	12	150	157.62	0.42	12629.81	15955.68
7	13	270	175.27	0.03	27.74	692.52
8	14	170	122.32	0.06	58.99	187.26
9	11	130	87.02	0.03	8.87	2881.99
10	9	90	104.67	0.13	234.98	560.94
11	10	120	122.32	0.22	498.17	1908.31
12	11	100	139.97	0.17	398.75	560.94
13	12	120	192.92	0.12	733.58	5824.10
14	15	220	139.97	0.08	99.37	187.26
15	12	130	122.32	0.06	58.99	187.26
16	11	130	175.27	0.35	2049.05	187.26
17	14	130	139.97	0.17	398.75	560.94
18	12	120	192.92	0.12	733.58	5824.10
19	15	220	210.56	0.24	1645.46	692.52
16	170	2.89	21523.51	42442.11

r = 0.88

r > 0, следовательно, связь прямая.

|r|>0.65 – связь тесная

= 14.17 %

Уравнение аппроксимирующей прямой

=0.88

2. Параболическая зависимость

Уравнение параболы y = a + bx + cx2
. Сделаем замену x=x1
, x2
=x2
, перейдем к уравнению: y = a + bx1
+ cx2.
Продифференцируем по каждому параметру a, b и с, приравняем к 0, получим систему уравнений:

Для вычисления параметров a, b и с заполняем расчетную таблицу:

X	Y	XY	X^2	Y^2	X^3	X^4	X^2 * Y
1	12	130	1560	144	16900	1728	20736	18720
2	13	170	2210	169	28900	2197	28561	28730
3	12	110	1320	144	12100	1728	20736	15840
4	11	121	1331	121	14641	1331	14641	14641
5	15	130	1950	225	16900	3375	50625	29250
6	12	120	1440	144	14400	1728	20736	17280
7	11	110	1210	121	12100	1331	14641	13310
8	8	70	560	64	4900	512	4096	4480
9	12	140	1680	144	19600	1728	20736	20160
10	12	120	1440	144	14400	1728	20736	17280
11	13	150	1950	169	22500	2197	28561	25350
12	12	120	1440	144	14400	1728	20736	17280
13	14	200	2800	196	40000	2744	38416	39200
14	13	130	1690	169	16900	2197	28561	21970
15	15	240	3600	225	57600	3375	50625	54000
16	16	200	3200	256	40000	4096	65536	51200
17	17	290	4930	289	84100	4913	83521	83810
18	18	290	5220	324	84100	5832	104976	93960
19	17	200	3400	289	40000	4913	83521	57800
253	3041	42931	3481	554441	49381	720697	624261

Получим систему уравнений:

19a+253b+3481c=3041

253a+3481b+49381c=42931

3481a+49381b+720697c=624261

Решим данную систему средствами Matlab:

>> a=[19 253 3481;253 3481 49381;3481 49381 720697]

a =

19 253 3481

253 3481 49381

3481 49381 720697

>> b=[3041;42931;624261]

b =

3041

42931

624261

>> format long

>> ab

ans =

70.030968707669246

-8.789656532559803

1.130190950098223

Таким образом, a=70.030968707669246

b= -8.789656532559803

c=1.130190950098223

Уравнение аппроксимирующей параболы

X	Y
1	12	130	127.30	0.02	7.28	903.16
2	13	170	146.77	0.14	539.74	98.95
3	12	110	127.30	0.16	299.38	2505.27
4	11	121	110.10	0.09	118.86	1525.11
5	15	130	192.48	0.48	3903.64	903.16
6	12	120	127.30	0.06	53.33	1604.21
7	11	110	110.10	0.00	0.01	2505.27
8	8	70	72.05	0.03	4.19	8109.48
9	12	140	127.30	0.09	161.22	402.11
10	12	120	127.30	0.06	53.33	1604.21
11	13	150	146.77	0.02	10.45	101.06
12	12	120	127.30	0.06	53.33	1604.21
13	14	200	168.49	0.16	992.68	1595.79
14	13	130	146.77	0.13	281.16	903.16
15	15	240	192.48	0.20	2258.24	6391.58
16	16	200	218.73	0.09	350.64	1595.79
17	17	290	247.23	0.15	1829.10	16886.32
18	18	290	278.00	0.04	144.02	16886.32
19	17	200	247.23	0.24	2230.86	1595.79
253	3041	2.21	13291.44	67720.95

r = 0.88

r > 0, следовательно, связь прямая.

|r|>0.65 – связь тесная

= 11.65%

= 0.90

Поскольку >r, то кривая лучше аппроксимирует зависимость

3. Логарифмическая зависимость

y = a + b lnx

После замены lnx=z получим линейную зависимость, формулы для вычисления коэффициентов которой известны. После обратной замены получим:

lnX	Y	lnXY	(lnX)^2	Y^2
1	12	2.48	130	323.04	6.17	16900
2	13	2.56	170	436.04	6.58	28900
3	12	2.48	110	273.34	6.17	12100
4	11	2.40	121	290.15	5.75	14641
5	15	2.71	130	352.05	7.33	16900
6	12	2.48	120	298.19	6.17	14400
7	11	2.40	110	263.77	5.75	12100
8	8	2.08	70	145.56	4.32	4900
9	12	2.48	140	347.89	6.17	19600
10	12	2.48	120	298.19	6.17	14400
11	13	2.56	150	384.74	6.58	22500
12	12	2.48	120	298.19	6.17	14400
13	14	2.64	200	527.81	6.96	40000
14	13	2.56	130	333.44	6.58	16900
15	15	2.71	240	649.93	7.33	57600
16	16	2.77	200	554.52	7.69	40000
17	17	2.83	290	821.63	8.03	84100
18	18	2.89	290	838.21	8.35	84100
19	17	2.83	200	566.64	8.03	40000
å	48.86	3041	8003.32	126.34	554441

a= -542.07

b=273.01

Уравнение аппроксимирующей логарифмической зависимости

X	lnX	Y
1	12	2.48	130	136.33	0.05	40.09	903.16
2	13	2.56	170	158.18	0.07	139.61	98.95
3	12	2.48	110	136.33	0.24	693.36	2505.27
4	11	2.40	121	112.58	0.07	70.95	1525.11
5	15	2.71	130	197.25	0.52	4522.87	903.16
6	12	2.48	120	136.33	0.14	266.73	1604.21
7	11	2.40	110	112.58	0.02	6.64	2505.27
8	8	2.08	70	25.64	0.63	1968.20	8109.48
9	12	2.48	140	136.33	0.03	13.46	402.11
10	12	2.48	120	136.33	0.14	266.73	1604.21
11	13	2.56	150	158.18	0.05	66.98	101.06
12	12	2.48	120	136.33	0.14	266.73	1604.21
13	14	2.64	200	178.42	0.11	465.85	1595.79
14	13	2.56	130	158.18	0.22	794.35	903.16
15	15	2.71	240	197.25	0.18	1827.37	6391.58
16	16	2.77	200	214.87	0.07	221.18	1595.79
17	17	2.83	290	231.42	0.20	3431.25	16886.32
18	18	2.89	290	247.03	0.15	1846.60	16886.32
19	17	2.83	200	231.42	0.16	987.41	1595.79
å	48.86	3041	3.18	17896.35	67720.95

r=0.86

r > 0, следовательно, связь прямая.

|r|>0.65 – связь тесная

=16.71%

=0.86

4. Вывод о возможности использования модели для прогнозирования

Для аппроксимации было использовано 3 вида зависимостей: прямолинейная, параболическая, логарифмическая.

прямолинейная	параболическая	логарифмическая
Уравнение
r	0.88	0.88	0.86
	0.88	0.90	0.86
	14.17 %	11.65%	16.71%

Во всех случаях связь прямая и тесная. Точнее всего аппроксимирует парабола, поскольку >r, минимальна и равна 11.65%.

Прямая аппроксимирует зависимость менее точно, т.к. больше - 14.17 %.

Наименее точно аппроксимирует логарифмическая зависимость, т.к. максимальна и равна 16.71%.

Вывод: наилучшая модель для прогнозирования – параболическая, наихудшая – логарифмическая. Это объясняется тем, что выпуклость данных кривых различна.

Задача 2

Используем линейную зависимость. Коэффициенты прямой находятся по формулам

X	Y	XY	X^2	Y^2
1	6.3	3.2	20.16	39.69	10.24
2	1.1	0.5	0.55	1.21	0.25
3	2.9	1.2	3.48	8.41	1.44
4	2.5	1	2.5	6.25	1
5	2.3	0.5	1.15	5.29	0.25
6	4.7	1.6	7.52	22.09	2.56
7	2.5	0.8	2	6.25	0.64
8	3.6	1.3	4.68	12.96	1.69
9	5	2.1	10.5	25	4.41
10	0.7	0.3	0.21	0.49	0.09
11	7	3.2	22.4	49	10.24
12	1	0.5	0.5	1	0.25
13	3.1	1.4	4.34	9.61	1.96
14	2.8	1.8	5.04	7.84	3.24
15	1.4	0.3	0.42	1.96	0.09
16	1	0.4	0.4	1	0.16
17	5.1	2.3	11.73	26.01	5.29
18	2.6	1	2.6	6.76	1
19	3.8	1.3	4.94	14.44	1.69
20	2.5	1.3	3.25	6.25	1.69
61.9	26	108.37	251.51	48.18

Поле корреляции:

N=20

a = -0.14

b= 0.47 => y = -0.14 + 0.47
x

X	Y
1	6.3	3.2	2.79	0.13	0.17	3.61
2	1.1	0.5	0.37	0.26	0.02	0.64
3	2.9	1.2	1.21	0.01	0.00	0.01
4	2.5	1	1.02	0.02	0.00	0.09
5	2.3	0.5	0.93	0.86	0.18	0.64
6	4.7	1.6	2.05	0.28	0.20	0.09
7	2.5	0.8	1.02	0.28	0.05	0.25
8	3.6	1.3	1.54	0.18	0.06	4.93038E-32
9	5	2.1	2.19	0.04	0.01	0.64
10	0.7	0.3	0.19	0.38	0.01	1
11	7	3.2	3.12	0.03	0.01	3.61
12	1	0.5	0.32	0.35	0.03	0.64
13	3.1	1.4	1.30	0.07	0.01	0.01
14	2.8	1.8	1.16	0.35	0.41	0.25
15	1.4	0.3	0.51	0.70	0.04	1
16	1	0.4	0.32	0.19	0.01	0.81
17	5.1	2.3	2.23	0.03	0.00	1
18	2.6	1	1.07	0.07	0.00	0.09
19	3.8	1.3	1.63	0.25	0.11	4.93038E-32
20	2.5	1.3	1.02	0.21	0.08	4.93038E-32
61.9	26	4.69	1.39	14.38

Коэффициент корреляции r находится по формуле:

r = 0.95

r > 0, следовательно, связь прямая.

|r|>0.65 – связь тесная

Корреляционное отношение = 0.95

Точность аппроксимации= 23.47%