Контрольная работа
По эконометрики
Обзор корреляционного поля
Эти данные скорее всего можно аппроксимировать при помощи линейной регрессии вида ŷ = а -
b
·
x
,
как самой простой.
Рассчитаем необходимые суммы и запишем их в таблице № 1:
Таблица №1:
| i
|
x
|
y
|
x
² |
y
² |
x
· y |
ŷ
|
e
|
e²
|
A
(%) |
| 1
|
2,5 | 69 | 6,25 | 4761 | 172,5 | 66,40 | 2,60 | 6,75 | 3,76 |
| 2 | 3 | 65 | 9 | 4225 | 195 | 64,85 | 0,15 | 0,02 | 0,23 |
| 3 | 3,4 | 63 | 11,56 | 3969 | 214,2 | 63,61 | -0,61 | 0,37 | 0,97 |
| 4 | 4,1 | 59 | 16,81 | 3481 | 241,9 | 61,44 | -2,44 | 5,94 | 4,13 |
| 5 | 5 | 57 | 25 | 3249 | 285 | 58,65 | -1,65 | 2,71 | 2,89 |
| 6 | 6,3 | 55 | 39,69 | 3025 | 346,5 | 54,61 | 0,39 | 0,15 | 0,70 |
| 7 | 7 | 54 | 49 | 2916 | 378 | 52,44 | 1,56 | 2,43 | 2,89 |
| Сумма:
|
31,3 | 422 | 157,31 | 25626 | 1833,1 | 422,00 | 0,00 | 18,38 | 15,57 |
| Среднее:
|
4,471 | 60,286 | 22,473 | 3660,857 | 261,871 | - | - | - | 2,22% |
Ковариация между y
и x
рассчитывается по формуле , где , ,
. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение для x
и y
находим по формулам:
= 2,479, = 26,490, 1,575, 5,147.
= -7,692 / 2,479 = -3,103; = 60,286 + 3,103 · 4,471 = 74,159
Получили уравнение регрессии: ŷ = 74,159 - 3,103·х
(округлено до сотых).
Оцениваем качество полученной линейной модели:
а) TSS= 25624 - (31,3²) : 7 = 185,492; RSS = TSS - ESS= 185,429 - 18,38 = 176,051, где ESS= = 18,38 (в таблице №1); F - статистика = RSS · (n - m - 1) : ESS = 176,051 · ·5 :18,38 = 45,45.
Табличное значение на 1% уровне значимости равно 16,26 (см. таблицу распределения Фишера - Снедекора). Фактическое значение F - статистики больше табличного на 1% уровне значимости, следовательно уравнение регрессии в целом значимо и на 5% уровне значимости.
б) Средняя ошибка аппроксимации равна (ΣА)/7 = ((ΣIy-ŷI: y) · 100%) / 7 = 15,57 / 7 = =2,22%, что говорит о хорошей аппроксимации зависимости моделью (2,22% < 6%).
Вывод: модель получилась приемлемая (в смысле аппроксимации).
в) Коэффициент корреляции находим по формуле: = -0,949: сильная обратная линейная зависимость.
г) Коэффициент детерминации находим следующим образом: = 0,901 или вариация x
определяет вариацию y
на 90,1%.
Проверка на соответствие условиям теоремы Гаусса - Маркова
а) По таблице №2 рассчитаем статистику Дарбина - Уотсона:
Таблица №2
| i
|
e²
|
e
|
e
i-1 |
(e
i -e i-1 )² |
=16,050 : 18,38 = 0,8734. |
| 1 | 6,75 | 2,60 | - | - | |
| 2 | 0,02 | 0,15 | 2,598 | 5,996 | |
| 3 | 0,37 | -0,61 | 0,149 | 0,576 | |
| 4 | 5,94 | -2,44 | -0,610 | 3,342 | |
| 5 | 2,71 | -1,65 | -2,438 | 0,628 | |
| 6 | 0,15 | 0,39 | -1,646 | 4,134 | |
| 7 | 2,43 | 1,56 | 0,388 | 1,373 | |
| Итого: | 18,38 | - | -1,559 | 16,050 |
Полученное значение попадает в область неопределённости: DW
(0,7; 1,35). Это значит, что для прояснения вопроса относительно автокорреляции остатков необходимо дальнейшее исследование ряда остатков другими методами, в которых отсутствует зона неопределённости.
б) Воспользуемся тестом
серий Бройша - Годфри:
Таблица №3
| t
|
e
t |
e
t-1 |
e²
t-1 |
e
t ·e t-1 |
ê
t |
(y-bx)
² |
| 1 | 2,598 | 0,149 | 0,022 | 0,387 | 0,074 | 6,371 |
| 2 | 0,149 | -0,610 | 0,372 | -0,091 | -0,302 | 0,204 |
| 3 | -0,610 | -2,438 | 5,944 | 1,487 | -1,208 | 0,358 |
| 4 | -2,438 | -1,646 | 2,709 | 4,013 | -0,816 | 2,632 |
| 5 | -1,646 | 0,388 | 0,151 | -0,639 | 0,192 | 3,379 |
| 6 | 0,388 | 1,559 | 2,430 | 0,605 | 0,773 | 0,148 |
| Итого: | -1,559
|
-2,598
|
11,628
|
5,763
|
-1,287 | 13,092 |
На основании полученных данных построим уравнение регрессии без свободного члена вида ŷ=b·x.
При этом стандартная ошибка коэффициента регрессии b
, рассчитанная по формуле:
,
, = 1,181,
что меньше значения t
табл.
=
2,57. Это означает, что автокорреляция первого уровня отсутствует.
Однако следует отметить, что и тест Дарбина - Уотсона и тест серий Бройша - Годфри применяются только для выборок достаточно большого размера[1]
, в то время как предложенная нам для анализа выборка состоит только лишь из семи значений.
в) При помощи критерия серий
проверим случайность распределения уровней ряда остатков. С 95% вероятностью распределение ряда остатков считается случайным, если одновременно выполняются два неравенства:
1)
общее число серий должно быть больше
двух, и 2) - максимальная длина серии должна быть строго меньше
пяти.
Данные для расчётов получаем из таблицы № 4.
Таблица № 4.
Критерий серий линейная модель не проходит:
| ei
|
ei
- ei -1 |
серии | Число серий = 2, Продолжительность самой длинной серии равна 3. 2 = = [2.079] = 2. (не выполняется), хотя 3 < 5. Значит уровни распределены не случайно. |
| 0,149 | -2,449 | + | |
| -0,610 | -0,759 | + | |
| -2,438 | -1,828 | + | |
| -1,646 | 0,792 | - | |
| 0,388 | 2,033 | - | |
| 1,559 | 1,172 | - |
г) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверяем, используем RS-критерий:
= 2,63, где .
Значение нашего RS-критерия для 7 наблюдений практически попадает в интервал [2,67 3,69], (для 10 наблюдений) хотя и этот критерий определён для выборок более 10 единиц.
д) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена определяем отсутствие или наличие гетероскедастичности.
Таблица № 5.
| Ранг Х
|
Х
|
I ei
I |
Ранг еi
|
Di
|
D²i
|
Коэффициент ранговой кореляции определяется по формуле: |
| 1 | 2,5 | 2,60 | 7 | -6 | 36 | |
| 2 | 3 | 0,15 | 4 | -2 | 4 | |
| 3 | 3,4 | 0,61 | 3 | 0 | 0 | |
| 4 | 4,1 | 2,44 | 1 | 3 | 9 | |
| 5 | 5 | 1,65 | 2 | 3 | 9 | |
| 6 | 6,3 | 0,39 | 5 | 1 | 1 | |
| 7 | 7 | 1,56 | 6 | 1 | 1 |
Так как абсолютное значение статистики коэффициента ранговой корелляции =0,175 оказалась значительно меньше табличного значения , то гетероскедастичность отсутствует.
Вывод: линейная модель не соответствует всем предпосылкам регрессионного анализа (условиям теоремы Гаусса-Маркова) и, хотя она пригодна для прогнозирования, но возникает вопрос о её значимости.
Доверительные интервалы для параметра
b
регрессии
Стандартные ошибки для параметров регрессии находим по формулам:
= 0,46,
= 2,18.
Проверим на статистическую значимость коэффициент b
модели, для чего рассчитаем t
-статистику по формуле . Полученнаяt
-статистика равна -6,742, что по модулю больше табличного значения t
=
2,57. Экономически этот параметр интерпретируется так: при изменении дохода потребителей на одну единицу объёмы продаж изменятся на -3,103 ед.
Проверим на статистическую значимость коэффициент a
модели, для чего рассчитаем t
-статистику по формуле . Полученная t
-статистика равна 33,992, что больше табличного значения t
=
2,57. Доверительный интервал параметраb
определяем по формуле:
;
s = = 1,917,
Доверительный интервал параметраb
составляет ; или (t
табл.
= 2.57, Δ = 2,57 · 0,4602 = 1,1827).
Проведённый анализ коэффициентов регрессии говорит о том, что параметры регрессии значимы, кроме того и уравнение регрессии в целом значимо на 1% уровне значимости (cм. выше). Это позволяет использовать построенную нами модель для получения прогнозов.
Точечный и интервальный прогнозы
Вначале находим точечный прогноз для значения х
, на 25% превышающего среднее значение = 4,47 ( т.е. при = 5,589), . Тогда стандартная ошибка прогноза составит:
,
t
табл.
= 2.57, Δ = 2,57 · 2,18 = 5,604.
Интервальный прогноз для точечного прогноза при = 5,589 () составит: или .
[1]
Кристофер Доугерти. Введение в эконометрику. М.: Инфра М, 2001. С. 238.