Рефераты → Экономико-математическое моделирование → Ма → Математические методы и модели

Математические методы и модели

Задача 1


Определить зависимость между фактором и результатирующим признаком по данным, приведенным в таблице. Рассчитать коэффициент корреляции, определить вид зависимости, параметры линии регрессии, корреляционное отношение и оценить точность аппроксимации. Выбор варианта осуществляется по последней цифре порядкового номера студента


Решение:


Построим расчетную таблицу

































































































































































































































N Расходы по эксплуатации машин и механизмов (тыс. ден. ед), X Основная заработная плата (тыс. ден. ед), Y XY X2 Y2
1 3,2 6,3 20,16 10,24 39,69 6,35 0,003 10,27
2 0,5 1,1 0,55 0,25 1,21 2,04 0,886 3,98
3 1,2 2,9 3,48 1,44 8,41 3,16 0,067 0,04
4 0,1 2,5 0,25 0,01 6,25 1,40 1,203 0,35
5 0,5 2,3 1,15 0,25 5,29 2,04 0,067 0,63
6 0,6 4,7 2,82 0,36 22,09 2,20 6,244 2,58
7 0,8 2,5 2 0,64 6,25 2,52 0,000 0,35
8 1,3 3,6 4,68 1,69 12,96 3,32 0,079 0,26
9 2,1 5 10,5 4,41 25 4,60 0,164 3,63
10 0,3 0,7 0,21 0,09 0,49 1,72 1,045 5,74
11 3,2 7 22,4 10,24 49 6,35 0,421 15,25
12 0,5 1 0,5 0,25 1 2,04 1,085 4,39
13 1,4 3,1 4,34 1,96 9,61 3,48 0,143 0,00
14 1,8 2,8 5,04 3,24 7,84 4,12 1,733 0,09
15 0,3 1,4 0,42 0,09 1,96 1,72 0,104 2,87
16 0,4 1 0,4 0,16 1 1,88 0,778 4,39
17 2,3 5,1 11,73 5,29 26,01 4,91 0,034 4,02
18 0,1 2,6 0,26 0,01 6,76 1,40 1,433 0,25
18 1,3 3,8 4,94 1,69 14,44 3,32 0,232 0,50
20 1,3 2,5 3,25 1,69 6,25 3,32 0,670 0,35
сумма 23,2 61,9 99,08 44 251,51 61,9 16,391 59,93
среднее 3,095

Вычислим коэффициент корреляции по формуле:


r


где X и Y- текущие значения наблюдаемых величин;


N- число наблюдений.


Получим:



Коэффициент корреляции лежит в пределах 0£ / r /£ 1 . При положительном коэффициенте корреляции наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением независимой переменной увеличивается и зависимая.


В нашем примере r = 0,852 связь тесная


Вычислим уравнение регрессии:







- уравнение регрессии


Построим корреляционное поле



Теснота связи для аппроксимации криволинейных зависимостей определяется при помощи корреляционного отношения




r =


Дополнительной оценкой точности аппроксимации является средняя относительная ошибка аппроксимации. Линия регрессии - аппроксимирующая функция. Чем меньше E, тем точнее выбранная зависимость аппроксимирует существующую зависимость


Вычислим точность аппроксимации:



где Yi- наблюденное значение зависимой переменной ;


- рассчитанное по формуле значение;


- среднее значение;



Вывод:


1. Между факторами имеется тесная связь.


2. Связь прямая


3. Прямолинейная зависимость лучше отображает связь.


Задача 2


2.1 По приведенным ниже данным – матрицы прибыли в зависимости от выбранной стратегии и состоянии факторов внешней среды, выбрать наиболее предпочтительную стратегию по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа.



















































































Состояние факторов внешней среды
1 2 3 4 5 6
А 100 120 130 130 120 110
Б 110 90 150 120 120 100
В 150 150 100 90 100 90
Г 130 100 110 120 120 110
Д 150 110 110 100 130 150
Е 190 90 100 170 120 90
Ж 100 140 140 140 130 100
З 120 150 130 130 120 90
И 140 120 130 120 150 100

Критерий Лапласа.


Критерием выбора стратегии выступает максимизации математического ожидания.































































































Состояние факторов внешней среды М
Варианты стратегий 1 2 3 4 5 6
А 100 120 130 130 120 110 118
Б 110 90 150 120 120 100 115
В 150 150 100 90 100 90 113
Г 130 100 110 120 120 110 115
Д 150 110 110 100 130 150 125
Е 190 90 100 170 120 90 127
Ж 100 140 140 140 130 100 125
З 120 150 130 130 120 90 123
И 140 120 130 120 150 100 127

Вывод: В соответствии с критерием Лапласа стратегии СЕ и СИ характеризуются максимальным математическим ожиданием прибыли.


Критерий Вальда


В соответствии с критерием Вальда субъект, принимающий решение, избирает чистую стратегию, гарантирующую ему наибольший (максимальный) вариант из всех наихудших (минимальных) возможных исходов действия по каждой стратегии. На этой основе получается решение, определяемое как































































































Состояние факторов внешней среды min
Варианты стратегий 1 2 3 4 5 6
А 100 120 130 130 120 110 100
Б 110 90 150 120 120 100 90
В 150 150 100 90 100 90 90
Г 130 100 110 120 120 110 100
Д 150 110 110 100 130 150 100
Е 190 90 100 170 120 90 90
Ж 100 140 140 140 130 100 100
З 120 150 130 130 120 90 90
И 140 120 130 120 150 100 100

W = 100


Вывод: В соответствии с критерием рекомендуемые стратегии СА, СГ, СД, СЖ, СИ гарантируют максимальный результат (100) в самой неблагоприятной ситуации.


Критерий Гурвица


Согласно критерию Гурвица при выборе решения разумней придерживаться некоторой промежуточной позиции.В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей

r />

,


где a- показатель пессимизма-оптимизма, принимающий значения 0£ a£1,











Вывод: Согласно критерию Гурвица стратегия СЕ обеспечивает максимальное значение линейной комбинации


Критерий Сэвиджа


Чтобы оценить, насколько то или иное состояние природы влияет на исход в соответствии с критерием Сэвиджа вводится показатель риска(r ij), определяемый как разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии (Rj) и выигрышем при выбранной стратегии (Si)


; при ,


где rij - показатель риска;


bj - максимально возможный выигрыш;


x ij - выигрыш при выбранной стратегии


На этой основе строят матрицу рисков, которая показывает "сожаление между действительным выбором и наиболее благоприятным, если бы были известны намерения природы". Затем выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации






































































































































































Без риска С риском Без риска С риском Без риска С риском Без риска С риском Без риска С риском Без риска С риском Max rij
1 2 3 4 5 6
А 100 90 120 30 130 20 130 40 120 30 110 40 90
Б 110 80 90 60 150 0 120 50 120 30 100 50 80
В 150 40 150 0 100 50 90 80 100 50 90 60 80
Г 130 70 100 50 110 40 120 50 120 30 110 40 70
Д 150 40 110 40 110 40 100 70 130 20 150 0 70
Е 190 0 90 60 100 50 170 0 120 30 90 40 60
Ж 100 90 140 10 140 10 140 50 130 20 100 50 90
З 120 70 150 0 130 20 130 40 120 30 90 60 70
И 140 50 120 30 130 20 120 50 150 0 100 50 50
мах 190 150 150 170 150 150

S = 50


Вывод: В соответствие с критерием рекомендуемая стратегия СИ, выбирая её в самом худшем случаи наше сожаление не превысит 50.д.ед.


2.2При заданном распределении состояний факторов внешней среды определить стандартные статистические показатели (среднюю ожидаемую прибыль, дисперсию, коэффициент вариации прибыли) и обосновать выбор стратегии по индивидуальному отношению к риску.
























































































0,2 0,4 0,1 0,2 0,05 0,05
1 2 3 4 5 6
А 100 120 130 130 120 110
Б 110 90 150 120 120 100
В 150 150 100 90 100 90
Г 130 100 110 120 120 110
Д 150 110 110 100 130 150
Е 190 90 100 170 120 90
Ж 100 140 140 140 130 100
З 120 150 130 130 120 90
И 140 120 130 120 150 100

Вычислим среднюю ожидаемую прибыль по формуле:



МА=100*0,2+120*0,4+130*0,1+130*0,2+120*0,05+110*0,05=118,5


МБ=110*0,2+90*0,4+150*0,1+120*0,2+120*0,05+100*0,05=108


МВ=150*0,2+150*0,4+100*01+90*0,2+100*0,05+90*0,05=127,5


МГ=130*0,2+100*0,4+110*0,1+120*0,2+120*0,05+110*0,05=112,5


МД=150*0,2+110*0,4+110*0,1+100*0,2+100*0,05+150*0,05=119


МЕ=190*0,2+90*0,4+100*0,1+170*0,2+120*0,05+90*0,05=128,5


МЖ=100*0,2+140*0,4+140*0,1+140*0,2+130*0,05+100*0,05=129,5


МЗ=120*0,2+150*0,4+130*0,1+130*0,2+120*0,05+90*0,05=133,5


МИ=140*0,2+120*0,4+130*0,1+120*0,2+150*0,05+100*0,05=125,5


Вычислим среднее квадратичное (стандартное) отклонение:



где s - стандартное отклонение;


Ax - результат для вероятности Px;


a - среднее ожидаемое значение результата;


Px - вероятность появления этого результата




















Коэффициент вариации используют для сравнения рассеивания двух и более признаков, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеивания, выраженную в процентах. Он вычисляется по формуле:


,


где - искомый показатель, - среднее квадратичное отклонение, - средняя величина.



























































































1 2 3 4 5 6 м
А 100 120 130 130 120 110 118,5
Б 110 90 150 120 120 100 108
В 150 150 100 90 100 90 127,5
Г 130 100 110 120 120 110 112,5
Д 150 110 110 100 130 150 119
Е 190 90 100 170 120 90 128,5
Ж 100 140 140 140 130 100 129,5
З 120 150 130 130 120 90 133,5
И 140 120 130 120 150 100 125,5










Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.


Построим таблицу

























































































































1 2 3 4 5 6 м [М-];[М+] V%
А 100 120 130 130 120 110 118,5 10,61838 [107,88 ;129,12] 8,95
Б 110 90 150 120 120 100 108 18,60108 [89,40 ;126,60] 17,22
В 150 150 100 90 100 90 127,5 27,72634 [99,77 ;155,23] 21,74
Г 130 100 110 120 120 110 112,5 11,77922 [100,72; 124,28] 10,46
Д 150 110 110 100 130 150 119 18,9473 [100,05 ;137,95] 15,92
Е 190 90 100 170 120 90 128,5 43,04358 [85,46 ;171,54] 33,49
Ж 100 140 140 140 130 100 129,5 17,16828 [112,33 ;146,67] 13,25
З 120 150 130 130 120 90 133,5 15,89811 [117,60 ;149,40] 11,9
И 140 120 130 120 150 100 125,5 11,16915 [114,33 ;136,67] 8,9

Вывод: на мой взгляд самая оптимальная стратегия СЕ, т.к во время кризиса мы потеряем много прибыли, но в тоже время в благоприятных условиях мы приобретем много прибыли.
Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Математические методы и модели

Слов:1725
Символов:25493
Размер:49.79 Кб.