Реферат
«
Конечные разности. Погрешности»
1. Погрешности
1.1 Действительные и конечно-разрядные числа
Представление действительных чисел в вычислительных машинах с фиксированной разрядной сеткой влечет появление инструментальной погрешности в обрабатываемых числах и результатах арифметических действий.
Принятое при вводе преобразование исходных действительных чисел в нормализованную экспоненциальную форму и размещение их в ограниченной разрядной сетке ЭВМ с порядком и дробной частью (мантиссой) в общем случае вносит в этот операнд относительную инструментальную погрешность, величина которой не превышает
где n
– число значащих дробных двоичных разрядов, отведенных для хранения мантиссы.
Приближенное конечно-разрядное
число a
– это действительное число, занимающее заданное количество разрядов и округленное до числа с ближайшим значением достоверного младшего разряда. Приближенные действительные числа имеют абсолютную и относительную погрешности. Эти погрешности при анализе распространения ошибки при вычислениях приписываются к приближенному числу результата и связываются между собой следующим образом:
Если число a
= 5,3812 имеет все разряды достоверные, то его абсолютная погрешность
принимается равной половине единицы младшего разряда, т.е. =0.00005, а относительная погрешность
, округляемая обычно до одного-двух значащих достоверных разрядов, будет
Всякие арифметические операции с операндами, представленными в системе с плавающей точкой, в общем случае вносят в результат аналогичную относительную инструментальную погрешность:
где fl(•) – указание на арифметику с плавающей точкой,
– арифметическая операция из множества .
Значение результата, равное нулю принудительно устанавливается в машинах при операциях умножения с двумя операндами, приводящее к исчезновению порядка (отрицательный порядок по модулю не умещается на отведенном для него количестве разрядов).
Несколько иначе обстоит дело при вычитании чисел с плавающей точкой и одинаковым порядком:
,
.
Из последнего можно заключить, что для операции вычитания относительная погрешность численно определяется количеством значащих разрядов в результате, которое из-за выполнения нормализации не может быть меньше . Т.е. погрешность приближается к 100% последовательно. Это предупреждение адресуется составителям вычислительных алгоритмов, которым необходимо выискивать эквивалентные формулы с контролем величины операндов, в определенных ситуациях можно использовать программный переход к вычислениям с удвоенной точностью.
При выполнении аддитивных операций с приближенными операндами погрешность результата равна сумме абсолютных погрешностей всех чисел, участвовавших в операции. Выполнение мультипликативных операций вносит в результат относительную погрешность, равную сумме относительных погрешностей каждого из операндов.
1.2 Погрешность алгоритмов
Инструментальные погрешности арифметических машинных команд из-за различия и непредсказуемости величины ошибки результата нарушают дистрибутивный, ассоциативный и коммутативный законы арифметики. Каждый же программист, составляя программу, уже на уровне интуиции пользуется ими, как незыблемыми. Отсюда различие в точности тех или иных вычислительных алгоритмов и трудно уловимые ошибки.
Проследить накопление вычислительной погрешности алгоритма для операндов, которые имеют производные, удобно, если результат r
каждой двуместной арифметической операции умножать на множитель с последующим разложением результирующей функции алгоритма по степеням этого множителя или этих множителей, если в группах операторов отличаются по величине. Например, для алгоритма вычисления значения полинома третьей степени по схеме Горнера
с псевдокодом:
P:=0; j:=3;
repeat
S:=a[j]*x+a [j-1];
P:=P+S*x;
j:=j-1;
until j=1;
функция алгоритма будет:
Учитывая, что , последнее выражение дает возможность после раскрытия скобок выделить из суммы и оценить сначала абсолютную погрешность, а по абсолютной погрешности – относительную:
Условные арифметические операторы с проверкой равенства операндов необходимо заменять проверкой вида: .
2. Конечные разности
2.1 Определение конечных разностей
Конечная разность «вперед» для таблично заданной функции в i
-той точке определяется выражением: , где функция задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i
.
Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h
функции определяющее соотношение имеет вид:
.
Преобразование таблицы функции в функцию целочисленного аргумента осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x
и i
: .
Коэффициенты a
и b
находят из системы уравнений, получаемой в результате подстановки в пределах заданной таблицы вместо x
и i
сначала начальных значений аргументов , а затем конечных . При этом начало таблицы удобно совместить с началом координат функции с целочисленным аргументом(). Тогда для таблицы с (n+
1) –
й строками:
,
Повторные конечные разности n
-го порядка в i
-той точке для табличной функции определяются соотношением
.
2.2
Конечно-разностные операторы
Линейность конечно-разностного оператора позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига
и многочлены от оператора с целыми коэффициентами, такие, как , где должно рассматриваться как оператор повторной разности k
-того порядка.
Действие любого многочлена на функцию g
(i
) определяется как
.
Применение оператора сдвига к g
(i
) преобразует последнее в g
(i
+1):
g
(i
+1) = E g
(i
) =
(1+) g
(i
)= g
(i
) + g
(i
).
Повторное применение оператор
) –
е значение ординаты функции g
через конечные разности различных порядков:
где – число сочетаний из n
элементов по k
;
– многочлен степени k
от целой переменной n
(), имеющий k
сомножителей. При k=n
.
В силу линейности оператора сдвига можно конечно-разностный оператор выразить, как , и определить повторные конечные разности через многочлены от операторов сдвига так .
Последнее позволяет формульно выражать n
-ную повторную разность через (n
+1) ординату табличной функции, начиная с i
-той строки:
Если в выражении для g
(i+n
) положить i
=0 и вместо подставить их факториальные представления, то после несложных преобразований получится разложение функции целочисленного аргумента по многочленам , которые в литературе называют факториальными:
.
Можно поставить задачу разложения и функции действительной переменной f
(x
) по многочленам относительно начала координат (аналогично ряду Маклорена), т.е. . Если последовательно находить конечные разности от левой и правой частей, то, зная, что и , после подстановки x
=0 будем получать выражения для коэффициентов разложения . У многочленов k
-той степени, , поэтому
.
Такое разложение табличной функции f
(x
) в литературе называют интерполяционным многочленом Ньютона для равных интервалов.
2.3
Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования
Значение функции на удалении h
от некоторой точки можно выразить через значения производных в этой точке, разложив ее в ряд Тейлора:
где – оператор дифференцирования,
– оператор сдвига, выраженный через оператор p
.
h
– шаг по оси действительной переменной
Из равенства операторов сдвига, выраженных через p
и , можно получить взаимосвязь этих линейных операторов:
,
Оператор дифференцирования порядка n
, перенесенный в точку, удаленную от текущей, например, на 2 шага вперед представляется так:
.
Выполнив алгебраическое перемножение многочленов с конечно-разностными операторами и ограничившись операторами со степенью не выше n
, получим одну из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Действуя таким сложным конечно-разностным оператором на ординату f
(x
),
получаем формулу для вычисления n
-й производной в точке по значениям ее конечных разностей. Например, для n
=2, отбрасывая все повторные разности выше третьего порядка, получим:
.
Если f
(x
) является многочленом степени n
, то повторные разности (n
+1) –
го порядка тождественно равны нулю. Приравнивая нулю повторные разности порядков выше n
мы фактически аппроксимируем f
(x
) многочленом степени n
.
В предыдущем выражении, выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим еще один вид формулы для вычисления значения производной:
.
Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, если положить h
=1 и
2.4
Исчисление конечных разностей
Разложение функций в ряд по факториальным многочленам (интерполяционным многочленам Ньютона в частности) дает возможность получать формулы суммирования функциональных рядов в виде аналитических выражений, зависящих от пределов. Эта возможность открывается в связи с тем, что суммировать конечные разности не представляет большой сложности, а выразить конечную разность от факториального многочлена через факториальный же многочлен можно, воспользовавшись соотношением:
Факториальные многочлены по отношению к исчислению разностей ведут себя так же, как степенные функции в исчислении производных: дифференцирование тоже понижает степень многочлена на единицу. Это свойство позволяет в факториальном разложении заменить факториальные многочлены своими конечными разностями следующего вида:
Замена хороша тем, что суммирование конечных разностей в заданных пределах мнемонически весьма напоминает вычисление определенного интеграла от функции по ее первообразной:
Если , то
.
Процедуру суммирования функционального ряда продемонстрируем на примере получения суммы квадратов натурального ряда чисел в пределах от a
=1 до b
=5 (Для проверки: ):
Вторая сумма по переменной n
представляет разложение по факториальным многочленам, в которое входят значения конечных разностей 0, 1 и 2-го порядков, вычисленные в начале координат целочисленной переменной, т.е. при x=
0. Они соответственно равны:
,
,
.
После подстановки значений разностей во второй сумме останутся два факториальных полинома: первой и второй степеней:
Если распределить вычисление сумм по слагаемым, то мы перейдем к суммированию конечных разностей от факториальных многочленов:
Литература
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 600 с.
2. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. – М.: Наука, 1966. – 248 с.
3. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с.
4. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с.
5. Калашников В.И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ «ХПИ», 2002. – 196 с.
6. Вержбицкий, В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383 с.
7. Волков, Е.А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 248 с.
8. Мудров, А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «РАСКО», 1991. 272 с.
9. Шуп, Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. 255 с.
10. Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.