Эконометрия

Задание
:

1. По одному из заданных в приложении временных рядов вычислить члены рядов скользящих средних с периодом 3.

Решение:

Одним из важнейших заданий экономического анализа является изучение взаимосвязи между различными экономическими явлениями. Среди многих способов изучения взаимосвязи, которые рассматриваются эконометрией, является метод сглаживания ряда динамики с использованием скользящей средней. Суть его заключается в расчете новых значений ряда динамики, исчисленных как средние величины из его исходных значений. Целью данного метода является определение вида функциональной зависимости между признаком и фактором, использование полученных расчетов для определения прогнозного результата. В таблице 1 приведен расчет скользящих средних с периодом 3.

Таблица 1 – Расчет скользящих средних с различными интервалами сглаживания

Для определения того, какая из скользящих средних наиболее точно отображает тенденцию, найдем вариацию ряда с учетом полученных средних. Минимум среднеквадратического отклонения осредненных данных и фактических уровней позволяет это сделать по приводимым ниже формулам:

= 608,98, = 1002,97, = 1478,8

Из расчетов видно, что минимальное отклонение фактических данных от средней обеспечивается при использовании 2-х дневной скользящей средней. Это можно увидеть и при сравнении фактических и средних значений ряда динамики в таблице 1.

Задание:

Сгладить тенденцию ряда (тренд) по одной из аналитических кривых (прямая, степенная, экспонента, гипербола, логарифмическая) по методу наименьших квадратов.

Решение:

Между фактором и признаком, которые находятся в стохастической зависимости существует зависимость, которая называется регрессионной зависимостью. Расчет параметров уравнения регрессии заключается в поиске параметров математического уравнения, наиболее точно описывающего эмпирические значения.

Зависимость результативного показателя от определяющих его факторов можно выразить уравнением парной регрессии. При прямолинейной форме она имеет следующий вид: Yх
= а+bх

Если связь между результативным и факторным показателем носит криволинейный характер, то может быть использована степенная, логарифмическая, параболическая, гиперболическая и другие функции.

Наиболее распространенной формой криволинейной зависимости является парабола второго порядка, описываемая уравнением: Yх
= а+bх +сх2

Метод наименьших квадратов сводится к тому, чтобы определить параметры уравнения регрессии, путем решения системы уравнений:

Для определения значений, требуемых для расчета параметров уравнения регрессии по методу МНК рассчитаем исходные значения в таблице 2. Полученные расчетные параметры подставляем в систему уравнений, решаем ее и получаем значения а, b, с для уравнения регрессии.

=>

Таким образом, полученное уравнение регрессии имеет вид: y = 7.9367x2 - 98.544x + 6333.5

Таким образом, используя тот или иной тип математического уравнения, можно определить степень зависимости между изучаемыми явлениями, узнать, на сколько единиц в абсолютном изменении изменяется величина результативного показателя с изменением факторного на единицу.

Коэффициент а в уравнении регрессии - постоянная величина результативного показателя, которая не связана с изменением данного фактора. В полученном уравнении регрессии она равна 6333,5 тыс. грн. Параметры b и c показывают среднее изменение результативного показателя с повышением или понижением величины факторного показателя на единицу.

Таблица 2 - Расчетные значения для определения параметров уравнения регрессии

Задание 3:
Рассчитаем теоретические значения уравнения регрессии и отобразим на графике эмпирическую, теоретическую и сглаженную по методу средних линии трендов.

Решение:

Рисунок 1 – Эмпирическая, теоретическая и сглаженная по методу средних (период 3) линии регрессий

Задание 4:

Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции и оценить тесноту связи элементов ряда.

Решение:

Регрессионный анализ не дает ответа на вопрос: тесная связь или нет, решающее или второстепенное воздействие оказывает данный фактор на величину результативного показателя. Для измерения тесноты связи между факторным и результативным показателями исчисляется коэффициент корреляции по приводимой ниже формуле:

В числителе данной формуле находится корреляционный момент (ковариация или смешанная дисперсия). Для линейной зависимости критерием тесноты связи является коэффициент корреляции, для криволинейной зависимости целесообразно использовать корреляционный момент.

, где ,

Среднее значение показателя Y определяем, как . По условию задачи получаем, что = 6201,267 тыс. грн. = 2040023/15 = 136001,5. = 1553647/15 = 103576,5, тогда как = 0,4882

Коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до 1. Чем ближе его величина к 1, тем более тесная связь между изучаемыми явлениями, и наоборот. Считается, что если коэффициент корреляции находится в диапазоне от 0 до 0,3 - то связь слабая, от 0,3 до 0,6 - связь средняя, от 0,6 до 1 - связь сильная. По результатам подсчетов получаем, что между признаком и фактором связь средняя по силе, близка к слабой.

Коэффициент детерминации, полученный по данным формулам, составляет 0,2384. Он показывает, что показатель Y на 23,84% зависит от периода времени, а на долю других факторов приходиться 76,16% изменения уровня Y.

Задание 5:

Оценить качество аппроксимации ряда динамики по имеющимся данным.

Решение:

Чтобы убедиться в надежности показателей связи и правомерности их использования для практической цели, необходимо дать им статистическую оценку. Для этого используются, критерий Стьюдента (t), критерий Фишера (F- отношение), средняя ошибка аппроксимации (ε).

Надежность коэффициента корреляции, которая зависит от объема исследуемой выборки данных, проверяется по критерию Стьюдента:

,

где - среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции, которая определяется по формуле:

,

= 0,76166076/3,741657=0,2035,

Если расчетное значение t выше табличного, то можно сделать заключение о то, что величина коэффициента корреляции является значимой. Табличные значения t находят по таблице значений критериев Стьюдента. При этом учитывается количество степеней свободы (V = 14) и уровень доверительной вероятности (принимаем 0,05). Табличное значение - 2,145 при числе степеней свободы 14 и уровне значимости 0,05. Получаем, что tтабл.
< tрасч.,
величина коэффициента корреляции является значимой.

Надежность уравнения связи (регрессионной зависимости) оценивается с помощью критерия Фишера (F-критерия), расчетная величина которого сравнивается с табличным значением. Если Fрасч
.> Fтабл
., то гипотеза об отсутствии связи между исследуемыми показателями отвергается.

Критерий Фишера рассчитывается по формуле:

,

Таким образом, полученное значение 4,0696 больше табличного 3,57. Значимость гипотезы Н0
об отсутствии связи между исследуемыми показателями отвергается и уравнение регрессии считается значимым.

Для оценки точности уравнения регрессии рассчитывается средняя ошибка аппроксимации. Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической, тем меньше ее величина. А это свидетельствует о правильности подбора формы уравнения связи.

Список литературы:

1. Елейко В. Основы эконометрии: в 2х частях. – Львов: ООО «МАРКА Лтд», 1995. – 192с.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Из-во «ДИС», 1997.- 368с.

3. Савицкая Г.В. Экономический анализ: Учебник/ Г.В.Савицкая. – 9е изд., испр. –М.: Новое знание, 2004.- 640с.