Эконометрия

Задание
:


1. По одному из заданных в приложении временных рядов вычислить члены рядов скользящих средних с периодом 3.


Решение:


Одним из важнейших заданий экономического анализа является изучение взаимосвязи между различными экономическими явлениями. Среди многих способов изучения взаимосвязи, которые рассматриваются эконометрией, является метод сглаживания ряда динамики с использованием скользящей средней. Суть его заключается в расчете новых значений ряда динамики, исчисленных как средние величины из его исходных значений. Целью данного метода является определение вида функциональной зависимости между признаком и фактором, использование полученных расчетов для определения прогнозного результата. В таблице 1 приведен расчет скользящих средних с периодом 3.


Таблица 1 – Расчет скользящих средних с различными интервалами сглаживания




















































































№ п/п


Месяц


Значение показателя (масса прибыли), тыс. грн.


Скользящая средняя с периодом 3


1


январь


6377


2


ферваль


6505


6135.33


3


март


5524


6060.33


4


апрель


6152


6062.67


5


май


6512


6015.33


6


июнь


5382


5840.67


7


июль


5628


5716.33


8


август


6139


6010.67


9


сентябрь


6265


6262.67


10


октябрь


6384


6349.00


11


ноябрь


6398


6442.33


12


декабрь


6545


6450.00


13


январь


6407


6404.00


14


февраль


6260


6402.67


15


март


6541


Итого


93019


80152.00



Для определения того, какая из скользящих средних наиболее точно отображает тенденцию, найдем вариацию ряда с учетом полученных средних. Минимум среднеквадратического отклонения осредненных данных и фактических уровней позволяет это сделать по приводимым ниже формулам:


= 608,98, = 1002,97, = 1478,8


Из расчетов видно, что минимальное отклонение фактических данных от средней обеспечивается при использовании 2-х дневной скользящей средней. Это можно увидеть и при сравнении фактических и средних значений ряда динамики в таблице 1.


Задание:


Сгладить тенденцию ряда (тренд) по одной из аналитических кривых (прямая, степенная, экспонента, гипербола, логарифмическая) по методу наименьших квадратов.


Решение:


Между фактором и признаком, которые находятся в стохастической зависимости существует зависимость, которая называется регрессионной зависимостью. Расчет параметров уравнения регрессии заключается в поиске параметров математического уравнения, наиболее точно описывающего эмпирические значения.


Зависимость результативного показателя от определяющих его факторов можно выразить уравнением парной регрессии. При прямолинейной форме она имеет следующий вид: Yх
= а+bх


Если связь между результативным и факторным показателем носит криволинейный характер, то может быть использована степенная, логарифмическая, параболическая, гиперболическая и другие функции.


Наиболее распространенной формой криволинейной зависимости является парабола второго порядка, описываемая уравнением: Yх
= а+bх +сх2


Метод наименьших квадратов сводится к тому, чтобы определить параметры уравнения регрессии, путем решения системы уравнений:



Для определения значений, требуемых для расчета параметров уравнения регрессии по методу МНК рассчитаем исходные значения в таблице 2. Полученные расчетные параметры подставляем в систему уравнений, решаем ее и получаем значения а, b, с для уравнения регрессии.


=>


Таким образом, полученное уравнение регрессии имеет вид: y = 7.9367x2 - 98.544x + 6333.5


Таким образом, используя тот или иной тип математического уравнения, можно определить степень зависимости между изучаемыми явлениями, узнать, на сколько единиц в абсолютном изменении изменяется величина результативного показателя с изменением факторного на единицу.


Коэффициент а в уравнении регрессии - постоянная величина результативного показателя, которая не связана с изменением данного фактора. В полученном уравнении регрессии она равна 6333,5 тыс. грн. Параметры b и c показывают среднее изменение результативного показателя с повышением или понижением величины факторного показателя на единицу.


Таблица 2 - Расчетные значения для определения параметров уравнения регрессии





































>




































































































Xi


Yi


Xi
2


Xi
3


Xi
4


Xi
*Yi


Xi
2
*Yi


1


6377


1


1


1


6377


6377


2


6505


4


8


16


13010


26020


3


5524


9


27


81


16572


49716


4


6152


16


64


256


24608


98432


5


6512


25


125


625


32560


162800


6


5382


36


216


1296


32292


193752


7


5628


49


343


2401


39396


275772


8


6139


64


512


4096


49112


392896


9


6265


81


729


6561


56385


507465


10


6384


100


1000


10000


63840


638400


11


6398


121


1331


14641


70378


774158


12


6545


144


1728


20736


78540


942480


13


6407


169


2197


28561


83291


1082783


14


6260


196


2744


38416


87640


1226960


15


6541


225


3375


50625


98115


1471725


120


93019


1240


14400


178312


752116


7849736



Задание 3:
Рассчитаем теоретические значения уравнения регрессии и отобразим на графике эмпирическую, теоретическую и сглаженную по методу средних линии трендов.


Решение:



Рисунок 1 – Эмпирическая, теоретическая и сглаженная по методу средних (период 3) линии регрессий


Задание 4:


Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции и оценить тесноту связи элементов ряда.


Решение:


Регрессионный анализ не дает ответа на вопрос: тесная связь или нет, решающее или второстепенное воздействие оказывает данный фактор на величину результативного показателя. Для измерения тесноты связи между факторным и результативным показателями исчисляется коэффициент корреляции по приводимой ниже формуле:



В числителе данной формуле находится корреляционный момент (ковариация или смешанная дисперсия). Для линейной зависимости критерием тесноты связи является коэффициент корреляции, для криволинейной зависимости целесообразно использовать корреляционный момент.


, где ,


Среднее значение показателя Y определяем, как . По условию задачи получаем, что = 6201,267 тыс. грн. = 2040023/15 = 136001,5. = 1553647/15 = 103576,5, тогда как = 0,4882


Коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до 1. Чем ближе его величина к 1, тем более тесная связь между изучаемыми явлениями, и наоборот. Считается, что если коэффициент корреляции находится в диапазоне от 0 до 0,3 - то связь слабая, от 0,3 до 0,6 - связь средняя, от 0,6 до 1 - связь сильная. По результатам подсчетов получаем, что между признаком и фактором связь средняя по силе, близка к слабой.


Коэффициент детерминации, полученный по данным формулам, составляет 0,2384. Он показывает, что показатель Y на 23,84% зависит от периода времени, а на долю других факторов приходиться 76,16% изменения уровня Y.


Задание 5:


Оценить качество аппроксимации ряда динамики по имеющимся данным.


Решение:


Чтобы убедиться в надежности показателей связи и правомерности их использования для практической цели, необходимо дать им статистическую оценку. Для этого используются, критерий Стьюдента (t), критерий Фишера (F- отношение), средняя ошибка аппроксимации (ε).


Надежность коэффициента корреляции, которая зависит от объема исследуемой выборки данных, проверяется по критерию Стьюдента:


,


где - среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции, которая определяется по формуле:


,


= 0,76166076/3,741657=0,2035,


Если расчетное значение t выше табличного, то можно сделать заключение о то, что величина коэффициента корреляции является значимой. Табличные значения t находят по таблице значений критериев Стьюдента. При этом учитывается количество степеней свободы (V = 14) и уровень доверительной вероятности (принимаем 0,05). Табличное значение - 2,145 при числе степеней свободы 14 и уровне значимости 0,05. Получаем, что tтабл.
< tрасч.,
величина коэффициента корреляции является значимой.


Надежность уравнения связи (регрессионной зависимости) оценивается с помощью критерия Фишера (F-критерия), расчетная величина которого сравнивается с табличным значением. Если Fрасч
.> Fтабл
., то гипотеза об отсутствии связи между исследуемыми показателями отвергается.


Критерий Фишера рассчитывается по формуле:


,


Таким образом, полученное значение 4,0696 больше табличного 3,57. Значимость гипотезы Н0
об отсутствии связи между исследуемыми показателями отвергается и уравнение регрессии считается значимым.


Для оценки точности уравнения регрессии рассчитывается средняя ошибка аппроксимации. Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической, тем меньше ее величина. А это свидетельствует о правильности подбора формы уравнения связи.


Список литературы:


1. Елейко В. Основы эконометрии: в 2х частях. – Львов: ООО «МАРКА Лтд», 1995. – 192с.


2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Из-во «ДИС», 1997.- 368с.


3. Савицкая Г.В. Экономический анализ: Учебник/ Г.В.Савицкая. – 9е изд., испр. –М.: Новое знание, 2004.- 640с.

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Эконометрия

Слов:1677
Символов:15727
Размер:30.72 Кб.