В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.
Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X1
и мощности двигателя X2
из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.
Таблица 1
| Номер автомобиля i
|
Цена (тыс.у.е.) y
|
Возраст (лет) x
|
Мощность двигателя (л.с.) x
|
| 1 |
6,8 |
6,0 |
93 |
| 2 |
7,2 |
4,0 |
67 |
| 3 |
4,3 |
6,0 |
57 |
| 4 |
10,0 |
4,0 |
106 |
| 5 |
9,7 |
5,0 |
108 |
| 6 |
12,4 |
4,0 |
136 |
| 7 |
12,9 |
4,0 |
143 |
| 8 |
6,6 |
7,0 |
127 |
| 9 |
11,2 |
3,0 |
93 |
| 10 |
11,2 |
4,0 |
111 |
| 11 |
8,3 |
6,0 |
124 |
| 12 |
5,6 |
6,0 |
81 |
| 13 |
5,6 |
6,0 |
71 |
| 14 |
6,4 |
6,0 |
88 |
| 15 |
5,3 |
7,0 |
112 |
| 16 |
4,0 |
7,0 |
88 |
2. Множественная зависимость
С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.
Методом наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели
.
Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.
Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.
3. Экономическая интерпретация
На основе полученных статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.
Расчетная таблица:
| № |
y |
X1
|
x2
|
x1
|
x2
|
y*x1
|
y*x2
|
y2
|
x1
|
| 1 |
6,8 |
6 |
93 |
36 |
8649 |
40,8 |
632,4 |
46,2 |
558 |
| 2 |
7,2 |
4 |
67 |
16 |
4489 |
28,8 |
482,4 |
51,8 |
268 |
| 3 |
4,3 |
6 |
57 |
36 |
3249 |
25,8 |
245,1 |
18,5 |
342 |
| 4 |
10,0 |
4 |
106 |
16 |
11236 |
40,0 |
1060,0 |
100,0 |
424 |
| 5 |
9,7 |
5 |
108 |
25 |
11664 |
48,5 |
1047,6 |
94,1 |
540 |
| 6 |
12,4 |
4 |
136 |
16 |
18496 |
49,6 |
1686,4 |
153,8 |
544 |
| 7 |
12,9 |
4 |
143 |
16 |
20449 |
51,6 |
1844,7 |
166,4 |
572 |
| 8 |
6,6 |
7 |
127 |
49 |
16129 |
46,2 |
838,2 |
43,6 |
889 |
| 9 |
11,2 |
3 |
93 |
9 |
8649 |
33,6 |
1041,6 |
125,4 |
279 |
| 10 |
11,2 |
4 |
111 |
16 |
12321 |
44,8 |
1243,2 |
125,4 |
444 |
| 11 |
8,3 |
6 |
124 |
36 |
15376 |
49,8 |
1029,2 |
68,9 |
744 |
| 12 |
5,6 |
6 |
81 |
36 |
6561 |
33,6 |
453,6 |
31,4 |
486 |
| 13 |
5,6 |
6 |
71 |
36 |
5041 |
33,6 |
397,6 |
31,4 |
426 |
| 14 |
6,4 |
6 |
88 |
36 |
7744 |
38,4 |
563,2 |
41,0 |
528 |
| 15 |
5,3 |
7 |
112 |
49 |
12544 |
37,1 |
593,6 |
28,1 |
784 |
| 16 |
4,0 |
7 |
88 |
49 |
7744 |
28,0 |
352,0 |
16,0 |
616 |
| Сумма |
127,5 |
85 |
1605 |
477 |
170341 |
630,2 |
13510,8 |
1141,9 |
8444 |
Коэффициенты парной корреляции:
= = -0,833
= = 0,665
Проверка значимости:
(по таблице).
= 5,63 > 1,761
= 3,33 > 1,761
Коэффициенты корреляции существенно отличаются от 0.
Найдем матрицы:
=
=
Найдем матрицу , обратную к матрице . Определитель
|XT
X| = 16 * 477 * 170341 + 85 * 8444 * 1605 + 1605 * 85 * 8444 – 1605 * 477 * 1605 – 85 * 85 * 170341 – 16 * 8444 * 8444 = 3692086
Алгебраические дополнения:
D11
= (–1)1 + 1
= 477 * 170341 – 84442
= 9951521 и т.д.
Матрица алгебраических дополнений
=
Присоединенная матрица
(XT
X)*
= DT
= = D
(матрица D симметрична).
(XT
X)–1
= (XT
X)*
/ |XT
X| = =
Вектор оценок коэффициентов модели:
A = (XT
X)-1
(XT
Y) = =
Y = 10,455 – 1,650x1
+ 0,063x2
Расчетная таблица:
| № |
y |
x1
|
x2
|
|
y - |
(y - )2
|
y - |
(y - )2
|
| 1 |
6,8 |
6,0 |
93,0 |
6,38 |
0,42 |
0,179 |
-1,2 |
1,4 |
| 2 |
7,2 |
4,0 |
67,0 |
8,05 |
-0,85 |
0,721 |
-0,8 |
0,6 |
| 3 |
4,3 |
6,0 |
57,0 |
4,12 |
0,18 |
0,031 |
-3,7 |
13,5 |
| 4 |
10,0 |
4,0 |
106,0 |
10,49 |
-0,49 |
0,241 |
2,0 |
4,1 |
| 5 |
9,7 |
5,0 |
108,0 |
8,97 |
0,73 |
0,539 |
1,7 |
3,0 |
| 6 |
12,4 |
4,0 |
136,0 |
12,37 |
0,03 |
0,001 |
4,4 |
19,6 |
| 7 |
12,9 |
4,0 |
143,0 |
12,81 |
0,09 |
0,009 |
4,9 |
24,3 |
| 8 |
6,6 |
7,0 |
127,0 |
6,86 |
-0,26 |
0,065 |
-1,4 |
1,9 |
| 9 |
11,2 |
3,0 |
93,0 |
11,33 |
-0,13 |
0,016 |
3,2 |
10,4 |
| 10 |
11,2 |
4,0 |
111,0 |
10,80 |
0,40 |
0,157 |
3,2 |
10,4 |
| 11 |
8,3 |
6,0 |
124,0 |
8,32 |
-0,02 |
0,000 |
0,3 |
0,1 |
| 12 |
5,6 |
6,0 |
81,0 |
5,63 |
-0,03 |
0,001 |
-2,4 |
5,6 |
| 13 |
5,6 |
6,0 |
71,0 |
5,00 |
0,60 |
0,361 |
-2,4 |
5,6 |
| 14 |
6,4 |
6,0 |
88,0 |
6,06 |
0,34 |
0,113 |
-1,6 |
2,5 |
| 15 |
5,3 |
7,0 |
112,0 |
5,92 |
-0,62 |
0,379 |
-2,7 |
7,1 |
| 16 |
4,0 |
7,0 |
88,0 |
4,41 |
-0,41 |
0,171 |
-4,0 |
15,8 |
| Сумма
|
127,5 |
2,985 |
125,9 |
Остаточная дисперсия
S2
= ∑ (yi
- i
)2
/ (n – m – 1) = 2,985 / (16 – 2 – 1) = 0,230
Ковариационная матрица:
S2
(XT
X)-1
= 0,230 * =
Стандартные ошибки коэффициентов равны квадратным корням из диагональных элементов ковариационной матрицы:
S0
= = 0,787
S1
= = 0,096
S2
= = 0,005
Проверим значимость параметров регрессии.
Табличное значение
t1 – α/2, n – 3
= 1,77
t0
= |a0
| / S0
= 10,455 / 0,787 = 13,3 > 1,77
t1
= |a1
| / S1
= 1,650 / 0,096 = 17,1 > 1,77
t2
= |a2
| / S2
= 0,063 / 0,005 = 12,4 > 1,77
Все параметры значимы.
Коэффициент детерминации
= 1 – 2,985 / 125,9 = 0,976
Табличное значение критерия Фишера
Fт
= 3,8
Расчетное значение
Fф
= = = 267,7 > 3,8
Уравнение значимо.
Точечный прогноз:
(xp
) = 10,455 – 1,650 * 3 + 0,063 * 165 = 15,83 тыс. у.е.
Интервальный прогноз
Квантиль распределения Стьюдента (по таблице)
= t0,975; 13
= 2,16
где S = = = 0,479
xp
(XT
X)-1
(xp
)T
= = = 0,633
= 0,479 * = 0,381
В,Н
= 15,83 ± 2,16 * 0,381 = 15,83 ± 0,68
Н
= 15,15
В
= 16,51
3. Экономическая интерпретация. Между возрастом автомобиля и его ценой существует тесная отрицательная связь (коэффициент корреляции –0,833): при увеличении возраста на 1 год (при фиксированной мощности двигателя) цена падает в среднем на 1,650 тыс. усл. ед.
Между мощностью двигателя и ценой автомобиля существует менее тесная положительная связь (коэффициент корреляции 0,665): при увеличении мощности на 1 л.с. (при фиксированном возрасте автомобиля) цена увеличивается в среднем на 0,063 тыс. усл. ед.
С вероятностью 0,95 можно утверждать, что цена автомобиля при возрасте 3 года и мощности двигателя 165 л.с. будет находиться в пределах от 15,15 до 16,51 тыс. усл. ед.
Задача 3
1. Для регрессионной модели
и
с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости 0,05.
2. Для регрессионной модели
проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:
а) парный коэффициент корреляции;
б) критерий «хи-квадрат» χ2
на уровне значимости 0,05.
Расчетная таблица:
| № |
et
|
et-1
|
et
|
(et
|
(et
|
| 2 |
-0,85 |
0,42 |
-1,27 |
1,62 |
0,72 |
| 3 |
0,18 |
-0,85 |
1,03 |
1,05 |
0,03 |
| 4 |
-0,49 |
0,18 |
-0,67 |
0,45 |
0,24 |
| 5 |
0,73 |
-0,49 |
1,22 |
1,50 |
0,54 |
| 6 |
0,03 |
0,73 |
-0,70 |
0,49 |
0,00 |
| 7 |
0,09 |
0,03 |
0,06 |
0,00 |
0,01 |
| 8 |
-0,26 |
0,09 |
-0,35 |
0,12 |
0,07 |
| 9 |
-0,13 |
-0,26 |
0,13 |
0,02 |
0,02 |
| 10 |
0,40 |
-0,13 |
0,52 |
0,27 |
0,16 |
| 11 |
-0,02 |
0,40 |
-0,41 |
0,17 |
0,00 |
| 12 |
-0,03 |
-0,02 |
-0,01 |
0,00 |
0,00 |
| 13 |
0,60 |
-0,03 |
0,63 |
0,39 |
0,36 |
| 14 |
0,34 |
0,60 |
-0,26 |
0,07 |
0,11 |
| 15 |
-0,62 |
0,34 |
-0,95 |
0,91 |
0,38 |
| 16 |
-0,41 |
-0,62 |
0,20 |
0,04 |
0,17 |
| Сумма |
7,11 |
2,81 |
Статистика Дарбина-Уотсона
= 7,11 / 2,81 = 2,53
Табличные значения при n = 16, m = 2
dl
= 0,98; du
= 1,54
Так как 4 – du
< d < 4 – dl
, вопрос о наличии автокорреляции остается открытым (область неопределенности критерия).
Найдем коэффициент парной корреляции между объясняющими переменными.
r12
= = -0,169
Проверим значимость коэффициента корреляции.
= = 0,643 < 1,761
Коэффициент незначим, т.е. мультиколлинеарность не имеет места.
Определитель матрицы коэффициентов парной корреляции:
Det (r) = = 1 – 0,1692
= 0,971
Табличное значение статистики для df = 1 и α
= 0,05 равно
χ2
1;0,05
= 3,84.
Фактическое значение статистики
= - (16 – 1 – (2 * 2 + 5) / 6) ln 0,971 = 0,39 < 3,84
Мультиколлинеарность не имеет места, т.е. линейной зависимости между объясняющими переменными (возрастом автомобиля и мощностью двигателя) не существует. Это свидетельствует о надежности оценок параметров модели.