ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА
| кафедра экономики
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Экономико – математические методы в управлении»
вариант №30
КАЛИНИНГРАД
2008
Задание
Задание 1.2.
Смесь можно составить из n
продуктов Сj
(j=1,n). В каждом из продуктов содержится m
компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi
(i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij
.
Цена единицы j-го продукта равна сj
.
Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.
| C1
|
C2
|
C3
|
bi
|
|
| cj
|
9 |
6 |
7 |
|
| a1j
|
7 |
5 |
8 |
70 |
| a2j
|
8 |
2 |
3 |
40 |
| a3j
|
9 |
6 |
7 |
50 |
Задание 2.2.
Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.
maxZ = 3.6x1
– 0.2x1
2
+ 0.8x2
– 0.2x2
2
2x1
+ x2
≥ 10
x1
2
-10x1
+ x2
≤ 75
x2
≥ 0
Задание 3.1.
После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:
1) требуется профилактический ремонт;
2) требуется замена отдельных деталей и узлов;
3) требуется капитальный ремонт.
В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:
1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а
;
2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b
;
3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с
.
Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:
а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q
;
б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
| П1
|
П2
|
П3
|
|
| a
|
13 |
9 |
15 |
| b
|
20 |
12 |
11 |
| c
|
18 |
10 |
14 |
| q
|
0.3 |
0.45 |
0.25 |
λ
= 0.7
Задание 1.2.
Смесь можно составить из n
продуктов Сj
(j=1,n). В каждом из продуктов содержится m
компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi
(i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij
.
Цена единицы j-го продукта равна сj
.
Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.
| C1 |
C2 |
C3 |
bi |
|
| cj |
9 |
6 |
7 |
|
| a1j |
7 |
5 |
8 |
70 |
| a2j |
8 |
2 |
3 |
40 |
| a3j |
9 |
6 |
7 |
50 |
Смесь, минимальная по стоимости:
7x1
+ 5x2
+ 8x3
≥ 70
8x1
+ 2x2
+ 3x3
≥ 40
9x1
+ 6x2
+ 7x3
≥ 50
x1
≥ 0; x2
≥ 0; x3
≥ 0
F = 9x1
+ 6x2
+ 7x3
→ min
После транспонирования матрицы элементов aij
, cсимметричная двойственная задача будет иметь вид:
S(y1
,y2
,y3
) = 70y1
+ 40y2
+ 50y3
→ max , при ограничениях:
7y1
+ 8y2
+ 9y3
≥ 9
5y1
+ 2y2
+ 6y3
≥ 6
8y1
+ 3y2
+ 7y3
≥ 7
y1
≥ 0; y2
≥ 0; y3
≥ 0
Для решения двойственной задачи линейного программирования симплекс – методом, приведём систему неравенств к виду системы уравнений:
7y1
+ 8y2
+ 9y3
+ y4
≥ 9
5y1
+ 2y2
+ 6y3
+ y5
≥ 6
8y1
+ 3y2
+ 7y3
+ y6
≥ 7
y1
≥0;y2
≥0;y3
≥0;y1
≥0;y2
≥0;y3
≥0
S(y1
,y2
,y3
) = 70y1
+ 40y2
+ 50y3
→ max
По правилу соответствия переменных, базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные переменные двойственной задачи:
x1
x2
x3
x4
x5
x6
y1
y2
y3
y4
y5
y6
Первая симплексная таблица:
| Базис |
Сб |
А0 |
y1 70 |
y2 40 |
y3 50 |
y4 0 |
y5 0 |
y6 0 |
| y4 |
0 |
9 |
7 |
8 |
9 |
1 |
0 |
0 |
| y5 |
0 |
6 |
5 |
2 |
6 |
0 |
1 |
0 |
| y6 |
0 |
7 |
8 |
3 |
7 |
0 |
0 |
1 |
| 0 |
-70 |
-40 |
-50 |
0 |
0 |
0 |
Вторая симплексная таблица:
| Базис |
Сб |
А0 |
y1 70 |
y2 40 |
y3 50 |
y4 0 |
y5 0 |
y6 0 |
| y4 |
0 |
23/8 |
0 |
43/8 |
23/8 |
1 |
0 |
-7/8 |
| y5 |
0 |
13/8 |
0 |
1/8 |
13/8 |
0 |
1 |
-5/8 |
| y1 |
70 |
7/8 |
1 |
3/8 |
7/8 |
0 |
0 |
1/8 |
| 245/4 |
0 |
-55/4 |
45/4 |
0 |
0 |
35/4 |
Третья симплексная таблица:
| Базис |
Сб |
А0 |
y1 70 |
y2 40 |
y3 50 |
y4 0 |
y5 0 |
y6 0 |
| Y2 |
40 |
23/43 |
0 |
1 |
23/43 |
8/43 |
0 |
-7/43 |
| y5 |
0 |
67/43 |
0 |
0 |
67/43 |
-1/43 |
1 |
-26/43 |
| y1 |
70 |
29/43 |
1 |
0 |
29/43 |
-3/43 |
0 |
8/43 |
| 2950/43 |
0 |
0 |
800/43 |
110/43 |
0 |
280/43 |
В последней таблице в строке Δ нет отрицательных элементов. В соответствии с критерием оптимальности точка максимума Smax
= 2950/43 достигнута при значениях: y1
= 29/43; y2
= 23/43; y3
= 0.
По теореме двойственности: Fmin
= Smax
= 2950/43.
На основании правила соответствия между переменными, оптимальное решение прямой задачи:
y4
x1
= 110/43 y5
x2
= 0 y6
x3
= 280/43
Ответ:
В смесь минимальной стоимости 2950/43 целесообразно включить 110/43 единиц продукта C1
, 280/43 единиц продукта C3
, а продукт C2
не включать.
Задание 2.2.
Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.
maxZ = 3.6x1
– 0.2x1
2
+ 0.8x2
– 0.2x2
2
2x1
+ x2
≥ 10
x1
2
-10x1
+ x2
≤ 75
x2
≥ 0
В данной задаче имеется нелинейная целевая функция с нелинейной системой ограничений. Графическая схема позволит определить положение точки оптимума.
Сначала необходимо преобразовать формулу целевой функции так, чтобы получить её графическое отображение. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена относительно x1
и x2
, разделив левую и правую части формулы на -0.2:
-5Z = x1
2
-18x1
+ x2
2
– 4x2
Добавим к левой и правой частям уравнения числа, необходимые для выделения полных квадратов двучлена в правой части выражения:
92
и 22
в сумме составляют 85:
85 – 5Z = (x1
– 9)2
+ (x2
– 2)2
В результате получилась формула, позволяющая графически изобразить целевую функцию в виде линии уровня на плоскости X1
OX2
. Данные линии уровня представляют собой окружности с общим центром в точке O (9;2). Данная точка является точкой абсолютного экстремума целевой функции.
Для определения характера экстремума нужно провести анализ целевой функции на выпуклость/вогнутость. Для этого необходимо определить вторые частные производные и составить из них матрицу:
Z”
x1x1
Z”
x1x2
= -0.4 0
Z”
x2x1
Z”
x2x2
0 -0.4
Определим знаки главных миноров данной матрицы.
Главный минор первого порядка -0.4 < 0.
Главный минор второго порядка 0.16 > 0.
Т.к. знаки миноров чередуются, функция Z - строго вогнута. Экстремум вогнутых функций – max, следовательно в точке О у целевой функции находится абсолютный максимум.
Для построения области допустимых значений преобразуем второе неравенство системы ограничений:
x1
2
– 10x1
+ x2
≤ 75
x1
2
– 10x1
+ 25 + x2
≤ 100
(x1
– 5)2
+ x2
≤ 100
(x1
– 5)2
≤ 100 – x2
Уравнение (x1
– 5)2
= 100 – x2
выразим через переменные x1
*
и x2
*
:
x1
*
= x1
– 5
x2
*
= 100 – x2
Уравнение примет вид: x1
*2
= x2
*
.
В системе координат X1
*
O*
X2
*
данное уравнение является каноническим уравнением параболы.
На рисунке область допустимых значений – ограниченная часть плоскости ABCD. Из полученного графика видно, что точка абсолютного максимума Z лежит внутри ОДР. Следовательно, целевая функция принимает максимальное значение в этой точке:
max Z = Z(O) = Z(9;2) = 17
Задание 3.1
После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:
1) требуется профилактический ремонт;
2) требуется замена отдельных деталей и узлов;
3) требуется капитальный ремонт.
В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:
1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а
;
2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b
;
3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с
.
Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:
а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q
;
б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
| П1 |
П2 |
П3 |
|
| a |
13 |
9 |
15 |
| b |
20 |
12 |
11 |
| c |
18 |
10 |
14 |
| q |
0.3 |
0.45 |
0.25 |
λ
= 0.7
Составим платёжную матрицу, в которой Пj
– состояния оборудования, Аi
– альтернативы принятия решений:
| П1 |
П2 |
П3 |
|
| А1 |
-13 |
-9 |
-15 |
| А2 |
-20 |
-12 |
-11 |
| А3 |
-18 |
-10 |
-14 |
Для принятия оптимального решения в случае а). воспользуемся критерием Байеса; в случае б). критерием Лапласа; в случае в). критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.
а).
на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний: q1
= 0.3; q
2
= 0.45; q
3
= 0.25
Критерий Байеса.
Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `
ai
= ∑
aij
×
qj
`a1
= -11.7 `a2
= -14.15 `a3
= -13.4
| П1 |
П2 |
П3 |
`ai |
|
| А1 |
-13 |
-9 |
-15 |
-11.7 |
| А2 |
-20 |
-12 |
-11 |
-14.15 |
| А3 |
-18 |
-10 |
-14 |
-13.4 |
| qj |
0.3 |
0.45 |
0.25 |
Из средних выигрышей выбираем максимальный: max
ai
=
`
a
1
= -11.7
– первая альтернатива оптимальна в случае известных вероятностей наступления событий при выборе решения по критерию Байеса.
б).
имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
Критерий Лапласа.
Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `
ai
= 1/3∑
aij
`a1
= -12.3 `a2
= -14.3 `a3
= -14
| П1 |
П2 |
П3 |
`ai |
|
| А1 |
-13 |
-9 |
-15 |
-12.3 |
| А2 |
-20 |
-12 |
-11 |
-14.3 |
| А3 |
-18 |
-10 |
-14 |
-14 |
Из средних выигрышей выбираем максимальный: max
ai
=
`
a
1
= -12.3
– первая альтернатива оптимальна в случае равной вероятности наступления событий при выборе решения по критерию Лапласа.
в).
о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
Критерий Вальда.
Для каждой альтернативы определим наихудший исход. di
– минимальный элемент строки. Из наихудших исходов выбираем наилучший, т.е. максимальный di
.
| П1 |
П2 |
П3 |
di |
|
| А1 |
-13 |
-9 |
-15 |
-15 |
| А2 |
-20 |
-12 |
-11 |
-20 |
| А3 |
-18 |
-10 |
-14 |
-18 |
max
di
=
d
1
= -15
– первая альтернатива оптимальна по критерию Вальда.
Критерий Сэвиджа.
Для каждого столбца находим максимальный элемент βj
.
| П1
|
П2
|
П3
|
|
| А1
|
-13 |
-9 |
-15 |
| А2
|
-20 |
-12 |
-11 |
| А3
|
-18 |
-10 |
-14 |
| βj
|
-13 |
-9 |
-11 |
Построим матрицу рисков, элементы которой: rij
=
βj
-
aij
| max ri |
|||
| 0 |
0 |
4 |
4 |
| 7 |
3 |
0 |
7 |
| 5 |
1 |
3 |
5 |
В матрице рисков в каждой строке найдём максимальный риск, и из них выберем минимальный: min
r
=
r
1
= 4
– первая альтернатива оптимальна по критерию Сэвиджа.
Критерий Гурвица.
Для каждой строки находим минимальный di
и максимальный βj
.
| П1 |
П2 |
П3 |
di |
βj |
χi |
|
| А1 |
-13 |
-9 |
-15 |
-15 |
-9 |
-13.2 |
| А2 |
-20 |
-12 |
-11 |
-20 |
-11 |
-17.3 |
| А3 |
-18 |
-10 |
-14 |
-18 |
-10 |
-15.6 |
χ
i
= λ × di
+ (1 – λ) × βj
λ
= 0.7
Максимальный из элементов последнего столбца: max
χ
i
= χ1
= -13.2
– первая альтернатива оптимальна по критерию Гурвица.