Министерство образования и науки РФ
Хабаровская государственная академия экономики и права
Кафедра высшей математики
Факультет «Финансист»
Специальность: «Финансы и кредит»
Специализация: ГМФ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Вариант № 6
Выполнил: Алепов А.В.
студ. 3ФК курса,
г. Южно-Сахалинск 2006 г.
№6
Привести систему к системе с базисом, найти соответствующее базисное решение и сделать проверку, подставив решение в исходную систему:
Решение:
Составим таблицу:
| 2 | 7 | 3 | 1 | 6 |
| 1 | -5 | 1 | 3 | 10 |
| 6 | -1 | -2 | 5 | -2 |
| 1 | -5 | 1 | 3 | 10 |
| 2 | 7 | 3 | 1 | 6 |
| 6 | -1 | -2 | 5 | -2 |
| 1 | -5 | 1 | 3 | 10 |
| 0 | 17 | 1 | -5 | -14 |
| 0 | 29 | -8 | -13 | -62 |
| 1 | 1 | -5 | 3 | 10 |
| 0 | 1 | 17 | -5 | -14 |
| 0 | -8 | 29 | -13 | -62 |
| 1 | 0 | -22 | 8 | 24 |
| 0 | 1 | 17 | -5 | -14 |
| 0 | 0 | 165 | -53 | -174 |
| 1 | 0 | 0 | ||
| 0 | 1 | 0 | ||
| 0 | 0 | 1 |
Получили систему с базисом:
Здесь , , - базисные неизвестные, - свободное неизвестное. Положим . Получим , , .
Подставим решение в исходную систему:
,
решение найдено верно.
№26
Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать только материал трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия А расходуется 2 кг материала, 3 кг материала второго сорта, 4 кг материла третьего сорта. На изготовление единицы изделия В расходуется 5 кг материала, 2 кг материала второго сорта, 3 кг материла третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта 45 кг, второго сорта - 27 кг, третьего сорта – 38 кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль 7 тыс. рублей, а от продукции вида В прибыль составляет 5 тыс. рублей.
Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплексным методом и графически.
Решение:
1. Решение с помощью симплексного метода.
Составим математическую модель задачи. Обозначим через х1
и х2
выпуск продукции А и В соответственно. Затраты материала первого сорта на план составят 2х1
+ 5х2
и они недолжны превосходить запасов 45 кг:
Аналогично, ограничения по материалу второго сорта
И по материалу третьего сорта:
Прибыль от реализации х1
изделий А и х2
изделий В составит
целевая функция задачи.
Получили модель задачи:
Вводом балансовых переменных приводим модель к каноническому виду:
Запишем начальное опорное решение:
Симплекс-таблицу заполняем из коэффициентов при неизвестных из системы ограничений и функции:
| Баз.перем. | С | План | 7 | 5 | 0 | 0 | 0 |
| х1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
|||
| х3
|
0 | 45 | 2 | 5 | 1 | 0 | 0 |
| х4
|
0 | 27 | 3 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| х5
|
0 | 38 | 4 | 3 | 0 | 0 | 1 |
| ∆Z | 0 | -7 | -5 | 0 | 0 | 0 | |
| x3
|
0 | 27 | 0 | 11/3 | 1 | -2/3 | 0 |
| x1
|
7 | 9 | 1 | 2/3 | 0 | 1/3 | 0 |
| х5
|
0 | 2 | 0 | 1/3 | 0 | -4/3 | 1 |
| ∆Z | 63 | 0 | -1/3 | 0 | 7/3 | 0 | |
| x3
|
0 | 5 | 0 | 0 | 1 | 14 | -11 |
| x1
|
7 | 5 | 1 | 0 | 0 | 3 | -2 |
| x2
|
5 | 6 | 0 | 1 | 0 | -4 | 3 |
| ∆Z | 65 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
в индексной строке содержатся две отрицательные
В индексной строке содержится отрицательная оценка (-1/3).
в индексной строке нет отрицательных оценок
Так как все оценки положительные записываем оптимальное решение:
При этом плане прибыль от реализации изделий х1
= 5 и х2
= 6 составит Zmax
= 65; х4
= 0 и х5
= 0 означает, что материал второго и третьего сорта использован полностью, а х3
= 5 говорит о том, что осталось еще 5 кг материала первого сорта.
Получили Zmax
= 65 тыс. руб. при .
2. Графическое решение:
Рассмотрим систему линейных неравенств.
Строим область допустимых решений данной задачи. Для этого строим граничные линии в одной системе координат:
(I),
(II),
(III),
х1
= 0 (IV), х2
= 0 (V).
Для построения прямых берем по две точки:
Областью решений является пятиугольник ABCDO.
Затем строим на графике линию уровня
и вектор
или
Теперь перемещаем линию уровня в направлении вектора . Последняя точка при выходе из данной области является точка С – в ней функция
достигает своего наибольшего значения.
Определим координаты точки С из системы уравнений (II) и (III):
Подставим найденные значения в целевую функцию:
.
Т.е. максимальная прибыль от реализации изделий А и В составит 65 тыс. рублей.
№46
Для модели предыдущей задачи составить двойственную, из симплексной таблицы найти ее решение и проверить по основной теореме.
Решение:
Модель предыдущей задачи:
Двойственная ей задача имеет вид:
Для предыдущей задачи ее решение: при
Следовательно, по основной теореме для двойственной задачи: при
Проверка:
верно.
№ 66
Решить транспортную задачу.
Решение:
1. Занесем данные задачи в таблицу:
| В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
||
| А1
|
5 | 8 | 7 | 10 | 3 | 100 |
| А2
|
4 | 2 | 2 | 5 | 6 | 200 |
| А3
|
7 | 3 | 5 | 9 | 2 | 200 |
| А4
|
5 | 7 | 4 | 2 | 5 | 100 |
| 190 | 100 | 130 | 80 | 100 | 600 |
2. Составляем математическую модель задачи: для этого вводим неизвестные хij
, которыми являются количество единиц товара, перевозимого от каждого поставщика к каждому потребителю.
ограничения по поставкам
ограничение по потребителям
(,( ограничения по здравому смыслу.
Цель задачи (стоимость всей перевозки) в математической форме:
Задача разрешима, т.к.
.
3. Находим оптимальный план по методу наименьшего элемента
| В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
||
| А1
|
5100 | 87 | 76 | 108 | 33 | 100 |
| А2
|
4-2 + | 270- | 2130 | 53 | 65 | 200 |
| А3
|
- 770 | +330 | 52 | 95 | 2100 | 200 |
| А4
|
520 | 76 | 43 | 280 | 55 | 100 |
| 190 | 100 | 130 | 80 | 100 | 600 |
- план невырожденный
Дадим оценку полученному плану методом потенциалов. Каждому поставщику Аi
ставим в соответствие число (, называемое потенциалом поставщика; каждому потребителю Bj
– число (, называемое потенциалом потребителя. Причем и выбираем так, чтобы в любой загруженной клетке сумма их равнялась тарифу этой клетки, т.е.
Всего занятых клеток m+ n– 1 = 8 (план не вырожденный). Придаем одному из неизвестных значение 0.
Для определения потенциалов составляем систему:
Откуда
Вычисляем оценки для свободных клеток по формуле
и запишем их в левом углу свободных клеток. В клетке (2; 1) получили отрицательную оценку. Строим для нее цикл
вдоль которого перемещаем
.
Получаем следующий план перевозок:
| В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
||
| А1
|
5100 | 85 | 74 | 108 | 31 | 100 |
| А2
|
470 | 20 | 2130 | 54 | 65 | 200 |
| А3
|
72 | 3100 | 52 | 97 | 2100 | 200 |
| А4
|
520 | 74 | 41 | 280 | 53 | 100 |
| 190 | 100 | 130 | 80 | 100 | 600 |
- план невырожденный
Дадим оценку полученному плану. Всего занятых клеток m+ n– 2 = 7 (план не вырожденный). Придаем двум из неизвестных значение 0.
Для определения потенциалов составляем систему:
Откуда
Вычисляем оценки для свободных клеток и записываем их в левом углу свободных клеток.
Все оценки положительны, значит, план оптимален.
Оптимальный план можем представить в виде
транспортные расходы по этому плану составят
условных единиц.