Примеры решения эконометрических заданий

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЛИАЛ В Г. ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ

Специальность «Финансы и кредит»

Контрольная работа по эконометрике

Вариант № 14

Железнодорожный 2009

Задание 1.2

Задача 1.

Найти среднее число государственных вузов, если статистические данные таковы:

Годы	1994	1995	1996	1997	1998
Кол-во ВУЗов	548	553	569	573	578

Найти: х - ?

Решение:

1. Определим кол-во наблюдений: n = 5

2. Запишем формулу:

х = 1 / nΣn
i
= 1
* xi

3. x = (1*( 548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2

Ответ: 564,2

Задача 2.

Рассчитать ковариацию между 2-мя рядами:

Поголовье КРС (млн.т)	57	54,7	52,2	48,9	43,3	39,7	35,1
Пр-во молока (тыс.т)	1,49	1,38	1,29	1,1	0,99	0,9	0,88

Найти: Cov - ?

Решение:

1. Определим кол-во наблюдений: n = 7

2. Определим выборочное среднее для скота:

х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271

3. Определим выборочное среднее для молока:

y = (1 *(1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88))/ 7 = 8,03/ 7 = 1,147

4. Запишем формулу для определения ковариации:

Cov (x;y) = 1/n Σ n
i = 1
(xi
- x)(yi
- y)

5. Вычислим ковариацию:

Cov (x;y) = [1*((57-47,271)*(1,49-1,147)+(54,7-47,271)*(1,38-1,147)+ (52,2-47,271)*(1,29-1,147)+(48,9-47,271)*(1,1-1,147)+(43,3-47,271)*(0,99-1,147) + (39,7-47,271)*(0,9-1,147)+(35,1-47,271)*(0,88-1,147)) ]/7 = 11,439/7 = 1,634

Ответ: 1,634

Задача 3.

Определить выборочную дисперсию для ряда данных о потребление мяса (в кг на душу населения в год).

69

60

69

57

55

51

50

Найти: Var - ?

Решение:

1. Определим кол-во наблюдений: n = 7

2. Определим выборочное среднее:

х = (1*(69+60+69+57+55+51+50))/7 = 411/7 = 58,714

3. Запишем формулу для определения вариации:

Var (x) = 1/n Σ n
i = 1
(xi
- x)2

4. Определим вариацию:

Var = (1*(69-58,714)^2+(60-58,714)^2+(69-58,714)^2+(57-58,714)^2+(55-58,714)^2+(51-58,714)^2+(50-58,714)^2)/7 = 365,429/7 = 52,204

Ответ: 52,204

Задача 4.

Оценить параметры предполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса по поголовью скота, если:

х (производство мяса) = 6,8

y (поголовье скота) = 47,3

Cov = 11,2

Var = 56,9

Оценить параметры

Решение:

1. b = Cov (x;y)/Var (x)

b = 11,2/56,9

b = 0,196

2. a = y – bx

a = 47,3 – 0,196 * 6,8

a = 45,968

3. y = 45,968 + 0,196x

Задание 5.

Определить остаток в 1-ом наблюдение, если уравнение регрессии имеет вид:

y = 0,20x – 2,24

57	54,7	52,2	48,9	43,3	39,7	35,1
8,37	8,26	7,51	6,8	5,79	5,33	4,85

Найти: g 1
= ?

Решение:

1. Выбор № наблюдений: i = 1

2. хi
= 57

3. y i
= 8,37

4. Вычислим :

y*= 0,20x – 2,24

y*= 0,20x 1
– 2,24

y*= 0,20*57 – 2,24

y*= 9,16

5. Определим остаток в 1-ом наблюдение:

g i
= yi
- xi

g 1
= 8,37 – 9,16

g 1
= - 0,79

Ответ: - 0,79

Задача 6.

Для рядов 1,2 уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5), найти необъясненную сумму квадратов отклонений.

57	54,7	52,2	48,9	43,3	39,7	35,1
8,37	8,26	7,51	6,8	5,79	5,33	4,85

Найти: RSS = ?

Решение:

1. Определим число наблюдений: n = 7

2. Вычислим: yi
= a + bxi
, получим

y1
*
= 0,20*57 – 2,24, y1
*
= 9,16

y2
*
= 0,20*54,7 – 2,24, y2
*
= 8,7

3. Определим остатки:

g 1
= 8,37 – 9,16, g 1
= - 0,79

g2
= 8,26 – 8,7, g2
= - 0,44

4. Определим RSS для 1 и 2 ряда:

RSS = Σ n
i =1
g i
2

RSS = (- 0,79)2
+ (-0,44)2

RSS = 775, 2592

Ответ: 0,8177

Задача 7.

Определить объясненную сумму квадратов отклонений для рядов и уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5).

57	54,7	52,2	48,9	43,3	39,7	35,1
8,37	8,26	7,51	6,8	5,79	5,33	4,85

Найти: ESS = ?

Решение:

1. Определим число наблюдений: n = 7

2. Вычислим: yi
= a + bxi
, получим

y1
= 0,20*57 – 2,24, y1
= 9,16

y2
= 0,20*54,7 – 2,24, y2
= 8,7

y3
= 0,20*52,2 – 2,24, y3
= 8,2

y4
= 0,20*48,9 – 2,24, y4
= 7,54

y5
= 0,20*43,3 – 2,24, y5
= 6,42

y6
= 0,20*39,7 – 2,24, y6
= 5,7

y7
= 0,20*35,1 – 2,24, y7
= 4,78

3. Определим выборочное среднее y = 1 / nΣn
i
= 1
* yi
получим:

y = (1 *(9,16+8,7+8,2+7,54+6,42+5,7+4,78))/ 7

y = 7,214

4. Вычислим ESS:

ESS = Σi = 1
n
( yi
*
- yi
)2

ESS = (9,16 – 7,214)2
+(8,7 – 7,214)2
+(8,2 – 7,214)2
+(7,54 – 7,214)2
+(6,42 – 7,214)2
+(5,7 – 7,214)2
+(4,78 – 7,214)2

ESS = 15,921

Ответ: 15,921

Задача 8.

В задачах 6 и 7 рассчитаны RSS и ESS. Определить TSS и проверить выполнение соотношения между этими 3-мя характеристиками.

RSS = 0,8177

ESS = 15,921

Решение:

1. Рассчитаем общую сумму квадратов отклонений:

TSS = Σi = 1
n
( yi
- y)2

TSS = 12,016

уi	8,37	8,26	7,51	6,8	5,79	5,33	4,85	Σ= 46,91	Σ/n = 6,701
( yi - y)2	2,784	2,429	0,654	0,010	0,831	1,881	3,428	Σ= 12,016

2. Проверим:

TSS = ESS + RSS

TSS = 15,921 + 0,8177

TSS = 16,7387

16,7387 ≠ 12,016 – несовпадение значений.

Задача 9.

Для рассчитанного уравнения регрессии определена ESS = 15,37/ Найти коэффициент детерминации, если TSS = 16,21.

Найти: R2
= ?

Решение:

1. Определим коэффициент детерминации:

R2
= ESS/TSS

R2
= 15,37/16,21

R2
= 0,948

Ответ: 0,948

Задача 10

Определить выборочную корреляцию между 2-мя величинами, если ковариация составляет 11,17, вариация первого ряда составляет 59,86 , а второго 2,32.

Cov (x,y) = 11,17

Var (x) = 59,86

Var (y) = 2,32

Найти: Zxy
- ?

Решение:

1. Запишем формулу для определения выборочной корреляции:

Zxy
= Cov2
(x,y)/ √ Var(x) * Var(y)

2. Вычислим выборочную корреляцию:

Zxy
= (11,17)2
/ √ 59,86*2,32

Zxy
= 124,769/11,785

Zxy
= 10,588

Ответ: 10,588

Задание 2.2

Задача 1.

Производство х1	30,8	34,3	38,3	37,7	33,8	39,9	38,7	37,0	31,4
Импорт х2	1,1	1,2	0,4	0,2	0,1	0,1	0,1	0,2	0,33
Потребление у	15,7	16,7	17,5	18,8	18,0	18,3	18,5	19,1	18,0

Найти: Var = ? и парную Cov = ?

Решение:

1. Определим число наблюдений: n = 9

2. Найдем выборочное среднее для рядов: х = 1 / nΣn
i
= 1
* xi

х1
= (1*(30,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9

х1
= 35,767

х2
= (1*(1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2+ 0,33)) / 9

х2
= 0,414

у = (1*(15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9

у= 17,844

3. Рассчитаем Var для рядов: Var = 1 / nΣn
i
= 1
* ( xi
– xi
)2

(x1 – x1 )	-4,967	-1,467	2,533	1,933	-1,967	4,133	2,933	1,233	-4,367	Σ = 87,120 Σ/n = 9,680
(x1 – x1 )2	24,668	2,151	6,418	3,738	3,868	17,084	8,604	1,521	19,068
(x2 – x2 )	0,686	0,786	-0,014	-0,214	-0,314	-0,314	-0,314	-0,214	-0,084	Σ = 1,483 Σ/n = 0,165
(x2 – x2 )2	0,470	0,617	0,000196	0,046	0,099	0,099	0,099	0,046	0,007
(y – y)	-2,144	-1,144	-0,344	0,956	0,156	0,456	0,656	1,256	0,156	Σ = 9,202 Σ/n = 1,022
(y– y)2	4,599	1,310	0,119	0,913	0,024	0,208	0,430	1,576	0,024

4. Вычислим Cov: Cov (x,y) = 1 / n Σ n
i = 1
* (xi
– x)*(yi
– y)

(x1 -x1 )(y-y)	10,651	1,679	-0,873	1,847	1,923	1,549	-0,679	Σ = 17,673	Σ/n = 1,964
(x2 –x2 )(y-y)	-1,470	-0,899	0,005	-0,205	-0,206	-0,269	-0,013	Σ = -3,250	Σ/n = -0,361
(x1 -x1 )(x2 –x2 )	-3,405	-1,152	-0,037	-0,415	-0,922	-0,264	0,369	Σ = -6,508	Σ/n = -0,723

Ответ: Var1
= 9,680 Cov1
= 1,964

Var2
= 0,165 Cov2
= -0,361

Var3
= 1,022 Cov3
= -0,723

Задача 2.

Определить коэффициенты при объясняющих переменных, для линейной регрессии, отражающих зависимость потребления картофеля от его производства и импорта, используя данные из задачи 1.

Найти: b1,2
= ?

Решение:

1. Определим Var рядов объясняющих переменных:

Var(х1
) = 9,680

Var(х2
) = 0,165

2. Определим Cov:

Cov(x1
;у) = 1,964

Cov(х2
;у) = -0,361

Cov(х1
;х2
) = -0,723

3. Вычислим b1
и b2
по формулам:

b1
= Cov(x1
;у)* Var(х2
) - Cov(х2
;у)* Cov(х1
;х2
)/ Var(х1
)* Var(х2
) – (Cov(х1
;х2
))2

b2
= Cov(х2
;у)* Var(х1
) - Cov(x1
;у)* Cov(х1
;х2
)/ Var(х1
)* Var(х2
) - (Cov(х1
;х2
))2

b1
= (1,964*0,165) – (-0,361*-0,72

3)/(9,680*0,165) - (-0,723)2

b1
= 0,059

b2
= (-0,361*9,680) – (1,964*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)2

b2
= - 1,931

Ответ: 0,059 ; - 1,931

Задача 3.

Рассчитать коэффициент А для регрессии, отражающий зависимость потребления картофеля от его производства и импорта (исп. Данные из задачи 1 и 2)

Найти: а = ?

Решение:

1. определим средние значения:

х1
= 35,767 х2
= 0,414 у = 17,844

2. Определим коэффициенты b1
и b2
:

b1
= 0,059 b2
= -1,931

3. Вычислим значение коэффициента а: а = у – b1
x1
– b2
x2

a = 17,844 - 0,059*35,767 – (-1,931*0,414)

a = 16,533

Ответ: 16,533

Задача 4.

Рассчитать значение личного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициенты регрессии.

Решение:

1. Определим коэффициенты b1
и b2
:

b1
= 0,059 b2
= -1,931

2. Определим коэффициент а:

а = 16,533

3. Определим вектор регрессионного значения по формуле:

[Х*]= а + b1
[x1
]+ b2
[x2
]

1	2	3	4	5	6	7	8	9
[Х*]	16,226	16,240	18,020	18,371	18,334	18,694	18,623	18,33	17,748

Задача 5.

Рассчитать общую, объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии по потреблению картофеля.

Найти: RSS, TSS, ESS - ?

Решение:

1. Определим средненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных:

Потребление у	15,7	16,7	17,5	18,8	18	19,1	18	Σ = 160,6	Σ/n = 17,84
у*	16,226	16,240	18,020	18,371	18,334	18,330	17,748	Σ= 160,6	Σ/n = 17,84

у = y*

2. Определим общую сумму квадратов отклонений по формуле:

TSS = Σi = 1
n
( yi
- y)2

TSS = 9,202

( yi - y)2

4,60

1,31

0,12

0,91

0,21

0,43

1,58

0,02

Σ= 9,202

3. Определим объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:

ESS = Σi = 1
n
( yi
– y*)2

ESS = 7,316

( yi – y*)2

2,614

2,571

0,031

0,279

0,241

0,724

0,609

0,237

0,009

Σ= 7,316

4. Определим не объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:

RSS = Σi = 1
n
( yi
– y*)2

RSS = 1,882

( yi – y*)2

0,277

0,212

0,271

0,184

0,112

0,155

0,015

0,593

0,063

Σ= 1,882

Ответ: 9,202 ;7,316; 1,882

Задача 6.

Вычислить коэффициент детерминации, используя данные из задачи 5

Найти:R-?

Решение:

1. Вычислим TSS и ESS:

TSS = 9,202

ESS = 7,316

2. Найдем R2
по формуле:

R2
= ESS/TSS

R2
= 7,316/9,202

R2
= 0,795

Ответ: 0,795

Задача 7.

Для оценки возможной мультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача 1).

Решение:

1. Найдем Var:

Var(х1
) = 9,680

Var(х2
) = 0,165

2. Найдем Cov:

Cov(х1
;х2
) = -0,723

3. Рассчитаем коэффициент корреляции:

r(x1
;х2
) = Cov(х1
;х2
)/√ Var(х1
)- Var(х2
)

r(x1
;х2
) = -0,723/3,085

r(x1
;х2
) = - 0,234

Ответ: - 0,234

Задача 8.

Определить несмещенную оценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля.

Найти: Su
2
(u) - ?

Решение:

1. Найдем RSS:

RSS = 1,882

2. Найдем число степеней выборки

k = n-m-1

k = 9-2-1

k = 6

3. Найдем несмещенную оценку случайного члена:

Su
2
(u) = RSS/ n-m-1

Su
2
(u) = 1,882/9-2-1

Su
2
(u) = 0,3136

Ответ: 0,3136

Задача 9.

Рассчитать стандартные ошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств. регрессии по потреблению картофеля.

Найти: С.О.(b1
), C.O.(b2
) - ?

Решение:

1. Найдем дисперсию случайного члена:

Su
2
(u) = 0,3136

2. Найдем Var:

Var(х1
) = 9,680

Var(х2
) = 0,165

3. Найдем коэффиц. корреляции:

r(x1
;х2
) = - 0,234

4. Вычислим стандартные ошибки С.О.(b1
), C.O.(b2
):

С.О.(b1
) = (√(Su
2
(u)/n * Var(х1
)) * (1/1- r2
(x1
;х2
))

С.О.(b1
) = (√(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234))

C.O.(b2
) = (√(Su
2
(u)/n * Var(х2
)) * (1/1- r2
(x1
;х2
))

C.O.(b2
) = (√(0,3136/9*0,165))* (1/1-(- 0,234))

С.О.(b1
) = 0,0486

C.O.(b2
) = 0,3724

Ответ: 0,0486; 0,3724.

Задача 10.

Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона.

Найти: DW - ?

Решение:

1. Определим остатки в наблюдениях:

ek
= yk
– y*
k
; k = (1:n)

y(k)	15,7	16,7	17,5	18,8	18	18,3	18,5	19,1
y(k)*	16,226	16,240	18,020	18,371	18,334	18,694	18,623	18,330
e(k)	-0,526	0,461	-0,520	0,429	-0,334	-0,394	-0,123	0,770
ek-e(k-1)	-0,987	0,981	-0,949	0,763	0,060	-0,271	-0,893	0,519
ek-e(k-1)^2	0,973	0,962	0,901	0,582	0,004	0,073	0,798	0,269
e(k)^2	0,277	0,212	0,271	0,184	0,112	0,155	0,015	0,593

(e k
-e k – 1
)2
= 4,562

ek
2
= 1,882

2. Вычислим статистику Дарбина-Уотсона:

DW = Σ (e k
-e k – 1
)2
/ Σ e k
2

DW = 2,424

DW > 2

Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляция отрицательная.

Задание 3.2

Задача 1.

Рассчитать выборочное среднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.):

6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4

Найти: а

Решение:

1. Запишем формулу: a=1/N*ΣN
t
=1
*x (t)

2. Вычислим:

а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10

а = 7,02 (млрд. руб.)

Ответ: 7,02 (млрд. руб.)

Задача 2.

Рассчитать выборочную дисперсию по данным задачи 1.

Найти: σ = ?

Решение:

1. а = 7,02

2. Запишем формулу для вычисления дисперсии: σ2
= 1/N*ΣN
t
=1
x(t)-a

3. Вычислим:

х(t)	5,9	6,3	6,6	6,8	7	7,1	7,4	7,9	7,8
х(t)-a	-1,120	-0,720	-0,420	-0,220	-0,020	0,080	0,380	0,880	0,780
(х(t)-a)2	1,254	0,518	0,176	0,048	0,0004	0,006	0,144	0,774	0,608

σ = 3,676

Ответ: 3,676

Задача 3.

Найти оценку ковариации для τ = 0,1,2 (используя данные из задачи 1)

х(t)-a	-1,120	-0,720	-0,420	-0,220	-0,020	0,080	0,380	0,880
(х(t)-a)^2	1,254	0,518	0,176	0,048	0,000	0,006	0,144	0,774
(х(t)-a)* (х(t+1)-a)	0,8064	0,3024	0,0924	0,0044	-0,0016	0,0304	0,3344	0,6864
(х(t)-a)* (х(t+2)-a)	0,4704	0,1584	0,0084	-0,0176	-0,0076	0,0704	0,2964	0,3344

∑ τ(0) = 3,676

∑ τ (1) = 2,552

∑ τ (2) = 1,313

ρ(τ) = 1/(N- τ)∑t
=1
N
-
τ
(x(t)-â)* (x(t+1)-â)

ρ (0) = 0,367

ρ (1) = 0,283

ρ (2) = 0,164

Ответ: 0,367; 0,283; 0,164.

Задача 4.

Рассчитать выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, используя данные из задачи 1

Найти: r= ? для τ = 1,2

Решение:

1. Найдем τ = 0,1,2

ρ(0) = 0,367

ρ(1) = 0,283

ρ(2) = 0,164

2. Рассчитаем выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, по формуле:

r(τ) = ρ (τ)/ τ(0)

r(1) = 0,283/0,367

r(1) = 0,771

r(2) = 0,164/0,367

r(2) = 0,446

Ответ: 0,771; 0,446

Задача 5.

Рассчитать выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1.

Найти: rчастная
(2) = ?

Решение:

1. Найдем выборочную автокорреляцию

r(1) = 0,771

r(2) = 0,446

2. Рассчитаем выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка:

rчастная
(2) = r(2) – r2
(1)/ 1 - r2
(1)

rчастная
(2) = 0,446 – (0,771)2
/ 1 - (0,771)2

rчастная
(2) = - 0,365

Ответ: - 0,365

Задача 6.

С помощью критерия основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда:

1	6200	-
2	6300	-
3	6400	-
4	6600	+
5	6400	-
6	6500	не рассматриваем
7	6600	+
8	6700	+
9	6500	не рассматриваем
10	6700	+
11	6600	+
12	6600	+
13	6300	-
14	6400	-
15	6000	-

Решение:

1. Определим число наблюдений: n=15

2. Отранжеруем временные ряды в порядке возрастания:

6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700

3. Вычислим медиану:

n = 15;

хмед
= n+1/2 = 15+1/2

xмед
= 8

xмед
=6500

4. Создаем ряд из + и -, в соответствие с правилом:

если х(i) < хмед
, то +; если х(i) > хмед
, то -.

5. Определим общее число серий:

v(15) = 6

6. Протяженность самой длинной серии:

τ(20) = 3

7. Проверим неравенства:

v(n) > (1/2*(n+2)-1,96*√n-1)

v(n) = (1/2*(15+2) – 1,96*√15-1)

v(n) = 1,166

6 > 1 – выполняется

τ(n) < (1,43*ln(n+1))

τ(n) < (1,43*ln(15+1))

τ(n) = 3,96

3 < 3,96 – выполняется

Так как выполняются оба неравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается.

Ответ: гипотеза принимается.