Прогноз годовой прибыли

ВАРИАНТ 5

Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1995 г., представленным в табл. 5.

Таблица 5

Страна	Y	X 1	X 2	X 3	X 4
Мозамбик	47	3,0	2,6	2,4	113
Бурунди	49	2,3	2,6	2,7	98
……………………………………………………………………………………..
Швейцария	78	95,9	1,0	0,8	6

Принятые в таблице обозначения:

· Y
— средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет;

· X
1
— ВВП в паритетах покупательной способности;

· X
2
— цепныетемпы прироста населения, %;

· X
3
— цепныетемпы прироста рабочей силы, %;

· Х
4
— коэффициент младенческой смертности, %.

Требуется:

1. Составить матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными и выявить коллинеарные факторы.

2. Построить уравнение регрессии, не содержащее коллинеарных факторов. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

3. Построить уравнение регрессии, содержащее только статистически значимые и информативные факторы. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

Пункты 4 — 6 относятся к уравнению регрессии, построенному при выполнении пункта 3.

4. Оценить качество и точность уравнения регрессии.

5. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии и сравнительную оценку силы влияния факторов на результативную переменную Y
.

6. Рассчитать прогнозное значение результативной переменной Y
, если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений. Построить доверительный интервал прогноза фактического значения Y
c надежностью 80 %.

Решение.
Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

1.С помощью надстройки «Анализ данных
… Корреляция
» строим матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными (меню «Сервис
» ® «Анализ данных
…» ® «Корреляция
»). На рис. 1
изображена панель корреляционного анализа с заполненными полями[1]
. Результаты корреляционного анализа приведены в прил. 2
и перенесены в табл. 1
.

р
ис. 1. Панель корреляционного анализа

Таблица 1

Матрица парных коэффициентов корреляции

Y	X1	X2	X3	X4
Y	1
X1	0,780235	1
X2	-0,72516	-0,62251	1
X3	-0,53397	-0,65771	0,874008	1
X4	-0,96876	-0,74333	0,736073	0,55373	1

Анализ межфакторных

коэффициентов корреляции показывает, что значение 0,8 превышает по абсолютной величине
коэффициент корреляции между парой факторов Х
2
–Х
3
(выделен жирным шрифтом). Факторы Х
2
–Х
3
таким образом, признаются коллинеарными.

2. Как было показано в пункте 1, факторы Х
2
–Х
3
являются коллинеарными, а это означает, что они фактически дублируют друг друга, и их одновременное включение в модель приведет к неправильной интерпретации соответствующих коэффициентов регрессии. Видно, что фактор Х
2
имеет больший по модулю
коэффициент корреляции с результатом Y
, чем фактор Х
3
: ry
,
x
2
=0,72516; ry
,
x
3
=0,53397; |ry
,
x
2
|>|ry
,
x
3
| (см. табл. 1
). Это свидетельствует о более сильном влиянии фактора Х
2
на изменение Y
. Фактор Х
3
, таким образом, исключается из рассмотрения.

Для построения уравнения регрессии значения используемых переменных (Y
,X
1
, X
2
, X
4
) скопируем на чистый рабочий лист (прил. 3)
. Уравнение регрессии строим с помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия
» (меню «Сервис»
® «Анализ данных…
» ® «Регрессия
»). Панель регрессионного анализа с заполненными полями изображена на рис. 2
.

Результаты регрессионного анализа приведены в прил. 4
и перенесены в табл. 2
. Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты»
втабл. 2
):

ŷ = 75.44 + 0.0447 ·x1
- 0.0453 ·x2
- 0.24 ·x4

Уравнение регрессии признается статистически значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено, составляет 1.04571·10-45
(см. «Значимость F»
втабл. 2
), что существенно ниже принятого уровня значимости a=0,05.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторе Х
1
ниже принятого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение»
втабл. 2
), что свидетельствует о статистической значимости коэффициентов и существенном влиянии этих факторов на изменение годовой прибыли Y
.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторах Х
2
и Х
4
превышает принятый уровень значимости a=0,05 (см. «P-Значение»
втабл. 2
), и эти коэффициенты не признаются статистически значимыми.

р
ис.
2. Панель регрессионного анализа модели
Y

(
X

1

,
X

2

,
X

4

)

Таблица 2

Результаты регрессионного анализа модели
Y

(
X

1

,
X

2

,
X

4

)

Регрессионная статистика
Множественный R	0,97292594
R-квадрат	0,946584884
Нормированный R-квадрат	0,944359254
Стандартная ошибка	2,267611945
Наблюдения	76

Дисперсионный анализ
df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	6560,929292	2186,98	425,31101	1,04571E-45
Остаток	72	370,2286032	5,14206
Итого	75	6931,157895
Уравнение регрессии
Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	75,43927547	0,998411562	75,5593	2,545E-70	73,44897843	77,4295725	73,44897843	77,42957252
X1	0,044670594	0,01380341	3,2362	0,0018316	0,017154	0,07218719	0,017154	0,072187188
X2	-0,045296701	0,421363275	-0,1075	0,914691	-0,885269026	0,79467562	-0,885269026	0,794675624
X4	-0,239566687	0,013204423	-18,1429	1,438E-28	-0,265889223	-0,2132442	-0,265889223	-0,213244151

3.По результатам проверки статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, проведенной в предыдущем пункте, строим новую регрессионную модель, содержащую только информативные факторы, к которым относятся:

· факторы, коэффициенты при которых статистически значимы;

· факторы, у коэффициентов которых t
‑статистика превышает по модулю единицу (другими словами, абсолютная величина коэффициента больше его стандартной ошибки).

К первой группе относится фактор Х
1
ко второй — фактор X
4
. Фактор X
2
исключается из рассмотрения как неинформативный, и окончательно регрессионная модель будет содержать факторы X
1
, X
4
.

Для построения уравнения регрессии скопируем на чистый рабочий лист значения используемых переменных (прил. 5)
и проведем регрессионный анализ (рис. 3
). Его результаты приведены в прил. 6
и перенесены в табл. 3
. Уравнение регрессии имеет вид:

ŷ = 75.38278 + 0.044918 ·x1
- 0.24031 ·x4

(см. «Коэффициенты»
втабл.3
).

р
ис. 3. Панель регрессионного анализа модели
Y

(
X

1

,
X

4

)

Таблица 3

Результаты регрессионного анализа модели
Y

(
X

1

,
X

4

)

Регрессионная статистика
Множественный R	0,972922
R-квадрат	0,946576
Нормированный R-квадрат	0,945113
Стандартная ошибка	2,252208
Наблюдения	76
Дисперсионный анализ
df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	6560,87	3280,435	646,7175	3,65E-47
Остаток	73	370,288	5,072439
Итого	75	6931,158
Уравнение регрессии
Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	75,38278	0,843142	89,40701	2,44E-76
X1	0,044918	0,013518	3,322694	0,001395
X4	-0,24031	0,011185	-21,4848	2,74E-33

Уравнение регрессии статистически значимо: вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «Значимость F»
втабл.3
).

Статистически значимым признается и коэффициент при факторе Х
1
вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение»
втабл. 3
). Это свидетельствует о существенном влиянии ВВП в паритетах покупательной способностиX
1
на изменение годовой прибылиY
.

Коэффициент при факторе Х
4
(годовой коэффициент младенческой смертности) не является статистически значимым. Однако этот фактор все же можно считать информативным, так как t
‑статистика его коэффициента превышает по модулю
единицу, хотя к дальнейшим выводам относительно фактора Х
4
следует относиться с некоторой долей осторожности.

4.Оценим качество и точность последнего уравнения регрессии, используя некоторые статистические характеристики, полученные в ходе регрессионного анализа (см.
«Регрессионную статистику
» в табл. 3
):

· множественный коэффициент детерминации

n

∑ (
ŷ
i
- y)2

R2
= _i=1
____________ =
0.946576

n

∑(
ŷ
i
- y)2

i=1

R
2
=
показывает, что регрессионная модель объясняет 94,7 % вариации средней ожидаемой продолжительности жизни при рожденииY
, причем эта вариация обусловлена изменением включенных в модель регрессии факторов X
1
, X
4
;

· стандартная ошибка регрессии

показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения средней ожидаемой продолжительности жизни при рожденииY
отличаются от фактических значений в среднем на 2,252208 лет.

Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по приближенной формуле:

Sрег

Eотн
≈0,8 · — ·100%=0.8 · 2.252208/66.9 · 100%≈2.7

− y

где тыс. руб. — среднее значение продолжительности жизни (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ
»; прил. 1
).

Е
отн
показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения годовой прибыли Y
отличаются от фактических значений в среднем на 2,7 %. Модель имеет высокую точность (при — точность модели высокая, при — хорошая, при — удовлетворительная, при — неудовлетворительная).

5.Для экономической интерпретации коэффициентов уравнения регрессии сведем в таблицу средние значения и стандартные отклонения переменных в исходных данных (табл. 4
)
. Средние значения были определены с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ
», стандартные отклонения — с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН
» (см. прил. 1
).

Таблица 4

Средние значения и стандартные отклонения используемых переменных

Переменная	Y	X 1	X 4
Среднее	66,9	29,75	40,9
Стандартное отклонение	9,6	28,76	34,8

1) Фактор

X

1

(

ВВП в паритетах покупательной способности)

Значение коэффициента b
1
=0,044918 показывает, что рост ВВП в паритетах покупательной способности на 1 %. приводит к повышению средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении на 0,044918 лет.

Средний коэффициент эластичности фактораX
1
имеет значение

x1
29.75

Е1
= b1
· ― = 0.044918 · ____ ≈ 0.01997

y66.9

Он показывает, что при увеличении ВВП в паритетах покупательской способности на 1 % годовая прибыль увеличивается в среднем на 0,01997 %.

2) Фактор

X

4

(

коэффициент младенческой смертности)

Значение коэффициента b
4
=(-0,24031) показывает, что рост коэффициента младенческой смертности на 1 %. приводит к уменьшению средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении в среднем на -0,24031 лет.

Средний коэффициент эластичности фактораX
4
имеет значение

x4
40.9

Е4
= b4
· ― = - 0.24031 · ____ ≈ 0.1469

y66.9

Он показывает, что при увеличении коэффициента младенческой смертности на 1 % средняя ожидаемая продолжительность жизни увеличивается в среднем на 0,1469 %.

Средний коэффициент эластичности для фиктивных переменных лишен смысла, поэтому не рассчитывается.

Сравним между собой силу влияния факторов, включенных в регрессионную модель, на годовую прибыль, для чего определим их бета–коэффициенты:

Sx
1
28.76

B1
= b1
· ― = 0.044918 ·____ ≈ 0.1346;

Sy
9.6

Sx
4
3 4.8

B4
= b4
· ― - 0.24031 · ____ ≈ - 0.8711

Sy
9.6

Сравнивая по абсолютной величине
значения бета–коэффициентов, можно сделать вывод о том, что на изменение средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y
сильнее всего влияет ВВП в паритетах покупательской способности Х
1
, далее по степени влияния следует коэффициент младенческой смертности Х
4
.

Определим дельта–коэффициенты факторов:

ry
,
x
1
0.780235

Δ1
= B1
· ___ = 0.1346 ·_______ ≈ 0.11094;

R2
0.946585

ry
,
x
4
- 0.96876

Δ4
= B4
· ___ = - 0.8711 ·_______ ≈ 0.8915;

R2
0.946585

где ry
,
x
1
=0,780235; ry
,
x
4
=(–0,96876); — коэффициенты корреляции между парами переменных Y
–X
1
и Y
–X
4
соответственно (см. табл. 1
); R
2
=0,946585 — множественный коэффициент детерминации (см. табл. 3
).

Сумма дельта–коэффициентов факторов, включенных в модель, должна быть равна единице. Небольшое неравенство может быть вызвано погрешностями промежуточных округлений.

Таким образом, в суммарном влиянии на среднюю ожидаемую продолжительность жизни при рожденииY
всех факторов, включенных в модель, доля влияния ВВП в паритетах покупательной способности X
1
составляет 11,094 %, коэффициента младенческой смертности Х
4
— 89,15 %.

6.Рассчитаем прогнозное значение годовой прибыли, если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений в исходных данных. Максимальные значения факторов были определены с помощью встроенной функции «МАКС
» (см. прил. 1
). Прогнозные значения рассчитываются только для количественных факторов X
1
и X
4
:

· фактор Х
1
: х01
=0,75*х1
max
=0.75*100=75;

· фактор Х
4
: x04
=0.75*x4max
=0.75*124=93.

Среднее прогнозируемое значение (точечный прогноз) годовой прибыли государственной компании (x
06
=0) составляет:

Для частной компании (x
06
=1) этот показатель равен

Стандартная ошибка прогноза фактического значения годовой прибылиy
0
рассчитывается по формуле

Так как фиктивная переменная Х
6
может принимать два значения — 0 или 1, то Sy
0
определяется для обоих случаев:

· для государственных компаний (x
06
=0):

· для частных компаний (x
06
=1):

Построим интервальный прогноз фактического значения годовой прибыли y
0
с доверительной вероятностью g=0,8. Доверительный интервал имеет вид:

,

гдеt
таб
=1,321 — табличное значение t
-критерия Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы (p
=4 — число факторов в модели) (см. Справочные таблицы

).

Для государственных компаний:

тыс. руб.

Таким образом, с вероятностью 80 % годовая прибыль государственных компаний при заданных значениях факторов будет находиться в интервале от 272,4 до 945,4 тыс. руб.

Для частных компаний:

тыс. руб.

С вероятностью 80 % годовая прибыль частных компаний будет находиться в интервале от 499,1 до 1173,7 тыс. руб.

[1]
Для копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+PrintScreen (на некоторых клавиатурах — Alt+PrtSc).