Прогноз облікової ставки на основі методу найменших квадратів

Міністерство освіти і науки України

Чернігівський державний технологічний університет

Кафедра ФІНАНСИ

Контрольна робота

з дисципліни: “Прогнозування фінансової діяльності”

на тему: ПРОГНОЗ ОБЛІКОВОЇ СТАВКИ НА ОСНОВІ МЕТОДУ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

Чернігів 2008

ЗМІСТ

ЗАВДАННЯ 1

ЗАВДАННЯ 2

ЗАВДАННЯ 3

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

Завдання 1

Варіант 2, Б1,

138

(00010001010)

Розробити прогноз облікової ставки на наступні два роки і вкажіть точність прогнозу, виходячи з наступних ретроспективних даних :

Таблиця 1.1 - Дані про облікову ставку, відсоток

Найменування країни	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000	2001	2002	2003	2004
США	4,50	5,50	6,00	11,00	7,50	6,20	5,80	4,15	3,90	3,70	2,75
ФРН	4,00	6,00	3,50	8,10	4,00	4,30	5,10	5,20	4,84	4,30	3,65

Прогноз зробити на основі методу найменших квадратів, по США перевірити прогноз методом змінної середньої.

Головною метою методу найменших квадратів є виконання умови

,

де у – фактичне значення варіації,

У – розрахункове значення варіації ряду.

Для аналізу використаємо лінійну функцію

У =
.

Дана умова рівносильна системі нормальних рівнянь:

(1)

Визначимо таку систему для динамічного ряду облікової ставки США

роки	t		y	y*t
1970	1	1	4,5	4,5
1975	5	25	5,5	27,5
1980	10	100	6,0	60,0
1985	15	225	11,0	165,0
1990	20	400	7,5	150,0
1995	25	625	6,2	155,0
2000	30	900	5,8	174,0
2001	31	961	4,2	130,2
2002	32	1024	3,9	124,8
2003	33	1089	3,7	122,1
2004	34	1156	2,8	95,2
Всього:	236	6506	61,1	1208,3

Отже маємо наступну систему рівнянь:

-15870=
1128,3

= -
0,071;

11=
77,86

=
7,078

Таким чином отримали рівняння лінії тренду: Y(
t
)
=-0
,071
t
+7
,078

Прогноз облікової ставки США (%) на наступні два роки:

На 2005р.: t =35, Y = -0,071*35+7,078=4,593%

На 2006р.: t =36, Y = -0,071*36+7,078=4,522%

Аналогічний розрахунок зробимо для облікової ставки ФРН.

Визначимо систему рівнянь для динамічного ряду облікової ставки ФРН

роки	t		y	y*t
1970	1	1	4,00	4,0
1975	5	25	6,00	30,0
1980	10	100	3,50	35,0
1985	15	225	8,10	121,5
1990	20	400	4,00	80,0
1995	25	625	4,30	107,5
2000	30	900	5,10	153,0
2001	31	961	5,20	161,2
2002	32	1024	4,84	154,9
2003	33	1089	4,30	141,9
2004	34	1156	3,65	124,1
Всього:	236	6506	52,99	1113,1

Маємо систему:

-15870=261,54 = - 0,016

11=
56,77 =
5,161

Таким чином отримали рівняння лінії тренду: Y(
t
)
=-0
,016
t
+5,161

Прогноз облікової ставки США (%) на наступні два роки:

На 2005р.: t =35, Y = -0,016*35+5,161=4,60%

На 2006р.: t =36, Y = -0,016*36+5,161=4,59%

Перевірку прогнозу по США зробимо методом змінної середньої.

Метод змінної середньої базується на методі плинної середньої, яка дозволяє прогнозувати дані на основі вирівняного ряду, що найбільш точно характеризує тенденцію розвитку. Виберемо за критерій згладжування три роки, матимемо такий вирівняний ряд:

Рік	Значення у	Згладжені значення у
1970	4,5
1975	5,5	5,3
1980	6,0	7,5
1985	11,0	8,2
1990	7,5	8,2
1995	6,2	6,5
2000	5,8	5,4
2001	4,2	4,6
2002	3,9	3,9
2003	3,7	3,5
2004	2,8	3,3

За допомогою методу найменших квадратів зробимо прогноз по згладжених значеннях:

роки	t		y	y*t
1975	1	1	5,3	5,3
1980	5	25	7,5	187,5
1985	10	100	8,2	820,0
1990	15	225	8,2	1845,0
1995	20	400	6,5	2600,0
2000	25	625	5,4	3375,0
2001	30	900	4,6	4140,0
2002	31	961	3,9	3747,9
2003	32	1024	3,5	3584,0
2004	33	1089	3,3	3593,7
Всього:	202	5350	59,60	23898,4

Отже маємо наступну систему рівнянь:

-12696=
-226944,8

=
17,86;

10= -
3548,12

= -354,8

Таким чином отримали рівняння лінії тренду: Y(
t
)
=17,86
t
-354,8

Прогноз облікової ставки США (%) на наступні два роки:

На 2005р.: t =34, Y = 17,86*34-354,8=252,44%

На 2006р.: t =35, Y = 17,86*35-354,8=270,3%

Завдання 2

23×7 (0000111×111).

Знайдіть лінійну залежність рентабельності фірми від наявних сумарних активів і середньорічної вартості нормованих обертових засобів, використовуючи методику множинної регресії і визначити прогнозні значення рентабельності при наступних значеннях:

а) сума активів б) вартість обертових засобів

1. 3,8 0,7

2. 9,8 1,7

3. 19,4 8,9

4. 32,2 17,1

5. 100,4 20,8

Таблиця 2.1 -Значення показників по різним підприємствам

№ п/п	Сумарні активи, млн.грн.	Середньорічна вартість обертових засобів, млн. грн.	Рентабельність, проценти
1	16,2	4,2	18
2	30,1	6,1	27
3	2,7	0,7	10
4	100,1	36,2	45
5	30,6	11,1	25
6	2,8	1,3	11
7	3,8	1,5	19

Зробити висновки по визначеній моделі:

а) оцінити вплив незалежних змінних на залежну;

б) визначити множинні коефіцієнти детермінації та кореляції;

в) побудувати точковий та інтервальний пронози для знайденої моделі

Лінійна залежність рентабельності (Y) від сумарних активів (X1
) та середньорічної вартості обертових засобів (Х2
) матиме вигляд :

У=а0
+а1
х1
+а2
х2
.

Для визначення коефіцієнтів регресії складемо і розв’яжемо систему нормальних рівнянь:

Таблиця 2.2 - Проміжні розрахунки

номер	х1	х2	у	х1*х1	х2*х2	х1*х2	у*х1	у*х2
1	16,2	4,2	18	262	17,64	68,04	291,6	75,6
2	30,1	6,1	27	906	37,21	183,61	812,7	164,7
3	2,7	0,7	10	7	0,49	1,89	27	7
4	100,1	36,2	45	10020	1310,44	3623,62	4504,5	1629
5	30,6	11,1	25	1310	123,21	339,66	765	277,5
6	2,8	1,3	11	8	1,69	3,64	30,8	14,3
7	3,8	1,5	19	14	2,25	5,7	72,2	28,5
Всього	186,3	61,1	155	12527	1492,93	4226,16	6503,8	2196,6

Отримаємо наступну систему лінійних рівнянь:

7,00а0	+ 186,3 а1	+ 61,1 а2	= 155
186,3 а0	+ 1492,93 а1	+4226,16 а2	= 6503,8
61,1 а0	+ 4226,16 а1	+1492,93 а2	= 2196,6

Запишемо матриці А таC:

7,00	186,3	61,1
А =	186,3	1492,93	4226,16
61,1	4226,16	1492,93

С = ;

7.00	227.2	51.1
D=detA=	227.2	1086.35	4520.05	= ‑ 70598524,46
51.1	4520.05	1086.35

d>D0
=

145	227,2	51,1
7167,9	1086,35	4520,05	= ‑1023328516
1600	4520,05	1086,35

7,00	145	51,1
D1 =	227,2	7167,9	4520,05	=622693,521
51,1	1600	1086,35

7,00	227,2	145
D2 =	227,2	1086,35	7167,9	= ‑ 63755801,64
51,1	4520,05	1600

Визначимо коефіцієнти квадратичної моделі:

а0
= -1023328516 / -70598524,46 = 14,49

а1
= 622693,521 / -70598524,46 = -0,01

а2
= -63755801,64 / -70598524,46 = 0,90

Отримали наступну залежність рентабельності від сумарних активів та вартості обігових коштів:

у = 14,49 - 0,01x1
+ 0,90x2.

При збільшенні сумарних активів на 1 млн. грн. рентабельність знизиться на 0,01% при незмінній вартості обігових коштів, а при збільшенні вартості обігових коштів на 1 млн. грн. рентабельність збільшиться на 0,90%.

Підставимо в отримане рівняння вихідні дані про сумарні активи та обігові кошти і отримаємо прогнозне значення рентабельності (таблиця 2.3).

Таблиця 2.3 – Прогнозне значення рентабельності по різним підприємствам

Номерпідприємства	Сумарні активимлн. грн.	Середньорічна вартість обертових засобів, млн. грн.	Прогнозована рентабельність,%
1	3,8	0,7	15,08
2	9,8	1,7	15,92
3	19,4	8,9	22,31
4	32,2	17,1	29,56
5	100,4	20,8	32,21

б) визначити множинні коефіцієнти детермінації та кореляції:

номер	у	уі	Е	у-усер.	(у-усер.) в квадраті
1	18	18,456	-0,456	-2,714	7,37
2	27	17,572	12,428	9,286	86,22
3	10	15,762	-5,762	-10,714	114,80
4	45	38,242	-0,242	17,286	298,80
5	25	21,712	-0,712	0,286	0,08
6	11	16,202	-5,202	-9,714	94,37
7	19	15,952	1,048	-3,714	13,80
Сума	143,898	1,102	0,000	615,43
Середнє значення	22,14

R = 1- (1,102/615,43) = 0,998.

Детермінація – D = R2

D = 0,9982
= 0,996

Висновок: рівень рентабельності повністю залежить від сумарних активів та вартості обігових коштів, так як коефіцієнт кореляції склав 1. Таким чином, рівень рентабельності, як результативної ознаки, залежить від факторних ознак (сумарні активи та вартість обігових коштів) на 99,8 відсотка.

в) побудувати точковий та інтервальний прогнози для знайденої моделі.

Вираховується методом підстановки в криву роста величини часу t, тобто в

у = 15,22- 0,02 x1
+ 0,82 x2

Завдання 3

0 х 13 (00 х 00001101)

Визначити, використовуючи алгоритм МГОА з послідовним виділенням трендів, часткові описи для другого ряду селекції при наступних даних:

Таблиця 3.1 – Дані про діяльність фірми за минулі роки

Показники	1 рік	2 рік	3 рік	4 рік	5 рік	6 рік	7 рік	8 рік
Попит на продукцію, млн. грн.	18,2	17,6	14,2	13,8	11,5	10,1	8,1	7,2
Ціна, грн.	24	31	41	51	49	68	77	85

В якості залежної змінної прийміть попит на продукцію, а незалежних змінних – час, ціну. В якості апроксимуючої функції – лінійну залежність.

Розділимо усю кількість даних (N=8) на дві частини за часом. Перші шість будемо використовувати для розрахунків, а двома останніми (n=2) будемо перевіряти.

Визначимо, який вид залежності найбільш точно описує залежність попиту на продукцію (Y) від незалежних змінних: часу(X1
) та попиту(X2
):

y=a0
+a1
x1
;

y=a0
+a1
x2
;

y=a0
+a1
x1
+a2
x2
;

Визначимо лінійну залежність попиту на продукцію від часу. Лінійна залежність має вигляд :

y=a0
+a1
x1
.

Для визначення коефіцієнтів рівняння складемо і розв’яжемо систему :

Таблиця 3.2 - Результати проміжних розрахунків

Рік	х1 (час)	у (попит)	х1 2	х1 у
1	1	18,2	1,00	18,20
2	2	17,6	4,00	35,20
3	3	14,2	9,00	42,60
4	4	13,8	16,00	55,20
5	5	11,5	25,00	57,50
6	6	10,1	36,00	60,60
Сума	21	85,4	91	269,30

Маємо систему:

Розв'язавши систему методом підстановки невідомих отримали:

b1
= -1,69

b
0
= 20,15

Залежність попиту на продукцію від часу має вигляд:

У= 20,15 – 1,69х1
,

тобто, щороку попит знижується в середньому на 1,69 млн.грн.

Визначимо прогнозні дані на 7 та 8 роки :

У7
=20,15 – 1,69*7 = 8,32;

У8
=20,15 – 1,69*8 = 6,63.

Знайдемо середньоквадратичну похибку :

∆7
=(8,1+8,32)2
/
8,12
= 4,11,

∆2
8
=(7,2+6,63)2
/
7,22
= 3,69.

Аналогічно визначимо лінійну залежність попиту на продукцію від ціни:

y=a0
+a1
x2
;

Рік	х2 (ціна)	у (попит)	х2 2	х2 у
1	24	18,2	576	436,8
2	31	17,6	961	545,60
3	41	14,2	1681	582,2
4	51	13,8	2601	703,8
5	49	11,5	2401	563,50
6	68	10,1	4624	686,8
Сума	264	85,4	12844	3518,7

6b0
+264b1
=85,4 b0
=22,6

264b0
+12844b1
= 3518,7, b1
=-0,19

Розв’язавши методом зрівняння невідомих отримуємо :

y=22,6-0,19x2
,

тобто при зростанні ціни на одну гривню попит знижується в середньому на 0,19 млн. грн..

Визначимо прогнозні дані на 7 та 8 років:

y7
=23,6-0,22*77=6,66;

y8
=23,6-0,22*85=4,9.

Знайдемо середньоквадратичну похибку:

∆7
=(77+6,66)2
/
6,662
= 157,8,

∆8
=(85+4,9)2
/
4,92
= 336,6.

Визначаємо лінійну залежність попиту від двох факторів: часу та ціни на продукцію. Рівняння, що описує залежність матиме вигляд:

y=a0
+a1
x1
+a2
x2
;

Для визначення параметрів рівняння складемо і розв’яжемо систему нормальних лінійних рівнянь:

Таблиця 3.4 – результати проміжних розрахунків (незалежні фактори: час, ціна)

Рік	Х1	Х2	У	Х1 2	Х2 2	Х1 Х2	УХ1	УХ2
1	1	24	18,2	1	576	24	18,2	436,8
2	2	31	17,6	4	961	62	35,2	545,6
3	3	41	14,2	9	1681	123	42,6	582,2
4	4	51	13,8	16	2601	204	55,2	703,8
5	5	49	11,5	25	2401	245	57,5	563,5
6	6	68	10,1	36	4624	408	60,6	686,8
Сума	21	264	85,4	91	12844	1066	269,3	3518,7

Коефіцієнти системи знайдемо за методом Крамера. Запишемо матриці А та С.

а0
=, а1
=, а2
=.

6	21	264
D=detA=	21	91	1066	= 7956
264	1066	12844

85,4	21	264
D0 =	269,3	91	1066	= 158238,6
3518,7	1066	12844

6	85,4	293
D1 =	21	269,3	1144	= ‑ 224946,9
264	3518,7	15115

6	21	85,4
D2 =	21	91	269,3	=134,7
264	1066	3518,7

Визначимо коефіцієнти квадратичної моделі:

а0
= 19,89

а1
= - 28,27

а2
= 0,02

Лінійна залежність попиту на продукцію від часу та ціни має вигляд: y=19,89 - 28,27x1
+ 0,02x2
.

Коефіцієнти лінійної багатофакторної моделі показують, що при незмінних цінах щороку попит на продукцію збільшується в середньому на 28,27 млн. грн.. В середині року при зростанні цін на одну гривню, попит на продукцію скорочується в середньому на 0,02 млн. грн..

Визначаємо прогнозні значення та середньоквадратичну похибку:

y7
=19,89-28,27*7+0,02*77= - 176,46;

y8
=19,89-28,27*8+0,02*85= - 204,57;

∆7
=(8,1+176,46)2
/
8,12
= 519,2

∆8
=(7,2+204,57)2
/
7,22
= 865,1

Висновок: залежність попиту на продукцію від часу має найменшу середньоквадратичну похибку, тому слід віддати їй перевагу над іншими. Тому для прогнозування приймаємо наступну модель: y=22,6-0,19x2
.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Горлова В.Л., Мельникова Е.Н. Основы прогнозирования систем - М.: Высш. Шк., 1986.- 287 с.

2. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем/ Ивахненко А.Г. – Киев: Наук. Думка, 1981 – 296 с.

3. Лугінін О.Є., Білоусова С.В., Білоусов О.М. Економетрія: Навч. посіб. – К. : Центр навчальної літератури, 2005. – 252 с.

4. Прогнозування фінансової діяльності. Методичні вказівки до самостійної роботи студентів економічних спеціальностей всіх форм навчання / Укл.: Коробко В.І. - Чернігів: ЧДТУ, 2007.- 9 с.