Магазин торгует подержанными автомобилями. Статистика их потребительских цен накапливается в базе данных. В магазин пригоняют на продажу очередную партию небольших однотипных автомобилей. Как назначить их цену? Статистический подход позволяет дать прогноз среднего значения цены и доверительных интервалов для него.
Цена автомобиля зависит от множества факторов. К числу объясняющих переменных можно отнести, например, модель автомобиля, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем двигателя, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем производителя, количество цилиндров, время разгона до 100 км/час, пробег, потребление горючего, год выпуска и т.д. Первые из названных переменных очень важны при ценообразовании, но они – качественные. Традиционный регрессионный анализ, рассматриваемый в этом задании, предназначен для количественных данных. Поэтому, не претендуя на высокую точность, не будем включать их в эконометрическую модель. Сделаем выборку, например, только для автомобилей одной фирмы-производителя. Пусть, например, оказалось, что продано n= 16 таких автомобилей. Для упрощения выберем из базы данных цены yi
(i = 1......16) проданных автомобилей и только две объясняющие переменные: возраст хi
1
(i = 1, …..16) в годах и мощность двигателя хi
2
(i = 1, ….16) в лошадиных силах. Выборка представлена в таблице:
| I номер | yi
, цена, тыс. у.е. |
хi1
возраст,лет |
хi2
, мощность двигателя |
| 1
|
11 | 5,0 | 155 |
| 2 | 6 | 7,0 | 87 |
| 3 | 9,8 | 5,0 | 106 |
| 4 | 11 | 4,0 | 89 |
| 5 | 12,3 | 4,0 | 133 |
| 6 | 8,7 | 6,0 | 94 |
| 7 | 9,3 | 5,0 | 124 |
| 8 | 10,6 | 5,0 | 105 |
| 9 | 11,8 | 4,0 | 120 |
| 10 | 10,6 | 4,0 | 107 |
| 11 | 5,2 | 7,0 | 53 |
| 12 | 8,2 | 5,0 | 80 |
| 13 | 6,5 | 6,0 | 67 |
| 14 | 5,7 | 7,0 | 73 |
| 15 | 7,9 | 6,0 | 100 |
| 16 | 10,5 | 4,0 | 118 |
1. Построить поля рассеяния между ценой y и возрастом автомобиля х1
, между ценой y и мощностью автомобиля x2
. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости y от х1
и y от х2
. Найти точечные оценки независимых параметров
а0
а1
модели y = а0
+ а1
х1
+ ε и
β1
β2
модели y = β0
+ а1
х1
+ δ
2. Проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также ценой и мощностью двигателя х2
. Для этого рассчитать коэффициенты парной корреляции ryx
1
и ryx
2
и проверить их отличие от нуля при уровне значимости α = 0,1.
3. Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации, F- и t- критериев при уровне значимости α = 0,05 и α = 0,10.
4. Проверить полученные результаты с помощью средств MicrocoftExcel.
5. С помощью уравнений регрессии рассчитать доверительные интервалы для среднего значения цены, соответствующие доверительной вероятности 0,9. Изобразить графически поля рассеяния, линии регрессии и доверительные полосы.
На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст х1
равен 3 года. Мощность двигателя х2
= 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по моделям y = а0
+ а1
х1
+ ε и y = β0
+ а1
х1
+ δ с доверительной вероятностью 0,9.
Решение:
На основе поля рассеяния, построенного на основе табл. 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от возрастаавтомобиля x1
описывается линейной моделью вида
y = а0
+ а1
х1
+ ε
где а0
и а1
– неизвестные постоянные коэффициенты, а ε – случайная переменная (случайное возмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.
Рисунок 1 – Поле рассеяния «возраст автомобиля-цена»
Аналогично, на основе анализа поля рассеяния (рис. 2), также построенного на основе таблицы 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от мощности автомобиля x2
описывается линейной моделью вида
y = β0
+ β1
х1
+ δ
где β0
и β1
– неизвестные постоянные коэффициенты, а ε – случайная переменная (случайное возмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.
Рисунок 2 – Поле рассеяния «мощность автомобиля-цена»
На основе табл. 1 исходных данных для вычисления оценок параметров моделей составляется вспомогательная табл. 1.1. Воспользуемся формулами и левой частью таблицы 1.1. для нахождения оценок а0
и а1
.
Так как n = 16, получаем
= 145/16=9.0625
= 84.0/16=5.25
= 27.5625
= 365
= 460
| i | yi
|
xi1
|
xi1
2 |
xi1
yi |
yi
2 |
i | yi
|
xi2
|
xi2
2 |
xi2
yi |
| 1
|
11 | 5.0 | 25 | 55 | 121 | 1 | 11 | 155 | 24025 | 1705 |
| 2 | 6 | 7.0 | 49 | 42 | 36 | 2 | 6 | 87 | 7569 | 522 |
| 3 | 9,8 | 5.0 | 25 | 49 | 96,04 | 3 | 9,8 | 106 | 11236 | 1038,8 |
| 4 | 11 | 4.0 | 16 | 44 | 121 | 4 | 11 | 89 | 7921 | 979 |
| 5 | 12,3 | 4.0 | 16 | 49,2 | 151,29 | 5 | 12,3 | 133 | 17689 | 1635,9 |
| 6 | 8,7 | 6.0 | 36 | 52,2 | 75,69 | 6 | 8,7 | 94 | 8836 | 817,8 |
| 7 | 9,3 | 5.0 | 25 | 46,5 | 86,49 | 7 | 9,3 | 124 | 15376 | 1153,2 |
| 8 | 10,6 | 5.0 | 25 | 53 | 112,36 | 8 | 10,6 | 105 | 11025 | 1113 |
| 9 | 11,8 | 4.0 | 16 | 47,2 | 139,24 | 9 | 11,8 | 120 | 14400 | 1416 |
| 10 | 10,6 | 4.0 | 16 | 42,4 | 112,36 | 10 | 10,6 | 107 | 11449 | 1134,2 |
| 11 | 5,2 | 7.0 | 49 | 36,4 | 27,04 | 11 | 5,2 | 53 | 2809 | 275,6 |
| 12 | 8,2 | 5.0 | 25 | 41 | 67,24 | 12 | 8,2 | 80 | 1600 | 656 |
| 13 | 6,5 | 6.0 | 36 | 39 | 42,25 | 13 | 6,5 | 67 | 4489 | 435,5 |
| 14 | 5,7 | 7.0 | 49 | 39,9 | 32,49 | 14 | 5,7 | 73 | 5329 | 416,1 |
| 15 | 7,9 | 6.0 | 36 | 47,4 | 62,41 | 15 | 7,9 | 100 | 10000 | 790 |
| 16 | 10,5 | 4.0 | 16 | 42 | 110,25 | 16 | 10,5 | 118 | 13924 | 1239 |
| Сумма | 145,1 | 84.0 | 460 | 726,2 | 1393,15 | 145,1 | 1611 | 167677 | 15327,1 |
Следовательно,
а1
=
а0
= 9,0625- (-1,844) * 5.25 = 18,74
Таким образом,
Аналогично находятся оценки коэффициентов второй регрессионной модели y = β0
+ β1
х1
+ δ. При этом используется правая часть таблицы
= 1611/16=100,6875
= 10137.97
= 153271,1
= 167677
β1
=
β 0
= 9,0625- 0,0099 * 100.6875= 2.0355
Окончательно получаем:
Подставляем соответствующие значения в формулу:
ryx
=
ryx
1
= = 0,915
ryx
2
= = 0.8
В нашей задаче t0.95;14
= 1,761
Для ryx
1
получаем
= = 0,955 <1.761
Условие не выполняется, следовательно, коэффициент парной корреляции не значим, гипотеза отвергается, между переменными отсутствует линейная связь
= = 4.98>1.761
Условие выполняется, следовательно, коэффициент парной корреляции значимый, гипотеза подтверждается, между переменными существует сильная линейная связь
Коэффициент парной корреляции ryx
связан с коэффициентом а1
уравнения регрессии
следующим образом
ryx
= a1
Sx
/Sy
где Sx
, Sy
– выборочные среднеквадратичные отклонения случайных переменных х и y соответственно, рассчитывающиеся по формулам:
Sx1
= √ Sx1
2
Sx1
2
= 1/n ∑(xi
- )2
Sy
= √ Sy
2
Sy
2
= 1/n ∑(yi
- )2
ryx
1
= 0,915
ryx
2
= 0,8
R2
= ryx
1
2
= 0,8372
Вариация на 83,72 % объясняется вариацией возраста автомобиля
R2
= ryx
2
2
= 0,64
Вариация на 64 % объясняется вариацией мощности двигателя автомобиля
Рассчитаем фактическое значение F- статистики Фишера по формуле:
F=
F== 0,768 для зависимости y от х1
F== 0,285для зависимости y от х2
Fт
= 4,6
Поэтому для зависимостей y от х1
и y от х2
выполняется неравенство
Fт
<Fф
гипотеза отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии используется t-критерий Стьюдента.
Для зависимости y от х1
:
= √F = √0,768 = 0,876
Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а1
Для зависимости
y от х2
:
= √F = √0,285 = 0,533
Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а1
Проверка с помощью MicrosoftExcel
| Оценка параметра а1 | -1,87237 | Оценка параметра а0 | 18,89868 |
| Среднеквадратическое отклонение | 0,200234 | Среднеквадратическое отклонение а0 | 1,073633 |
| Коэффициент детерминации R2
|
0,861987 |
>Среднеквадратическое отклонение y |
0,872798 |
| F-Статистика | 87,43972 | Число степеней свободы | 14 |
| Регрессионная сумма квадратов | 66,60951 | Остаточная сумма квадратов | 10,66487 |
| Оценка параметра а1 | 0,0698523 | Оценка параметра а0 | 2,0354973 |
| Среднеквадратическое отклонение | 0,013746 | Среднеквадратическое отклонение а0 | 1,4271948 |
| Коэффициент детерминации R2
|
0,648444 | Среднеквадратическое отклонение y | 1,3929996 |
| F-Статистика | 25,822959 | Число степеней свободы | 14 |
| Регрессионная сумма квадратов | 50,108105 | Остаточная сумма квадратов | 27,16627 |
Рассчитаемдоверительный интервал среднего значения цены для y = a0
+ a1
x1
/
: ŷв.н. = ŷ(х0
) ± t1-
α
/2,
n
-2
Sŷ
,
где ув
, ун
– соответственно верхняя и нижняя границы
доверительногоинтервала;
ŷ(х0
) – точечный прогноз;
t1-
α
/2,
n
-2
–квантиль распределения Стьюдента;
(1-α/2) – доверительная верояность;
(n-2) – число степеней свободы;
: ŷв.н. = ŷ(х0
) ± t1-
α
/2,
n
-2
Sŷ
,
ta
= 2,57
Доверительный интервал для уn
:
Нижняя граница интервала:
= 18,74-1,844*5 = 9,52
Верхняя граница интервала:
= 18,74-1,844*7 = 5,832
Sx1
2
= 1/n ∑(xi
- )2
= 19/16 = 1,1875
Sx1
= 1,089
| xi1
|
xi1
- хср1 |
(xi1
- хср1) 2 |
х2
|
х1
х2 |
| 5.0 | -0,25 | 0,0625 | 155 | 775 |
| 7.0 | 1,75 | 3,0625 | 87 | 609 |
| 5.0 | -0,25 | 0,0625 | 106 | 530 |
| 4.0 | -1,25 | 1,5625 | 89 | 356 |
| 4.0 | -1,25 | 1,5625 | 133 | 532 |
| 6.0 | 0,75 | 0,5625 | 94 | 564 |
| 5.0 | -0,25 | 0,0625 | 124 | 620 |
| 5.0 | -0,25 | 0,0625 | 105 | 525 |
| 4.0 | -1,25 | 1,5625 | 120 | 480 |
| 4.0 | -1,25 | 1,5625 | 107 | 428 |
| 7.0 | 1,75 | 3,0625 | 53 | 371 |
| 5.0 | -0,25 | 0,0625 | 80 | 400 |
| 6.0 | 0,75 | 0,5625 | 67 | 402 |
| 7.0 | 1,75 | 3,0625 | 73 | 511 |
| 6.0 | 0,75 | 0,5625 | 100 | 600 |
| 4.0 | -1,25 | 1,5625 | 118 | 472 |
| 19 | 8175 |
myx
= S1,089*√1/16 + 1,5625/19 = 0,414
5,832 – 2,57*0,414 ≤ yn
≤ 5,832 + 2,57*0,414
На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст xp
1
= 3 года. Мощность двигателя xp
2
= 165 л.с.
Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по первой парной регрессионной модели
y = β0
+ β1
х1
+ δ
Подставляем xp
1
в уравнение регрессии:
Получим точечный интервальный прогноз среднего цены.
(xp
1
) = 18,74 – 1,844*3 = 13,208 тыс. у.е.
Подставляем точечный интервальный прогноз среднего цены (xp
1
) = 12,3 тыс. и xp
1
= 3 года в уравнения границ доверительного интервала регрессии. Получим интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,9
ŷв.н. = 13,208±2,57*0,414 или ŷн = 12,14 тыс. у.е.,
ŷв = 14,27 тыс. у.е.
Задача 2
Найти по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов множественной регрессионной модели
y = а0
+ а1
х1
+ а2
х2
+ε
Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации и F-критерия. Пояснить их содержательный смысл.
Проверить полученные в заданиях результаты с помощью средств MicrocoftExcel.
Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по множественной модели y = а0
+ а1
х1
+ а2
х2
+ε с доверительной вероятностью 0,9. Как в задаче 1, возраст поступивших автомобилей х1
= 3 года, мощность двигателя х2
= 165 л.с.
На основе полученных в задачах 1-2 статистических характеристик провести содержательную интерпретацию зависимости цены автомобиля от возраста и мощности двигателя.
Сумма произведений ∑х1
х2
равна: 8175
ХТ
Х = ХТ
Y =
Найдем матрицу (Хт
Х), обратную матрице ХТ
Х.
Для этого сначала вычислим определитель.
ХТ
Х = 16*460*167667+1611*84*8175+1611*84*8175-1611*460*1611-84*84*167677-16*8175*8175 = 1234102720+1106273700+1106273700-1193847660-1183128912-1069290000 = 383548
Определим матрицу алгебраических дополнений
Задача 3
В таблице представлены ежегодные данные объема продаж автомагазина. Построить график во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии тренда. Оценить неизвестные параметры линейной трендовой модели z = а0
а1
t +ε с методом наименьших квадратов.
Таблица 2 Ежегодные объемы продаж
| t годы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| zt
, продажи, тыс.у.е. |
350 | 314 | 300 | 293 | 368 | 393 | 339 | 443 | 467 | 457 | 488 | 424 |
Для найденного уравнения тренда построить доверительную полосу при уровне доверия 0,9. Изобразить графически точечный и интервальный прогноз среднего объема продаж.
В таблице 3 объемы продаж zt
в тыс. у.е. детализированы по месяцам. Построить график объема продаж во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии линейного тренда и сезонных колебаний объема продаж:
z1 =
а0
а1
t + а2
cos (2πt/12) + а3
sin (2πt/12) + εt
Оценить параметры этой модели методом наименьших квадратов.
По уравнению трендово-сезонной модели найти точечный прогноз среднего объема продаж на 12 месяцев и интервальный прогноз среднего объема продаж на 1 месяц вперед при доверительной вероятности 0,9.
Ежемесячные объемы продаж
| t,годы | Zt
|
t | yt
t |
t2
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 350 | 1 | 350 | 1 |
| 2 | 314 | 2 | 728 | 4 |
| 3 | 300 | 3 | 900 | 9 |
| 4 | 293 | 4 | 1172 | 16 |
| 5 | 368 | 5 | 1840 | 25 |
| 6 | 393 | 6 | 2358 | 36 |
| 7 | 339 | 7 | 2373 | 49 |
| 8 | 443 | 8 | 3544 | 64 |
| 9 | 467 | 9 | 3736 | 81 |
| 10 | 457 | 10 | 4570 | 100 |
| 11 | 488 | 11 | 5368 | 121 |
| 12 | 424 | 12 | 5088 | 144 |
| 78 | 4636 | 78 | 32027 | 650 |
∑t = ½*12 (12+1) = 78
∑t2
= 1/6 *12 (12+1) (24+1)= 650
а0
= 515294/1716=283,61
а1
== 22716/1716=15,804
Следовательно, уравнение тренда (регрессии) будет иметь вид:
y= 283,61+15,84t
Доверительный интервал для линейного тренда находится по формуле:
ŷв.н. = ŷ(х0
) ± t1-
α
/2,
n
-2
Sŷ
,
где ув
, ун
– соответственно верхняя и нижняя границы
доверительногоинтервала;
ŷ(х0
) – точечный прогноз;
t1-
α
/2,
n
-2
–квантиль распределения Стьюдента;
(1-α/2) – доверительная верояность;
(n-2) – число степеней свободы;
ŷв.н. = ŷ(х0
) ± t1-
α
/2,
n
-2
Sŷ
,
ta
= 2,35
Доверительный интервал для уn
:
Нижняя граница интервала:
y= 300.29+13.24t = 300,29+13,24*293 = 4179,61
Верхняя граница интервала:
y= 300.29+13.24t= 300,29+13,24*488= 6761,41
Sx1
2
= 1/n ∑(xi
- )2
= 51804,7/12 = 4317,06
Sx1
= 65,704
zср = 386.33
| z | zi
- zср |
(zi
- zi ср) 2 |
| 350 | -36.33 | 1319,87 |
| 314 | -72.33 | 5231,63 |
| 300 | -86.33 | 7452,89 |
| 293 | -93.33 | 8710,49 |
| 368 | -18.33 | 335,99 |
| 393 | 6.67 | 44,49 |
| 339 | -47.33 | 2240,13 |
| 443 | 56.67 | 3211,49 |
| 467 | 80.67 | 6507,65 |
| 457 | 70.67 | 4994,25 |
| 488 | 101.67 | 10336,79 |
| 424 | 37.67 | 1419,03 |
| 4636 | 24624 | 51804,7 |
myx
= S65,704*√1/12+ 24624/51804,7 = 36,71
65,704 – 2,35*36,71 ≤ yn
≤ 65,704 + 2,35*36,71
Точечный прогноз среднего значения продаж по линейному тренду находится следующим образом:
ŷв.н. = 283,61+15,84*13 = 489,53
Окончательно получаем интервальный прогноз продаж
ŷв.н. = 489,5 ±2,353*36,71
Или ŷв= 489,5 ±2,353*36,71 = 575,89
Или ŷн= 489,5 ±2,353*36,71 = 403,12
Задача 4
Для регрессионных моделей:
y = а0
+ а1
х1
+ а2
х2
+ε
z1 =
а0
а1
t + а2
cos (2πt/12) + а3
sin (2πt/12) + εt
проверить наличие или отсутствие автокорреляции, используя критерий Дарбина-Уотсона при уровне значимости α = 0,05.
Для регрессионной модели y = а0
+ а1
х1
+ а2
х2
+ε
Проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя критерии xи-квадрат (χ2
) при уровне значимости α = 0,05.