Системный анализ объекта

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Северо-Западный государственный заочный технический университет

Институт управления производственными и инновационными программами

Кафедра системного анализа и управления инновациями

Контрольная работа

по дисциплине

"Системный анализ в управлении предприятием"

Выполнила студентка:

Шестакова Мария Дмитриевна

ИУПиИП

Курс: IVСпециальность: 80502.65

Шифр: 5780304393

Преподаватель: Романов Владимир Николаевич

Санкт-Петербург 2009

Задача № 1

Условие задачи.

Выберите хорошо известный Вам объект и проведите его системный анализ (например, это может быть измерительный или бытовой прибор, транспортное средство).

При анализе определите применительно к выбранной системе следующее:

Систему в целом, полную систему и подсистемы.

Окружающую среду.

Цели и назначение системы и подсистемы.

Входы, ресурсы и (или) затраты.

Выходы, результаты и (или) прибыль.

Программы, подпрограммы и работы.

Исполнителей, лиц принимающих решения (ЛПР) и руководителей.

Варианты системы, при использовании которых могут быть достигнуты поставленные цели.

Критерии (меры эффективности), по которым можно оценить достижение целей,

Модели принятия решения, с помощью которых можно оценить процесс преобразования входов в выходы или осуществить выбор вариантов.

Тип системы.

Обладает ли анализируемая система свойствами иерархической упорядоченности, централизации, инерционности, адаптивности? В чём они состоят?

Предположим, что фирма хочет повысить качество выпускаемой системы. Какие другие системы, кроме анализируемой системы, необходимо при этом учитывать? Объясните, почему на решение этой проблемы влияет то, как устанавливаются границы системы и окружающей среды.

Решение.

Вводная часть.

Для решения поставленной задачи в качестве объекта (анализируемой системы) я выбрала кухонный процессор, проще говоря, кухонный комбайн. Цель анализа - обеспечение нормального функционирования кухонного комбайна. Но, прежде всего, как мне думается, необходимо уточнить, что же такое система, и почему кухонный комбайн является системой.

Система - это совокупность (множество) элементов, между которыми имеются связи (отношения, взаимодействия), то есть под системой понимается упорядоченная совокупность.

При этом можно выделить три основных признака системы
:

признак иерархичности (вложения): система - это совокупность элементов, которые сами могут рассматриваться как системы, а исходная система может рассматриваться как часть более общей системы, то есть система рассматривается как часть иерархии систем;

признак функциональной целостности: для системы характерно наличие интегративных свойств, которые присущи системе, но не свойственные ни одному из её элементов в отдельности или их сумме (“целое больше суммы частей”);

признак существенности: для системы характерно наличие существенных связей между элементами.

Основываясь на вышесказанном можно с точностью сказать, что кухонный комбайн является системой, поскольку это сочетание высокоэффективного измельчителя с многофункциональной системой обработки продуктов.

По признаку иерархичности, например, мотор, обеспечивающий работу (движение) остальных элементов кухонного комбайна, может рассматриваться как система, так как он сам состоит из большого количества различных элементов. При этом кухонный комбайн является частью более общей системы - кухни, то есть специальной технической системы для хранения и обработки продуктов, и приготовления пищи.

По признаку функциональной целостности кухонный комбайн так же является системой, так как каждый отдельно взятый его элемент не способен ни замесить тесто, ни нарезать продукты, ни приготовить фарш. Однако, вместе эти элементы (мотор, чаши, ножи, насадки и так далее) как раз и составляют систему, способную выполнять различные функции по обработке продуктов.

По признаку существенности, конечно же, можно выделить наличие связей между элементами. Например, мотор приводит в движение шнек, на котором крепится нож для перемалывания мяса. В свою очередь нож вращается внутри чащи, которая плотно закрывается крышкой, не дающей разлетаться по всей кухне кусочкам перемалываемого мяса.

1. Три уровня системы.

Анализировать любую систему необходимо, начиная с определения трёх уровней системы:

внешний уровень - система в целом;

объектный уровень - полная система (кухонный комбайн);

внутренний уровень - подсистемы (подсистемы кухонного комбайна).

1.1 Внешний уровень.

Проанализируем наш кухонный комбайн с точки зрения внешнего уровня, то есть системы в целом. Система в целом
есть ни что иное, как большая система, включающая в себя другие системы.

Наша анализируемая система, кухонный комбайн, имеет определённые взаимосвязи с рядом других (внешних) систем. Причём критерии оценки нашей системы зависят от ограничений со стороны внешних систем.

К внешним системам, влияющим на нашу систему, относятся:

S1
- система исполнителя (пользователя);

S2
- система электропитания;

S3
- специальная техническая система "кухня";

S4
- продуктовая система;

S5
- система обеспечения и обслуживания.

Каждая из вышеперечисленных внешних систем накладывает определённые ограничения на производство исследуемой нами системы - кухонного комбайна. Определяя внешние системы и наличие определённых ограничений со стороны этих систем, тем самым мы выбираем оптимальные параметры и характеристики всей нашей системы и её подсистем.

S1
- система исполнителя (пользователя). Данная система определяет технико-экономические, функциональные, эргономические ограничения, и ограничения по безопасности: соотношение цены и качества, количество выполняемых функций, мощность, количество скоростных режимов, вместимость чаш, удобство в эксплуатации, расходы на эксплуатацию, компактность, дизайн, надёжность и безопасность в эксплуатации.

S2
- система электропитания. Эта система определяет технические ограничения, которые обусловлены бытовыми электрическими сетями с напряжением 220 вольт и длиной электрического провода.

S3
- специальная техническая система "кухня". Данная система определяет эргономические ограничения по размерам, дизайну и удобству по обслуживанию комбайна. Например, должна быть предусмотрена возможность мыть отдельные элементы в посудомоечной машине.

S4
- продуктовая система. Данная система определяет ограничения в части наличия определённых продуктов и возможности их переработки.

S5
- система обеспечения и обслуживания, накладывает технические ограничения и ограничения по обслуживанию и ремонту: наличие (или отсутствие) ремонтных мастерских, гарантийного обслуживания, возможность замены отдельных элементов и ремонтопригодность в целом самого комбайна.

1.2 Объектный уровень.

На данном этапе кухонный комбайн рассматривается как полная система
, а именно - совокупность функциональных подсистем, предназначенная для достижения определённых целей системами верхнего уровня. То есть необходимо установить связь цели выбранной системы с целями внешних систем.

Главная задача кухонного комбайна - облегчение кулинарного труда. В данном случае существует прямая связь с системой исполнителя, чьей целью является максимальное упрощение и ускорение процесса переработки продуктов.

Поскольку в целом кухонный комбайн является электроприбором, то естественно необходимо электричество. В данном случае также существует связь с системой электропитания. Цель системы электропитания обеспечить электричеством приборы (в том числе и кухонный комбайн) для нормального функционирования.

Целью специальной технической системы "кухня" является обеспечение возможности не только приготовления и принятия пищи, но и возможности хранения, обработки и переработки продуктов, а так же всех процессов и действий, связанных с этим (например, кухонный комбайн облегчает процесс переработки и приготовления, посудомоечная машина - процесс мытья посуды, холодильник даёт возможность длительное время хранить скоропортящиеся продукты). В данном случае связь заключается в том, что кухонный комбайн является частью данной внешней системы, и как следствие, у них одна общая цель - приготовление пищи. Также здесь существует связь и с продуктовой системой - для приготовления пищи необходимы продукты.

Цель системы обеспечения и обслуживания заключается в качественном ремонте (при необходимости), гарантийном обслуживании, то есть обеспечении максимальной работоспособности и продлении “жизни” объекта.

1.3 Внутренний уровень.

На этом этапе определяются подсистемы
нашей системы "кухонный комбайн", их цели и параметры, удовлетворяющие ограничениям со стороны внешних систем. Подсистема - это элемент настолько сложный, что он сам рассматривается как система.

При выделении подсистем нужно учитывать назначение (функцию) кухонного комбайна - это различного вида обработка и переработка продуктов, например нарезание овощей, измельчение овощей и других продуктов, перемалывание мяса, выжимание соков, замешивание теста, взбивание сливок и кремов. Соответственно для осуществления всех этих операций должны присутствовать такие подсистемы как:

РS1
- система "овощерезка";

РS2
- система "измельчитель";

РS3
- система "мясорубка";

РS4
- система "соковыжималка";

РS5
- система "блендер";

РS6
- система "миксер".

При этом обрабатываемый продукт необходимо куда-то поместить, значит должна быть:

РS7
- система загрузки (чаша объёмом не менее двух литров с плотно закрывающейся крышкой), причём данная подсистема является частью всех вышеперечисленных.

Естественно ни одна из подсистем самостоятельно работать не будет, значит должна быть:

PS8
- приводная система (мотор, причём его мощность должна быть не менее 600 ватт).

Движение должно быть упорядоченным, значит должна быть:

PS9
- система управления (панель управления соединяющая элементы управления с мотором, причём кнопки и переключатели должны быть достаточно большими и удобными).

Управляющее воздействие нужно передать, значит должна быть:

PS10
- исполнительная система (привод).

Как мы понимаем, работа комбайна должна быть максимально безопасной для человека, поэтому должна присутствовать:

PS11
- система контроля безопасности (различные стопоры и упоры соединяющие крышку и мотор).

И последняя подсистема, без которой не будет работать ни одна из вышеперечисленных:

PS12
- система электропитания (электрический провод, соединяющий комбайн с бытовой электросетью напряжением 220 вольт).

2. Окружающая среда.

Любая система рассматривается как своеобразный преобразователь, взаимодействующий с окружающей средой. Окружающая среда
включает наряду с вышеперечисленными внешними системами S1
…. S5
так же ряд других систем, которые при первом рассмотрении могут не учитываться при решении данной задачи. К данной категории можно отнести, например, такие системы как:

S6
- система "природная среда". Природная среда в принципе не имеет никакого влияния на кухонный комбайн, а вот он имеет влияние на природную среду в том плане, что когда заканчивается срок его службы, мы попросту его выкидываем, чем и загрязняем природную среду.

S7
- система образования. Для создания любого объекта необходимы определённые знания, которые как раз и обеспечивает система образования.

S8
- экономическая система, которая включает в себя:

S8 (а)
- производственную систему, ведь где-то надо изготовить (создать) кухонный комбайн;

S8 (б)
- технологическую систему, поскольку должен быть определён способ производства;

S8 (в)
- систему продаж (торгующие организации), и т.д.

S9
- система доставки, то есть необходимо наличие транспортных средств, водительский состав и грузчики.

S10
- транспортная система (или система дорог). Для того чтобы произошла доставка, необходимы дороги, по которым можно ее обеспечить.

Рис.1. Взаимодействие системы
S (кухонный комбайн) с окружающей средой (системы
S1
…
S10
).

3. Цели и назначение системы и подсистем.

Главная задача кухонного комбайна - облегчение кулинарного труда, из чего возникает вполне определённая цель, то есть назначение системы с учётом условий и ограничений задачи. В данном случае назначение системы - переработка продуктов в домашних условиях. То есть цель системы - домашнее использование. Отсюда вытекает ряд определённых требований:

тип перерабатываемых ингредиентов: пищевые продукты;

масса перерабатываемых продуктов: 50 - 1000 грамм;

объём чаш: 2 - 3 литра;

оснащение: две чаши, универсальная насадка для измельчения и смешивания продуктов, насадка для замешивания теста, венчик для взбивания, диски для нарезания продуктов, ножи для перемалывания мяса и рыбы и так далее, кофемолка, соковыжималка;

время переработки наибольшего объёма продуктов: не более 3 минут;

дополнительные возможности: наличие нескольких скоростных режимов - от 300 до 2000 оборотов в минуту (большая чаша) и от 1 200 до 10 000 оборотов в минуту (маленькая чаша), а также возможность мыть в посудомоечной машине чаши, ножи и насадки.

4. Входы, ресурсы и затраты.

Входы
. Различные продуктовые ингредиенты (или один ингредиент), предназначенные для переработки, являются входными элементами
системы "кухонный комбайн".

Ресурсы.
К ресурсам можно отнести: электропитание, а так же время и усилия на переработку продуктов.

Затраты.
Затраты определяются как расход ресурсов на переработку при достижении цели. Причём затраты могут быть прямыми и косвенными.

Прямые затраты
:

расход электроэнергии (соответственно и её стоимость) - 600 ватт/час;

расход времени (трудозатраты) - 3÷15 минут;

расход усилий ~ 0,002 Ккал.

Косвенные затраты
:

расход воды для мытья используемых элементов и частей, а также расход электроэнергии при мытье в посудомоечной машине;

ремонт кухонного комбайна или отдельных его элементов.

5. Выходы, результаты и прибыль.

Выходы.
В процессе преобразования ингредиенты изменяют своё состояние и трансформируются в выходные элементы
- полуфабрикаты (фарш, тесто) или же готовые продукты (соус, крем).

Результаты.
К результатам можно отнести полученные полуфабрикаты и готовые продукты, экономию времени и усилий, а также обеспечение определённого вида удобства при приготовлении пищи.

Прибыль
. Прибыль - это количественная оценка результатов в общепринятых единицах:

экономия времени - перемалывание 2 кг мяса в фарш при помощи кухонного комбайна (с учётом загрузки мяса и выгрузки фарша) займёт примерно 5 минут, а тот же самый процесс при помощи ручной мясорубки займёт около 30 минут;

экономия усилий - например, в случае с фаршем экономия усилий составит примерно 0,098 Ккал.

Результаты и прибыль оцениваются по отношению к целям системы более высокого уровня, а именно системы пользователя в части повышения эффективности использования времени, снижения трудозатрат.

6. Программы, подпрограммы и работы.

Поскольку для технических систем выделяется уровень работ, связанных с различными режимами функционирования объекта, то при анализе кухонного комбайна можно выделить следующие виды работ
:

нарезание овощей;

измельчение и шинковка овощей и других продуктов;

перемалывание мяса и рыбы;

выжимание соков;

замешивание теста;

взбивание сливок, десертов и кремов;

приготовление супа-пюре;

смешивание коктейлей;

перемалывание кофейных зёрен;

приготовление сахарной пудры.

7. Исполнители, (ЛПР) и руководители.

Кухонный комбайн - это домашний бытовой кухонный прибор, целью которого является переработка продуктов, а главной задачей - облегчение кулинарного труда. Соответственно исполнитель
, лицо, принимающее решения
и руководитель
- это один и тот же человек - хозяйка на кухне.

8. Варианты системы, при использовании которых могут быть достигнуты поставленные цели.

Варианты системы
для достижения цели определяются условиями и ограничениями, заданными в пункте 3. Для достижения заданной цели можно использовать такие марки кухонных комбайнов как:

Braun CombiMax K 700 Vital;

Bosch MCM 210;

MoulinexFP 6021 TwinSystem.

9. Критерии (меры эффективности), по которым можно оценить достижение целей.

Критерии (меры эффективности) показывают, в какой степени достигаются цели системы, и дают представление о количественной величине проявления признаков системы.

Поскольку кухонный комбайн является технической системой, то критерии для оценки достижения целей включают такие показатели как:

функциональные - количество выполняемых функций, количество и вместимость чаш, наличие приспособлений;

технико-экономические - мощность, количество скоростных режимов, стоимость, расходы на эксплуатацию;

эргономические - удобство в эксплуатации, компактность, простота ухода и обслуживания;

специальные показатели - дизайн, надёжность и безопасность в эксплуатации, гарантии по качеству, масса, габариты и т.д.

Рис.2. Дерево оценок.

10. Модели принятия решения, с помощью которых можно оценить процесс преобразования входов в выходы или осуществить выбор вариантов.

Действия и решения в системе являются прерогативой ЛПР. Каждое решение должно направлять систему на достижение поставленных целей.

Существует два типа моделей принятия решений:

модели преобразования, связывающие вход и выход системы;

модели выбора, позволяющие выбрать наилучший вариант системы для достижения цели, из некоторого исходного множества вариантов.

В нашем случае используем модель второго типа - модель выбора, для чего составим сравнительную таблицу с учётом важности характеристик (критериев). В качестве модели выбора используем аддитивную свёртку

.

Таблица 1.

Характеристики (критерии)	Марки кухонных комбайнов (варианты)
	В1	В2	В3
	Braun CombiMax K700 Vital	Bosch MCM 210	Moulinex FP 6021 Twin System
К 1 - количество выполняемых функций	23	17	34
К 2 - количество приспособлений	15	11	21
К 3 - количество скоростных режимов	2	2	2
К 4 - мощность (Ватт)	600	450	700
К 5 - стоимость (руб)	4 198	3 380	3 890
К 6 - гарантия	3 года	2 года	5 лет

Оценим каждую альтернативу (вариант) множеством критериев.

Альтернативы:

В1

- BraunCombiMaxK700 Vital.

В2

- BoschMCM210.

В
3

- Moulinex FP 6021 Twin System.

Оценка:

К
1
- В3
> В1
> В2

К
2
- В3
> В1
> В2

К
3
- В1
= В2
= В3

К
4
- В3
> В1
> В2

К
5

- В1
> В3
> В2

К
6
- В3
> В1
> В2

Проведём попарное сравнение критериев по важности по девятибалльной шкале, и составим матрицу (таблица 2
) размера (6 x 6):

равная важность - 1,умеренное превосходство - 3,значительное превосходство - 5,сильное превосходство - 7,очень сильное превосходство - 9,в промежуточных случаях ставятся чётные оценки - 2, 4, 6,8.

Таблица 2.

Критерии	К 1	К 2	К 3	К 4	К 5	К 6	НВП
К 1	1	1	4	7	4	6	0,367
К 2	1	1	5	5	3	4	0,321
К 3	1/4	1/5	1	3	3	2	0,122
К 4	1/7	1/5	1/3	1	2	2	0,072
К 5	1/4	1/3	1/3	1/2	1	1	0,061
К 6	1/6	1/4	1/2	1/2	1	1	0,058
λ max = 6,3478 ИС = 0,0696 ОС = 0,0561

Нормализованный вектор приоритетов (НВП) определяется по следующей схеме:

а) рассчитывается среднее геометрическое элементов в каждой строке матрицы по формуле:

б) рассчитывается сумма средних геометрических:

∑= а
1
+ а
2
+ … + а
n

в) вычисляют компоненты НВП:

а
n
= а
n
/ ∑.

Каждый компонент НВП представляет собой оценку важности соответствующего критерия.

Проверяется согласованность оценок в матрице. Для этого подсчитываются три характеристики:

а) собственное значение матрицы по формуле:

λ макс
= ∑

элементов 1го
столбца × 1й
компонент НВП + ∑ элементов 2го
столбца × 2й
компонент НВП + … + ∑ элементов nго
столбца × nй
компонент НВП,

где × - знак умножения;

случайной согласованности, определяемый теоретически для случая, когда оценки в матрице представлены случайным образом, и зависящий от размера матрицы. Значения ПСС
представлены в таблице 3
.

Таблица 3.

Размер матрицы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ПСС	0	0	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

Оценки в матрице считаются согласованными, если ОС
≤ 10÷15%.

Проведём попарное сравнение пригодности (ценности) вариантов по каждому критерию по той же шкале, что и для критериев. Для этого необходимо предварительно проранжировать варианты по каждому критерию. Затем полученные результаты занесём в таблицу (таблица 4
). В каждом случае подсчитываются:

λi
max
; ИС
i
; ОС
i
.

Таблица 4.

К 1	В1	В2	В3	НВП	К 2	В1	В2	В3	НВП	К 3	В1	В2	В3	НВП
В1	1	3	1/5	0,188	В1	1	3	1/5	0,188	В1	1	1	1	0,333
В2	1/3	1	1/7	0,081	В2	1/3	1	1/7	0,081	В2	1	1	1	0,333
В3	5	7	1	0,731	В3	5	7	1	0,731	В3	1	1	1	0,333
λ 1 max = 3,0649 ИС 1 = 0,0324 ОС 1 = 0,0559					λ 2 max = 3,0649 ИС 2 = 0,0324 ОС 2 = 0,0559					λ 3 max = 3,0000 ИС 3 = 0,0000 ОС 3 = 0,0000
К 4	В1	В2	В3	НВП	К 5	В1	В2	В3	НВП	К 6	В1	В2	В3	НВП
В1	1	3	1/3	0,258	В1	1	7	3	0,649	В1	1	3	1/5	0,188
В2	1/3	1	1/5	0,105	В2	1/	1	1/5	0,072	В2	1/3	1	1/7	0,081
В3	3	5	1	0,637	В3	1/3	5	1	0,279	В3	5	7	1	0,731
λ 4 max = 3,0385 ИС 4 = 0,0193 ОС 4 = 0,0332					λ 5 max = 3,0649 ИС 5 = 0,0324 ОС 5 = 0,0559					λ 6 max = 3,0649 ИС 6 = 0,0324 ОС 6 = 0,0559

Далее необходимо подсчитать значение общего критерия для альтернативы х
ЄХ, показывающий её пригодность для достижения цели для каждого варианта по формуле аддитивной свёртки

:

а
j
- относительный вес (важность) частного критерия Kj
.

Таблица 5.

аj Kj	варианты
	В1	В2	В3
а1 К1	0,367Í0,188 = 0,0689	0,367Í0,081 = 0,0297	0,367Í0,731 = 0,2682
а2 К2	0,321Í0,188 = 0,0603	0,321Í0,081 = 0,0260	0,321Í0,731 = 0,2346
а3 К3	0,122Í0,333 = 0,0406	0,122Í0,333 = 0,0406	0,122Í0,333 = 0,0406
а4 К4	0,072Í0,258 = 0,0185	0,072Í0,105 = 0,0075	0,072Í0,637 = 0,0458
а5 К5	0,061Í0,649 = 0,0395	0,061Í0,072 = 0,0043	0,061Í0,279 = 0,0170
а6 К6	0,058Í0,188 = 0,0109	0,058Í0,081 = 0,0046	0,058Í0,731 = 0,0423

Для весов выполняется условие нормировки , которое необходимо, чтобы результаты, полученные в разных условиях, были сопоставимы.

В нашем случае:

,

то есть условие нормировки выполняется.

Наилучшее решение определяем по выражению:

К
(х
) - одна из свёрток выбираемых ЛПР, в нашем случае аддитивная свёртка.

Итак, по расчётам видно, что наибольшее значение критерия имеет третий вариант (0,6481), который является предпочтительным перед остальными.

И в заключении необходимо проверить достоверность решения, для чего подсчитываются:

обобщённый индекс согласования (ОИС
),

обобщённый показатель случайной согласованности (ОПСС
),

обобщённое отношение согласованности (ООС
).

1. ОИС
подсчитывается по следующей формуле:

ОИС
= ИС
1
Í НВП (К
1
) + ИС
2
Í НВП (К
2
) + … + ИС
6
Í НВП (К
6
)

При этом:

ИС
i
берётся из таблицы 4
.

НВП (К
j
) берётся из таблицы 2
.

ОИС

= 0,0324 Í 0,367 + 0,0324 Í 0,321 + 0,0000 Í 0,122 + 0,0193 Í 0,072 + 0,0324 Í 0,061 + 0,0324 Í 0,058 = 0,0119 + 0,0104 + 0 + 0,0014 + 0,0019 + 0,0019 = 0,0275

2. ОПСС
подсчитывается так же как и ОИС
, с той разницей, что вместо ИС
1
, ИС
2
и так далее из таблицы 3
подставляются ПСС
, соответствующие размеру матриц сравнения вариантов из таблицы 3
. В данном случае размер матрицы 3, поэтому ПСС
= 0,58.

ОПСС

= 0,58 Í 0,367 + 0,58 Í 0,321 + 0,58 Í 0,122 + 0,58 Í 0,072 + 0,58 Í 0,061 + 0,58 Í 0,058 = 0,21286 + 0,18618 + 0,07076 + 0,04176 + 0,03538 + 0,03364 = 0,58

3. ООС рассчитывается по следующей формуле:

Решение считается достоверным, если

ООС
≤ 10 ÷ 15%.

ООС
удовлетворяет условию, а значит, решение является достоверным.

11. Тип системы.

Кухонный комбайн является физической, технической, искусственной неживой, статической, дискретной, относительно закрытой системой. По преобразовательным возможностям относится ко второму типу (изменяются отдельные характеристики входного элемента).

12. Свойства системы. В чём они состоят?

Система "кухонный комбайн" является иерархически упорядоченной
, так как состоит из подсистем.

Система централизована
, так как центром является мотор, обеспечивающий работу (движение) остальных элементов кухонного комбайна.

Система является инерционной
, так как имеет конечное время переработки.

Система адаптивна
, так как сохраняет свои функции при возмущающих воздействиях среды, например, при изменении качества ухода и обслуживания, изменении погодных условий (температура, влажность, давление), и т.д.

13. Принятие решения.

Предположим, что фирма хочет повысить качество выпускаемой системы. Какие другие системы, кроме анализируемой системы, необходимо при этом учитывать? Объясните, почему на решение этой проблемы влияет то, как устанавливаются границы системы и окружающей среды.

При принятии решения о повышении качества выпускаемой системы - кухонного комбайна, фирме-производителю необходимо учитывать следующие внешние системы:

потребителей, которые предъявляют определённые требования к качеству продукции;

маркетинговую систему, так как сначала необходимо выяснить, какие именно требования предъявляют потребители;

систему своих собственных внутрифирменных ресурсов (человеческих, материальных, финансовых);

производственную систему, то есть производственные возможности и производственные мощности;

систему поставщиков, от которых зависит качество сырья и комплектующих;

технологическую систему, от которой зависит возможность улучшения качественных показателей и технология изготовления;

экономическую систему, от которой зависят финансовые условия деятельности фирмы и выбор стратегии (конкуренция, прибыль, ценообразование, налоги);

систему обеспечения и обслуживания, от которой зависит уровень обслуживания и наличие запасных частей в ремонтных мастерских.

Для того чтобы достичь своей цели фирме-производителю необходимо учитывать очень большое количество факторов. При этом получается так, что все подсистемы объединяются в рамках общей системы, которая устанавливается границы исследуемой системы и окружающей среды. Если что-нибудь изменить внутри этих границ, то в результате снизится возможность достижения именно той цели, которая была поставлена фирмой-производителем или же эта цель вообще станет недостижимой.

Задача № 4

Условие задачи.

Дана проблема и возможные варианты её решения (множество допустимых альтернатив) В1
, В2
, …, Вk
(смотри таблицу 1
). Каждая альтернатива оценивается множеством (списком) критериев К
1
, К
2
, …, К
n
(смотри таблицу 1
).

Требуется выбрать наилучший вариант решения (наилучшую альтернативу) и оценить последствия выбора (положительные и отрицательные).

При этом для нахождения наилучшего решения используется метод анализа иерархий (метод собственных значений), основанный на аддитивной свёртке.

Таблица 1.

№ варианта задания	Проблема, варианты её решения (множество альтернатив)	Список критериев
3	Проблема: выбор места работы. Варианты: В1 - частная фирма, В2 - государственное предприятие, В3 - учебный институт.	Оклад, самостоятельность, профессиональный интерес, возможность получения жилплощади, дополнительные нагрузки, дополнительные выгоды, необходимость переобучения, удалённость от дома.

Решение.

Разбиваем все критерии на 4 группы. После этого составляем общий сквозной список критериев по убыванию важности, причём наиболее важными считаются критерии первой группы, затем второй и третьей.

Функциональные критерии
:

оклад

профессиональный интерес

Эргономические критерии
:

самостоятельность

возможность получения жилплощади

дополнительные нагрузки

дополнительные выгоды

необходимость переобучения

удалённость от дома

Технико-экономические и специальные критерии - отсутствуют.

Общий сквозной список
:

К
1
-
оклад

К
2
-
профессиональный интерес

К
3

- удалённость от дома

К
4
-
дополнительные выгоды

К
5
-
необходимость переобучения

К
6
-
дополнительные нагрузки

К
7
-
самостоятельность

К
8
-
возможность получения жилплощади

Оценим каждую альтернативу (вариант) множеством критериев.

Альтернативы:

В1

- частная фирма.

В2

- государственное предприятие.

В3

- учебный институт.

Оценка:

К
1
- В1
> В2
= В3

К
2
- В2
> В3
> В1

К
3
- В1
= В2
= В3

К
4
- В3
> В2
> В1

К
5

- В3
> В2
> В1

К
6
- В1
> В3
> В2

К
7
- В3
> В2
> В1

К
8
- В2
> В3
= В1

Проведём попарное сравнение критериев по важности по девятибалльной шкале, и составим соответствующую матрицу (таблица 2
) размера (8 x8):

равная важность - 1,умеренное превосходство - 3,значительное превосходство - 5,сильное превосходство - 7,очень сильное превосходство - 9,в промежуточных случаях ставятся чётные оценки - 2, 4, 6,8.

Таблица 2.

Критерии	К 1	К 2	К 3	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	НВП
К 1	1	1	3	3	5	7	7	9	0,293
К 2	1	1	2	3	5	7	3	9	0,251
К 3	1/3	1/2	1	2	4	7	3	9	0,170
К 4	1/3	1/3	1/2	1	3	8	3	3	0,116
К 5	1/5	1/5	1/4	1/3	1	5	3	9	0,077
К 6	1/7	1/7	1/7	1/8	1/5	1	3	9	0,039
К 7	1/7	1/3	1/3	1/3	1/3	1/3	1	2	0,037
К 8	1/9	1/9	1/9	1/3	1/9	1/9	1/2	1	0,017
λ max = 8,8480 ИС = 0,1211 ОС = 0,0859

Нормализованный вектор приоритетов (НВП) определяется по следующей схеме:

а) рассчитывается среднее геометрическое элементов в каждой строке матрицы по формуле:

б) рассчитывается сумма средних геометрических:

∑= а
1
+ а
2
+ … + а
n

в) вычисляют компоненты НВП:

а
n
= а
n
/ ∑.

Каждый компонент НВП представляет собой оценку важности соответствующего критерия.

Проверяется согласованность оценок в матрице. Для этого подсчитываются три характеристики:

а) собственное значение матрицы по формуле:

λ макс
= ∑ элементов 1го
столбца × 1й
компонент НВП + ∑ элементов 2го
столбца × 2й
компонент НВП + … + ∑ элементов nго
столбца × nй
компонент НВП,

где × - знак умножения;

случайной согласованности, определяемый теоретически для случая, когда оценки в матрице представлены случайным образом, и зависящий от размера матрицы. Значения ПСС
представлены в таблице 3
.

Таблица 3.

Размер матрицы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ПСС	0	0	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

Оценки в матрице считаются согласованными, если

ОС
≤ 10 ÷15%.

Проведём попарное сравнение пригодности (ценности) вариантов по каждому критерию по той же шкале, что и для критериев. Для этого необходимо предварительно проранжировать варианты по каждому критерию. Затем полученные результаты занесём в таблицу (таблица 4
). В каждом случае подсчитываются:

λi
max
;

ИС
i
;

ОС
i
.

Таблица 4.

К 1	В1	В2	В3	НВП	К 2	В1	В2	В3	НВП	К 3	В1	В2	В3	НВП
В1	1	5	5	0,714	В1	1	1/5	1/3	0,105	В1	1	1	1	0,333
В2	1/5	1	1	0,143	В2	5	1	3	0,637	В2	1	1	1	0,333
В3	1/5	1	1	0,143	В3	3	1/3	1	0,258	В3	1	1	1	0,333
λ 1 max = 3,0000 ИС 1 = 0,0000 ОС 1 = 0,0000					λ 2 max = 3,0385 ИС 2 = 0,0193 ОС 2 = 0,0332					λ 3 max = 3,0000 ИС 3 = 0,0000 ОС 3 = 0,0000
К 4	В1	В2	В3	НВП	К 5	В1	В2	В3	НВП	К 6	В1	В2	В3	НВП
В1	1	1/3	1/5	0,114	В1	1	1/3	1/5	0,114	В1	1	5	3	0,637
В2	3	1	1	0,405	В2	3	1	1	0,405	В2	1/5	1	1/3	0,105
В3	5	1	1	0,481	В3	5	1	1	0,481	В3	1/3	3	1	0,258
λ 4 max = 3,0291 ИС 4 = 0,0145 ОС 4 = 0,0251					λ 5 max = 3,0291 ИС 5 = 0,0145 ОС 5 = 0,0251					λ 6 max = 3,0385 ИС 6 = 0,0193 ОС 6 = 0,0332
К 7	В1	В2	В3	НВП	К 8	В1	В2	В3	НВП
В1	1	1/3	1/5	0,114	В1	1	1/7	1	0,111
В2	3	1	1	0,405	В2	7	1	7	0,778
В3	5	1	1	0,481	В3	1	1/7	1	0,111
λ 7 max = 3,0291 ИС 7 = 0,0145 ОС 7 = 0,0251					λ 8 max = 3,0000 ИС 8 = 0,0000 ОС 8 = 0,0000

На этом этапе необходимо подсчитать значение общего критерия для каждого варианта. Для этого значение компонента НВП данного варианта по 1му
критерию из таблицы 4
умножается на значение НВП 1го
критерия из таблицы 2
, затем значение компонента НВП данного варианта по 2му
критерию умножается на значение НВП 2го
критерия и так далее по всем критериям. Полученные произведения суммируются. В итоге получаем значение общего критерия для 1го
варианта решения. Аналогично рассчитывается общий критерий для 2го
и 3го
вариантов.

К
(В1
) = 0,714Í0,293 + 0,105Í0,251 + 0,333Í0,170 + 0,114Í0,116 + 0,114Í0,077 + 0,637Í0,039 + 0,114Í0,037 + 0,111Í0,017 = 0,3464

К
(В2
) = 0,143Í0,293 + 0,637Í0,251 + 0,333Í0,170 + 0,405Í0,116 + 0,405 Í0,077 + 0,105Í0,039 + 0,405Í0,037 + 0,778Í0,017 = 0,3683

К
(В3
) = 0,143Í0,293 + 0,258Í0,251 + 0,333Í0,170 + 0,481Í0,116 + 0,481Í0,077 + 0,258Í0,039 + 0,481Í0,037 + 0,111Í0,017 = 0,2853

К
(В1
) = 0,3464 - частная фирма.

К
(В2
) = 0,3683 - государственное предприятие.

К
(В3
) = 0,2853 - учебный институт.

Так как метод анализа иерархий (метод собственных значений) основан на аддитивной свёртке, то данный этап решения задачи можно представить ещё и следующим образом по формуле аддитивной свёртки

:

К
(х
) - общий критерий для альтернативы х
ЄХ, показывающий её

пригодность для достижения цели,

а
j
- относительный вес (важность) частного критерия Kj
.

Таблица 5

аj Kj	варианты
	В1	В2	В3
а1 К1	0,293Í0,714 = 0, 2092	0,293Í0,143 = 0,0418	0,293Í ;0,143 = 0,0418
а2 К2	0,251Í0,105 = 0,0263	0,251Í0,637 = 0,1598	0,251Í0,258 = 0,0647
а3 К3	0,170Í0,333 = 0,0566	0,170Í0,333 = 0,0566	0,170Í0,333 = 0,0566
а4 К4	0,116Í0,114 = 0,0132	0,116Í0,405 = 0,0469	0,116Í0,481 = 0,0557
а5 К5	0,077Í0,114 = 0,0087	0,077Í0,405 = 0,0311	0,077Í0,481 = 0,0370
а6 К6	0,039Í0,637 = 0,0248	0,039Í0,105 = 0,0040	0,039Í0,258 = 0,0100
а7 К7	0,037Í0,114 = 0,0042	0,037Í0,405 = 0,0149	0,037Í0,481 = 0,0177
а8 К8	0,017Í0,111 = 0,0018	0,017Í0,778 = 0,0132	0,017Í0,111 = 0,0018

Для весов выполняется условие нормировки , которое необходимо, чтобы результаты, полученные в разных условиях, были сопоставимы.

В нашем случае:

,

то есть условие нормировки выполняется.

Наилучшее решение определяем по выражению:

К
(х
) - одна из свёрток выбираемых ЛПР, в нашем случае аддитивная свёртка.

Итак, по расчётам видно, что наибольшее значение критерия имеет второй вариант (В2

) (0,3683), который является предпочтительным перед остальными.

На этом этапе проверяется достоверность решения, для чего подсчитываются:

обобщённый индекс согласования (ОИС
),

обобщённый показатель случайной согласованности (ОПСС
),

обобщённое отношение согласованности (ООС
).

1. ОИС
подсчитывается по следующей формуле:

ОИС
= ИС
1
Í НВП (К
1
) + ИС
2
Í НВП (К
2
) + … + ИС
8
Í НВП (К
8
)

При этом:

ИС
i
берётся из таблицы 4
.

НВП (К
j
) берётся из таблицы 2
.

ОИС

= 0,000 Í 0,293 + 0,0193 Í 0,251 + 0,000 Í 0,170 + 0,0145 Í 0,116 + 0,0145Í0,077 + 0,0193 Í 0,039 + 0,0145 Í 0,037 + 0,000 Í 0,017 = 0,0089

2. ОПСС
подсчитывается так же как и ОИС
, с той разницей, что вместо ИС
1
, ИС
2
и так далее из таблицы 4
подставляются ПСС
, соответствующие размеру матриц сравнения вариантов из таблицы 3
. В данном случае размер матрицы 3, поэтому ПСС
= 0,58.

ОПСС

= 0,58 Í 0,293 + 0,58 Í 0,251 + 0,58 Í 0,170 + 0,58 Í 0,116 + 0,58 Í 0,077 + 0,58 Í 0,039 + 0,58 Í 0,037 + 0,58 Í 0,017 = 0,58

3. ООС рассчитывается по следующей формуле:

Решение считается достоверным, если ООС
≤ 10 ÷ 15%.

ООС
удовлетворяет условию, а значит, решение является достоверным.

В заключении оценим положительные и отрицательные последствия данного решения.

Напомним, что по условию задачи была поставлена проблема:

выбор места работы.

Также были предложены три варианта решения данной проблемы:

В1

- частная фирма,

В2

- государственное предприятие,

В3

- учебный институт.

В процессе решения задачи было выявлено, что наиболее предпочтительным является второй вариант, а именно государственное предприятие.

Положительные последствия
данного решения:

социальная защищённость;

экономическая стабильность и защищённость;

нормированный рабочий день;

гарантированный отпуск;

возможность получения вознаграждений за дополнительные нагрузки;

возможность профессионального роста;

возможность получения различного вида льгот;

определённая уверенность в будущем.

Отрицательные последствия
данного решения:

низкий уровень заработной платы (в частных фирмах, как правило, заработная плата выше);

ежемесячные авралы в конце каждого месяца и как следствие дополнительные нагрузки;

возможность увеличения различного вида нагрузок за ту же зарплату;

возможность материального наказания за произведённый брак (плохо выполненную услугу или работу);

зачастую косность мышления руководства и как следствие отсутствие возможности реализации своих собственных идей.

Следует иметь в виду, что для принятия обоснованного решения обычно приходится использовать несколько методов. Поэтому результат, полученный методом анализа иерархий, проверяется другими методами в задаче № 5.

Задача № 5

Условие задачи.

По данным предыдущей задачи найдите наилучшее решение, используя следующие методы:

свёртку по наихудшему критерию (с учётом важности критериев);

свёртку по наихудшему критерию (без учёта важности критериев);

метод главного критерия;

мультипликативную свёртку;

свёртку по наилучшему критерию;

аддитивную свёртку (с использованием функции полезности);

метод расстояния.

Обоснуйте применимость каждого метода, объясните полученные результаты и сделайте выводы.

Решение.

Свёртка по наихудшему критерию с учётом важности критериев
.

Данная свёртка соответствует стратегии “пессимизма", при которой решение принимается по критерию, имеющему наименьшее значение. По таблице 5
из задачи 4 находим данные, используя формулу:

В1
: К
(х
) =
minа
8

K
8
= 0,0018

В2
: К
(х
) =
minа
6

K
6
= 0,0040

В3
: К
(х
) =
minа
8

K
8
= 0,0018

Наилучшее решение определяем по выражению:

Наибольшее значение критерия имеет второй вариант (В2
),
который является предпочтительным перед остальными.

Свёртка по наихудшему критерию без учёта важности критериев
.

На основе данных таблицы 5
из задачи 4, и используя формулу:

, где а
j
= const
(j
) = 1/n = 1/8

производим расчёт:

В1
: К
(х
) =
min1/8
K
2
= 0,125
x0,105 = 0,0131

В2
: К
(х
) = min1/8K
6
= 0,125x
0,105 = 0,0131

В3
: К
(х
) =
min1/8
K
8
= 0,125
x 0,111 = 0,0138

Наилучшее решение определяем по выражению:

Наибольшее значение критерия имеет третий вариант (В3
),
который является предпочтительным перед остальными.

Метод главного критерия
.

Данный метод, можно применять в тех случаях, когда один из критериев значительно превосходит все остальные критерии (в три и более раз), если же это условие не выполняется, то данный метод применять не рекомендуется. Тот вариант, для которого значение главного критерия максимально, является наилучшим.

В данном случае главным критерием является критерий К
1
, хотя считать его главным можно лишь с оговоркой, так как он не превышает все остальные критерии в 3 и более раз. На основе данных таблицы 5
получаем:

К
(В1
) = 0, 2092

К
(В2
) = 0,0418

К
(В3
) = 0,0418

Наибольшее значение критерия имеет первый вариант (В1
).

Мультипликативная свёртка
.

Данная свёртка позволяет учесть критерии, имеющие малые (по модулю) значения, то есть наибольший вклад дают множители наименьшие по модулю. На основе данных таблицы 4
из задачи 4, производим расчёт:

К
(В1
) = 0,7140,293
Í 0,1050,251
Í 0,3330,170
Í 0,1140,116
Í 0,1140,077
Í 0,6370,039
Í

0,1140,037
Í 0,1110,017
= 0,9060 Í 0,5679 Í 0,8294 Í 0,7773 Í 0,8460 Í

0,9825 Í 0,9227 Í 0,9633 = 0,2450

К
(В2
) = 0,1430,293
Í 0,6370,251
Í 0,3330,170
Í 0,4050,116
Í 0,4050,077
Í 0,1050,039
Í

0,4050,037
Í 0,7780,017
= 0,5656 Í 0,8929 Í 0,8294 Í 0,9004 Í 0,9327 Í

0,9158 Í 0,9671 Í 0,9957 = 0,3102

К
(В3
) = 0,1430,293
Í 0,2580,251
Í 0,3330,170
Í 0,4810,116
Í 0,4810,077
Í 0,2580,039
Í

0,4810,037
Í 0,1110,017
= 0,5656 Í 0,7117 Í 0,8294 Í 0,9186 Í 0,9452 Í

0,9485 Í 0,9732 Í 0,9633 = 0,2577

К
(В1
) = 0,2450

К
(В2
) = 0,3102

К
(В3
) = 0,2577

Наибольшее значение критерия имеет второй вариант (В2
),
который является предпочтительным перед остальными.

Свёртка по наилучшему критерию
.

Данный метод соответствует стратегии “оптимизма". На основе данных таблицы 5
из задачи 4 выбираем наибольшее значение произведений а
j
Kj
(Bj
) для каждого варианта. Вариант, которому оно соответствует, - наилучший.

а
1

K
1 (

B1
) = 0, 2092

Наибольшее значение критерия имеет первый вариант (В1
),
который является предпочтительным перед остальными.

Аддитивная свёртка (с использованием функции полезности).

Данный метод позволяет учесть критерии, имеющие большие (по модулю) значения.

Используя данные таблицы 4
из задачи 4, оценим по 10-и балльной шкале полезность (ценность) каждого варианта по каждому критерию. Наименьшее значение принимаем за 1.

По критерию
К1
:

В1
= 8/ (8 + 1 + 1) Í 10 = 8/10 Í 10 = 0,8 Í 10 = 8

В2
= 1/ (8 + 1 + 1) Í 10 = 1/10 Í 10 = 0,1 Í 10 = 1

В3
= 1/ (8 + 1 + 1) Í 10 = 1/10 Í 10 = 0,1 Í 10 = 1

По критерию
К2
:

В1
= 1/ (1 + 6 + 3) Í 10 = 1/10 Í 10 = 0,1 Í 10 = 1

В2
= 6/ (1 + 6 + 3) Í 10 = 6/10 Í 10 = 0,6 Í 10 = 6

В3
= 3/ (1 + 6 + 3) Í 10 = 3/10 Í 10 = 0,3 Í 10 = 3

И так далее по всем критериям. Полученные результаты занесём в таблицу 1
.

Таблица 1

К 1	К 2	К 3	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8
В1	8	1	3	1	1	6	1	1
В2	1	6	3	4	4	1	4	8
В3	1	3	3	5	5	3	5	1

Теперь, используя данные полученной таблицы и оценки важности критериев по
таблице 2 из задачи 4, найдём наилучшее решение.

К (В1
) = 0,293×8 + 0,251×1 + 0,170×3 + 0,116×1 + 0,077×1 + 0,039×6 + 0,037×1 + 0,017×1 = 2,344 + 0,251 + 0,510 + 0,116 + 0,077 + 0,234 + 0,037 + 0,017 = 3,586

К (В2
) = 0,293×1 + 0,251×6 + 0,170×3 + 0,116×4 + 0,077×4 + 0,039×1 + 0,037×4 + 0,017×8 = 0,293 + 1,506 + 0,510 + 0,464 + 0,308 + 0,039 + 0,148 + 0,136 = 3,404

К (В3
) = 0,293×1 + 0,251×3 + 0,170×3 + 0,116×5 + 0,077×5 + 0,039×3 + 0,037×5 + 0,017×1 = 0,293 + 0,753 + 0,510 + 0,580 + 0,385 + 0,117 + 0,185 + 0,017 = 2,840

К
(В1
) = 3,586

К
(В2
) = 3,404

К
(В3
) = 2,840

Наибольшее значение критерия имеет первый вариант (В1
),
который является предпочтительным перед остальными.

Метод расстояния (введения метрики).

Данный метод можно применять в тех случаях, когда по условиям задачи можно определить идеальное решение (Вид
), имеющий абсолютный максимум сразу по всем критериям.

Идеальное решение определяем, используя данные таблицы 4
из задачи 4. В качестве координат абсолютного максимума выбираем наибольшее значение НВП по каждому критерию, а именно:

К
1
(Вид
) = 0,714

К
2
(Вид
) = 0,637

К
3
(Вид
) = 0,333

К
4
(Вид
) = 0,481

К
5
(Вид
) = 0,481

К
6
(Вид
) = 0,637

К
7
(Вид
) = 0,481

К
8
(Вид
) = 0,778

На основе выявленных данных подсчитаем значение меры расстояния для каждого варианта решения, используя функцию Минковского:

, где

p- постоянная Минковского.

1. Расстояние Хемминга (
p = 1).

d
xeм
(В1
) = 0,293 |0,714-0,714| + 0,251 |0,105-0,637| + 0,170 |0,333-0,333| +

+ 0,116 |0,114-0,481| + 0,077 |0,114-0,481| + 0,039 |0,637-0,637| +

+ 0,037 |0,114-0,481| + 0,017 |0,111-0,778| =

= 0 + 0,1335 + 0 + 0,0425 + 0,0282 + 0 + 0,0135 + 0,0113 = 0,2290

d
xeм
(В2
) = 0,293 |0,143-0,714| + 0,251 |0,637-0,637| + 0,170 |0,333-0,333| +

+ 0,116 |0,405-0,481| + 0,077 |0,405-0,481| + 0,039 |0,105-0,637| +

+ 0,037 |0,405-0,481| + 0,017 |0,778-0,778| =

= 0,1673 + 0 + 0 + 0,0088 + 0,0058 + 0,0207 + 0,0028 + 0 = 0, 2054

d
xeм
(В3
) = 0,293 |0,143-0,714| + 0,251 |0,258-0,637| + 0,170 |0,333-0,333| +

+ 0,116 |0,481-0,481| + 0,077 |0,481-0,481| + 0,039 |0,258-0,637| +

+ 0,037 |0,481-0,481| + 0,017 |0,111-0,778| =

= 0,1673 + 0,0951 + 0 + 0 + 0 + 0,0147 + 0 + 0,0113 = 0,2884

d
xeм
(В1
) = 0,2290

d

xeм
(В2
) = 0, 2054

d
xeм
(В3
) = 0,2884

Наилучшим является второй вариант (В2

), так как ему соответствует наименьшее значение меры (0, 2054).

1. Расстояние Евклида (
p = 2).

d
евкл
(В1
)
= [0,293 |0,714 - 0,714|2
+ 0,251 |0,105 - 0,637|2
+

+ 0,170 |0,333 - 0,333|2
+ 0,116 |0,114 - 0,481|2
+

+ 0,077 |0,114 - 0,481|2
+ 0,039 |0,637 - 0,637|2
+

+ 0,037 |0,114 - 0,481|2
+ 0,017 |0,111 - 0,778|2
] 1/2
=

= [0+0,0178+0+0,0018+0,0007+0+0,0001+0,0001] 1/2
= [0,0205] 1/2
= 0,1431

d
евкл
(В2
) = [0,293 |0,143 - 0,714|2
+ 0,251 |0,637 - 0,637|2
+

+ 0,170 |0,333 - 0,333|2
+ 0,116 |0,405 - 0,481|2
+

+ 0,077 |0,405 - 0,481|2
+ 0,039 |0,105 - 0,637|2
+

+ 0,037 |0,405 - 0,481|2
+ 0,017 |0,778 - 0,778|2
] 1/2
=

= [0,0279+0+0+0,0001+0,0001+0,0004+0,0001+0] 1/2
= [0,0286] 1/2
= 0,1691

d
евкл
(В3
) = [0,293 |0,143 - 0,714|2
+ 0,251 |0,258 - 0,637|2
+

+ 0,170 |0,333 - 0,333|2
+ 0,116 |0,481 - 0,481|2
+

+ 0,077 |0,481 - 0,481|2
+ 0,039 |0,258 - 0,637|2
+

+ 0,037 |0,481 - 0,481|2
+ 0,017 |0,111 - 0,778|2
] 1/2
=

= [0,0279+0,0090+0+0+0+0,0002+0+0,0001] 1/2
= [0,0372] 1/2
= 0, 1928

Наилучшим является первый вариант (В1

), так как ему соответствует наименьшее значение меры (0,1431).

3. Расстояние по максимальному различию (
p = ∞).

В данном случае берётся максимальное различие между критериями по формуле:

d

xeм
(В1
) = 0,251 |0,105-0,637| = 0,1335

d
xeм
(В2
) = 0,293 |0,143-0,714| = 0,1673

d
xeм
(В3
) = 0,293 |0,143-0,714| = 0,1673

Наилучшим является первый вариант (В1

), так как ему соответствует наименьшее значение меры (0,1135).

4. Расстояние по минимальному различию (
p = - ∞).

В данном случае берётся минимальное различие между критериями по формуле:

d

xeм
(В1
) = 0,293 |0,714 - 0,714| = 0

d
xeм
(В2
) = 0,251 |0,637 - 0,637| = 0

d
xeм
(В3
) = 0,116 |0,481 - 0,481| = 0

С учётом числа и веса критериев наилучшим является первый вариант (В1

).

Вывод.

После произведённых расчётов было выявлено что:

вариант В1

- частная фирма является предпочтительным по следующим методам:

методу главного критерия,

по свёртке по наилучшему критерию,

по аддитивной свёртке,

по методу расстояния при р = 2, p = ∞, p = - ∞;

вариант В2

- государственное предприятие является предпочтительным по следующим методам:

по свёртке по наихудшему критерию с учётом важности критериев,

по мультипликативной свёртке,

по методу расстояния при р = 1;

вариант В3

- учебный институт является предпочтительным по:

свёртке по наихудшему критерию без учёта важности критериев.

Но поскольку в при решении задачи была применена аддитивная свёртка (плавное убывание весов критериев), то наилучшим вариантом следует считать вариант В1
- частная фирма
, полученный по этой свёртке.

Задача № 6

Условие задачи.

По результатам опроса экспертов составлена таблица оценок m
вариантов решения некоторой проблемы по n
критериям. Использованы балльные оценки по пятибалльной шкале и словесные оценки, причём большей оценке соответствует лучшее значение критерия.

Таблица 1.

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 3	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 9	К 10
В1	2	Н	2	3	С	2	3	4	4	В
В2	4	ОВ	3	3	С	5	4	4	4	В
В3	3	В	3	2	Н	4	3	2	1	С
В4	4	ОВ	3	3	Н	5	4	3	4	В
В5	1	С	3	2	ОН	3	2	4	2	Н
В6	5	В	4	4	С	4	5	4	4	В
В7	4	В	4	4	ОН	3	4	2	3	С
В8	3	ОН	4	3	С	4	3	3	2	С
В9	4	В	4	3	В	3	4	4	4	В
В10	5	ОВ	4	3	В	4	5	4	4	ОВ
В11	3	С	2	2	С	3	4	3	1	В
В12	2	В	3	3	В	4	4	4	4	С
В13	5	В	4	3	В	4	5	4	4	ОВ
В14	4	ОВ	4	4	В	4	5	4	4	ОВ
В15	3	С	4	4	В	4	5	4	4	С

По данным таблицы, считая все критерии одинаково важными, требуется:

выделить множество Парето-решений;

представить результаты сравнения оставшихся вариантов в виде диаграммы в полярных координатах (каждая координата - отдельный критерий);

используя диаграмму, определить, какой вариант решения является предпочтительным;

проверить результаты выбора, используя подходящую свёртку критериев;

оценить ошибку выбора, при условии, что ошибка оценок таблицы составляет (0,1 + 0,1 xi
).

Для получения варианта задания следует вычеркнуть из исходной таблицы i-й
столбец и i-ю
строку, а также j-й
столбец и j-ю
строку (оставшиеся строки и столбцы не перенумеровываются).

Данные для решения задачи.

Таблица 2.

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В1	2	Н	3	С	2	3	4	В
В2	4	ОВ	3	С	5	4	4	В
В4	4	ОВ	3	Н	5	4	3	В
В5	1	С	2	ОН	3	2	4	Н
В6	5	В	4	С	4	5	4	В
В7	4	В	4	ОН	3	4	2	С
В8	3	ОН	3	С	4	3	3	С
В10	5	ОВ	3	В	4	5	4	ОВ
В11	3	С	2	С	3	4	3	В
В12	2	В	3	В	4	4	4	С
В13	5	В	3	В	4	5	4	ОВ
В14	4	ОВ	4	В	4	5	4	ОВ
В15	3	С	4	В	4	5	4	С

Словесные оценки, используемые в таблице:

ОВ - очень высокое значение (5),

В - высокое значение (4),

С - среднее значение (3),

Н - низкое значение (2),

ОН - очень низкое значение (1).

Решение.

Множество Парето-решений
.

Множество Парето состоит из вариантов решений, которые по всем критериям не хуже остальных и хотя бы по одному критерию лучше остальных. Построение множества Парето происходит путём попарного сравнения альтернатив. Альтернативы из него называются Парето-решениями.

Итак, пользуясь данными таблицы 2
, выделим множество Парето-решений в попарном сравнении вариантов, начиная с варианта В1
, то есть сравним его с вариантами В2
, В4
и так далее. Для этого составим сравнительные таблицы, которые можно считать единой таблицей (таблица 3
).

Таблица 3.

В1
и В2

→ В1
- отбросить

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В1	2	Н	3	С	2	3	4	В
В2	4+	ОВ+	3	С	5+	4+	4	В

В2
и В4

→ В4
- отбросить

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В2	4	ОВ	3	С+	5	4	4+	В
В4	4	ОВ	3	Н	5	4	3	В

В2
и В5

→ В5
- отбросить

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В2	4+	ОВ+	3+	С+	5+	4+	4	В+
В5	1	С	2	ОН	3	2	4	Н

В2
и В6

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В2	4	ОВ+	3	С	5+	4	4	В
В6	5+	В	4+	С	4	5+	4	В

В2
и В7

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В2	4	ОВ+	3	С+	5+	4	4+	В+
В7	4	В	4+	ОН	3	4	2	С

В2
и В8

→ В8
- отбросить

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В2	4+	ОВ+	3	С	5+	4+	4+	В+
В8	3	ОН	3	С	4	3	3	С

В2
и В10

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В2	4	ОВ	3	С	5+	4	4	В
В10	5+	ОВ	3	В+	4	5+	4	ОВ+

В2
и В11

→ В11
- отбросить

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В2	4+	ОВ+	3+	С	5+	4	4+	В
В11	3	С	2	С	3	4	3	В

В2
и В12

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В2	4+	ОВ+	3	С	5+	4	4	В+
В12	2	В	3	В+	4	4	4	С

В2
и В13

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В2	4	ОВ+	3	С	5+	4	4	В
В13	5+	В	3	В+	4	5+	4	ОВ+

В2
и В14

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В2	4	ОВ	3	С	5+	4	4	В
В14	4	ОВ	4+	В+	4	5+	4	ОВ+

В2
и В15

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В2	4+	ОВ+	3	С	5+	4	4	В+
В15	3	С	4+	В+	4	5+	4	С

В6
и В7

→ В7
отбросить

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В6	5+	В	4	С+	4+	5+	4+	В+
В7	4	В	4	ОН	3	4	2	С

В6
и В10

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В6	5	В	4+	С	4	5	4	В
В10	5	ОВ+	3	В+	4	5	4	ОВ+

В6
и В12

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В6	5+	В	4+	С	4	5+	4	В+
В12	2	В	3	В+	4	4	4	С

В6
и В13

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В6	5	В	4+	С	4	5	4	В
В13	5	В	3	В+	4	5	4	ОВ+

В6
и В14

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В6	5+	В	4	С	4	5	4	В
В14	4	ОВ+	4	В+	4	5	4	ОВ+

В6
и В15

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В6	5+	В+	4	С	4	5	4	В+
В15	3	С	4	В+	4	5	4	С

В10
и В12

→ В12
отбросить

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В10	5+	ОВ+	3	В	4	5+	4	ОВ+
В12	2	В	3	В	4	4	4	С

В10
и В13

→ В13
отбросить

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В10	5	ОВ+	3	В	4	5	4	ОВ
В13	5	В	3	В	4	5	4	ОВ

В10
и В14

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В10	5+	ОВ	3	В	4	5	4	ОВ
В14	4	ОВ	4+	В	4	5	4	ОВ

В10
и В15

→ не сравнимы

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В10	5+	ОВ+	3	В	4	5	4	ОВ+
В15	3	С	4+	В	4	5	4	С

В14
и В15

→ В15
отбросить

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В14	4+	ОВ+	4	В	4	5	4	ОВ+
В15	3	С	4	В	4	5	4	С

После завершения процедуры сравнения у нас образовалось множество Парето, которое состоит из вариантов В2
, В6
, В10
и В14
. Остальные варианты исключены из дальнейшего рассмотрения.

В окончательном виде данное множество Парето имеет следующий вид:

π = { В2
, В6
, В10
, В14
}

Результаты сравнения оставшихся вариантов в виде диаграммы в полярных координатах.

Между собой варианты В2
, В6
, В10
и В14
не сравнимы, но нам необходимо выбрать наилучшее решение. Для этого применим один из графических методов - метод диаграмм. Для чего построим диаграмму в полярных координатах. Значения (оценки) критериев по данным вариантам берём из таблицы 3
.

Таблица 3.

Варианты решения	Значения критериев
	К 1	К 2	К 4	К 5	К 6	К 7	К 8	К 10
В2	4	ОВ	3	С	5	4	4	В
В6	5	В	4	С	4	5	4	В
В10	5	ОВ	3	В	4	5	4	ОВ
В14	4	ОВ	4	В	4	5	4	ОВ

ОВ - очень высокое значение (5)

В - высокое значение (4)

С - среднее значение (3)

К
1

К
10
К
2

К
8
К
4

К
7
К
5

К
6

В2
В10

В6
В14

Рис. 1. Диаграмма сравнения вариантов В2
,В6
, В10
и В14
.

Определение предпочтительного варианта по диаграмме.
Глядя на диаграмму сравнения, можно с уверенностью сказать, что площади многоугольников, соответствующих вариантам В10
и В14
заметно больше площадей многоугольников, соответствующих вариантам В2
и В6
. Следовательно, варианты В10
и В14
являются предпочтительными
, то есть наилучшими.

Проверка результатов выбора.
Для проверки результатов выбора используем аддитивную свёртку. Так как по условию задачи все критерии считаются одинаково важными, то общий критерий равен среднему значений частных критериев для каждого варианта. Подсчитаем для каждого из оставшихся вариантов величину.

По расчётам видно, что наибольшее значение общего критерия имеют варианты В10
и В14
, то есть, они являются предпочтительными, что совпадает с результатами, полученными по диаграмме.

Оценка ошибки выбора.
Метод диаграмм - это приближённый метод, что является его преимуществом, так как позволяет нивелировать (сгладить) ошибки в оценках вариантов по критериям, приведённых в таблице 1
. На этом этапе мы и подсчитаем ошибку выбора.

Среднеквадратическая ошибка определения общего критерия составляет:

, где

Доверительная ошибка (при вероятности Р = 0,95) равна:

Произведём расчёты.

Сравним результаты.

Поскольку после подсчётов мы видим, что , то это означает что варианты (В10
и В14
) и (В2
и В6
) значительно различаются. Этим мы подтвердили все предыдущие расчёты. Также мы видим, что

,

то есть варианты В10
и В14
являются равноценными.

Ответ:
варианты В10
и В14
являются равноценными, остальные варианты можно отбросить.

Библиография

1. Романов В.Н. Техника анализа сложных систем. - СПб.: СЗТУ - 2007. - 227 с.

2. Романов В.Н. Основы системного анализа: учебно-методический комплекс. - СПб.: СЗТУ, 2008. - 254 с.

3. Лекции по дисциплине "Системный анализ в управлении предприятием".