МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
Эконометрика
Липецк 2009
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t‑критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
· гиперболической;
· степенной;
· показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
| 17 | 22 | 10 | 7 | 12 | 21 | 14 | 7 | 20 | 3 | |
| 26 | 27 | 22 | 19 | 21 | 26 | 20 | 15 | 30 | 13 |
Решение
1. Уравнение линейной регрессии имеет вид: y
=
a
+
b
*
x
.
Данные, используемые для расчета параметров a
иb
линейной модели, представлены в табл. 1:
Таблица 1
| n
|
х
|
у
|
ух
|
хх
|
y-ycp
|
(у-уср
)2 |
х-хср
|
(х-хср
)2 |
Упр
|
ε
|
ε2
|
εt
-ε t-1 |
(εt
-ε t-1 )2 |
| 1 | 17 | 26 | 442 | 289 | 4,1 | 16,81 | 3,7 | 13,69 | 27,71 | 1,71 | 2,92 | ||
| 2 | 22 | 27 | 594 | 484 | 5,1 | 26,01 | 8,7 | 75,69 | 32,26 | 5,26 | 27,67 | 3,55 | 12,60 |
| 3 | 10 | 22 | 220 | 100 | 0,1 | 0,01 | -3,3 | 10,89 | 21,34 | -0,66 | 0,44 | -5,92 | 35,05 |
| 4 | 7 | 19 | 133 | 49 | -2,9 | 8,41 | -6,3 | 39,69 | 18,61 | -0,39 | 0,15 | 0,27 | 0,07 |
| 5 | 12 | 21 | 252 | 144 | -0,9 | 0,81 | -1,3 | 1,69 | 23,16 | 2,16 | 4,67 | 2,55 | 6,50 |
| 6 | 21 | 26 | 546 | 441 | 4,1 | 16,81 | 7,7 | 59,29 | 31,35 | 5,35 | 28,62 | 3,19 | 10,18 |
| 7 | 14 | 20 | 280 | 196 | -1,9 | 3,61 | 0,7 | 0,49 | 24,98 | 4,98 | 24,80 | -0,37 | 0,14 |
| 8 | 7 | 15 | 105 | 49 | -6,9 | 47,61 | -6,3 | 39,69 | 18,61 | 3,61 | 13,03 | -1,37 | 1,88 |
| 9 | 20 | 30 | 600 | 400 | 8,1 | 65,61 | 6,7 | 44,89 | 30,44 | 0,44 | 0,19 | -3,17 | 10,05 |
| 10 | 3 | 13 | 39 | 9 | -8,9 | 79,21 | -10,3 | 106,09 | 14,97 | 1,97 | 3,88 | 1,53 | 2,34 |
| сумма | 133 | 219 | 3211 | 2161 | 264,90 | 392,1 | 24,43 | 106,37 | 0,26 | 78,80 | |||
| ср. знач. | 13,3 | 21,9 | 321,1 | 216,1 |
;
Уравнение линейной регрессии имеет вид: у=
11,78+0,76х
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 76 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.
2. Вычисленные остатки и остаточная сумма квадратов представлены в таблице 1. Дисперсию остатков оценим по формуле:
–
стандартная ошибка оценки.Построим график остатков (рис. 1)
Рисунок 1
3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе анализа остаточной компоненты (см. табл. 1).
Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона по формуле , т. к. =0,74, d1
=1,08, d2
=1,36, т.е. d<d1
, значитряд остатковсодержит автокорреляцию.
Для обнаружения гетероскедастичности используем тест Голдфельда – Квандта:
1) Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной х.
2) Разделим совокупность на 2 группы по 5 наблюдений и для каждой определим уравнение регрессии. Воспользуемся инструментом Регрессия пакета Анализ данных, полученные результаты представлены в табл. 2.
Таблица 2
| n
|
у1
|
Предсказанное у1
|
е1
|
е12
|
у2
|
Предсказанное у2
|
е2
|
е22
|
| 1 | 13 | 13,81 | -0,81 | 0,66 | 22 | 22,46 | -0,46 | 0,21 |
| 2 | 15 | 16,52 | -1,52 | 2,30 | 26 | 25,73 | 0,27 | 0,07 |
| 3 | 19 | 16,52 | 2,48 | 6,16 | 26 | 27,60 | -1,60 | 2,57 |
| 4 | 20 | 21,25 | -1,25 | 1,57 | 27 | 28,07 | -1,07 | 1,15 |
| 5 | 21 | 19,90 | 1,10 | 1,21 | 30 | 27,14 | 2,86 | 8,20 |
| сумма | 11,90 | 12,20 |
3) Определим остаточную сумму квадратов для первой и второй регрессии .
4) Вычислим отношение , т. к. Fнабл
=0,98, Fкр(α,к1,к2)
= Fкр(0,05,5,5)
=5,05 (из таблицы критерия Фишера), Fнабл
<Fкр,
то гетероскедастичность отсутствует, предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величии не нарушена.
4. Проверим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t‑критерия Стьюдента Расчетные значения t‑критерия Стьюдента для коэффициента уравнения регрессии а1
приведены в четвертом столбце протокола Excel, полученном при использовании инструмента Регрессия (рис. 2).
Рисунок 2
Табличное значение t‑критерия Стьюдента 2,30. tрасч
=6,92, так как tрасч
>tтабл
, то коэффициент а1
значим.
5. Значение коэффициента детерминации (R – квадрат) можно найти в таблице Регрессионная статистика (рис. 2). Коэффициент детерминации/ Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 85,7% вариации зависимой переменной (объем выпуска продукции) учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора (объем капиталовложений).
Значение F– критерия Фишера можно найти в таблице протокола Excel (рис. 2), Fрасч
=47,83. Табличное значение F– критерия при доверительной вероятности 0,05 равно 4,46, т. к. Fрасч
>Fтабл
, уравнение регрессии следует признать адекватным.
Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации? в среднем расчетные значения у
для линейной модели отличаются от фактических на 1% – хорошее качество модели.
6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
Модель зависимости объема выпуска продукции от величины капиталовложений у=
11,78+0,76х.
Для того чтобы определить среднее значение фактора У при 80% максимального значения фактора Х, необходимо подставить Хпрогн
=Хmax
*0,8=22*0,8=17,6 в полученную модель: Упрогн
=11,78+0,76*17,6=25,17
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Критерий Стьюдента (при v=n -2=10–2=8) равен 1,8595. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
,
таким образом, прогнозное значение будет находиться между:
Yпрогн(80 %
max
)
+= 25,17+7,26=32,43 – верхняя граница прогноза,
Yпрогн(80 %
max
)
– =25,17–7,26=17,91 – нижняя граница прогноза.
7. Графическое представление (рис. 3) модели парной регрессии зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений: фактические и модельные значения точки прогноза.
Рисунок 3
8. Уравнение гиперболической функции: y
=
a
+
b
/
x
. Произведем линеаризацию путем замены Х=1/х
. В результате получим линейное уравнение y
=
a
+
b
Х.
Рассчитаем его параметры по данным таблицы 3
Таблица 3
| n
|
х
|
у
|
Х
|
уХ
|
Х2
|
y-ycp
|
(у-уср
)2 |
Упр
|
ε
|
ε2
|
/ε/у/*100%
|
| 1 | 17 | 26 | 0,05882 | 1,52941 | 0,0035 | 4,1 | 16,81 | 24,3846 | 1,62 | 2,61 | 6,213 |
| 2 | 22 | 27 | 0,04545 | 1,22727 | 0,0021 | 5,1 | 26,01 | 25,066 | 1,93 | 3,74 | 7,163 |
| 3 | 10 | 22 | 0,10000 | 2,20000 | 0,0100 | 0,1 | 0,01 | 22,2859 | -0,29 | 0,08 | 1,299 |
| 4 | 7 | 19 | 0,14286 | 2,71429 | 0,0204 | -2,9 | 8,41 | 20,1015 | -1,10 | 1,21 | 5,797 |
| 5 | 12 | 21 | 0,08333 | 1,75000 | 0,0069 | -0,9 | 0,81 | 23,1354 | -2,14 | 4,56 | 10,168 |
| 6 | 21 | 26 | 0,04762 | 1,23810 | 0,0023 | 4,1 | 16,81 | 24,9557 | 1,04 | 1,09 | 4,016 |
| 7 | 14 | 20 | 0,07143 | 1,42857 | 0,0051 | -1,9 | 3,61 | 23,7422 | -3,74 | 14,00 | 18,711 |
| 8 | 7 | 15 | 0,14286 | 2,14286 | 0,0204 | -6,9 | 47,61 | 20,1015 | -5,10 | 26,02 | 34,010 |
| 9 | 20 | 30 | 0,05000 | 1,50000 | 0,0025 | 8,1 | 65,61 | 24,8344 | 5,17 | 26,68 | 17,219 |
| 10 | 3 | 13 | 0,33333 | 4,33333 | 0,1111 | -8,9 | 79,21 | 10,3929 | 2,61 | 6,80 | 20,054 |
| сумма | 219 | 20,0638 | 0,1843 | 265 | 219 | 0,00 | 86,80 | 124,65 | |||
| ср. знач. | 13,3 | 21,9 | 0,10757 | 2,00638 | 0,0184 | 12,465 |
,
получим следующее уравнение гиперболической модели: ỹ =27,38–50,97/х
.
Уравнение степенной модели имеет вид: у=а*х
b
. Для линеаризации переменных произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lg
a
+blgx
. Обозначим Y=lgy', X=lgx, A=lga
. Тогда уравнение примет вид Y=A+bX
– линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 4:
Таблица 4
| n
|
у
|
Y=lg(y)
|
х
|
X=lg(x)
|
YX
|
X2
|
yпр
|
ε
|
ε2
|
|ε/y|*100%
|
| 1 | 26 | 1,415 | 17 | 1,230 | 1,741 | 1,514 | 24,823 | 1,177 | 1,385 | 0,045 |
| 2 | 27 | 1,431 | 22 | 1,342 | 1,921 | 1,802 | 27,476 | -0,476 | 0,226 | 0,018 |
| 3 | 22 | 1,342 | 10 | 1,000 | 1,342 | 1,000 | 20,142 | 1,858 | 3,452 | 0,084 |
| 4 | 19 | 1,279 | 7 | 0,845 | 1,081 | 0,714 | 17,503 | 1,497 | 2,242 | 0,079 |
| 5 | 21 | 1,322 | 12 | 1,079 | 1,427 | 1,165 | 21,641 | -0,641 | 0,411 | 0,031 |
| 6 | 26 | 1,415 | 21 | 1,322 | 1,871 | 1,748 | 26,977 | -0,977 | 0,955 | 0,038 |
| 7 | 20 | 1,301 | 14 | 1,146 | 1,491 | 1,314 | 22,996 | -2,996 | 8,975 | 0,150 |
| 8 | 15 | 1,176 | 7 | 0,845 | 0,994 | 0,714 | 17,503 | -2,503 | 6,263 | 0,167 |
| 9 | 30 | 1,477 | 20 | 1,301 | 1,922 | 1,693 | 26,464 | 3,536 | 12,505 | 0,118 |
| 10 | 13 | 1,114 | 3 | 0,477 | 0,531 | 0,228 | 12,537 | 0,463 | 0,214 | 0,036 |
| сумма | 219 | 13,273 | 10,589 | 14,322 | 11,891 | 0,939 | 36,630 | 0,764 | ||
| ср. знач. | 1,327 | 1,059 | 1,432 | 1,189 | 0,076 |
Уравнение регрессии будет иметь вид: У=0,9103+0,3938*Х. Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения: ỹ=100,9103
*х0,3938
.
Получим уравнение степенной модели регрессии: ỹ=8,1339*х0,3938
.
Уравнение показательной кривой: ỹ=а*bx
.
Осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lg
a
+x*lgb
. Обозначим Y=lgy', В=lgb, A=lga.
Получим линейное уравнение регрессии: Y=A+Вх
. Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 5
Таблица 5
| n
|
у
|
Y=lg(y)
|
х
|
Ух
|
х2
|
У-Уср
|
(У-Уср
)2 |
х-хср
|
(х-хср
)2 |
Упр
|
ε
|
ε2
|
|ε/y|*100%
|
| 1 | 26 | 1,415 | 17 | 24,0545 | 289 | 0,088 | 0,008 | 3,7 | 13,69 | 24
,365 |
1,635 | 2,673 | 26 |
| 2 | 27 | 1,431 | 22 | 31,49 | 484 | 0,104 | 0,011 | 8,7 | 75,69 | 29,318 | -2,318 | 5,375 | 27 |
| 3 | 22 | 1,342 | 10 | 13,4242 | 100 | 0,015 | 0,000 | -3,3 | 10,89 | 18,804 | 3,196 | 10,21 | 22 |
| 4 | 19 | 1,279 | 7 | 8,95128 | 49 | -0,049 | 0,002 | -6,3 | 39,69 | 16,827 | 2,173 | 4,720 | 19 |
| 5 | 21 | 1,322 | 12 | 15,8666 | 144 | -0,005 | 0,000 | -1,3 | 1,69 | 20,248 | 0,752 | 0,565 | 21 |
| 6 | 26 | 1,415 | 21 | 29,7144 | 441 | 0,088 | 0,008 | 7,7 | 59,29 | 28,253 | -2,253 | 5,076 | 26 |
| 7 | 20 | 1,301 | 14 | 18,2144 | 196 | -0,026 | 0,001 | 0,7 | 0,49 | 21,804 | -1,804 | 3,255 | 20 |
| 8 | 15 | 1,176 | 7 | 8,23264 | 49 | -0,151 | 0,023 | -6,3 | 39,69 | 16,827 | -1,827 | 3,339 | 15 |
| 9 | 30 | 1,477 | 20 | 29,5424 | 400 | 0,150 | 0,022 | 6,7 | 44,89 | 27,226 | 2,774 | 7,693 | 30 |
| 10 | 13 | 1,114 | 3 | 3,34183 | 9 | -0,213 | 0,046 | -10,3 | 106,09 | 14,512 | -1,512 | 2,285 | 13 |
| сумма | 219 | 13,273 | 133 | 182,832 | 2161 | 0,120 | 392,1 | 0,814 | 45,199 | 219 | |||
| ср. зн | 1,327 | 13,3 | 18,2832 | 216,1 |
Уравнение имеет вид: У=1,11+0,0161х
. Перейдем к исходным переменным х
и у
, выполнив потенцирование уравнения:
ỹ
=101,11
(10 0,0161
)х
, ỹ
=12,99*1,038х
– уравнение показательной кривой.
Графики построенных уравнений регрессии приведены на рис. 4.
Рисунок 4
9. Коэффициент детерминации:
Для сравнения и выбора лучшей модели строим сводную таблицу результатов (табл. 6).
Таблица 6
Параметры Модель |
коэффициент детерминации | средняя относительная ошибка аппроксимации | коэффициент эластичности |
| гиперболическая | 0,672 | 7,257 | -0,250 |
| степенная | 0,862 | 0,034 | 0,239 |
| показательная | 0,829 | 3,82 | 0,010 |
Вывод: на основании полученных данных лучшей является степенная модель регрессии, т. к. она имеет наибольший коэффициент детерминации R2
=0,862, т.е. вариация факторного признака У (объем выпуска продукции) на 86,2% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений), и наименьшую относительную ошибку (в среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических данных на 0,034%). Также степенная модель имеет наибольший коэффициент эластичности, т.е. при изменении фактора на 1% зависимая переменная изменится на 0,24%, таким образом степенную модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.
Задача 2а и 2б
Имеются два варианта структурной формы модели, заданные в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо для каждой матрицы записать системы одновременных уравнений и проверить их на идентифицируемость.
Задача 2а
Решение.
Запишем систему одновременных уравнений:
у1=
b
12
у2+
b
13
у3+
a
12
х2+
a
13
х3
у2=
b
23
у3+
a
21
х1+
a
22
х2+
a
24
x4
у3 =
b
32
у2+
a
31
х1+
a
32
х2+
a
33
х3
Проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.
1) В первом уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3
(Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1, х4
(D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1
и х4
(табл. 7)
Таблица 7
| Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | |
| х1
|
х4
|
|
| 2 | a
21 |
a
24 |
| 3 | a
31 |
0
|
Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.
2) Во втором уравнении две эндогенные переменные у2, у3
(Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х3
(D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1
и х3
(табл. 8)
Таблица 8
| Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | |
| у1
|
х3
|
|
| 1 | -1
|
a
13 |
| 3 | 0
|
a
33 |
Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, второе уравнение идентифицируемо.
3) В третьем уравнении две эндогенные переменные у2, у3
(Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х4
(D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1
и х4
(табл. 9)
Таблица 9
| Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | |
| у1
|
х4
|
|
| 1 | -1
|
0
|
| 2 | 0
|
a
24 |
Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, третье уравнение идентифицируемо.
Вывод: все уравнения системы идентифицируемы, систему можно решать.
Задача 2б
Решение
Запишем систему уравнений:
у1=
b
13
у3+
a
11
х1+
a
13
х3+
a
14
х4
у2=
b
21
у1+
b
23
у3+
a
22
х2+
a
24
х4
у3=
b
31
у1+
a
31
х1+
a
33
х3+
a
34
х4
Проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.
1) В первом уравнении две эндогенные переменные у1, у3
(Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2
(D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2
и х2
(табл. 10)
Таблица 10
| Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | |
| у2
|
х2
|
|
| 2 | -1 | a
22 |
| 3 | -1 | 0 |
Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.
2) Во втором уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3
(Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1, х3
(D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1
и х3
(табл. 11)
Таблица 11
| Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | |
| х1
|
х3
|
|
| 1 | a
11 |
а13
|
| 3 | a
31 |
a
33 |
Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.
3) В третьем уравнении две эндогенные переменные у1, у3
(Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2
(D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2
и х2
(табл. 12)
Таблица 12
| Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | |
| у2
|
х2
|
|
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | -1 | a
22 |
Определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.
Вывод: не все уравнения системы идентифицируемы, систему решать нельзя.
Задача 2в
По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), построить структурную форму модели вида:
y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 +
e
1
y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 +
e
2
| Вар. | n
|
y1
|
y2
|
x1
|
x2
|
| 8 | 1 | 61,3 | 31,3 | 9 | 7 |
| 2 | 88,2 | 52,2 | 9 | 20 | |
| 3 | 38,0 | 14,1 | 4 | 2 | |
| 4 | 48,4 | 21,7 | 2 | 9 | |
| 5 | 57,0 | 27,6 | 7 | 7 | |
| 6 | 59,7 | 30,3 | 3 | 13 |
Решение
Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в табл. 13.
Таблица 13. Фактические данные для построения модели
| n
|
y1
|
y2
|
x1
|
x2
|
| 1 | 61,3 | 31,3 | 9 | 7 |
| 2 | 88,2 | 52,2 | 9 | 20 |
| 3 | 38 | 14,1 | 4 | 2 |
| 4 | 48,4 | 21,7 | 2 | 9 |
| 5 | 57 | 27,6 | 7 | 7 |
| 6 | 59,7 | 30,3 | 3 | 13 |
| Сумма | 352,60 | 177,20 | 34,00 | 58,00 |
| Среднее значение | 58,77 | 29,53 | 5,67 | 9,67 |
Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:
у1=
d
11
x
1+
d
12
x
2+
u
1
y
2=
d
21
x
1+
d
22
x
2+
u
2
, где u1 и u2 – случайные ошибки.
Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d
можно применить МНК. Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней у=у-уср
и х=х-хср
. Преобразованные таким образом данные табл. 13 сведены в табл. 14. Здесь же показаны промежуточные рассчеты, необходимые для определения коэффициентов d
.
Таблица 14
| n
|
у1
|
у2
|
х1
|
х2
|
у1*х1
|
х1
2 |
х1*х2
|
у1*х2
|
у2*х1
|
у2*х2
|
х2
2 |
| 1 | 2,53 | 1,77 | 3,33 | -2,67 | 8,444 | 11,111 | -8,889 | -6,756 | 5,889 | -4,711 | 7,111 |
| 2 | 29,43 | 22,67 | 3,33 | 10,33 | 98,111 | 11,111 | 34,444 | 304,144 | 75,556 | 234,222 | 106,778 |
| 3 | -20,77 | -15,43 | -1,67 | -7,67 | 34,611 | 2,778 | 12,778 | 159,211 | 25,722 | 118,322 | 58,778 |
| 4 | -10,37 | -7,83 | -3,67 | -0,67 | 38,011 | 13,444 | 2,444 | 6,911 | 28,722 | 5,222 | 0,444 |
| 5 | -1,77 | -1,93 | 1,33 | -2,67 | -2,356 | 1,778 | -3,556 | 4,711 | -2,578 | 5,156 | 7,111 |
| 6 | 0,93 | 0,77 | -2,67 | 3,33 | -2,489 | 7,111 | -8,889 | 3,111 | -2,044 | 2,556 | 11,111 |
| Σ | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 174,333 | 47,333 | 28,333 | 471,333 | 131,267 | 360,767 | 191,333 |
Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения можно использовать систему нормальных уравнений:
Σу1
х1
=d11
Σx
1
2
+
d
12
Σx
1
x
2
;
Σy
1
x
2
=
d
11
Σx
1
x
2
+
d
12
Σx
2
2
.
Подставляя рассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:
174,333= 47,333d11
+28,333
d
12
471,333=28,333
d
11
+191,333
d
12
.
Решение этих уравнений дает значения d11
=2,423, d12
=2,105. Первое уравнение приведенной формы примет вид: у1
=2,423х1
+2,105х2
+
u
1
.
Для нахождения коэффициентов второго приведенного уравнения можно использовать систему нормальных уравнений:
Σу2
х1
=d21
Σx
1
2
+
d
22
Σx
1
x
2
Σy
2
x
2
=
d
21
Σx
1
x
2
+
d
22
Σx
2
2
Подставляя рассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:
131,267=47,333d21
+28,333
d
22
360,767=28,333
d
21
+191,333
d
22
.
Решение этих уравнений дает значения d21
=1,805, d22
=1,618. Второе уравнение приведенной формы примет вид: у2
=1,805х1
+1,618х2
+
u
2
Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х2
из второго уравнения приведенной модели:
х2
=(у2
-1,805х1
)/1,618
.
Подставив это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:
у1
=2,423х1
+2,105 (у2
-1,805х1
)/1,618
=2,423х1
+1,3у2
-1,115х1
=1,3у2
+1,308х1
Таким образом, b
12
=1,3 а11
=1,308
.
Найдем х1
из первого уравнения у1
=2,423х1
+2,105х2
приведенной формы:
х1
=(у1
-2,105х2
)/2,423
Подставив это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:
у2
=1,805 (у1
-2,105х2
)/2,423+1,618х2
=0,745 у1
-0,868х2
+1,618х2
=0,745у1
+0,75х2
Таким образом, b
21
= 0,745 а22
=0,75
Свободные члены структурной формы находим из уравнений:
А01
=у1,ср
-b12
у2,ср
-а11
х1,ср
=58,77 – 1,3*29,53–1,308*5,67=14,04
А02
=у2,ср
-b21
у1,ср
-а22
х2,ср
=29,53–0,745*58,77–0,75*9,67=-5,83
Окончательный вид структурной модели:
y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 +
e
1
=
14,04+1,3у2
+1,308х1
+e
1
;
y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 +
e
2
=
-5,83+0,745у1
+0,75х2
+
e
2
.