| 5 | 2 | 3 | 1 | 6 | 4 | 8 | 9 | 5 | 7 |
| 4 | 7 | 8 | 2 | 9 | 10 | 4 | 5 | 3 | 2 |
| 9 | 7 | 8 | 6 | 5 | 4 | 3 | 5 | 2 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 1 | 5 | 6 | 7 | 5 | 3 | 10 |
1. Вычислить критерий хи-квадрат и сделать вывод о нормальности данного распределения.
2. Построить график эмпирического распределения.
Критерий Пирсона
1. Наблюдаемый критерий Пирсона вычисляется по следующей формуле:
критерий пирсон колмогоров распределение частота
,
где - наблюдаемая частота; - теоретическая частота.
Массив данных о значениях случайной величины X, как элементов выборки представим в таблице 1.1 в ячейках В2:К5
.
Таблица
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K |
| 1 | ||||||||||
| 2 | 5 | 2 | 3 | 1 | 6 | 4 | 8 | 9 | 5 | 7 |
| 3 | 4 | 7 | 8 | 2 | 9 | 10 | 4 | 5 | 3 | 2 |
| 4 | 9 | 7 | 8 | 6 | 5 | 4 | 3 | 5 | 2 | 1 |
| 5 | 2 | 3 | 4 | 1 | 5 | 6 | 7 | 5 | 3 | 10 |
| 6 | ||||||||||
| 7 | n= | 40 | k= | 6,31884 | ||||||
| 8 | 10 | h= | 1,42431 | |||||||
| 9 | 1 |
2. Разобьем исходные данные по интервалам. Количество интервалов вычислим по формуле , где n – объем выборки.
Объем выборки определим с помощью функции СЧЕТ
. Для этого установим курсор в ячейку В7
, щелкнем мышкой над кнопкой , которая находится на панели инструментов. Появится окно «Мастер функций – шаг 1 из 2»
, в котором в категории «Статистические»
выбираем функцию СЧЕТ.
Затем мышкой выполним команду ОК
. В появившемся окне «Аргументы функции»
поставим курсор в строку ввода «Значение 1»
и мышкой выделим массив В2:К5,
щелкнем мышкой ОК.
В ячейке В7
появится значение объема данных, число 40.
Введем в ячейку Е7
формулу: =1+3,32*
Log
(В7)
,в ячейке Е7
появится число 6,31884.
Далее вычислим шаг интервалов, используя формулу , где - максимальное значение варианты из массива данных; – минимальное значение варианты; k – количество интервалов.
Выделим пустую ячейку В8
и вызовем окно «Мастер функций – шаг 1 из 2»
, в котором инициируем функцию «МАКС»
, введем в строку ввода блок ячеек В2:К5.
В ячейке В8
появится максимальное значение данных, число 10.Выделим пустую ячейку В9
и вызовем окно «Мастер функций – шаг 1 из 2»
, в котором инициируем функцию «МИН»
, введем в строку ввода блок ячеек В2:К5.
В ячейке В9
появится максимальное значение данных, число 1.
Теперь введем в ячейку Е8
формулу: =(В8-В9)/Е7.
Получим значение шага h=1,42431. Округлим его, получаем h=1,5.
Таким образом, имеем шаг h=1,5, количество интервалов округлим до 7, k=7. Вычислим теоретические частоты по интервалам . Для этого построим новую расчетную таблицу 1.2. Значения частот определяем с использованием функции ЧАСТОТА( )
.
Введем в ячейку В11
заголовок для левого конца интервала , в ячейку С11
– заголовок правого конца интервала . Далее вводим значения в столбцы В12:В18
и С12:С18
.
Таблица
| A | B | C | D | E | F | G | H | I |
| 10 | ||||||||
| 11 | ||||||||
| 12 | 1 | 2,5 | 3 | 1,75 | 5,25 | 59,7417 | -1,4232 | |
| 13 | 2,5 | 4 | 5 | 3,25 | 16,25 | 43,882 | -1,4232 | -0,8482 |
| 14 | 4 | 5,5 | 10 | 4,75 | 47,5 | 21,3891 | -0,8482 | -0,2731 |
| 15 | 5,5 | 7 | 7 | 6,25 | 43,75 | 0,00984 | -0,2731 | 0,30188 |
| 16 | 7 | 8,5 | 7 | 7,75 | 54,25 | 16,5473 | 0,30188 | 0,8769 |
| 17 | 8,5 | 10 | 3 | 9,25 | 27,75 | 27,6792 | 0,8769 | 1,45192 |
| 18 | 10 | 11,5 | 5 | 10,75 | 53,75 | 102,945 | 1,45192 | |
| 19 | сумма | 40 | 248,5 | 272,194 | ||||
| 20 | = | 6,2125 | 6,80484 | |||||
| 21 | 2,60861 |
3. 1) Выделим мышкой пустой столбец D
12:
D
18.
Щелкнем мышкой над кнопкой функцию ЧАСТОТА
. Появится окно «Аргументы и функции»
. Вводим в строку массив
Затем переводим курсор в строку массив интервалов. Т.е. выделяем столбец В12:В18
инажимаем последовательно на клавиатуре три кнопки Ctrl
+
Shift
+
Enter
.
2) Столбец Е12:Е18
заполним средними значениями каждого интервала. В столбцеF
12:
F
18
вычислим средние значения для всего массива данных . Для этого в ячейкуF
12
вводим формулу =
D
12*
E
12
и протягиваем мышкой значение этой ячейки до конца таблицы. В ячейке F
19
вычисляем сумму, а в ячейке F
20
–среднее значение по формуле =
F
19/
D
19.
=
6,2125
3) Вычисляем среднее квадратическое отклонение по формуле
.
Вводим с клавиатуры в ячейку G
12
формулу =(
E
12-59,875)^2*
D
12
и протягиваем ячейку до ячейки G
18.
Далее вычисляем в G
19
сумму, в ячейке G
20
– среднее значение, разделив сумму на 40 и в ячейке G
21
извлекаем корень квадратный по формуле =корень(
G
20).
2,60861.
4. Вычислим безразмерные аргументы для левых концов интервала и для правых концов интервала по формуле .
В ячейку H
12
вводим формулу =(В12-6,2125)/ 2,60861
и протягиваем ее до конца столбца, т.е. заполняем нижние значения соответствующими вычислениями. Аналогично вычисляем величины формулой: =(
C
12-6,2125)/ 2,60861.
Далее вычисляем значения функций Лапласа F
(
и F
(
потаблице и результаты помещаем в новую расчетную таблицу 1.3 в ячейки В24:В30
и С24:С30.
Таблица 1.3
| A | B | C | D | E | F |
| 22 | |||||
| 23 | F( | F( | |||
| 24 | -0,5 | -0,4222 | 1,75 | 3,112 | 0,00403 |
| 25 | -0,4222 | -0,2968 | 3,25 | 5,016 | 5,1E-05 |
| 26 | -0,2968 | -0,1064 | 4,75 | 7,616 | 0,74625 |
| 27 | -0,1064 | 0,1179 | 6,25 | 8,972 | 0,43344 |
| 28 | 0,1179 | 0,315 | 7,75 | 7,884 | 0,09912 |
| 29 | 0,315 | 0,4265 | 9,25 | 4,46 | 0,47794 |
| 30 | 0,4265 | 0,5 | 10,75 | 2,94 | 1,4434 |
| 31 | сумма | 40 | 3,20423 |
Вычисляем теоретические частоты по формуле F(F(. Вводим в ячейку E
24
формулу =(С24-В24)*60
и протягиваем формулу до конца столбца.
Вычисляем критерий Пирсона Хи-квадрат. В ячейку F
24
вводим формулу: =(
D
12-
E
24)^2/
E
24.
В итоге, как видно из таблицы 1.3 получено3,20423.
Сравним найденное значение с табличным по уровню значимости α=0,05 и степени свободы s=k-2=7-2=5. =11,1
Т.о., наблюдаемый критерий меньше табличного, следовательно, исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
Критерий согласия Колмогорова - Смирнова
Вычислим критерий D по формуле , где – экспериментальные и теоретические накопленные частоты соответственно. Накопленные частоты получаются путем последовательного сложения частот по всем интервалам, начиная с первого. Для удобства вычислений составим расчетную таблицу 2.1.
Таблица 2.1
| A | B | C | D | E | F | G | H | I |
| 32 | ||||||||
| 33 | 3 | 5 | 10 | 7 | 7 | 3 | 5 | |
| 34 | 3 | 8 | 18 | 25 | 32 | 35 | 40 | |
| 35 | 3,112 | 5,016 | 7,616 | 8,972 | 7,884 | 4,46 | 2,94 | |
| 36 | 3,112 | 8,128 | 15,744 | 24,716 | 32,6 | 37,06 | 40 | |
| 37 | 0,112 | 0,128 | 2,256 | 0,284 | 0,6 | 2,06 | ||
| 38 | Dmax = | 2,256 |
Максимальное значение абсолютной разности накопленных частот равно 2,256. По формуле делим его на n=40 и получим D=0,0564. Найдем табличное значение критерия с уровнем значимости α=0,05 и степенью свободы n=40. .
Следовательно, исходные данные соответствуют нормальному распределению, т.к. .
Т.о., второй метод подтверждает наличие нормального распределения выборки.
Построение графика распределения частот
Для построения графика распределения частот используем данные таблицы 1.3. В качестве абсциссы берем координаты массив D
24:
D
30
. В качестве ординат – блок E
24:
E
30.
1. Выполним команду ВСТАВКА
из верхнего меню. Выберем пиктограмму Точечная
и в появившемся окне вид плавной кривой с точками.
2. В верхней ленте выбрать команду Выбрать данные.
Появится окно Выбор исходных данных.
После чего выделяем столбец D
24:
D
30
нажимаем клавишу Ctrl
на клавиатуре и, опуская ее, выделяем столбец E
24:
E
30.
Щелкнем по команде ОК
. Появится изображение графика.