Математическое моделирование работы систем массового обслуживания

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Математическое моделирование работы систем массового обслуживания

Задание

Вариант 1.
Газозаправочная станция для автомобилей располагает двумя газовыми насосами. В очереди, ведущей к насосам, могут расположиться не более пяти автомашин, включая те, которые обслуживаются. Если уже нет места, прибывающие автомобили уезжают искать другую заправку. Распределение прибывающих автомобилей является пуассоновским с математическим ожиданием 20 автомобилей в час. Время обслуживания клиентов имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 6 минут.

На основе расчета функциональных характеристик СМО определить:

– процент автомобилей, которые будут искать другую заправку;

– процент времени, когда используется только один из насосов;

– процент времени использования двух насосов;

– вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди;

– среднее время пребывания автомобиля на газозаправочной станции.

массовый обслуживание транспорт автомобильный

Функциональные характеристики СМО

Интерпретация полученных результатов.

– процент автомобилей, которые будут искать другую заправку = pc
+
m
= p7
= 13,33%

– процент времени, когда используется только один из насосов = p1
= 13,33%

– процент времени использования двух насосов = p2
+ … +p7
= 80%

– вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди = 1 – p7
= 86,67%

– среднее время пребывания автомобиля на газозаправочной станции = Ws
= 0,21538 ч. = 13 минут

Контрольные вопросы:

1. Из каких основных компонентов состоит СМО?

Системы массового обслуживания (СМО) – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, которые удовлетворяются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания (сервисов).

Основными компонентами СМО являются два потока событий:

1) входной
поток заявок (требований на обслуживание), характеризующийся своей интенсивностью l (средним количеством клиентов, поступающих в систему в единицу времени) или средним интервалом времени между их последовательными поступлениями tпост

2) выходной
поток заявок, описываемый интенсивностью обслуживания m (средним количеством обслуженных заявок в единицу времени) или средней продолжительностью обслуживания tобсл
.

Для СМО разомкнутого типа, у которых входной и выходной потоки подчинены распределению Пуассона, в качестве исходных данных
для расчета функциональных характеристик используются:

· интенсивность входного потока заявок l;

· интенсивность обслуживания m;

· количеством параллельно работающих однородных сервисов (обслуживающих каналов) с;

· максимальная емкость очереди m;

· мощность источника заявок f.

2. Какие бывают СМО?

Состоянием системы называется число находящихся в данный момент в СМО заявок n. Поступающие заявки могут сразу попасть на обслуживание (если сервис свободен) или ожидать в очереди.

Если максимально допустимое число мест в очереди m конечно, то в СМО могут происходить отказы в предоставлении сервиса (система с отказами). Отклоняются от обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очереди случайно оказались занятыми или при m = 0 (система без очереди) все каналы обслуживания оказались занятыми. В СМО с неограниченной длиной очереди (m = ¥) пришедшая заявка при невозможности немедленного обслуживания ожидает обслуживания при любой длине очереди и продолжительности времени ожидания.

По способу отбора из очереди заявок для обслуживания различают следующие виды дисциплины очереди:

1) первым пришел – первым обслуживается (FCFS);

2) последним пришел – первым обслуживается (LCFS);

3) случайный отбор заявок (SIRO);

4) ограничено время пребывания заявки в очереди;

5) с приоритетами, при которой некоторые находящиеся в очереди заявки имеют право первоочередного обслуживания (например, срочные работы выполняются раньше обычных).

По числу каналов обслуживания c различают одноканальные и многоканальные СМО. Многоканальные СМО разделяют:

· по характеристикам каналов – на однородные и неоднородные СМО;

· по расположению каналов – на СМО с параллельным и последовательным расположением сервисов.

В некоторых СМО интенсивность входного потока может зависеть от числа заявок, уже находящихся в системе (СМО замкнутого типа). В такой системе конечность очереди является следствием ограниченности мощности источника, создающего заявки на обслуживание. В СМО с источником бесконечной мощности (СМО разомкнутого типа) интенсивность входного потока практически не зависит от состояния системы.

3. Как определить основные функциональные характеристики СМО?

Наиболее употребляемыми функциональными характеристиками
стационарных СМО являются следующие:

· pотк
– вероятность отказа в обслуживании (средняя доля заявок, получивших отказ в обслуживании):

– для СМО с отказами

;

– для СМО с неограниченной очередью

pотк
= 0;

· q – относительная пропускная способность системы (средняя доля обслуженных заявок; вероятность обслуживания)

q = 1 – pотк
;

· – относительная нагрузка на систему

r = l / m;

· эфф
– эффективная интенсивность поступления заявок в систему (абсолютная пропускная способность системы; среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени)

· Lq
– среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди):

– для СМО без очереди

Lq
= 0;

– для СМО с ограниченной очередью

– для СМО с неограниченной очередью

;

· Ls
– среднее число находящихся в системе заявок

· Wq
– среднее время (средняя продолжительность) пребывания заявки в очереди

· Ws
– среднее время (средняя продолжительность) пребывания заявки в системе

·
– среднее количество занятых средств обслуживания

;

· pn
– вероятность того, что в системе находится n заявок

– для СМО с отказами

;
;

– для СМО с неограниченной очередью

;

В ходе работы я научилась определять количественные показатели качества функционирования системы массового обслуживания.