Побудова економіко-математичної моделі розробки асортименту швейних виробів

ЗАДАЧА 1

Підприємство спеціалізується на виробництві верхнього жіночого одягу. За підсумками року його фінансовий стан погіршився. Це було викликано тим, що споживачі залишились не задоволені асортиментом та якістю продукції, що пропонувалась підприємством. Тому керівництво розробило комплекс заходів, направлених на покращання стану підприємства. В тому числі було вирішено суттєво оновити асортимент продукції. Після вивчення попиту, проведення попередніх продажів був розроблений новий асортимент продукції. В таблицях 3.1 та 3.2 представлений асортимент, що проектується для одного з пошивочних цехів підприємства.

Необхідно розподілити випуск продукції по місяцям кварталу таким чином, щоб максимізувати прибуток підприємства (побудувати економіко-математичну модель задачі оптимізації розподілу випуску продукції у часі у вигляді системи рівнянь і матрично-векторній формі).

Проектований асортимент для одного з цехів швейної фабрики

Варіант	8
Потік	Потік №1			Потік №2
Вид виробу	Костюми			Піджаки
Модель виробу	мод. 4808	мод. 4810	мод. 4816	мод. 1806	мод. 1823
Вид матеріалу	Вовна	Вовна	Сукно	Сукно	Сукно	Вовна
Трудомісткість виготовлення 1 виробу, годин	3,83	3,81	3,85	2,30	2,35	2,37
Витрати матеріалу на 1 виріб, м2	3,10	3,18	3,15	1,82	1,90	1,92
Оптова ціна 1 виробу, грн.	203,35	200,43	204,08	140,80	142,35	142,42
Прибуток від реалізації 1 виробу, грн.	5,05	5,10	5,07	4,05	4,10	4,13
Місяць, в якому виготовляється	І, ІІ	ІІІ	І, ІІІ	ІІ, ІІІ	І	ІІ, ІІІ

Виробничі обмеження

Варіант	Попит на продукцію по місяцям, тис. шт.												Виробнича потужність потоків, тис. шт.
	Костюми			Сукні			Піджаки			Брюки
	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	Потік №1	Потік №2
8	14,6	13,5	14,8	-	-	-	10,6	11,4	11,7	-	-	-	47,5	31,4

Варі-ант	Завдання по виручці від реалізації продукції по потокам та місяцям, тис. грн.						Наявний фонд робочого часу потоків по місяцям, тис. годин						Запаси матеріалів кожного виду на складах підприємства по місяцям, тис. м2
	Потік №1			Потік №2			Потік №1			Потік №2			Сукно			Вовна
	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ
8	990	970	960	940	850	910	270	280	245	290	260	310	205	210	198	203	202	200

Розв’язок:

Характеристика різновидів швейних виробів

Показники	Асортимент виробів
Потік μ	Потік №1 μ=1				Потік №2 μ=2
Вид виробу s	Костюми s=1				Піджаки s=2
Модель виробу j	мод.4808 j=1	мод.4810 j=2	мод.4816 j=3		мод.1806 j=1	мод.1823 j=2
Вид матеріалу α	Вовнаα=1	Вовна α=1	Сукно α=2	Сукно α=2	Сукно α=2	Вовна α=1
Трудомісткість виготовлення 1 виробу, годин t μsjα	3,83	3,81	3,85	2,30	2,35	2,37
Витрати матеріалу на 1 виріб, м2 q μsjα	3,10	3,18	3,15	1,82	1,90	1,92
Оптова ціна 1 виробу, грн. Цμ sj α	203,35	200,43	204,08	140,80	142,35	142,42
Прибуток від реалізації 1 виробу, грн. Пμsjα	5,05	5,10	5,07	4,05	4,10	4,13
Місяць, в якому виготовляється v	І, ІІ	ІІІ	І, ІІІ	ІІ, ІІІ	І	ІІ, ІІІ
хμsjαν	х11111 х11112	х11213	х11321 х11323	х 22122 х 22123	х 22221	х 22212 х 22213

Виробничі обмеження

Попит на продукцію по місяцям, тис. шт. Rsν						Виробнича потужність потоків, тис. шт. Рμ
Костюми			Піджаки
І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	Потік №1	Потік №2
14,6	13,5	14,8	10,6	11,4	11,7	47,5	31,4

Завдання по виручці від реалізації продукції по потокам та місяцям, тис. грн. Цμ sj α						Наявний фонд робочого часу потоків по місяцям, тис. годин Тμ ν						Запаси матеріалів кожного виду на складах підприємства по місяцям, тис. м2 Qαν
Потік №1			Потік №2			Потік №1			Потік №2			Трикотаж			Бавовна
І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ	І	ІІ	ІІІ
990	970	960	940	850	910	270	280	245	290	260	310	205	210	198	203	202	200

Економіко-математична модель задачі оптимізації розподілу випуску продукції у часі в алгебраїчній формі має вигляд:

1) Обсяг випуску готової продукції повинен відповідати попиту:

де хμsjαν
– обсяг виробництва виробів виду s моделі j в μ-ому потоці, який відповідно до оптимального плану необхідно виготовляти у періоді ν із матеріалу виду α;

Rs
ν
– попит на вироби виду s в ν-ому періоді;

Dsν
– можливий незадоволений попит на вироби виду s в ν-ому періоді.

Рівняння складаються для кожного виду виробу по періодам.

s=1 v=1: х11111
+ х11321
+D11
=14600 s=2 v=1: х 2
2
221
+D21
= 10600

s=1 v=2: х11112
+D12
= 13500 s=2 v=2: х 2
2
1
22
+ х 2
2
21
2
+D22
= 11400

s=1 v=3: х11213
+ х11323
+D13
= 14800 s=2 v=3: х 2
2
12
3
+ х 2
2
213
+D23
= 11700

2) Сумарний випуск виробів виду s моделі j в μ-ому потоці, виготовлених із матеріалу виду α в періоді ν не повинен перевищувати потужності потоку Рμ
:

де Нμ
– можлива невикористана частка потужності потоку μ.

Рівняння складаються для кожного потоку.

μ=1: х11111
+ х11112
+ х11213
+ х11321
+ х11323
+ H1
= 47500

μ=2: х22122
+ х 22123
+ х 22221
+ х 22
2
12
+ х 2
2
213
+H2
= 31400

3) Сумарний випуск виробів виду s моделі j в μ-ому потоці, виготовлених із матеріалу виду α в періоді ν в оптових цінах повинен бути не менше встановленого завдання по виручці від реалізації продукції Вμν
:

4)

де Цμ
sj
α
– оптова ціна одиниці продукції різновиду sjα, яка виготовляється в μ-ому потоці;

Wμν
– можливе перевищення встановленого завдання по виручці від реалізації продукції в μ-ому потоці в періоді ν.

Рівняння складаються для кожного потоку по періодам.

μ=1 v=1: 203,35х11111
+ 204,08х11
3
21
- W11
=990000

μ=1 v=2: 203,35х11112
- W12
=970000

μ=1 v=3: 200,43х112
1
3
+ 204,08х113
23
- W13
=960000

μ=2 v=1: 142,35х 22221
- W21
= 940000

μ=2 v=2: 140,80х221
2
2
+142,42х 2
22
1
2
- W22
= 850000

μ=2 v=3: 140,80х 22123
+ 142,42х 2
22
13
- W23
= 910000

5) Сумарні витрати часу на виготовлення усієї продукції в усіх пошивочних потоках не повинні перевищувати наявного фонду робочого часу цих потоків (Тμ
ν
) в періоді ν:

де t μsjα
– трудомісткість виготовлення виробу різновиду sjα в μ-ому потоці;

Y μv
– можливий невикористаний час у пошивочному потоці μ в v-ому періоді.

Рівняння складаються для кожного потоку по періодам.

μ=1 v=1: 3,83х11111
+ 3,85х11
3
21
+ Y11
= 270000

μ=1 v=2: 3,83х11112
+ Y1
2
= 280000

μ=1 v=3: 3,813х112
1
3
+ 3,85х113
23
+ Y1
3
= 245000

μ=2 v=1: 2,35х 22221
+ Y2
1
= 290000

μ=2 v=2: 2,30х221
2
2
+2,37х 2
22
1
2
+ Y22
= 260000

μ=2 v=3: 2,30х 22123
+ 2,37х 2
22
13
+ Y23
= 310000

6) Сумарні витрати матеріалу виду α на виготовлення всієї продукції не повинні перевищувати наявних ресурсів Qαν
(кількості матеріалу на складі та запланованих обсягів поставок):

де q μsjα
– норма витрат матеріалу виду α на виріб різновиду sjα, виготовлений в μ-ому потоці;

Vαν
– можливий залишок матеріалу виду α в періоді ν;

Vα(v-1)
– залишки матеріалу виду α з попереднього періоду (v-1),які можуть бути використані для виготовлення продукції в періоді v.

Рівняння складаються для кожного виду матеріалу по періодам.

α=1 v=1: 3,10х11111
+V11
=205000

α=1 v=2: 3,10х11112
+1,91х22212
+V12
- V11
=210000

α=1 v=3: 3,18х11
2
13
+1,91х222
13
+V1
3
- V1
2
=198000

α=2 v=1: 3,15х11321
+1,90х22221
+V21
=203000

α=2 v=2: 1,81х221
2
2
+V2
2
– V2
1
=202000

α=2 v=3: 3,15х11323
+1,82х22123
+V23
– V22
=200000

7) Цільова функція – максимізація сумарного прибутку

де Пμsjα
– прибуток, який отримує підприємство від реалізації одного виробу різновиду sjα, виготовленого в потоці μ.

L=5,05х11111
+5,05х11112
+5,10х11213
+5,07х11321
+5,07х11323
+4,05х22122
+4,05х22123
+ +4,10х 22221
+4,13х 22212
+4,13х 22213
→max

8) Умова невід’ємності змінних:

хsjαν
≥0, Dsν
≥0, Нμ
≥0, Wμν
≥0, Yμv
≥0, Vαv
≥0.

модель швейний асортимент тканина

ЗАДАЧА 2

Підприємство спеціалізується на виробництві верхнього жіночого одягу. Необхідно визначити оптимальний набір тканин різної ширини в умовах, коли необхідна кількість тканин оптимальної ширини для виготовлення проектованого асортименту дорівнює 4, а на ринку пропонуються тканини 3 ширин. Вартість тканини j-ої ширини, яка витрачається на 1 виріб і-ого виду наведена у таблиці 3.3. Виконати необхідні розрахунки та зробити відповідні висновки.

Варіант	і	Модель Мі	Значення ширини
			Н1	Н2	Н3	Н4	Н5	Н6
Варіант 7	1	М1	8,6	8,5	7,3	7,5	7,5	8,9
	2	М2	9,2	9,2	9,8	9,5	9,5	10,0
	3	М3	9,0	8,9	9,5	9,4	10,0	9,8
	4	М4	9,5	10,3	10,5	10,1	10,5	9,8
	5	М5	8,0	8,3	8,0	7,9	8,5	8,5
	6	М6	10,2	9,6	10,2	10,0	10,5	10,4

Розв’язок:

Модель одягу	Значення ширини тканини						Модель одягу	Значення ширини тканини
	Н1	Н2	Н3	Н4	Н5	Н6		Н1	Н2	Н3	Н4
М1 М2 М3 М4 М5 М6	8,6 (9,2) 9,0 (9,5) 8,0 10,2	8,5 (9,2) (8,9) 10,3 8,3 (9,6)	(7,3) 9,8 9,5 10,5 8,0 10,2	7,5 9,5 9,4 10,1 (7,9) 10,0	7,5 9,5 10,0 10,5 8,5 10,5	8,9 10,0 9,8 9,8 8,5 10,4	М1 М2 М3 М4 М5 М6	8,6 (9,2) 9,0 (9,5) 8,0 10,2	8,5 (9,2) (8,9) 10,3 8,3 (9,6)	(7,3) 9,8 9,5 10,5 8,0 10,2	7,5 9,5 9,4 10,1 (7,9) 10,0
ΣАj	54,5	54,8	55,3	54,4	56,5	57,4	ΣАj	54,5	54,8	55,3	54,4
Нкл2	Нкл3	Нкл4	Нкл1	Нкл2	Нкл3	Нкл4	Нкл1

φ 4,1
=min(7,5;8,6)+ min(9,5;9,2)+ min(9,4;9,0)+ min(10,1;9,5)+

min(10,0;10,2) =

= 7,5 + 9,2 + 9,0 + 9,5 + 10,0

= 45,2 – min

φ 4,2
=min(7,5;8,5)+ min(9,5;9,2)+ min(9,4;8,9)+ min(10,1;10,3)+

min(10,0;9,6) =

= 7,5 + 9,2 + 8,9 + 10,1 + 9,6 = 45,3

φ 4,3
=min(7,5;7,3)+min(9,5;9,8)+ min(9,4;9,5)+ min(10,1;10,5)+

min(10,0;10,2) =

= 7,3 + 9,5 + 9,4 + 10,1 + 10,0 = 46,3

φ4
,
1
,
2
=min(7.5;8.6;8.5)+min(9,4;9,0;8,9)+min(10.0;10,2;9,6)=7,5+8,9+9,6=2

6–min

φ4,1,3
=min(7.5;8.6;7,3)+min(9,4;9,0;9,5)+min(10.0;10,2;10,2)=7,3+9,0+10,0

=26,3

Відповідь: тканини шириною Н1
, Н2
, Н4
.

ЗАДАЧА 3

Компанія володіє 4 фабриками, продукція з яких надходить до 4 складів. Використовуючи дані про щомісячний обсяг випуску продукції та витрати на транспортування (таблиці 3.4 та 3.5), необхідно скласти 3 варіанти надходжень продукції на склад (методами північно-західного кута, найменших витрат, наближень Фогеля). Визначити загальні витрати на транспортування продукції по кожному з варіантів.

За допомогою методу послідовних кроків, оптимізувати варіант надходжень продукції, розрахований методом північно-західного кута. Зробити відповідні висновки.

Варіант	Фабрика	Обсяг поставок, од.	Склад	Потреба, од.
6	АБВГ	12 17 15 20	КЛМН	18 22 10 14

Варіант	Фабрика	Витрати на транспортування одиниці продукції на склад, грн.
		К	Л	М	Н
6	А Б В Г	10 12 15 9	13 19 21 16	11 15 12 17	16 17 19 14

На склад З фабрики	К		Л		М		Н		Поставки з фабрики
А	10	13	11	16	12
	Б	12	19	15		17	17
В		15	21	12	19	15
	Г	9	16	17	14		20
Потреба складів		18		22		10		14		64 64

Стадія 2. Вихідний розподіл

1. Розподіл методом північно-західного кута

Розподіл починається з верхнього лівого кута матриці. В клітинах першого рядка показується найбільша можлива кількість одиниць. Потім така ж процедура повторюється для другого, третього рядка і далі доти, доки всі потреби не будуть розподілені по рядкам і стовпцям.

Перевага: спрощується алгоритм розподілу.

Недолік: не враховуються витрати транспортування.

На склад З фабрики	К		Л		М		Н		Поставки з фабрики
А	12	10	13	11	16	12
		Б	6	12	11		19	15	17	17
В	15			11		21	4	12	19		15
	Г	9	16		6	17		14	14	20
Потреба складів		18		22		10			14		64 64

Загальні витрати =12·10 + 6·12 + 11·19 + 11·21 + 4·12 + 6·17 + 14·14= 978 грн.

2. Розподіл методом найменших витрат

В цьому випадку найбільше значення проставляється в клітину з найменшими витратами. Зв’язки можуть порушуватися довільно. Закінчується дана процедура після того, як усі потреби будуть розподілені по рядкам і стовпцям.

На склад З фабрики	К		Л		М		Н		Поставки з фабрики
А	10	2	13	10	11	16	12
	Б		12		5	19		15	12	17	17
В		15	15	21		12	19	15
	Г	18		9	16	17	2		14	20
Потреба складів			18		22			10			14		64 64

Загальні витрати =2·13 + 10·11 + 5·19 + 12·17 + 15·21 + 18·9 + 2·14= 940 грн.

3. Розподіл методом наближень Фогеля

Етапи процесу розподілу:

1. В кожному рядку та в кожному стовпці (з урахуванням фіктивних), визначити різницю між двома найменшими у рядку або стовпцю значеннями витрат на транспортування.

2. Визначити рядок або стовпець з найбільшою різницею.

3. Записати найбільше можливе значення одиниць в клітину з найменшими витратами, яка знаходиться в рядку або стовпці з найбільшою різницею, обраною на етапі 2.

4. Закінчити процедуру, якщо задоволені всі потреби рядків або стовпців, інакше перейти до етапу 5.

5. Перерахувати різницю між двома клітинами з найменшими витратами в кожному рядку та кожному стовпцю, які залишилися незаповненими. При розрахунку подальшої різниці не потрібно враховувати рядки та стовпці з показниками потреби або поставок, які дорівнюють нулю. Повернутись до етапу 2. Цей метод у 80% випадків дозволяє отримати оптимальне або близьке до нього рішення.

На склад З фабрики	К		Л		М		Н		Поставки з фабрики
А	10	12	13	11	16	12
	Б		12	19	10		15	7	17	17
В		15	8	21		12	7		19		15
	Г	18		9	2	16		17	14	20
Потреба складів			18			22		10			14		64 64

1	2	3	4	5	6	7
11-10=1	1	-	-	-	-	-
15-12=3	3	3	5	-	-	-
15-12=3	3	3	3	3	3	3
14-9=5	2	2	2	2	2	-

1	10-9=1	16-13=3	12-11=1	16-14=2
2	-	3	1	2
3	-	3	1	2
4	-	3	-	2
5	-	3	-	2
6	-	3	-	-
7	-	2	-	-

Загальні витрати = 12·13 + 10·15 + 7·17 + 8·21 + 7·19 + 18·9 + 2·16 = 920 грн.

Стадія 3. Знаходження оптимального рішення

Пошук оптимального рішення полягає в оцінці кожної невикористаної клітини та визначенні, чи не буде переміщення в неї вигіднішим з позиції зменшення загальних витрат. Якщо це так, то переміщення виконується і процес повторюється доти, поки не будуть оцінені всі клітини та виконані усі відповідні переміщення.

Метод послідовних кроків

Етапи процесу:

1. Оберіть будь-яку пусту клітину та укажіть замкнений шлях, що веде до неї. Цей шлях складається з горизонтальних та вертикальних ліній, які ведуть від пустої клітини через інші назад до неї ж. В замкненому шляху може бути тільки одна пуста клітина – та, що розглядається. Повороти шляху на 90є можуть виконуватися лише в найближчих до пустої заповнених клітинах.

2. Перемістіть одну одиницю із заповненої клітини у куті замкненого шляху в пусту клітину та приведіть інші заповнені клітини, що залишилися в інших кутах у відповідність до заданих потреб та поставок.

3. Визначить доцільність здійсненого переміщення:

Σ витрат в клітинах, __ Σ витрат в клітинах, до яких була додана одиниця з яких була віднята одиниця

Якщо витрати в результаті переміщень скоротилися, то необхідно перемістити якомога більше одиниць з оціненої заповненої клітини в пусту. Якщо витрати збільшилися, то ніяких переміщень не виконують, а пусту клітину помічають, щоб більше до неї не повертатися.

4. Повторювати етапи 1 – 3 доти, доки не будуть оцінені всі пусті клітини.

Максимальна кількість одиниць, яку можна додати до будь-якої клітини, не повинна перевищувати кількість, що вказана в клітині з найменшим значенням, з якої буде проводитися віднімання. Це необхідно для врахування обмежень щодо потреб та поставок.

Щоб впевнитися, що отриманий розподіл дійсно оптимальний, потрібно знову оцінити кожну пусту клітину та розглянути доцільність переміщення в неї. Якщо в кожній з перевірених клітин витрати зростуть, то задача вирішена та розподіл є оптимальним.

Якщо оцінка пустої клітини дає в результаті таке саме значення, що і розподіл, який розглядається, значить існує рівноцінне альтернативне оптимальне рішення. (Зазвичай пусту клітину, визначену як альтернативний оптимальний маршрут, помічають 0.)

В транспортних задачах у випадках, 1) коли кількість заповнених клітин менше суми кількості рядків та стовпців мінус 1 (m+n-1) або 2) коли перше значення в рядку або стовпці задовольняє обмеженням як по рядку, так і по стовпцю, може спостерігатися явище виродження.

Тоді в будь-яку пусту клітину (або декілька) записується деяка кількість одиниць θ (зазвичай це 0) таким чином, щоб можна було скласти замкнений шлях для оцінки інших пустих клітин. Це значення залишається в задачі доти, поки воно не зникне при відніманні або до отримання остаточного рішення.

Оптимізація розподілу (метод північно-західного кута)

На склад З фабрики	К		Л		М		Н		Поставки з фабрики
А	12	10	г	13	11	16	12
		Б		6	12	11		19	б	15	17	17
В	в		15		11		21	4		12	а		19	15
		Г	9	16		6	17		14	14		20
Потреба складів	18		22		10		14			64 64

а) В-Н +1 (пуста клітина) + -

В-М -1 19 (В-Н) 12 (В-М)

Г-М +1 17 (Г-М) 14 (Г-Н)

Г-Н -1 36 > 26

Переміщення недоцільно

б) Б-М +1 (пуста клітина) + -

Б-Л -1 15 (Б-М) 19 (Б-Л)

В-Л +1 21 (В-Л) 12 (В-М)

В-М -1 36 > 31

Переміщення недоцільно

в) В-К +1 (пуста клітина) + -

Б-К -1 15 (В-К) 12 (Б-К)

Б-Л +1 19 (Б-Л) 21 (В-Л)

В-Л -1 34 > 33

Переміщення недоцільно

г) А-Л +1 (пуста клітина) + -

А-К -1 13 (А-Л) 10 (А-К)

Б-К +1 12 (Б-К) 19 (Б-Л)

Б-Л -1 25 < 29

Переміщення доцільно

На склад З фабрики	К		Л		М		Н		Поставки з фабрики
А	1	10	11	13	д	11	16	12
		Б		17		12	+		19	+	15	17	17
В	+		15		11	21		4	12		+	19		15
		Г	9	е		16	6		17	14		14	20
Потреба складів	18		22		10			14			64 64

д) А-М +1 (пуста клітина) + -

А-Л -1 11 (А-М) 13 (А-Л)

В-Л +1 21 (В-Л) 12 (В-М)

В-М -1 33 > 25

Переміщення недоцільно

е) Г-Л +1 (пуста клітина) + -

В-Л -1 16 (Г-Л) 21 (В-Л)

В-М +1 12 (В-М) 17 (Г-М)

Г-М -1 28 <38

Переміщення доцільно

На склад З фабрики	К		Л		М		Н		Поставки з фабрики
А	1	10	11	13	+	11	є	16	12
		Б		17		12		+		19	+	15	17	17
В	+		15		5	21	10		12	+		19	15
		Г	ж	9		6		16	+		17	14		14	20
Потреба складів	18			22			10			14			64 64

є) А-Н +1 (пуста клітина) + -

А-Л -1 16 (А-Н) 13 (А-Л)

Г-Л +1 16 (Г-Л) 14 (Г-Н)

Г-Н -1 32 > 27

Переміщення недоцільно

ж) Г-К +1 (пуста клітина) + -

А-К -1 9 (Г-К) 10 (А-К)

А-Л +1 13 (А-Л) 16 (Г-Л)

Г-Л -1 22 < 26

Переміщення доцільно

На склад З фабрики	К		Л		М		Н		Поставки з фабрики
А	+	10	12	13	+	11	+	16	12
		Б		17		12		+		19	+	15	з	17	17
В	+		15		5	21	10		12	+		19		15
		Г	1	9		5		16	+		17	14	14		20
Потреба складів	18			22			10			14			64 64

з) Б-Н +1 (пуста клітина) + -

Б-К -1 17 (Б-Н) 12 (Б-К)

Г-К +1 9 (Г-К) 14 (Г-Н)

Г-Н -1 26 =26

Переміщення можна не робити.

Загальні витрати =12·13 + 17·12 + 5·21 + 10·12 + 1·9 + 5·16 + 14·14= 870 грн.

Отже, всі клітини перевірено і ми впевнились, що отриманий розподіл дійсно оптимальний і становить 870 грн.