Задание 1
Раскрыть сущность экономико-математической модели. Привести классификацию экономико-математических моделей; дать понятие экономико-математического моделирования и рассмотреть его этапы.
С понятием «моделирование экономических систем» (а также математических и др.) связаны два класса задач:
задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее свойств, структуры и параметров, то есть исследуется предметная область будущего моделирования.
Задачи, связанные с задачами синтеза (получения ЭММ данной системы).
Модель
– изображение, представление объекта, системы, процесса в некоторой форме, отличной от реального существования.
Различают физическое и математическое моделирование.
Классификация моделей:
— вещественные
— символьные
— словесно-описательные
1. математические
2. аналитические
· имитационные
· структурные
= формальные
= функциональные
Этапы практического моделирования
1. Анализ экономической системы, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования.
2. Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации.
3. Верификация модели и уточнение ее параметров
4. Уточнение всех параметров системы и соответствие параметров модели, их необходимая валидация (исправление, корректирование).
Задание 3
В качестве примера построим модель оптимального размещения активов для некоторого гипотетического банка, работающего более двух лет, баланс которого приводится в таблицах ниже.
Пассив баланса
| Наименование статей баланса |
Сумма, млн. руб. |
Риск одновременного снятия, % |
| Средства банков на корреспондентских счетах |
5,1 |
25 |
| Кредиты и депозиты банков (включая НБ РБ) |
||
| Кредитные ресурсы, полученные от других банков, депозиты других банков до востребования |
2,8 |
55 |
| Кредитные ресурсы, полученные от других банков, и депозиты других банков с договорными сроками |
3,4 |
0 |
| Средства клиентов |
||
| Остатки на текущих (расчетных) счетах юридических и физических лиц |
196 |
25 |
| Вклады (депозиты) юридических и физических лиц: |
||
| до востребования |
5,8 |
25 |
| с договорными сроками |
85 |
|
| Прочие пассивы |
7,6 |
|
| Итого пассивов |
305,7 |
|
| Собственный капитал банка |
68 |
Актив баланса
| Наименование статей баланса |
Сумма, млн. руб. |
Доход-ность, % |
Степень риска, % |
Ликвид-ность, % |
| Касса и приравненные к ней средства |
х1
|
0 |
0 |
100 |
| Средства на корреспондентских счетах в банках |
||||
| Средства в НБ РБ |
х2
|
0 |
0 |
100 |
| Средства в банках стран – членов ОЭСР до востребования |
х3
|
5 |
30 |
75 |
| Средства в банках стран, не являющихся членами ОЭСР, до востребования |
х4
|
7 |
65 |
55 |
| Обязательные резервы в НБРБ |
33,5 |
0 |
0 |
0 |
| Кредиты и депозиты банкам |
||||
| Кредиты банкам-резидентам РБ под обеспечение государственных ценных бумаг РБ в бел. руб. |
х5
|
32 |
0 |
100 |
| Депозиты в банках-резидентах РБ под гарантии НБ РБ |
х6
|
25 |
0 |
100 |
| Кредиты юридическим и физическим лицам: |
||||
| обеспеченные залогом ценных бумаг, эмитированных юридическими лицами |
х7
|
38 |
100 |
0 |
| обеспеченные гарантийными депозитами в бел. руб. и СКВ |
х8
|
33 |
0 |
0 |
| обеспеченные залогом имущества |
х9
|
39 |
100 |
0 |
| обеспеченные гарантиями и поручительствами юридических лиц |
х10
|
34 |
100 |
0 |
| Государственные ценные бумаги РБ, номинированные в бел. руб. |
х11
|
25 |
0 |
100 |
| Основные средства и нематериальные активы |
12,4 |
0 |
100 |
0 |
Запишем целевую функцию, в данной модели представляющую процентный доход банка от размещения активов, который следует максимизировать:
f(x)= 0,05х3
+ 0,07х4
+ 0,32х5
+ 0,25х6
+ 0,38х7
+ 0,33х8
+ 0,39х9
+ + 0,34х10
+ 0,25х11
→max
Первое ограничение следует из условия баланса: сумма активных статей баланса должна быть равна сумме пассивных его статей + собственный капитал
х1
+ х2
+ х3
+ х4
+ 33,5 + х5
+ х6
+ х7
+ х8
+ х9
+ х10
+ х11
+ 12,4 = 373,7
Второе ограничение следует из норматива по достаточности капитала, при этом предположим, что R = 0
Третье ограничение следует из норматива мгновенной ликвидности, которое представляет собой отношение балансовых сумм активов и пассивов до востребования и с просроченными сроками:
Четвертое ограничение следует из норматива краткосрочной ликвидности, которое представляет соотношение фактической и требуемой ликвидности:
Пятое ограничение запишем исходя из минимально допустимого значения соотношения ликвидных и суммарных активов баланса:
Шестое ограничение следует из ограниченности совокупной суммы крупных рисков.
Пусть х5
≥0,1Ч68 и х6
≥0,1Ч68, тогда
х5
+ х6
≤6Ч68
Седьмое ограничение следует из ограниченности средств, размещенных в банках стран — не членов ОЭСР
х4
≤68
Далее запишем ограничения, вытекающие из норматива максимального размера риска на одного клиента, считая для простоты, что одна статья баланса соответствует одному клиенту:
х3
≤0,25Ч68; х4
≤0,25Ч68; х5
≤0,25Ч68; х6
≤0,25Ч68; х7
≤0,25Ч68; х8
≤0,25Ч68; х9
≤0,25Ч68; х10
≤0,25Ч68
В завершение напишем условие неотрицательности:
хj
≥ 0, j = 1,11
Таким образом, все вышеперечисленные ограничения представляют собой модель оптимального распределения активов банка с рассмотренным выше балансом.
Задание 4
Построить уравнение регрессии, описывающее зависимость прибыли банка (у) от объема межбанковских кредитов и депозитов (х), оценить ее качество и степень зависимости. С помощью построенной регрессии прогнозировать, какой будет средняя прибыль банка при достижении объема межбанковских кредитов и депозитов величины 53 млн. руб.
| № банка |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| Кредиты и депозиты |
18 |
23 |
28 |
29 |
34 |
36 |
37 |
42 |
44 |
45 |
49 |
50 |
| Прибыль |
12 |
17 |
15 |
25 |
20 |
32 |
25 |
35 |
30 |
40 |
41 |
45 |
Решение
Информацию, представленную в исходных данных представим графически:
Из диаграммы рассеяния видно, что зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов носит линейный характер. Кроме того, исследуется зависимость прибыли банка только от одного фактора — объема межбанковских кредитов и депозитов, поэтому регрессию будем строить в виде
у = а + bх
т.е. это будет простая линейная регрессия. Для расчета ее параметров воспользуемся известными формулами:
Для этого в рабочей таблице рассчитаем нужные суммы:
| i |
xi
|
yi
|
xi
|
xi
|
yi
|
| 1 |
18 |
12 |
216 |
324 |
144 |
| 2 |
23 |
17 |
391 |
529 |
289 |
| 3 |
28 |
15 |
420 |
784 |
225 |
| 4 |
29 |
25 |
725 |
841 |
625 |
| 5 |
34 |
20 |
680 |
1156 |
400 |
| 6 |
36 |
32 |
1152 |
1296 |
1024 |
| 7 |
37 |
25 |
925 |
1369 |
625 |
| 8 |
42 |
35 |
1470 |
1764 |
1225 |
| 9 |
44 |
30 |
1320 |
1936 |
900 |
| 10 |
45 |
40 |
1800 |
2025 |
1600 |
| 11 |
49 |
41 |
2009 |
2401 |
1681 |
| 12 |
50 |
45 |
2250 |
2500 |
2025 |
| ∑ |
435 |
337 |
13358 |
16925 |
10763 |
Подставим результаты, полученные в таблице в формулы:
Таким образом, уравнение регрессии, описывающее зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов, имеет вид:
у = –7,71 + 0,987х
Оценим качество построенной регрессии. Для этого рассчитаем коэффициент детерминации, используя формулу:
Значение коэффициента детерминации достаточно близко к единице, поэтому качество построенной регрессии хорошее. Можно утверждать, что изменение прибыли банка на 86,8% зависит от изменения межбанковских кредитов и депозитов, и на 13,2% – от прочих факторов.
Степень зависимости между исследуемыми показателями оценивается на основании коэффициента корреляции:
Коэффициент корреляции близок к единице, поэтому имеем достаточно сильную линейную зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов.
Так как качество построенной регрессии хорошее, ее можно использовать для прогнозирования. Подставим прогнозное значение хпр
= 53 в построенное уравнение регрессии:
упр
= –7,71 + 0,987Ч53 = 44,623 (млн. руб.)
Таким образом, если объем межбанковских кредитов и депозитов достигнет 53 млн. руб., то средняя прибыль коммерческого банка составит 44 млн. 623 тыс. руб.
Задание 5
За компаниями A, B и С проводились наблюдения в течение трех периодов. Данные в процентах приводятся в таблице ниже. Оценить ожидаемую доходность и риск каждой акции, на основании этих оценок дать сравнительную характеристику. Рассчитать ковариации доходностей акций друг с другом. Дать определение эффективного портфеля ценных бумаг и построить модели, позволяющие определить структуру эффективных портфелей.
| Период наблюдения |
Доходность компании А |
Доходность компании В |
Доходность компании С |
| 1 |
27 |
25 |
22 |
| 2 |
30 |
20 |
18 |
| 3 |
33 |
26 |
16 |
Решение
Оценим ожидаемую доходность каждой акции:
Оценим риск каждой акции, который выражается вариацией:
Из приведенных расчетов следует, что самыми привлекательными для инвестора ценными бумагами являются акции компании А, так как они имеют самую высокую ожидаемую доходность и наименьший риск. Если же сравнить между собой компании В и С, то акции компании В имеют несколько большую ожидаемую доходность, но и больший риск, поэтому выбор зависит от отношения инвестора к риску.
Рассчитаем ковариации доходностей акций друг с другом:
Из расчетов видно, что ковариация доходностей компаний А и С отрицательна, т.е. зависимость между доходностями акций этих компаний обратная, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в разных направлениях. Ковариации доходностей акций компаний А и В, В и С положительные, что свидетельствует о прямой зависимости между доходностями акций этих компаний, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в одном направлении.
Дадим определение эффективного портфеля. Портфель, имеющий минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности или максимальную ожидаемую доходность при заданном уровне риска, называется эффективным.
пусть хА
, хВ
, хС
— доли капитала инвестора, вложенные в акции компаний А, В, С соответственно. Сумма долей равна единице, т.е.:
хА
+ хВ
+ хС
= 1
Так как риск портфеля, составленного из акций компаний А, В и С, выражается формулой:
а ожидаемая доходность этого же портфеля выражается формулой
то, подставляя рассчитанные значения вариаций, ковариаций, получаем модели, определяющие структуру эффективных портфелей:
хА
+ хВ
+ хС
= 1
хА
+ хВ
+ хС
= 1
Задание 6
Руководство одного из банков решило разместить ресурсы в операциях с процентным арбитражем с целью получения прибыли от разницы процентных ставок на различных кредитных рынках с учетом изменения валютных курсов. Для проведения операций с процентным арбитражем на домашнем кредитном рынке было приобретено 500000 рос. руб. под 7,5% годовых на месяц. На момент начала операции наиболее привлекательными для банка оказались кредитный рынок США и еврорынок. Процентная ставка по вкладам на месяц на кредитном рынке США равнялась 7,75% годовых, а на еврорынке по вкладам в евро на месяц 7,7% годовых. Соотношение курсов валют было следующее: RUR/€ = 37,7 руб., RUR/$ = 27,8 руб. Через месяц на момент окончания операции прогнозируются следующие курсы валют: с вероятностью 0,4 RUR/€ = 36,3 руб., RUR/$ = 28,2 руб., с вероятностью 0,6 RUR/€ = 38,2 руб., RUR/$ = 26,6 руб. Определить наилучшую стратегию размещения ресурсов сроком на один месяц, используя критерии Вальда, Гурвица и Байеса.
Решение
В данной задаче выделяются 2 игрока: руководство банка, принимающее решения, и природа — рынок валют. Предположим, что руководство банка определило для себя три стратегии:
А1
— разместить 500000 руб. на еврорынке;
А2
— разместить 500000 руб. на рынке США;
А3
— разместить 250000 руб. на рынке США и 250000 руб. на еврорынке.
У природы будут две стратегии, соответствующие двум прогнозам курсов. Для определения наилучшей стратегии построим платежную матрицу. Ее размерность будет 3Ч2 в соответствии с количеством стратегий.
Элементы платежной матрицы будут равны прибыли, которую получит банк в каждой из возможных ситуаций.
Рассчитаем элемент платежной матрицы а 11
:
1. Конвертируем валюту:
500000/37,7 = 13262,6 €
2. Вкладываем получившуюся в валюте сумму на соответствующем рынке на месяц:
13262,6Ч(1+0,077/12) = 13347,7 €
3. Конвертируем полученную сумму в рубли соответственно стратегии природы:
13347,7Ч36,3 = 484,521 руб.
4. Рассчитаем сумму, которую нужно вернуть через месяц на домашнем рынке:
500000Ч(1+0,075/12) = 503125 руб.
5. Находим чистый доход от операции
484521,6 – 503125 = –18603,4 руб.
Аналогично рассчитываются все остальные элементы платежной матрицы. В результате расчетов она принимает вид:
| П1 |
П2 |
|
| A1 |
-18603,45 |
6757,18 |
| A2 |
7344,87 |
-21617,96 |
| A3 |
5629,29 |
7430,39 |
Для выбора лучшей стратегии воспользуемся следующими критериями:
1. Критерий Вальда — критерий крайнего пессимизма. Наилучшая, по Вальду, стратегия — соответствующая наибольшему из наименьших выигрышей. Наилучшей, по Вальду, будет стратегия А3
, т.е. разместив по 250000 тыс. руб. на рынках США и Европы, банк получит прибыль не менее, чем на 5629,29 руб.
2. Критерий Сэвиджа — критерий минимального риска. Наилучшей, по Сэвиджу, считается стратегия, соответствующая наименьшему из наибольших рисков. Для ее определения построим дополнительную матрицу R:
| П1 |
П2 |
|
| A1 |
25948,32 |
673,20 |
| A2 |
0,00 |
29048,34 |
| A3 |
1715,59 |
0,00 |
Стратегия А3
соответствует минимальному из максимальных рисков, т.е. наилучшей, по Сэвиджу будет вложение по 250000 руб. на обоих рынках.
3. Критерий Гурвица — критерий пессимизма-оптимизма. Параметр γ в нашем случае равен 0,4. Рассчитаем числа и выберем из них максимальное:
a1
= 0,4Ч(-18603,45) + 0,6Ч6757,18 = -3387,07
a2
= 0,4Ч (-21617,96) + 0,6Ч7344,87 = -4240,26
a3
= 0,4Ч5629,29 + 0,6Ч7430,39 = 6709,95
Таким образом при γ = 0,4, если руководство банка настроено оптимистично оно принимает решение вложить по 250000 руб. на обоих рынках.
4.Критерий Байеса — используется тогда, когда известны вероятности состояний природы. Такая ситуация называется ситуацией риска. Наилучшей, по Байесу, стратегией считается соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу. Рассчитаем а1
, а2
, а3
:
a1
= 0,4Ч (-18603,45) + 0,6Ч 6757,18 = -3387,07
a2
= 0,4Ч7344,87 + 0,6Ч (-21617,96) = -10032,82
a3
= 0,4Ч5629,29 + 0,6Ч7430,39 = 6709,95
Наилучшей, по Байесу, стратегией будет стратегия А3
.
Задание 7
Компания рассматривает строительство филиалов в четырех местах, соответственно имеются четыре проекта, продолжительностью 5 лет. Первоначальные инвестиции и доходы по годам приведены в таблице исходных данных. Инвестиционные возможности компании ограничены. В силу определенных соображений сумма расстояний от компании до филиалов не должна превышать 450 км. Из-за ограниченности фонда заработной платы общее число работников филиала на должно превышать 450 человек. Совместное строительство филиалов не допускается, так как они располагаются достаточно близко друг к другу.
Построить модель оптимального распределения инвестиций по проектам, в качестве критерия оптимальности использовать сумму NPV проектов. Ставка дисконта равна 15%.
| Номер проекта |
I0
|
Доходы по годам |
||||
| первый |
второй |
третий |
четвертый |
пятый |
||
| первый |
1250 |
-200 |
600 |
1200 |
1300 |
1400 |
| второй |
1300 |
100 |
830 |
700 |
570 |
720 |
| третий |
1400 |
500 |
250 |
400 |
320 |
710 |
| четвертый |
2200 |
-330 |
1000 |
1150 |
1600 |
1800 |
Решение
Для расчета NPV будем использовать следующую формулу:
i = 1,2,3,4
Отсюда:
NPV1
= 1258,12
NPV2
= 558,68
NPV3
= 22,78
NPV4
= 835,05
Введем переменные. Пусть хi
, i = 1,2,3,4 характеризует i-й проект и может принимать только 2 значения — 0 или 1. Если хi
= 0, это значит, что i-й проект не следует инвестировать. Если хi
= 1, то i-й проект следует инвестировать.
Используя введенные переменные запишем целевую функцию:
NPV = 1258,12х1
+ 558,68х2
+ 22,78х3
+ 835,05х4
Теперь запишем ограничения, которые вытекают из условий задачи.
Первое ограничение следует из ограниченности инвестиционных возможностей компании:
1250х1
+ 1300х2
+ 1400х3
+ 2200х4
≤5600
Второе ограничение следует из того, что в первом году некоторые проекты еще не требуют инвестиций, которые должны быть покрыты доходами от других проектов:
-200х1
+ 100х2
+ 500х3
- 300х4
≥0
Далее запишем ограничение, вытекающее из ограниченности суммы расстояний:
100х1
+ 90х2
+ 120х3
+ 160х4
≤450
Аналогично запишем ограничение, которое следует из того, что общее количество работников филиалов ограничено:
100х1
+ 120х2
+ 120х3
+ 150х4
≤450
Наконец, запишем условие того, что второй и третий филиалы одновременно строить нельзя:
х2
+ х3
≤1
Модель оптимального распределения инвестиций по проектам состоит в максимизации целевой функции при ограничениях, т.е.
NPV = 1258,12х1
+ 558,68х2
+ 22,78х3
+ 835,05х4
(max)
1250х1
+ 1300х2
+ 1400х3
+ 2200х4
≤5600
-200х1
+ 100х2
+ 500х3
- 300х4
≥0
100х1
+ 90х2
+ 120х3
+ 160х4
≤450
100х1
+ 120х2
+ 120х3
+ 150х4
≤450
х2
+ х3
≤1
0, если i-й проект не инвестировать
xi
=
1, если i-й проект инвестировать, i=1,2,3,4