СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ
Кафедра статистики и экономического прогнозированияКонтрольная работа
"Экономико-математические методы" Новосибирск 2009Задание 1
Производственная функция для райпо имеет вид , где f – товарооборот, млн. руб.; x1 – производственная площадь, тыс. кв. м; x2 – численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня и найдите на ней точку С1 с координатами , где , и точку С2 с координатами , где . Сделайте вывод о возможности замены ресурсов () и (). Полученные результаты изобразите графически.
Решение
Для производства некоторого изделия в количестве Y единиц используются различные ресурсы, которые можно обозначить x1, x2, …..xn. Очевидно, что и Y и x1, x2, …..xn измеряются в определенных единицах измерения и имеют количественное выражение. Использую математические методы можно выразить значение одной величины через другую, в том числе Y через , где = (x1, x2, …..xn). Функциональную зависимость Y = f ( ) называют производственной функцией.
Обозначим какое-то изделие через Y0. Если установлено, что для его изготовления можно в n – мерном пространстве найти такие , что Y0 = f ( ). Найденные составят некоторое множество Q y0. Сказанное можно записать следующим образом Q y0 = : .
Множество Q y0 и называют изоквантой функции f ( ).
Пусть имеются Q y0 и Q y0. Из понятия изокванты следует, что и обеспечивают производство одного и того же количества продукта Y0, т.е. являются в этом смысле взаимозаменяемыми. Для организаторов производства знание изокванты позволяет недостаток одних ресурсов компенсировать другими.
Для производственной функции товарооборота (в млн. рублей), которая имеет вид: f (x1, x2) = 10 * * .
(x1 – производственная площадь, тыс. кв. м;
x2 – численность работников, сотни чел.) и ее изокванты
Y0 = = = = 25,18 найдем координаты для точек C1 (а1, в1) и С2(а2, в2).
Для точки C1 (а1, в1) известно, а1 = = = = 4,34.
Использую определение изокванты, получаем:
10 * * = , или 100 * а1* в1 = 634, или а1* в1 = 6,34
Отсюда, в1 = = 1,46, т.е. точка C1 имеет координаты (4,34; 1,46).
Для точки C2 (а2, в2) известно, в2 = = = = 2,34.
Использую определение изокванты, получаем:
10 * * = , или 100 * а2* в2 = 634, или а2* в2 = 6,34
Отсюда, а2 = = 2,71, т.е. точка C2 имеет координаты (2,71; 2,34).
Уравнение нашей изокванты имеет вид 10 * *
(при Y0 = = 25,18) или x1 * x2 = 6,34. Уравнение такого вида представляет собой гиперболу, которую и изобразим схематически на графике ниже.
Итак, 146 работников райпо, используя 4,34 тыс. кв. метров производственной площади, обеспечат товарооборот = 25,18 (млн. руб.), и такой же товарооборот могут обеспечить 234 работника райпо, используя площадь 2,71 тыс. кв. метров.
Используя график этой функции, можно находить взаимозаменяемые пары (x1, x2).
X2 (сотни чел.) C2 (2,71; 2,34)
2.5
2.0
1.5 С1 (4,34; 1,46)
1.0
0.5
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 X1 (тыс. кв. м)
Задание 2
Произведите классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:
| Товар | Первый | Второй | Третий |
| Первый | |||
| Второй | |||
| Третий |
Решение
Преобразуем таблицу под наш вариант = 534
| товар | первый | второй | третий |
| первый | = = – 0,76 | = = 0,165 | = = 0,365 |
| второй | = = 0,1375 | = = – 1,06 | = = – 1,135 |
| третий | = = 0,304 | = = – 0,15 | = = – 1,46 |
1. Введем определение эластичности товара.
Обозначим – спрос на товары, выраженный в некоторых единицах, и – цены на эти товары, т.е. pi – цена на i – й товар; yi – спрос на i – й товар.
Пусть рассматривается некоторый потребитель, например типичный представитель определенной социальной группы, и если для него удается выразить через , т.е. , то называется функцией спроса.
Ввиду того, что , , – n – мерные векторы, равенство можно представить в координатной записи следующим образом: .
Разумеется, в реальной ситуации спрос зависит не только от цен, но от многих других факторов. Поэтому введенное понятие имеет весьма ограниченное использование и применимо, в частности, для некоторой классификации товаров с позиции определенного потребителя.
Определим эластичность εij формулой
.
Величина εij является математической идеализацией процентного изменения спроса на i – й товар при увеличении на 1% цены на j-й товар.
Например, если ε23=0,25, то это понимается так, что если цену на 3-й товар увеличить на 1%, то спрос на 2-й товар увеличится на 0,25%.
Эластичность εij при i = j называется прямой, и она показывает, на сколько процентов изменится
Эластичность εij при называется перекрестной, и она показывает влияние изменения цены одного товара на спрос другого.
Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности сводится к следующему:
– если |εii | ‹ 1, то i-й товар называется малоэластичным;
– если |εii |1, то i – й товар называется среднеэластичным;
– если |εii | › 1, то i – й товар называется высокоэластичным;
– если увеличение цены на j-й товар приводит к уменьшению спроса на i-й и наоборот, то эти товары называются взаимодополняемыми.
Математически это соответствует выполнению неравенств: εii ‹ 0, εji ‹ 0;
– если увеличение цены на j-й товар приводит к увеличению спроса на i-й товар и наоборот, то эти товары называются взаимозаменяемыми.
Математически это соответствует неравенствам εij › 0, εji › 0.
Таблица эластичностей принимает вид:
| товар | первый | второй | третий |
| первый | = – 0,76 | = 0,165 | = 0,365 |
| второй | = 0,1375 | = – 1,06 | = – 1,135 |
| третий | = 0,304 | = – 0,15 | = – 1,46 |
Так как |ε11| = 0,76 1, то первый товар малоэластичный;
так как |ε22| = 1,06 1, то второй товар среднеэластичный;
так как |ε33| =1,46 1, то третий товар высокоэластичный.
Поскольку ε12 = 0,165 0 и ε21 = 0,1375 0, то первый и второй товары взаимозаменяемые.
Поскольку ε13 = 0, 365 0 и ε31 = 0,304 0, то первый и третий товары взаимозаменяемые.
Поскольку ε23 = – 1,135 0 и ε32 = – 0, 15 0, то второй и третий товары взаимодополняемые.
Задание 3
Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?
Решение
1. Пусть народное хозяйство представлено n отраслями сферы материального производства. Каждая из отраслей производит один агрегированный продукт. Валовой выпуск этих продуктов отраслями обозначим x1, x2,…, xn. Вся продукция xi отрасли i, i=1, 2,…, n, делится на промежуточную Zi и конечную yi. Промежуточную продукцию потребляют в процессе производства сами отрасли. Конечная продукция выходит из сферы материального производства и предназначается для непроизводственного потребления.
На основе отчетных данных о деятельности отраслей за определенный период можно составить межотраслевой баланс. Обозначим xij – объем продукта i-й отрасли, используемый за отчетный период j-й отраслью. Если представить, как распределяется валовая продукция каждой отрасли по другим отраслям и в сфере потребления, то получится система балансовых уравнений.
(1)
Преобразуем систему уравнений:
(2)
Отношение называется коэффициентом прямых затрат и содержательно означает объем продукции i-й отрасли, который требуется передать j-й отрасли, чтобы последняя произвела единицу своей валовой продукции.
Учитывая это, система уравнений примет вид:
(3)
Модель межотраслевого баланса может использоваться в планировании деятельности отраслей материального производства. Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными.
Задание 4
В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью μ= (δ+300)/100 (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность λ=(δ+400)/100 (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной λ=(700-δ)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?
Решение
К системам массового обслуживания (СМО) относятся магазины, рестораны, автозаправочные станции, аэродромы, автоматизированные телефонные станции и многие другие объекты. Общую схему СМО можно представить в следующем виде:
Поток
Входящий поток обслуженных
требований требований
Для входящего потока требований предположим, что интервалы между поступлениями соседних требований есть случайная величина X с показательным законом распределения, т.е. ее интегральная функция F(t) имеет вид:
.
Число λ (треб./ед. времени) называется интенсивностью входящего потока, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.
Будем считать, что очередь не ограничена и требования обслуживаются в порядке поступления. Для обслуживания примем предположения, что все n каналов одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного требования есть случайная величина Y, распределенная по показательному закону, т.е. ее интегральная функция имеет вид:
.
Число μ (треб./ед. времени) называется интенсивностью обслуживания, и она показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом в единицу времени.
Обозначим (α – параметр загрузки СМО) и предположим, что выполняется условие стационарности α < n или λ < μ * n.
Это условие означает, что интенсивность входящего потока меньше, чем суммарная интенсивность обслуживания.
При сформулированных предположениях можно рассчитать некоторые экономические показатели работы СМО, такие, например, как Рк – доля времени работы К – каналов, К=0,1,…, n; L – средняя длина очереди и другие.
Формулы для вычисления p0,…, pn, L в общем случае довольно громоздки, поэтому приведем их для случая n = 2:
.
Рассчитаем долю времени простоя касс и среднюю длину очереди для магазина самообслуживания, в котором работают две кассы с интенсивностью μ = (534+300)/100 (треб./мин.) каждая и входящий поток требований имеет интенсивность λ = (534+400)/100 (треб./мин.). Если интенсивность входящего потока станет равной λ=(700–534)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?
Вычислим λ (треб./ед. времени) интенсивностью входящего потока λ = = 9,34 и μ (треб./ед. времени) интенсивностью обслуживания μ = = 8,34. Отсюда, вычислим параметр загрузки СМО = = = 1, 12 и предположим, что выполняется условие стационарности < n или λ < μ * n (1,12 < 2; 9,34 < 8,34 * 2 = 16,68 – выполняются оба условия стационарности).
Вычислим Рк – доля времени работы К – каналов, К=0,1 и L – средняя длина очереди:
Р0 = = = 0,282 (Р0 = 28,2%)
L1 = = = = 0,511 (треб.)
Если интенсивность станет λ = = 16,6 (треб./мин.), то, в силу выполнения условия стационарности (λ < μ * n, 16,6 < 8,34 * 2 = 16,68), вычислим среднюю длину очереди:
= = = 1,99
L2 = = = = 197,51 (треб.)
= = 386,5.
Таким образом, при интенсивности обслуживания μ=8,34 (треб./мин.) и интенсивности входа λ=9,34 (треб./мин.) доля времени простоя касс составляет 28,2% времени, а средняя длина очереди равна 0,511 (треб.).
Если же интенсивность входа станет равной 16,6 (треб./мин.), то средняя длина очереди увеличится в 386,5 раза.
ЛитератураАйвазян С.А. и др. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. – М.: Финансы и статистика, 1985
Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. – М.: Экономика, 1976
Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические методы в экономике – М.: Наука, 1979
Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М.: Наука, 1987
Спирин А.А., Фомин Г.П. Экономико-математические методы и модели в торговле. – М: Экономика, 1988
Щедрин И.И., Кархов А.Н. Экономико-математические методы в торговле. – М.: Экономика, 1980
Шаланов Н.В. Экономико-математические методы в торговле: Учебное пособие. – Новосибирск: СибУПК, 1998